京教杯——“任意角三角函數(shù)”教學(xué)設(shè)計(jì)

1、第 PAGE11 頁 共 NUMPAGES11 頁京教杯“任意角三角函數(shù)”教學(xué)設(shè)計(jì)1.2.1 “ 任意角的三角函數(shù)” （第一課時(shí)）的教學(xué)設(shè)計(jì) 北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué) 劉丹 一、 指導(dǎo)思想與理論依據(jù)1.概念的形成 建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為：學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是學(xué)生利用已有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)知識（包括從書本上學(xué)習(xí)的和從日常生活經(jīng)驗(yàn)中獲得的）與新知識進(jìn)行相互作用，主動(dòng)地建構(gòu)信息的數(shù)學(xué)意義的過程維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)”理論提出教學(xué)應(yīng)著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，為學(xué)生提供帶有難度的內(nèi)容，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，發(fā)揮其潛能 “任意角的三角函數(shù)”概念學(xué)習(xí)于已有的“銳角三角函數(shù)”概念屬于上位學(xué)習(xí)，新的定義按照學(xué)生已有知識無法自行產(chǎn)

2、生，需要在教師的引導(dǎo)下，通過自主探究建構(gòu)新概念，理解“銳角三角函數(shù)”和“任意角三角函數(shù)”概念的聯(lián)系和區(qū)別，這樣既符合學(xué)生的實(shí)際情況，也體現(xiàn)了最近發(fā)展區(qū)的理念 2.銳角三角函數(shù)知識負(fù)遷移的影響 學(xué)習(xí)定勢是指在學(xué)習(xí)活動(dòng)中，先前的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)往往會成為后面活動(dòng)的準(zhǔn)備狀態(tài)，如果沒有理清新知識與原有活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)之間的關(guān)系就套用舊法，此時(shí)學(xué)習(xí)定勢很可能會消極的影響 初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)強(qiáng)調(diào)銳角三角函數(shù)是直角三角形中邊長的比值，構(gòu)造直角三角形解決三角函數(shù)問題的方法在學(xué)生頭腦中根深蒂固，這對任意角三角函數(shù)概念的學(xué)習(xí)可能會產(chǎn)生負(fù)遷移 結(jié)合以上分析p ，在任意角三角函數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)中要注意以下問題：一是重視概念的生成

3、過程：二是合理利用銳角三角函數(shù)，防止負(fù)遷移 二、教學(xué)背景分析p 三角函數(shù)是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型“任意角的三角函數(shù)”是三角函數(shù)的核心概念，它既是“銳角三角函數(shù)”的上位概念，又是“函數(shù)”的下位概念它是在學(xué)生初中數(shù)學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)過“銳角三角函數(shù)”，高中進(jìn)一步學(xué)習(xí)“用集合與對應(yīng)的語言刻畫函數(shù)”，并且剛剛“了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化”的基礎(chǔ)上來進(jìn)行學(xué)習(xí)的內(nèi)容 授課班級的學(xué)生思維活躍，能積極參與課堂討論學(xué)生對銳角三角函數(shù)比較熟悉，并已掌握“函數(shù)”和“任意角”的相關(guān)知識但初中強(qiáng)調(diào)銳角三角函數(shù)是直角三角形中邊長的比值，這對學(xué)生學(xué)習(xí)新概念可能會產(chǎn)生負(fù)遷移幫助學(xué)生從“長度比”過渡到“坐標(biāo)比

4、”是本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn) 本節(jié)課以“啟發(fā)式”教學(xué)為主，通過創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，讓學(xué)生參與到概念的形成全過程在教學(xué)過程中，通過設(shè)計(jì)認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生興趣通過“創(chuàng)設(shè)情境-自主探究-規(guī)律探索-提升認(rèn)識-總結(jié)反思”讓學(xué)生對“任意角的正弦”概念的理解層層推進(jìn) 教學(xué)技術(shù)手段上，利用幾何畫板創(chuàng)設(shè)“摩天輪”的問題情境，讓學(xué)生感受新定義的必要性、探索新概念，加深對概念的理解 三 教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)知識與技能目標(biāo)：理解任意角的正弦定義；會利用定義進(jìn)行簡單應(yīng)用；初步體會正弦函數(shù)是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù) 過程與方法目標(biāo)：經(jīng)歷探究任意角的正弦定義的過程，感悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想 情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：感受數(shù)學(xué)

5、生活，應(yīng)用于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣 教學(xué)重點(diǎn)：理解任意角的正弦的定義； 教學(xué)難點(diǎn)：“任意角的正弦”概念的建構(gòu)過程 四、教學(xué)過程 與教學(xué)資設(shè)計(jì)本節(jié)課的教學(xué)過程按以下五個(gè)環(huán)節(jié)展開：創(chuàng)設(shè)情境 引出概念 自主探究 建構(gòu)概念 規(guī)律探索 理解概念 提升認(rèn)識 強(qiáng)化概念 總結(jié)反思 固化概念 教學(xué)環(huán)節(jié) 教師行為 學(xué)生行為 設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)情境引出概念 展示視頻-旋轉(zhuǎn)的摩天輪感受到座艙距離地面的高度 h 與旋轉(zhuǎn)角 之間存在對應(yīng)關(guān)系 數(shù)學(xué)生活，應(yīng)用于生活摩天輪的旋轉(zhuǎn)讓學(xué)生直觀感受到座艙距離地面的高度 h 與旋轉(zhuǎn)角 之間存在對應(yīng)關(guān)系，并引出后續(xù)研究-用含 的式子表示 h 問題情境 摩天輪的半徑 r，它的中心 O 離地面

6、的高度為h 0 摩天輪按逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)初始時(shí)座艙 P 位于與 O 在同一水平線的 A 處，當(dāng)點(diǎn) P 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角 時(shí)，點(diǎn) P 離地面的距離為 h （1）若 h 0 =25 米，r=20 米， 30deg;，h=_米； （2）若 70deg;，h=_；（用 r和 h 0 表示）（3）若 0 90 ，h=_;（用、r和 h 0 表示）（4）當(dāng) 為任意角時(shí)，還能用含 的式子表示 h嗎？共同解決問題(1)(2)(3),復(fù)習(xí)銳角的正弦定義，并思考為任意角的情況，得到0sin h h r 的猜想，意識到有必要定義任意角 的正弦通過 4 個(gè)逐步深入的問題，復(fù)習(xí)應(yīng)用銳角的正弦，并經(jīng)歷了從特殊到一般的思考過

7、程，引出了本節(jié)課的課題-任意角的三角函數(shù) 問題探究 1 問題 1：如何定義任意角的正弦？ 巡視了解學(xué)生討論情況，提示學(xué)生從某些特殊角（如deg;）入手，回到問題情境中檢驗(yàn)猜想的合理性， 深入探究：以分組合作的方式探究問題 1，并回到問題情境中檢驗(yàn)猜想的合理性.通過“提出猜想 -檢驗(yàn)猜想 -改進(jìn)猜想”的探究過程，讓學(xué)生意識到要將0sin h h r 和0| | h h PM 兩種形式統(tǒng)一，必須在有些情況下定義| |sin =PMr ，有些h 0rBOAP自主探究建構(gòu)概念 （1）能否用線段 PM 的長度表示 h？ （2）如果想把0sin h h r 和0| | h h PM 兩種形式統(tǒng)一起來，應(yīng)該

8、如何定義 sin ？根據(jù)討論改進(jìn)猜想，得到| |sin =PMr 或| |sin =PMr的結(jié)論 情況下定義| |sin =PMr由此自然的提出下一個(gè)問題 -什么量可以替代 | | PM ，同時(shí)滿足符號要求？” 問題 2：用什么量來替代 | | PM ？ 利用幾何畫板動(dòng)態(tài)的展示點(diǎn) P 的旋轉(zhuǎn)過程，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn) sin 表達(dá)式中 | | PM 前的符號取決于角 終邊所在位置總結(jié)學(xué)生的探究結(jié)果，并指出教材中正是用yr來定義任意角 的正弦嘗試建立坐標(biāo)系進(jìn)行探究，得到sin =yr 的結(jié)論 通過幾何畫板的動(dòng)態(tài)展示，學(xué)生意識到可以通過建立坐標(biāo)系來刻畫 | | PM ，突破了思維的障礙，并在探究的過程中體

9、會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想 形成概念 師生共同完善定義，教師予以板書 在直角坐標(biāo)系中，設(shè) 是一個(gè)任意角， 終邊上任取一點(diǎn) P （除了原點(diǎn)）的坐標(biāo)為( , ) _ y ，它與原點(diǎn)的距離為2 2 2 2( | | | | 0) r r _ y _ y 定義:比值yr叫做 的正弦，記作 sin ，即sinyr 加深認(rèn)識 引導(dǎo)學(xué)生共同探討新定義的合理性，從兩表述新定義，初步形成“任意角的正弦”概念基于之前學(xué)習(xí)弧 通過總結(jié)表述新定義，學(xué)生初步形成“任意角的正弦”概念，感受到借助平面直角坐標(biāo)系，“角”與“比值”建立起對應(yīng)關(guān)系，形與數(shù)結(jié)合起來 通過對定義合理性的思考與簡要說明，加sin =|PM|rsin = |

10、PM|rM MBOHAPPy_M OAP(_,y)個(gè)方面達(dá)成共識 1角 的正弦值與點(diǎn) P 在角 終邊上的位置無關(guān)； 2當(dāng)角 是銳角時(shí)，新定義與初中所學(xué)的銳角的正弦定義是吻合的 度制定義的經(jīng)驗(yàn)，探討并理解新定義的合理性.深學(xué)生對新概念的理解，完成了從“長度比”到“坐標(biāo)比”的過渡，突破本節(jié)課的難點(diǎn)規(guī)律探索理解概念 問題探究 2 問題 3：根據(jù)任意角的正弦定義，你能得到任意角正弦的哪些性質(zhì)？ 巡視了解學(xué)生的討論情況，匯總學(xué)生的結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出正弦值的符號規(guī)律 （1）sinyr 對于第一、二象限角為正，對于第三、四象限角為負(fù)； （2） 終邊落在 _ 軸上時(shí)， sin =0； 終邊落在 y 軸正半軸

11、時(shí)， sin =1； 終邊落在 y 軸負(fù)半軸時(shí) sin =1根據(jù)定義探索任意角正弦的性質(zhì)交流結(jié)果，并從中總結(jié)出正弦值的符號規(guī)律開放式的設(shè)問給學(xué)生以探究的空間借助坐標(biāo)系，學(xué)生可能會得到如“終邊相同的角的正弦值相等”、“任意角 的正弦值不大于，不小于”等結(jié)論在探究的過程中學(xué)生進(jìn)一步理解概念，再次感悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想 簡單應(yīng)用 例 1、（1）已知角 的終邊經(jīng)過點(diǎn) ( 4,3) P ，求 的正弦值； （2）求 sin210ordm; 例 2、填空：sin290 _0， sin530 _0.(用“”、“”、“”填空)請學(xué)生回答問題，板書解題過程，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解決問題的一般方法獨(dú)立完成例題，總結(jié)解題方法

12、以例題的形式，幫助學(xué)生鞏固對新概念的理解，總結(jié)解決問題的方法，達(dá)到強(qiáng)化重點(diǎn)，落實(shí)雙基的效果提升認(rèn)識強(qiáng)化概念 問題探究 3 問題 4：對于任意給定的一個(gè)角 ，是否有唯一確定的 sin 與它對應(yīng)？這說明了什么問題？ 引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到任意角的正弦定義給出了角的集合與實(shí)數(shù)集之間的一種對應(yīng)關(guān)系，初步感受到三角函數(shù)是“比值”關(guān)于“角”的函數(shù)思考問題 4，認(rèn)識到對于給定的角 ，都有唯一確定的正弦值與之對應(yīng)，初步了解正弦函數(shù)是以角 為自變量，比值為函數(shù)值的函數(shù) 問題 4 引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到任意角的正弦定義給出了角的集合與實(shí)數(shù)集之間的一種對應(yīng)關(guān)系，這種對應(yīng)體現(xiàn)了三角函數(shù)的函數(shù)本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生對概念理解的螺旋式上升總結(jié)

13、反思固化概念 總結(jié)反思 知識和技能 任意角的正弦定義 正弦值的符號規(guī)律 思想和方法 數(shù)形結(jié)合 從特殊到一般 作業(yè) 1閱讀材料-“三角函數(shù)發(fā)展史拾趣”； 2請你類比正弦的研究方法，定義并研究任意角的余弦 課后思考 思考題：請你閱讀“有向線段”的介紹并思考：在引入部分的問題中，如果摩天輪的半徑是 1，你能否用某些有向線段的數(shù)量來表示角 的正弦值回憶學(xué)習(xí)過程，梳理知識，體會思想方法培養(yǎng)學(xué)生的總結(jié)反思意識，通過對學(xué)習(xí)過程的回顧，梳理知識，體會思想方法為學(xué)有余力的學(xué)生提供思考和提升的素材思考題既是對本節(jié)課學(xué)習(xí)的提升，同時(shí)為后續(xù)的進(jìn)一步研究做好鋪墊 五、學(xué)習(xí)效果評價(jià)設(shè)計(jì)本節(jié)課的效果評價(jià)以當(dāng)堂反饋為主，教師

14、通過巡視、提問的方式關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程和學(xué)習(xí)進(jìn)展學(xué)生通過自主探索，交流討論，回答問題等方式，展示學(xué)習(xí)的效果，發(fā)現(xiàn)認(rèn)知障礙，以便得到及時(shí)的引導(dǎo)、分析p 和糾正將任意角的余弦的類比學(xué)習(xí)留給學(xué)生課后完成，可以讓學(xué)生自我評估對新概念以及研究方法的掌握情況，教師還將通過作業(yè)反饋進(jìn)一步評估學(xué)生的學(xué)習(xí)效果此外，本節(jié)課最后的思考題可以檢查學(xué)生對概念的認(rèn)識是否深入，能否靈活的運(yùn)用概念解決較復(fù)雜的問題六、教學(xué)設(shè)計(jì)特色說明與教學(xué)反思本節(jié)課在教學(xué)實(shí)施中有以下特點(diǎn)：1重視概念的形成過程 為了避免知識的負(fù)遷移，本節(jié)課的設(shè)計(jì)并未采用從“銳角的正弦定義推廣到任意角的正弦定義”這一思路，而是引導(dǎo)學(xué)生通過“提出問題-分析p 問題-解決問題”，參與到概念形成的全過程通過逐步深入的問題探究，學(xué)生實(shí)現(xiàn)對原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的部分改組，順利完成從“長度比”到“坐標(biāo)比”的過渡，突破了難點(diǎn)；通過對概念的再分析p 和有針對性的練習(xí)，學(xué)生對概念的認(rèn)識得到了螺旋式上升，掌握了解決問題的基本方法，落實(shí)了重點(diǎn)我還給學(xué)生提供了閱讀材料，讓學(xué)生了解概念的發(fā)展歷史，深化對概念的認(rèn)識 2重視學(xué)生的自主探究