2021年全國(guó)中考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編--四邊形：命題、四邊形中的計(jì)算與證明（壓軸題）（ 答案版）

1、2021全國(guó)中考真題分類(lèi)匯編（四邊形）-命題、四邊形中的計(jì)算與證明（壓軸題）一、選擇題1. （2021湖南省衡陽(yáng)市）下列命題是真命題的是（）A正六邊形的外角和大于正五邊形的外角和B正六邊形的每一個(gè)內(nèi)角為120C有一個(gè)角是60的三角形是等邊三角形D對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形是矩形【分析】根據(jù)多邊形的外角和都是360度對(duì)A作出判斷；根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出正六邊形的內(nèi)角和，再求出每個(gè)內(nèi)角對(duì)B作出判斷；根據(jù)等邊三角形的判定對(duì)C作出判斷；根據(jù)矩形的判定對(duì)D作出判斷【解答】解：A每個(gè)多邊形的外角和都是360，故錯(cuò)誤，假命題；B正六邊形的內(nèi)角和是720，每個(gè)內(nèi)角是120，故正確，真命題；C有一個(gè)角是60的等腰三

2、角形是等邊三角形，故錯(cuò)誤，假命題；D對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形，故錯(cuò)誤，假命題故選：B2. （2021懷化市）以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A多邊形的內(nèi)角大于任何一個(gè)外角B任意多邊形的外角和是360C正六邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形D圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)【分析】直接利用中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、多邊形的外角和的性質(zhì)分別分析得出答案【解答】解：A多邊形的內(nèi)角不一定大于任何一個(gè)外角，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；B任意多邊形的外角和是360,正確，不合題意；C正六邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形,正確，不合題意；D圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ),正確，不合題意；故選：A3. （2021岳陽(yáng)市） 下列命題是真命題的是（ ）A.

3、 五邊形內(nèi)角和是B. 三角形的任意兩邊之和大于第三邊C. 內(nèi)錯(cuò)角相等D. 三角形的重心是這個(gè)三角形的三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)【答案】B4. （2021四川省達(dá)州市）以下命題是假命題的是（）A的算術(shù)平方根是2B有兩邊相等的三角形是等腰三角形C一組數(shù)據(jù)：3，1，1，1，2，4的中位數(shù)是1.5D過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、等腰三角形的定義、中位數(shù)以及平行公理判斷即可【解答】解：A、2的算術(shù)平方根是，符合題意；B、有兩邊相等的三角形是等腰三角形，不符合題意；C、一組數(shù)據(jù)：3，1，4，2，4的中位數(shù)是6.5，不符合題意；D、過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行，不符

4、合題意；故選：A5. （2021四川省廣元市）下列命題中，真命題是（ ）A. B. 對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形是菱形C. 順次連接矩形各邊中點(diǎn)的四邊形是正方形D. 已知拋物線(xiàn)，當(dāng)時(shí)，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)零次冪、菱形的判定、正方形的判定及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可直接進(jìn)行排除選項(xiàng)【詳解】解：A、，錯(cuò)誤，故不符合題意；B、對(duì)角線(xiàn)互相垂直且平分的四邊形是菱形，錯(cuò)誤，故不符合題意；C、順次連接矩形各邊中點(diǎn)的四邊形是菱形，錯(cuò)誤，故不符合題意；D、由拋物線(xiàn)可得與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，開(kāi)口向上，然后可得當(dāng)時(shí)，正確，故符合題意；故選D6. （2021四川省涼山州）下列命題中，假命題是（ ）A. 直角三角形斜邊上

5、的中線(xiàn)等于斜邊的一半B. 等腰三角形頂角的平分線(xiàn)，底邊上的中線(xiàn)，底邊上的高相互重合C. 若，則點(diǎn)B是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)D. 三角形三條邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的外心【答案】C【解析】【分析】根據(jù)中點(diǎn)的定義，直角三角形的性質(zhì)，三線(xiàn)合一以及外心的定義分別判斷即可【詳解】解：A、直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，故為真命題；B、等腰三角形頂角的平分線(xiàn)，底邊上的中線(xiàn)，底邊上的高相互重合，故為真命題；C、若在同一條直線(xiàn)上AB=BC，則點(diǎn)B是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，故為假命題；D、三角形三條邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的外心，故為真命題；故選C7. （2021瀘州市）下列命題是真命題的是（ ）A.

6、 對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形是平行四邊形B. 對(duì)角線(xiàn)互相平分且相等的四邊形是矩形C. 對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形是菱形D. 對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分的四邊形是正方形【答案】B【解析】【分析】A、根據(jù)平行四邊形的判定定理作出判斷；B、根據(jù)矩形的判定定理作出判斷；C、根據(jù)菱形的判定定理作出判斷；D、根據(jù)正方形的判定定理作出判斷【詳解】解：A、對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、對(duì)角線(xiàn)互相平分且相等的四邊形是矩形；故本選項(xiàng)正確，符合題意；C、對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B8. （

7、2021遂寧市）下列說(shuō)法正確的是（）A. 角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等B. 平行四邊形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形C. 在代數(shù)式，中，是分式D. 若一組數(shù)據(jù)2、3、x、1、5的平均數(shù)是3，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)，平行四邊形的對(duì)稱(chēng)性，分式的定義，平均數(shù)，中位數(shù)的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可【詳解】解：A.角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，故選項(xiàng)正確；B.平行四邊形不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.在代數(shù)式，中，是分式，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.若一組數(shù)據(jù)2、3、x、1、5的平均數(shù)是3，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是3，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A9. （2021綏化

8、市）下列命題是假命題的是（ ）A. 任意一個(gè)三角形中，三角形兩邊的差小于第三邊B. 三角形的中位線(xiàn)平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半C. 如果一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角一定相等D. 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊、中位線(xiàn)定理、平行四邊形的判定方法依次即可求解【詳解】解：選項(xiàng)A：三角形的兩邊之差小于第三邊，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；選項(xiàng)B：三角形的中位線(xiàn)平行且等于第三邊的一半，故選項(xiàng)B正確，不符合題意；選項(xiàng)C：一個(gè)角的兩邊分別平行另一個(gè)角的兩邊，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，故選項(xiàng)C不正確，是假命題，符合題意；

9、選項(xiàng)D：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)D正確，不符合題意；故選：C10. （2021呼和浩特市）以下四個(gè)命題：任意三角形的一條中位線(xiàn)與第三邊上的中線(xiàn)互相平分A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽，若A，B，C，D，E分別賽了5，4，3，2，1場(chǎng)，則由此可知，還沒(méi)有與B隊(duì)比賽的球隊(duì)可能是D隊(duì)兩個(gè)正六邊形一定位似有13人參加捐款，其中小王的捐款數(shù)比13人捐款的平均數(shù)多2元，則小王的捐款數(shù)不可能最少，但可能只比最少的多比其他的都少其中真命題的個(gè)數(shù)有BA1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)11. (2021內(nèi)蒙古包頭市)下列命題正確的是（）A. 在函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小B. 若，則C

10、. 垂直于半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)D. 各邊相等的圓內(nèi)接四邊形是正方形【答案】D12. （2021黑龍江省龍東地區(qū)）如圖，在正方形中，對(duì)角線(xiàn)與相交于點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，若，則下列結(jié)論：；點(diǎn)D到CF的距離為其中正確的結(jié)論是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由題意易得，由三角形中位線(xiàn)可進(jìn)行判斷；由DOC是等腰直角三角形可進(jìn)行判斷；根據(jù)三角函數(shù)可進(jìn)行求解；根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解；過(guò)點(diǎn)D作DHCF，交CF的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，然后根據(jù)三角函數(shù)可進(jìn)行求解【詳解】解：四邊形是正方形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則，OFBE，DGFDCE，故正確；點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，OGCD，

11、ODC=45，DOC是等腰直角三角形，故正確；CE=4，CD=8，DCE=90，故正確；，故錯(cuò)誤；過(guò)點(diǎn)D作DHCF，交CF的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，如圖所示：點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，CF=DF，CDE=DCF，設(shè)，則，在RtDHC中，解得：，故正確；正確的結(jié)論是；故選C13.（2021山東省泰安市）如圖，在矩形ABCD中，AB5，BC5，點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)（含B、C兩點(diǎn)），連接AP，以點(diǎn)A為中心，將線(xiàn)段AP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60到AQ，連接DQ，則線(xiàn)段DQ的最小值為（）ABCD3【分析】如圖，以AB為邊向右作等邊ABF,作射線(xiàn)FQ交AD于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D作DHQE于H利用全等三角形的性質(zhì)證明AFQ90,推出AEF60,

12、推出點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是射線(xiàn)FE,求出DH,可得結(jié)論【解答】解：如圖，以AB為邊向右作等邊ABF,作射線(xiàn)FQ交AD于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D作DHQE于H四邊形ABCD是矩形，ABPBAE90,ABF,APQ都是等邊三角形，BAFPAQ60,BAFA,PAQA,BAPFAQ,在BAP和FAQ中，,BAPFAQ(SAS),ABPAFQ90,FAE906030,AEF903060,ABAF5,AEAFcos30,點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是射線(xiàn)FE,ADBC5,DEADAE,DHEF,DEHAEF60,DHDEsin60,根據(jù)垂線(xiàn)段最短可知，當(dāng)點(diǎn)Q與H重合時(shí)，DQ的值最小，最小值為，故選：A14. （2021四川省南充市）如

13、圖，在矩形ABCD中，AB15，BC20，把邊AB沿對(duì)角線(xiàn)BD平移，點(diǎn)A，B分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)A，B給出下列結(jié)論：順次連接點(diǎn)A，B，C，D的圖形是平行四邊形；點(diǎn)C到它關(guān)于直線(xiàn)AA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的距離為48；ACBC的最大值為15；AC+BC的最小值為9其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)【分析】根據(jù)平行四邊形的判定可得結(jié)論作點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)AA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E,連接CE交AA于T,交BD于點(diǎn)O,則CE4OC利用面積法求出OC即可根據(jù)ACBCAB,推出ACBC15,可得結(jié)論作點(diǎn)D關(guān)于AA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D,連接DD交AA于J,過(guò)點(diǎn)D作DECD交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于E,連接CD交AA于A,此時(shí)CB+CA的值最小，最小值CD

14、【解答】解：如圖1中，ABAB,ABAB,ABCD,ABCD,ABCD,ABCD,四邊形ABCD是平行四邊形，故正確，作點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)AA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E,連接CE交AA于T,交BD于點(diǎn)O,則CE4OC四邊形ABCD是矩形，BCD90,CDAB15,BD25,BDCOBCCD,OC12,EC48,故正確，ACBCAB,ACBC15,ACBC的最大值為15,故正確，如圖2中，BCAD,AC+BCAC+AD,作點(diǎn)D關(guān)于AA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D,連接DD交AA于J,過(guò)點(diǎn)D作DECD交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于E,連接CD交AA于A,此時(shí)CB+CA的值最小，最小值CD,由AJDDAB,可得,DJ12,DD24,由DEEDAB,可得

15、,ED,DE,CECD+DE15+,CD9,AC+BC的最小值為9故正確，故選：D15. （2021四川省眉山市）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，AB6，DAC60，點(diǎn)F在線(xiàn)段AO上從點(diǎn)A至點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，連接DF，以DF為邊作等邊三角形DFE，點(diǎn)E和點(diǎn)A分別位于DF兩側(cè)，下列結(jié)論：BDEEFC；EDEC；ADFECF；點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路程是2，其中正確結(jié)論的序號(hào)為（）ABCD【分析】根據(jù)DAC60，ODOA，得出OAD為等邊三角形，再由DFE為等邊三角形，得EDFEFDDEF60，即可得出結(jié)論正確；如圖，連接OE，利用SAS證明DAFDOE，再證明ODEOCE，即可得出結(jié)論正確；通過(guò)

16、等量代換即可得出結(jié)論正確；如圖，延長(zhǎng)OE至E，使OEOD，連接DE，通過(guò)DAFDOE，DOE60，可分析得出點(diǎn)F在線(xiàn)段AO上從點(diǎn)A至點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E從點(diǎn)O沿線(xiàn)段OE運(yùn)動(dòng)到E，從而得出結(jié)論正確；【解答】解：DAC60，ODOA，OAD為等邊三角形，DOADAOODA60，ADOD，DFE為等邊三角形，EDFEFDDEF60，DFDE，BDE+FDOADF+FDO60，BDEADF，ADF+AFD+DAF180，ADF+AFD180DAF120，EFC+AFD+DFE180，EFC+AFD180DFE120，ADFEFC，BDEEFC，故結(jié)論正確；如圖，連接OE，在DAF和DOE中，DAFDOE(

17、SAS)，DOEDAF60，COD180AOD120，COECODDOE1206060，COEDOE，在ODE和OCE中，ODEOCE(SAS)，EDEC，OCEODE，故結(jié)論正確；ODEADF，ADFOCE，即ADFECF，故結(jié)論正確；如圖，延長(zhǎng)OE至E，使OEOD，連接DE，DAFDOE，DOE60，點(diǎn)F在線(xiàn)段AO上從點(diǎn)A至點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E從點(diǎn)O沿線(xiàn)段OE運(yùn)動(dòng)到E，OEODADABtanABD6tan302，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路程是2，故結(jié)論正確；故選：D二填空題1. （2021江蘇省無(wú)錫市）下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為 1所有的正方形都相似所有的菱形都相似邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)菱形都相似對(duì)角線(xiàn)相等的兩個(gè)

18、矩形都相似【分析】利用相似形的定義分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)【解答】解：所有的正方形都相似，正確，符合題意；所有的菱形都相似，錯(cuò)誤，不符合題意；邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)菱形都相似，錯(cuò)誤，不符合題意；對(duì)角線(xiàn)相等的兩個(gè)矩形都相似，錯(cuò)誤，不符合題意，正確的有1個(gè)，故答案為：12.（2021四川省廣元市）如圖，在正方形中，點(diǎn)O是對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線(xiàn)段上，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作交于點(diǎn)F，連接、，交于G，現(xiàn)有以下結(jié)論：；為定值；以上結(jié)論正確的有_（填入正確的序號(hào)即可）【答案】【解析】【分析】由題意易得APF=ABC=ADE=C=90，AD=AB，ABD=45，對(duì)于：易知點(diǎn)A、B、F、P四點(diǎn)共圓，然后可得A

19、FP=ABD=45，則問(wèn)題可判定；對(duì)于：把AED繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到ABH，則有DE=BH，DAE=BAH，然后易得AEFAHF，則有HF=EF，則可判定；對(duì)于：連接AC，在BP上截取BM=DP，連接AM，易得OB=OD，OP=OM，然后易證AOPABF，進(jìn)而問(wèn)題可求解；對(duì)于：過(guò)點(diǎn)A作ANEF于點(diǎn)N，則由題意可得AN=AB，若AEF的面積為定值，則EF為定值，進(jìn)而問(wèn)題可求解；對(duì)于由可得，進(jìn)而可得APGAFE，然后可得相似比為，最后根據(jù)相似三角形的面積比與相似比的關(guān)系可求解【詳解】解：四邊形是正方形，APF=ABC=ADE=C=90，AD=AB，ABD=45，由四邊形內(nèi)角和可得，點(diǎn)A、B、F

20、、P四點(diǎn)共圓，AFP=ABD=45，APF是等腰直角三角形，故正確；把AED繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到ABH，如圖所示：DE=BH，DAE=BAH，HAE=90，AH=AE，AF=AF，AEFAHF（SAS），HF=EF，故正確；連接AC，在BP上截取BM=DP，連接AM，如圖所示：點(diǎn)O是對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，OB=OD，OP=OM，AOB是等腰直角三角形，由可得點(diǎn)A、B、F、P四點(diǎn)共圓，AOPABF，故正確；過(guò)點(diǎn)A作ANEF于點(diǎn)N，如圖所示：由可得AFB=AFN，ABF=ANF=90，AF=AF，ABFANF（AAS），AN=AB，若AEF的面積為定值，則EF為定值，點(diǎn)P在線(xiàn)段上，的長(zhǎng)不可能為定值，故

21、錯(cuò)誤；由可得，AFB=AFN=APG，F(xiàn)AE=PAG，APGAFE，故正確；綜上所述：以上結(jié)論正確的有；故答案為3. （2021遂寧市）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD邊上一點(diǎn)，連結(jié)BE，以BE為對(duì)角線(xiàn)作正方形BGEF，邊EF與正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)BD相交于點(diǎn)H，連結(jié)AF，有以下五個(gè)結(jié)論：；若，則，你認(rèn)為其中正確是_（填寫(xiě)序號(hào)）【答案】【解析】【分析】四邊形BGEF和四邊形ABCD均為正方形，BD，BE是對(duì)角線(xiàn)，得ABDFBE45，根據(jù)等式的基本性質(zhì)確定出；再根據(jù)正方形的對(duì)角線(xiàn)等于邊長(zhǎng)的倍，得到兩邊對(duì)應(yīng)成比例，再根據(jù)角度的相減得到夾角相等，利用兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似即可判斷；

22、根據(jù)兩角相等的兩個(gè)三角形相似得到EBHDBE，從而得到比例式，根據(jù)BEBG，代換即可作出判斷；由相似三角形對(duì)應(yīng)角相等得到BAFBDE45，可得出AF在正方形ABCD對(duì)角線(xiàn)上，根據(jù)正方形對(duì)角線(xiàn)垂直即可作出判斷設(shè)CE=x，DE=3x，則BC=CD=4x，結(jié)合BE2BHBD，求出BH，DH，即可判斷【詳解】解：四邊形BGEF和四邊形ABCD均為正方形，BD，BE是對(duì)角線(xiàn)，ABDFBE45，又ABF45DBF，DBE45DBF，選項(xiàng)正確； 四邊形BGEF和四邊形ABCD均為正方形，ADAB，BFBE，BDAB，BE=BF， 又，選項(xiàng)正確；四邊形BGEF和四邊形ABCD均為正方形，BD，BE是對(duì)角線(xiàn)，B

23、EHBDE45，又EBHDBE，EBHDBE， ，即BE2BHBD，又BEBG，選項(xiàng)確； 由知：，又四邊形ABCD為正方形，BD為對(duì)角線(xiàn)，BAFBDE45，AF在正方形另外一條對(duì)角線(xiàn)上，AFBD，正確，設(shè)CE=x，DE=3x，則BC=CD=4x，BE=， BE2BHBD，DH=BD-BH=,，故錯(cuò)誤，綜上所述：正確，故答案是：4. （2021天津市）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且，G為的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)H，連接，則的長(zhǎng)為_(kāi)【答案】【解析】【分析】先作輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形，求出CH和MG的長(zhǎng)，再求出MH的長(zhǎng)，最后利用勾股定理求解即可【詳解】解:如圖,作O

24、KBC，垂足點(diǎn)K，正方形邊長(zhǎng)為4，OK=2，KC=2，KC=CE，CH是OKE的中位線(xiàn)，作GMCD，垂足為點(diǎn)M，G點(diǎn)為EF中點(diǎn)，GM是FCE的中位線(xiàn)，在RtMHG中，故答案為：5. （2021湖南省張家界市） 如圖,在正方形外取一點(diǎn),連接,過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)交于點(diǎn),若,.下列結(jié)論:；點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為；，其中正確結(jié)論的序號(hào)為 . 6. （2021福建省）如圖，在矩形ABCD中，AB4，AD5，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E不與A，B重合，且EFAB，G是五邊形AEFCD內(nèi)滿(mǎn)足GEGF且EGF90的點(diǎn)現(xiàn)給出以下結(jié)論：GEB與GFB一定互補(bǔ)；點(diǎn)G到邊AB，BC的距離一定相等；點(diǎn)G到邊AD，DC的

25、距離可能相等；點(diǎn)G到邊AB的距離的最大值為2其中正確的是 .（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）7. （2021廣西賀州市）如圖在邊長(zhǎng)為6的正方形中，點(diǎn)，分別在，上，且，垂足為，是對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，連接、則的長(zhǎng)為_(kāi)【答案】【解析】【分析】根據(jù)，則A、B、O、G四點(diǎn)共圓，則可以得到，解直角三角形即可得結(jié)果【詳解】解：如圖，連接，以為半徑，的中點(diǎn)作圓，過(guò)作是正方形，是對(duì)角線(xiàn)，是正方形，在中在中故答案為8.（2021湖北省黃石市） 如圖，在正方形中，點(diǎn)、分別在邊、上，且，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)（1）若正方形的邊長(zhǎng)為2，則的周長(zhǎng)是_（2）下列結(jié)論：；若是的中點(diǎn)，則；連接，則為等腰直角三角形其中正確結(jié)論的序號(hào)是_（把你認(rèn)為所

26、有正確的都填上）【答案】 . 4 . 【解析】【分析】(1)將AF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，F(xiàn)點(diǎn)落在G點(diǎn)處，證明，進(jìn)而得到，即可求出的周長(zhǎng)；(2)對(duì)于：將AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，M點(diǎn)落在H點(diǎn)處，證明，即可判斷；對(duì)于：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，BE=x，則EF=x+1，CE=2-x，在RtEFC中使用勾股定理求出x，在利用AEF=AEB即可求解；對(duì)于：證明A、M、F、D四點(diǎn)共圓，得到AFM=ADM=45進(jìn)而求解【詳解】解：(1)將AF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，F(xiàn)點(diǎn)落在G點(diǎn)處，如下圖所示：，且，在和中：，又1+2=45，3+2=45，1=3，ABCD為正方形，AD=AB，在和中：，、三點(diǎn)共線(xiàn)，故答案為：；(2)

27、對(duì)于：將AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，M點(diǎn)落在H點(diǎn)處，如下圖所示： 1+2=45，1+4=EAH-EAF=45，2=4，在和中： ,，在中，由勾股定理得：，在和中： ,，故正確；對(duì)于：由(1)中可知：EF=BE+DF，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，當(dāng)F為CD中點(diǎn)時(shí)，GB=DF=1，CF=1，設(shè)BE=x，則EF=x+1，CE=2-x，在RtEFC中，由勾股定理：，解得，即，,故錯(cuò)誤；對(duì)于：如下圖所示：EAF=BDC=45，A、M、F、D四點(diǎn)共圓，AFM=ADM=45，AMF為等腰直角三角形，故正確；故答案為：三、解答題1. （2021遼寧省本溪市）在中，平分，交對(duì)角線(xiàn)于點(diǎn)G，交射線(xiàn)于點(diǎn)E，將線(xiàn)段繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

28、得線(xiàn)段（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，連接，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段和線(xiàn)段的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)，連接，請(qǐng)寫(xiě)出線(xiàn)段，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)時(shí)，連接，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出與面積的比值【答案】（1）；（2）,理由見(jiàn)解析；（3）【解析】【分析】（1）延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，根據(jù)已知條件證明即可；（2）連接，過(guò)F作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，由，得，在由 三邊關(guān)系利用勾股定理可得；（3）證明，得值，與的面積分別與的面積成比例，可得與面積的比值詳解】（1）如圖,延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，由題意，將線(xiàn)段繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，四邊形是平行四邊形四邊形是平行四邊形平分四邊形是菱形是等邊三角形,，四邊形是平行四邊形=在和中（2）連接，過(guò)F作

29、交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)四邊形是矩形，平分四邊形是矩形在和中設(shè)則在中即整理得：（3）如圖由（1）可知平分四邊形是平行四邊形2. （2021宿遷市）已知正方形ABCD與正方形AEFG，正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周(1)如圖，連接BG、CF，求的值；(2)當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至圖位置時(shí)，連接CF、BE，分別去CF、BE的中點(diǎn)M、N，連接MN、試探究：MN與BE的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)連接BE、BF，分別取BE、BF的中點(diǎn)N、Q，連接QN，AE=6，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段QN掃過(guò)的面積【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)聯(lián)想到連接，證明即可求解；（2）由M、N分別是CF、BE的中點(diǎn)，聯(lián)想

30、到中位線(xiàn)，故想到連接BM并延長(zhǎng)使BM=MH，連接FH、EH，則可證即可得到，再由四邊形內(nèi)角和為可得，則可證明，即是等腰直角三角形，最后利用中位線(xiàn)的性質(zhì)即可求解；（3）Q、N兩點(diǎn)因旋轉(zhuǎn)位置發(fā)生改變，所以Q、N兩點(diǎn)的軌跡是圓，又Q、N兩點(diǎn)分別是BF、BE中點(diǎn)，所以想到取AB的中點(diǎn)O，結(jié)合三角形中位線(xiàn)和圓環(huán)面積的求解即可解答【詳解】解：（1）連接四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形分別平分即且都是等腰直角三角形（2）連接BM并延長(zhǎng)使BM=MH，連接FH、EH是CF的中點(diǎn)又在四邊形BEFC中又即即又四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形三角形BEH是等腰直角三角形M、N分別是BH、BE的中點(diǎn)（3）取

31、AB的中點(diǎn)O，連接OQ、ON，連接AF在中，O、Q分別是AB、BF的中點(diǎn)同理可得所以QN掃過(guò)的面積是以O(shè)為圓心，和為半徑的圓環(huán)的面積3. （2021山東省臨沂市）如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，將ABE沿直線(xiàn)AE折疊，點(diǎn)B落在F處，連接BF并延長(zhǎng)，與DAF的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)H，與AE，CD分別相交于點(diǎn)G，M，連接HC（1）求證：AGGH；（2）若AB3，BE1，求點(diǎn)D到直線(xiàn)BH的距離；（3）當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上（端點(diǎn)除外）運(yùn)動(dòng)時(shí)，BHC的大小是否變化？為什么？【分析】(1)由折疊的性質(zhì)得出BAGGAFBAF,B,F關(guān)于AE對(duì)稱(chēng),證出EAHBAD45,由等腰直角三角形的性質(zhì)得出答案；(2

32、)連接DH,DF,交AH于點(diǎn)N,由(1)可知AFAD,FAHDAH,得出DHF90,由勾股定理求出AE,證明AEBABG,得出比例線(xiàn)段,可求出AG,BG的長(zhǎng),則可求出答案(3)方法一:連接BD,由銳角三角函數(shù)的定義求出,證明BDFCDH,由相似三角形的性質(zhì)得出CDHBFD,則可得出答案方法二:連接BD,證出點(diǎn)B,C,H,D四點(diǎn)共圓,則可得出結(jié)論【解答】(1)證明:將ABE沿直線(xiàn)AE折疊，點(diǎn)B落在F處，BAGGAFBAF,B,F關(guān)于AE對(duì)稱(chēng),AGBF,AGF90,AH平分DAF,FAHFAD,EAHGAF+FAHBAF+FAD(BAF+FAD)BAD,四邊形ABCD是正方形,BAD90,EAHB

33、AD45,HGA90,GAGH；(2)解:如圖1,連接DH,DF,交AH于點(diǎn)N,由(1)可知AFAD,FAHDAH,AHDF,FNDN,DHHF,FNHDNH90,又GHA45,FNH45NDHDHN,DHF90,DH的長(zhǎng)為點(diǎn)D到直線(xiàn)BH的距離,由(1)知AE2AB2+BE2,AE,BAE+AEBBAE+ABG90,AEBABG,又AGBABE90,AEBABG,AG,BG,由(1)知GFBG,AGGH,GF,GH,DHFHGHGF即點(diǎn)D到直線(xiàn)BH的距離為；(3)不變理由如下:方法一:連接BD,如圖2,在RtHDF中,在RtBCD中,sin45,BDF+CDH45,FDC+CDH45,BDFC

34、DH,BDFCDH,CDHBFD,DFH45,BFD135CHD,BHD90,BHCCHDBHD1359045方法二:BCD90,BHD90,點(diǎn)B,C,H,D四點(diǎn)共圓,BHCBDC45,BHC的度數(shù)不變4. （2021陜西?。﹩?wèn)題提出（1）如圖1，在ABCD中，A45，AD6，E是AD的中點(diǎn)，且DF5，求四邊形ABFE的面積（結(jié)果保留根號(hào)）問(wèn)題解決（2）某市進(jìn)行河灘治理，優(yōu)化美化人居生態(tài)環(huán)境如圖2所示，現(xiàn)規(guī)劃在河畔的一處灘地上規(guī)劃一個(gè)五邊形河畔公園ABCDE按設(shè)計(jì)要求，使點(diǎn)O、P、M、N分別在邊BC、CD、AE、AB上，且滿(mǎn)足BO2AN2CP，ABC90，AB800m，CD600m，AE900

35、m為滿(mǎn)足人工湖周邊各功能場(chǎng)所及綠化用地需要，是否存在符合設(shè)計(jì)要求的面積最小的四邊形人工湖OPMN？若存在，求四邊形OPMN面積的最小值及這時(shí)點(diǎn)N到點(diǎn)A的距離，請(qǐng)說(shuō)明理由【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AHCD交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于H，先求出AH3，同理EG，最后用面積的差即可得出結(jié)論；（2）分別延長(zhǎng)AE，與CD，交于點(diǎn)K，則四邊形ABCK是矩形，設(shè)ANx米，則PCx米，BO2x米，BN（800 x）米，AMOC（12002x）米，MK2x米，PK（800 x）米，進(jìn)而得出S四邊形OPMN4（x350）2+470000，即可得出結(jié)論【解答】解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AHCD交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于H，H90，四邊形AB

36、CD是平行四邊形，CDAB8，ABCD，ADHBAD45，在RtADH中，AD2，AHADsinA6sin453，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，DEAD8，同理EG，DF5，F(xiàn)CCDDF3，S四邊形ABFESABCDSDEFSBFC735；（2）存在，如圖2，分別延長(zhǎng)AE，與CD，則四邊形ABCK是矩形，AKBC1200米，ABCK800米，設(shè)ANx米，則PCx米，BN（800 x）米，MKAKAM1200（12005x）2x米，PKCKCP（800 x）米，S四邊形OPMNS矩形ABCKSAMNSBONSOCPSPKM8001200 x（12002x）x（12006x）7（x350）2+470000，當(dāng)

37、x350時(shí)，S四邊形OPMN最小470000（平方米），AM12002x12007350500900，CPx350600，符合設(shè)計(jì)要求的四邊形OPMN面積的最小值為47000平方米，此時(shí)5. （2021湖北省宜昌市）如圖，在矩形ABCD中，E是邊AB上一點(diǎn)，BEBC，EFCD，垂足為F將四邊形CBEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（090），得到四邊形CBEF，BE所在的直線(xiàn)分別交直線(xiàn)BC于點(diǎn)G，交直線(xiàn)AD于點(diǎn)P，交CD于點(diǎn)KEF所在的直線(xiàn)分別交直線(xiàn)BC于點(diǎn)H，交直線(xiàn)AD于點(diǎn)Q，連接BF交CD于點(diǎn)O（1）如圖1，求證：四邊形BEFC是正方形；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q和點(diǎn)D重合時(shí)求證：GCDC；若OK1，CO2，

38、求線(xiàn)段GP的長(zhǎng)；（3）如圖3，若BMFB交GP于點(diǎn)M，tanG，求的值【分析】（1）根據(jù)鄰邊相等的矩形的正方形證明即可（2）證明CGBCDF（ASA），可得結(jié)論設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，利用勾股定理構(gòu)建方程求出a，再證明GKPK，求出PG2PK，求出PK可得結(jié)論（3）如圖3中，延長(zhǎng)BF交CH的延長(zhǎng)線(xiàn)于R由tanGtanFCH，設(shè)FHxCF2x，則CHx，由RBCRFH，推出，推出CHRH，BFRF，可得CR2CH2x，SCFR2SCFH，再由GBCGEH，推出，可得推出GB2（1）x，由GBMCRF，可得（）22，由此即可解決問(wèn)題【解答】（1）證明：如圖1中，在矩形ABCD中，BBCD90，EFAB

39、，EFB90，四邊形BEFC是矩形，BEBC，四邊形BEFC是正方形（2）證明：如圖2中，GCKDCH90，CDF+H90，KGC+H90，KGCCDF，BCCF，GBCCFD，CGBCDF（ASA），CGCD解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，KBCF，BKOFCO，BKBCa，在RtBKC中，BK2+BC2CK2，a2+（a）232，a，由，可得BKKEa，KECFDKEDCF，DEEFa，PE2a，PKa，DKKC，PG，DKPGKC，PKDGKC（AAS），GKPK，PG2PK5a，PG5a6（3）解：如圖3中，延長(zhǎng)BF交CH的延長(zhǎng)線(xiàn)于RCFGP，RBBM，GBGRB，GFCR，tanGtanFC

40、H，設(shè)FHxCF2x，則CHx，CBCFEFBC2x，CBHE，RBCRFH，CHRH，BFRF，CR2CH2x，SCFR2SCFH，CBHE，GBCGEH，GB2（1）x，GBMCRF，（）22，SCRF2SCHF，6. （2021廣東?。┤珙}圖，在四邊形中，點(diǎn)、分別在線(xiàn)段、上，且，（1）求證：；（2）求證：以為直徑的圓與相切；（3）若，求的面積【答案】解：（1），設(shè)，又，2分（2）如圖，取中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，又，為中點(diǎn)， ，又， 又，以為直徑的圓與相切 （3），又，為等邊三角形， 由（2）得：，在中，在中， 如圖，過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)分別向作垂線(xiàn)交于點(diǎn)， 7. （2021四川省廣元市）如圖1，在中，點(diǎn)D是邊

41、上一點(diǎn)（含端點(diǎn)A、B），過(guò)點(diǎn)B作垂直于射線(xiàn)，垂足為E，點(diǎn)F在射線(xiàn)上，且，連接、（1）求證：；（2）如圖2，連接，點(diǎn)P、M、N分別為線(xiàn)段、的中點(diǎn)，連接、求的度數(shù)及的值；（3）在（2）的條件下，若，直接寫(xiě)出面積的最大值【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等判定即可（2）的值可以根據(jù)中位線(xiàn)性質(zhì)，進(jìn)行角轉(zhuǎn)換，通過(guò)三角形內(nèi)角和定理求解即可，的比值轉(zhuǎn)換為的比值即可求得.（3）過(guò)點(diǎn)作垂直于的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，將相關(guān)線(xiàn)段關(guān)系轉(zhuǎn)化為CE，可得關(guān)系，觀(guān)察圖象，當(dāng)時(shí)，可得最大值【詳解】（1）證明：，, 垂直于射線(xiàn), 又,即： 又 （2）解：點(diǎn)P、M、N分別為線(xiàn)段、的中點(diǎn)

42、， , 又 又 又又又（3）如下圖：過(guò)點(diǎn)作垂直于的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn), 又 當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值， 在以的中點(diǎn)為圓心，為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，最大，8. （2021浙江省嘉興市）小王在學(xué)習(xí)浙教版九上課本第72頁(yè)例2后，進(jìn)一步開(kāi)展探究活動(dòng)：將一個(gè)矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（090），得到矩形ABCD，連結(jié)BD探究1如圖1，當(dāng)90時(shí)，點(diǎn)C恰好在DB延長(zhǎng)線(xiàn)上若AB1，求BC的長(zhǎng)探究2如圖2，連結(jié)AC，過(guò)點(diǎn)D作DMAC交BD于點(diǎn)M線(xiàn)段DM與DM相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由探究3在探究2的條件下，射線(xiàn)DB分別交AD，AC于點(diǎn)P，N（如圖3），發(fā)現(xiàn)線(xiàn)段DN，MN，PN存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)關(guān)系式，并加以證明

43、【分析】（1）如圖1，設(shè)BCx，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出ADADBCx，DCABAB1，證明DCBADB，由相似三角形的性質(zhì)得出，由比例線(xiàn)段得出方程，求出x的值即可得出答案；（2）連接DD，證明ACDDAB（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出DACADB，由等腰三角形的性質(zhì)得出ADDADD，證出MDDMDD，則可得出結(jié)論；（3）連接AM，證明ADMADM（SSS），由全等三角形的性質(zhì)得出MADMAD，得出MNAN，證明NPANAD，由相似三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論【解答】解：（1）如圖1，設(shè)BCx，矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到矩形ABCD，點(diǎn)A，B，D在同一直線(xiàn)上，ADADBCx，DCABA

44、B1，DBADABx1，BADD90，DCDA，又點(diǎn)C在DB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，DCBADB，解得x1，x2（不合題意，舍去），BC（2）DMDM證明：如圖2，連接DD，DMAC，ADMDAC，ADAD，ADCDAB90，DCAB，ACDDAB（SAS），DACADB，ADBADM，ADAD，ADDADD，MDDMDD，DMDM；（3）關(guān)系式為MN2PNDN證明：如圖3，連接AM，DMDM，ADAD，AMAM，ADMADM（SSS），MADMAD，AMNMAD+NDA，NAMMAD+NAP，AMNNAM，MNAN，在NAP和NDA中，ANPDNA，NAPNDA，NPANAD，AN2PNDN，MN2PN

45、DN9. （2021浙江省紹興市）如圖，矩形ABCD中，AB4，點(diǎn)F是對(duì)角線(xiàn)BD上一動(dòng)點(diǎn)，ADB30連結(jié)EF（1）若EFBD，求DF的長(zhǎng)；（2）若PEBD，求DF的長(zhǎng)；（3）直線(xiàn)PE交BD于點(diǎn)Q，若DEQ是銳角三角形，求DF長(zhǎng)的取值范圍【分析】（1）由題意得點(diǎn)P在BD上，根據(jù)含30直角三角形的性質(zhì)即可求解；（2）由對(duì)稱(chēng)可得DEF是等腰三角形，分兩種情況畫(huà)出圖形，根據(jù)含30直角三角形的性質(zhì)即可求解；（3）分兩種情況畫(huà)出圖形，根據(jù)中點(diǎn)的定義以及直角三角形的性質(zhì)分別求出EM、FM、DM的值，即可得出DF的值，結(jié)合（2）中求得的DF的值即可得出答案?！窘獯稹拷猓海?）點(diǎn)D、點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)EF的對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P

46、在BD上，四邊形ABCD是矩形，BAD90，AB4，ADB30AD4，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，DE2，EFBD，DF8；（2）如圖2，PEBD，ADB30PED60,由對(duì)稱(chēng)可得，EF平分PED，DEFPEF30，DEF是等腰三角形，DFEF,PEBD,ADB30，QE,PEF30，EF2,DFEF2；如圖5，PEBD，ADB30PED120,由對(duì)稱(chēng)可得，PFDF,EF平分PED，DEFPEF120，EFD30,DEF是等腰三角形，PEBD,QDQFDF,PEBD,ADB30，QE,QD3DF7QD6；DF的長(zhǎng)為2或6；（3）由（2）得，當(dāng)DQE90時(shí),當(dāng)DEQ90時(shí)，第一種情況，如圖4，EF平分P

47、ED,DEF45,過(guò)點(diǎn)F作FMAD于點(diǎn)M，設(shè)EMa,DMa，a+a2，a8,DF68,2DF；第二種情況,如圖5,EF平分AEQ,MEF45,過(guò)點(diǎn)F作FMAD于點(diǎn)M，設(shè)EMa,DMa，aa2，a5+,DF6+6,6+58,DF最大值為5，6DF8。綜上，DF長(zhǎng)的取值范圍為362DF810. （2021浙江省溫州市）如圖，在ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線(xiàn)BD上的兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F左側(cè)）（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）當(dāng)AB5，tanABE，CBEEAF時(shí)【分析】（1）證AECF，再證ABECDF（AAS），得AECF，即可得出結(jié)論；（2）由銳角三角函數(shù)定義和勾股定理求出AE3，BE4，再

48、證ECFCBE，則tanCBEtanECF，得，求出EF2，進(jìn)而得出答案【解答】（1）證明：AEBCFD90，AEBD，CFBD，AECF，四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，ABCD，ABECDF，在ABE和CDF中，ABECDF（AAS），AECF，四邊形AECF是平行四邊形；（2）解：在RtABE中，tanABE，設(shè)AE4a，則BE4a，由勾股定理得：（3a）3+（4a）252，解得：a1或a2（舍去），AE3，BE4，由（1）得：四邊形AECF是平行四邊形，EAFECF，CFAE2，CBEEAF，ECFCBE，tanCBEtanECF，CF2EFBF，設(shè)EFx，則BFx+4，52x（

49、x+4），解得：x5或x,（舍去），即EF2，由（1）得：ABECDF，BEDF4，BDBE+EF+DF8+2+48+11. （2021湖北省荊門(mén)市）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，AEF90，且EFAE，F(xiàn)HBH（1）求證：BECH；（2）若AB3，BEx，用x表示DF的長(zhǎng)【分析】（1）由正方形ABCD，AEF90，F(xiàn)HBH，可得HB，AEBF，從而ABEEHF，可得EHABBC，即可證明CHBE；（2）連接DF，過(guò)F作FPCD于P，證明四邊形PCHF是正方形，可得PFCPBEx，DPDCCP3x，即可在RtDPF中，得DF【解答】（1）證明：正方形ABCD，B90，ABBC，F(xiàn)

50、HBH，H90B，F(xiàn)90FEH，AEF90，AEB90FEH，AEBF，在ABE和EHF中，ABEEHF（AAS），EHABBC，BEFH，EHECBCEC，即CHBE；（2）連接DF，過(guò)F作FPCD于P，如圖：HDCHFPC90，四邊形PCHF是矩形，由（1）知：BEFHCH，四邊形PCHF是正方形，PFCPCHBEx，DCAB3，DPDCCP3x，RtDPF中，DF，DF12. （2021海南?。┤鐖D1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且點(diǎn)E不與點(diǎn)B、C重合，點(diǎn)F是BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且AFCE（1）求證：DCEDAF；（2）如圖2，連接EF，交AD于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)D作DHEF，垂足為

51、H，延長(zhǎng)DH交BF于點(diǎn)G，連接HB，HC求證：HDHB；若DKHC，求HE的長(zhǎng)【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；【解析】【分析】（1）直接根據(jù)SAS證明即可；（2）根據(jù)（1）中結(jié)果及題意，證明為等腰直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)即可證明；根據(jù)已知條件，先證明，再證明，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求出的長(zhǎng)【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，又，（2）證明；由（1）得，為等腰直角三角形又，點(diǎn)H為的中點(diǎn)同理，由是斜邊上的中線(xiàn)得， 四邊形是正方形，又，又為等腰直角三角形，四邊形是正方形， 又在等腰直角三角形中，13. （2021廣西玉林市）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)

52、O，已知OAOC，OBOD，過(guò)點(diǎn)O作EFBD，分別交AB、DC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE，BF（1）求證：四邊形DEBF是菱形：（2）設(shè)ADEF，AD+AB12，BD4，求AF的長(zhǎng)【分析】（1）先根據(jù)對(duì)角線(xiàn)互相平分證得四邊形ABCD為平行四邊形，在證得DOFBOE，從而得到DFBE，DFBE，得到四邊形DEBF為平行四邊形，根據(jù)對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形從而證得結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)F作FGAB于點(diǎn)G，根據(jù)勾股定理求得AD、AB的長(zhǎng)度，從而得到ABD30，根據(jù)菱形性質(zhì)得到BEF為等邊三角形，再根據(jù)勾股定理求出AG和GF的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理求出AF的長(zhǎng)【解答】（1）證明：OAOC，OBOD，四邊形AB

53、CD為平行四邊形，ABCD，ABDCDB，在BOE和DOF中，BEDF，BEDF，四邊形DEBF是平行四邊形，EFBD，四邊形DEBF是菱形；（2）過(guò)點(diǎn)F作FGAB于點(diǎn)G，如圖，ADEF，EFBD，ADB90，在RtABD中，AD2+BD2AB2，AD+AB12，BD4，AD2+（4）2（12AD）2，解得AD4，AB8，ABD30，四邊形DEBF是菱形，EBF2ABD60，BEF是等邊三角形，OBOD，EFAD，AEBE4，F(xiàn)GBE，EGBG2，在RtBGF中，BF4，BG2，根據(jù)勾股定理得，F(xiàn)G，在RtAGF中，AG6，根據(jù)勾股定理得，AF414. （2021廣西賀州市）如圖，在四邊形中，

54、交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，且（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，求的面積【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）先利用角平分線(xiàn)判定定理證得，再由已知角的等量關(guān)系推出，并可得，則可證明四邊形是平行四邊形，最后由得，即可證得結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)可得，再根據(jù)角的等量關(guān)系求出，則可利用三角函數(shù)求得，此題得解【詳解】（1）證明：如圖，又，且，為的角平分線(xiàn)，又，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形（2）解：由（1）得四邊形是菱形，又，15. （2021江蘇省無(wú)錫市）已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)E是射線(xiàn)BC上的動(dòng)點(diǎn)，以AE為直角邊在直線(xiàn)BC的上方作等腰直角三角形AEF，AEF90，設(shè)BE

55、m（1）如圖，若點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)，EF交CD于點(diǎn)P，AF交CD于點(diǎn)Q，連結(jié)CF，當(dāng)m時(shí)，求線(xiàn)段CF的長(zhǎng)；在PQE中，設(shè)邊QE上的高為h，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示h，并求h的最大值；（2）設(shè)過(guò)BC的中點(diǎn)且垂直于BC的直線(xiàn)被等腰直角三角形AEF截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為y，請(qǐng)直接寫(xiě)出y與m的關(guān)系式【分析】（1）過(guò)F作FGBC于G，連接CF，先證明ABEEGF，可得FGBE，EGABBC，則EGECBCEC，即CGBE，再在RtCGF中，即可求CF；ABE繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得ADE，過(guò)P作PHEQ于H，由ABEADE，BADE90，BAEDAE，AEBE，AEAE，BEDE，可得C、D、E共線(xiàn)，由EAQEAQ

56、，可得EAEQ，故AEBAEQ，從而QEP90AEQ90AEBCEP，即EF是QEC的平分線(xiàn)，有PHPC，用ABEECP，可求CPm（1m），即可得hm2+m；（2）分兩種情況：當(dāng)m時(shí)，由ABEECP，可求HGm2+m，根據(jù)MGCD，G為BC中點(diǎn)，可得MNDQ，設(shè)DQx，則EQx+m，CQ1x，RtEQC中，EC2+CQ2EQ2，可得MN，故yNHMGHGMN1m+m2，當(dāng)m時(shí)，由MGAB，可得HG，同可得MNDQ，即可得y，【解答】解：（1）過(guò)F作FGBC于G，連接CF，如圖：四邊形ABCD是正方形，AEF90，BAE90AEBEFG，BG90，等腰直角三角形AEF，AEEF，在ABE和EGF中，ABEEGF（AAS），F(xiàn)GBE，EGABBC，EGECBCEC，即CGBE，在RtCGF中，CF；ABE繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得ADE，過(guò)P作PHEQ于H，如圖：ABE繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得ADE，ABEADE，BADE90，BAEDAE，AEBE，AEAE，