初中代數(shù)知識(shí)點(diǎn)整理趙雨蓮

1、代數(shù)知識(shí)點(diǎn)整理一、數(shù)的整除整除：整數(shù)a除以b,如果除得的商是整數(shù)而余數(shù)為零，我們就說a能被b整除；或者說b能整除a/、因數(shù)和倍數(shù)：整數(shù)a能被整數(shù)b整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的因數(shù)（也稱為約數(shù)）能被2、5整除的數(shù)：個(gè)位上是0,2,4,6,8,的整數(shù)都能被2整除個(gè)位上是0或5的整數(shù)都能被5整除奇數(shù)：-7,-5,-3,-1,1,3,5,7偶數(shù)：-6,-4,-2,0,-2,4,6,/自數(shù)（也叫質(zhì)數(shù)）：只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)的數(shù)。例如：2,3,5,7,11,13正整數(shù)1:既不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)/合數(shù)：除了1和它本身以外還有別的因數(shù)的數(shù).例如：4,6,8,9,10,12素因數(shù)：每個(gè)合數(shù)都可以寫成幾個(gè)

2、素?cái)?shù)相乘的形式，其中每個(gè)素?cái)?shù)都是這個(gè)合數(shù)的因數(shù)，叫做這個(gè)合數(shù)的素因數(shù)分解素因數(shù)：把一個(gè)合數(shù)用素因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解素因數(shù)互素：如果兩個(gè)整數(shù)只有公因數(shù)1,那么稱這兩個(gè)數(shù)互素公因數(shù)與最大公因數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)；其中最大的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)公倍數(shù)與最小公倍數(shù)：幾個(gè)整數(shù)公有的倍數(shù)叫做他們的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè)叫做他們的最小公倍數(shù)二、實(shí)數(shù)（有理數(shù)和無理數(shù)的統(tǒng)稱）正整數(shù)自然數(shù)整數(shù)，零了有理數(shù)YL負(fù)整數(shù)實(shí)數(shù)-分?jǐn)?shù)I無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)（如，芯,）有理數(shù)都可以寫成旦（a、b是整數(shù)，且bw0）的形式b無理數(shù)不能寫成分?jǐn)?shù)a（a、b是整數(shù)，且bw0）的形式b

3、廣同號(hào)兩數(shù)相加，取原來的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，把較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值有理數(shù)的加減法K一個(gè)數(shù)與零相加，仍得這個(gè)數(shù)/加法交換律：a+b=b+a加法結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c）Q減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù),兩數(shù)相乘（除），同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘（除）除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)任何數(shù)與零相乘，都得零有理數(shù)的乘除法零除以任何一個(gè)不等于零的數(shù)，都得零乘法交換律：ab=ba乘法結(jié)合律：（ab）c=a（bc）/I乘法分配律：a（b+c）=ab+ac有理數(shù)的乘方：正數(shù)的任何次哥都是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次哥是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次哥是正數(shù)有理數(shù)的

4、混合運(yùn)算：先乘方、開方，再乘、除，后加、減。有括號(hào)時(shí)，要先算括號(hào)里面的。有效數(shù)字：從左邊第一個(gè)不是零的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位止，所有的數(shù)字都叫做這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字科學(xué)計(jì)數(shù)法：N=a10n（1a10,n為整數(shù)），確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值1時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值0實(shí)數(shù)Ia|=t0a=0-aav0（-a表示實(shí)數(shù)a的相反數(shù)）正數(shù)都大于零；負(fù)數(shù)都小于零；正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)正數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)較大；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)反而小（進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，有理數(shù)的運(yùn)算法則、運(yùn)算律、運(yùn)算性質(zhì)以及運(yùn)算順序等同樣適用三、整式整式單項(xiàng)式：數(shù)與字

5、母的積或單獨(dú)一個(gè)數(shù)或字母如：2,3aJ多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和如：a+b,3x-4y同類項(xiàng)：所含的字母相同，且相同字母的指數(shù)也相同的單項(xiàng)式叫做同類項(xiàng)合并同類項(xiàng)：合并同類項(xiàng)時(shí)，同類項(xiàng)的系數(shù)相加的結(jié)果作為合并后的系數(shù),字母和字母的指數(shù)不變?nèi)ダㄌ?hào)J括號(hào)前面是“+”號(hào)，去掉“+”號(hào)和括號(hào)，括號(hào)里面不變號(hào)-括號(hào)前面是“-”號(hào)，去掉“-”號(hào)和括號(hào)，括號(hào)里面都變號(hào)添括號(hào)f添括號(hào)前面是“+”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變號(hào)1所添括號(hào)前面是“-”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都變號(hào),同底數(shù)哥相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加同底數(shù)塞相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減nana哥的運(yùn)算任何不等于零的數(shù)的零次哥都等于1a0i(a0)哥的乘方，底數(shù)不變，

6、指數(shù)相乘(am)namn積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的哥相乘(ab)nanbn1I負(fù)指數(shù)哥：an二(aw0)例：32-11;9二1%a3293392單項(xiàng)式相乘時(shí)，把它們的系數(shù)、同底數(shù)哥分別相乘的積作為積的因式，對(duì)J于在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式單項(xiàng)式的運(yùn)算單項(xiàng)式相除時(shí)，把系數(shù)、同底數(shù)哥分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除I式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式”單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的運(yùn)算的積相加m(a+b+c)=ma+mb+mc|多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再

7、二把所得的商相加多項(xiàng)式的乘法：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，然后把所得的積相加(a+m)(b+n)=ab+an+bm+mn2(x+a)(x+b尸x(ab)xab乘法公式平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2其中：(a+b)2+(a-b)2=2a2+2b2；(a+b)2-(a-b2)=4ab四、因式分解(把多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式)提公因式法：提取的的公因式是各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)(系數(shù)都是整數(shù)數(shù)時(shí))與各項(xiàng)都含有的相同字母的最低次哥的積運(yùn)用公式法：J平方差公式：a2.b2

8、=(a+b)(a-b)/完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2十字相乘法：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)分組分解法：利用分組來分解因式(一般對(duì)于四項(xiàng)而言，一項(xiàng)三項(xiàng)分或二項(xiàng)二項(xiàng)分，分組須合理)公式法：把二次三項(xiàng)式ax2+bx+c因式分解時(shí)，可以先用求根公式求出二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根x1、x2,然后寫成ax2+bx+c=a(x-xi)(x-x2)五、分式意義：一般地，兩個(gè)整式A、B相除時(shí)，可以表示為公的形式。如果分母B中含有字母，那么BA/一（BW0）叫做分式B分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的整

9、式，分式的值不變/如果分式的分子和分母都是單項(xiàng)式，約分時(shí)約去它們系數(shù)的最大公約數(shù)，相同因式的 TOC o 1-5 h z 約分I最低次哥1如果分式的分子和分母是多項(xiàng)式，先分解因式，再約分I約分時(shí)，一般要約到最簡分式或整式通分：通分先要確定幾個(gè)分式的最簡公分母。如果各分母的系數(shù)都是整數(shù)，通?？扇∷蟹帜赶禂?shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次哥的積作最簡公分母廣同分母分式相加減，把分子相加減，分母不變異分母分式相加減，先通分，然后按照同分母分式加減的法則進(jìn)行計(jì)算分式的運(yùn)算分式乘以分式，用分子的積做積的分子，分母的積做積的分母分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘【分式的乘方，把分子、

10、分母分別乘方六.數(shù)的開方L正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)（正數(shù)a的兩個(gè)平方根記為Ja）平方根T零的平方根是零L負(fù)數(shù)沒有平方根平方根的大?。喝绻鸻、b是正數(shù)，且a0)(其中m、n為正整數(shù)，n1)七.二次根式分母有理化：把分母中的根號(hào)化去(乘以分母的有理化因式或因式分解約分化簡)最簡二次根式被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式I被開方數(shù)中，不含能開得盡方的因數(shù)或因式注意：(1)二次根式的化簡，就是把二次根式化為最簡二次根式。在化簡時(shí)，往往要把被開方數(shù)分解因數(shù)或分解因式(2)當(dāng)一個(gè)式子的分母中含有二次根式時(shí)，應(yīng)把它分母有理化二次根式的計(jì)算二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化為最簡二次根式，再合并同類二次I根式

11、(不是同類的二次根式不能合并)1實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則都適用于二次根式的計(jì)算I幾個(gè)二次根式的和相乘時(shí)，可用乘法公式計(jì)算八.一次方程關(guān)于x的方程axb：(1)當(dāng)a0時(shí)，有唯一解：xba(2)當(dāng)a0,b0時(shí)，無解(3)當(dāng)a0,b0時(shí)，有無數(shù)解例：當(dāng)m2,n3,方程(m2)x3n有無數(shù)解。元一次方程的解法和依據(jù):去分母等式性質(zhì)二去播#分配律移項(xiàng)等式性質(zhì)一合并同類項(xiàng)，化成ax=b(aw0)的形式分配律系數(shù)化成1,得x=ba等式性質(zhì)二一元一次方程的應(yīng)用解題步驟：審題一一設(shè)元一一列方程一一解方程一一寫答案順?biāo)俣?靜水速度+水速某些等量關(guān)系逆水速度=靜水速度-水速工作總量=工作時(shí)間X工作效率二元一次方程的解：任何

12、一個(gè)二元一次方程都有無數(shù)個(gè)解二元一次方程組的解法：代入法加減法九.一元一次不等式（組）不等式的性質(zhì)1）不等式的兩邊都加上（或都減去）同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)的方向 TOC o 1-5 h z J不變/;不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變3）不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向要改變不等式的解集在數(shù)軸上的表示：小甲圈表示不包括小黑點(diǎn)表示包括一元一次不等式組的解法：先求出不等式組里每一個(gè)不等式的解集v再求出各個(gè)不等式的解集的公共部分（畫數(shù)軸），就可得到不等組的解集十.一兀二次方程：ax，bx+c=0（aw0）解法,因式分解法：（x+a）（x+b）=0,xi=-a,

13、x2=-b一一、一c2cc異號(hào)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x=開平萬法：解形如ax2+c=0（aw。）一元二次方程，則x=一當(dāng)c=0,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,xi=x2=0 (重根)配方法：先把方程的一邊配成一個(gè)含有一個(gè)未知數(shù)的完全平方的形式, 右邊是一個(gè)常數(shù)，然后用開平方法來解公式法:x=bb2 4ac2a(aw0, b2-4ac 0)c同號(hào)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根根的判別式：=b2-4ac TOC o 1-5 h z 如果方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根b2-4ac0/如果方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根b2-4ac=0/如果方程沒有實(shí)數(shù)根b2-4ac0,bc根與系數(shù)的關(guān)系：右方程ax2+bx+c=0（aw0）兩根為xi、

14、x2則xi+x2=-xi-x2=.代數(shù)方程）分式方程（要檢驗(yàn)） TOC o 1-5 h z 解法在分式方程的兩邊同乘以各分母的最簡公分母，把原方程中分母約去，轉(zhuǎn)化成整式方程/解這個(gè)整式方程/把整式方程的根代入方程兩邊同乘的整式（最簡公分母）中，看所得的值是不是零，使所乘整式的值為零的根是增根，必須舍去解分式方程組的方法：換元法（二）無理方程（要檢驗(yàn)）解法：把無理方程兩邊同時(shí)平方，轉(zhuǎn)化為有理方程注意：檢驗(yàn)時(shí)，若左右兩邊不相等，是增根，必須舍去；若被開放數(shù)是負(fù)數(shù)，也是增根，必須舍去（四）二元二次方程（組）形式：ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0（a、b、c、d、e、f都是常數(shù)，且a、b、c

15、不同時(shí)為零）二元二次方程組的解法：1代入法工2）因式分解法十一函數(shù)（一）函數(shù)的相關(guān)概念意義：一般地，設(shè)在某個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x與y,如果對(duì)于x在某個(gè)允許取值范圍內(nèi)的每一個(gè)確定值，按照某一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說x是自變量，y是x的函數(shù)函數(shù)關(guān)系式：y=f（x）f是對(duì)應(yīng)法則函數(shù)定義域：當(dāng)函數(shù)的解析式是整式時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)當(dāng)函數(shù)的解析式是分式時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)槭狗帜覆粸榱愕膶?shí)數(shù)當(dāng)函數(shù)的解析式是偶次根式時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)槭贡婚_方數(shù)0的實(shí)數(shù)當(dāng)函數(shù)的解析式是奇次根式時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù) TOC o 1-5 h z 點(diǎn)P（x,y）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是R（x,y）,關(guān)

16、于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是P2（x,y）；/關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是P3（x,y）兩點(diǎn)A（x1,y1）,B（x2,y2）的距離：ABv（xix2）2（y1y2）2/在x軸上兩點(diǎn)：ABx1x2在y軸上兩點(diǎn)：ABy1y2（二）正比例函數(shù)（一次函數(shù)的特殊情況）解析式：y=kx（kw0）/圖象：正比例函數(shù)的圖象是經(jīng)過原點(diǎn)（、0,0）和點(diǎn)（1,k）的一條直線性質(zhì)：當(dāng)k0,圖象（除原點(diǎn)外）在第一、三象限內(nèi)，y隨x的增大而增大當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第一、三象內(nèi)，在每個(gè)象限內(nèi)，自變量x逐漸增大時(shí)，y的值則隨著逐漸減小當(dāng)k0ag第一、三象限1k0位置i三象限i增減性y隨x增大而增大。增減性y隨x增大而減小。/kv0

17、ag第二、四象限d1kv0a第二、四象限乙增減性y隨x增大而減小。增減性y隨x增大而增大。r TOC o 1-5 h z （四）一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b（kw0,k、b是常數(shù)）。當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)y=kx+b成為正比例函數(shù)y=kx定義域：一切實(shí)數(shù)/圖象：經(jīng)過（0,b）且平行于直線y=kx的一條直線兩直線的位置關(guān)系：liy=kix+bi,I2：y=k2x+b2,/若ki=k2,biwb2,則li/I2；若li/I2,則ki=k2,bi豐b2相交時(shí)，kiwk2,此時(shí)交點(diǎn)坐標(biāo)通過解rkix+bi方程組得到I_y=k2x+b2/截距：直線y=kx+b與y軸交于（0Ab）,b叫做直線y=kx+b在y

18、軸上的截距一次函數(shù)y=kx+b與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程kx+b=0（kw0）的根性質(zhì)當(dāng)k0時(shí)，y隨x的增大而增大當(dāng)b0時(shí)，經(jīng)過第一、二、三象限J/b當(dāng)b=0時(shí)，經(jīng)過第一、三象限|/1當(dāng)b0時(shí)，經(jīng)過第一、三、四象限1當(dāng)k0時(shí)，經(jīng)過第一、二、四象限當(dāng)b=0時(shí)，經(jīng)過第二、四象限/I當(dāng)b0時(shí)，經(jīng)過第二、三、四象限(五)：二次函數(shù)形式：一艇式：y=ax2+bx+c(aw。)，根式：y=a(x-xi)(x-x2)(aw0)/血點(diǎn)式：y=a(x+m)2+k(aw0)定義域：一切實(shí)數(shù)圖象：拋物線性質(zhì)：:、一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)拋物線開口方向y-*ie丁一心十m/y-+湘中ky-oA十友漸Cr-戢)?二當(dāng)40時(shí)

19、開口向上，并向上無限延伸;當(dāng)時(shí)開口向K并向下,無限延伸.,84北一b豆頂點(diǎn)坐標(biāo)(00)(O.c)(-m.k)(-*對(duì)稱軸V軸自線x=m直維小 直線人-nF) nunx=-m 時(shí)V成X-m MVK在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減小增減性在對(duì)稱軸右側(cè),ylffix的增大而增大在對(duì)稱軸左側(cè)，隨x的熠大而增大 在對(duì)林軸右側(cè)，y隨x的增大而減小二次函數(shù)y=ax2+bx+c (aw0)和一元二次方程 ax2+bx+c=0的關(guān)系：當(dāng)方程ax2+bx+c=0的AaO時(shí)，二次函數(shù) y=ax2+bx+c (aw0)與x軸有2個(gè)交點(diǎn) 當(dāng)方程ax2+bx+c=0的4=0時(shí)，二次函數(shù) y=ax2+bx+c (aw0)與x軸有1個(gè)交點(diǎn) 當(dāng)方程ax2+bx+c=0的0;/當(dāng)開口向下時(shí)，a0;與Y軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸時(shí)，c0;拋物線過原點(diǎn)時(shí)(與Y軸交與原點(diǎn))，c=0;頂點(diǎn)在特殊位置：頂點(diǎn)在x軸，4=0;頂點(diǎn)在y軸，b=0;頂點(diǎn)在原點(diǎn)，b=0且c=0十二統(tǒng)計(jì)初步 TOC o 1-5 h z 收集數(shù)據(jù)的方法：普查；抽樣調(diào)查。(一般采用“隨機(jī)抽樣”，因