初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)專題（一）

1、初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)專題（一） 專題一 數(shù)與式的運(yùn)算【要點(diǎn)回顧】1絕對(duì)值1絕對(duì)值的代數(shù)意義： 即 2絕對(duì)值的幾何意義： 的距離 3兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義：表示 的距離4兩個(gè)絕對(duì)值不等式:；2乘法公式我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了下列一些乘法公式：1平方差公式： ；2完全平方和公式： ；3完全平方差公式： 我們還可以通過(guò)證明得到下列一些乘法公式：公式1公式2(立方和公式)公式3 (立方差公式)說(shuō)明:上述公式均稱為“乘法公式”3根式1式子叫做二次根式，其性質(zhì)如下：(1) ；(2) ；(3) ； (4) 2平方根與算術(shù)平方根的概念： 叫做的平方根，記作，其中叫做的算術(shù)平方根3立方根的概念： 叫做的立方

2、根，記為4分式1分式的意義 形如的式子，若B中含有字母，且，則稱為分式當(dāng)M0時(shí)，分式具有下列性質(zhì)： （1） ； （2） 2繁分式 當(dāng)分式的分子、分母中至少有一個(gè)是分式時(shí)，就叫做繁分式，如，說(shuō)明：繁分式的化簡(jiǎn)常用以下兩種方法：(1) 利用除法法則；(2) 利用分式的基本性質(zhì)3分母（子）有理化把分母（子）中的根號(hào)化去，叫做分母（子）有理化分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號(hào)的過(guò)程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號(hào)的過(guò)程【例題選講】例1 解下列不等式：（1） （2）4例2 計(jì)算： （1） （2）（3） （4）例3 已知，求的值例4 已

3、知，求的值例5 計(jì)算(沒(méi)有特殊說(shuō)明，本節(jié)中出現(xiàn)的字母均為正數(shù))：（1） （2） （3） （4） 例6 設(shè)，求的值例7 化簡(jiǎn)：（1） （2）（1）解法一：原式= 解法二：原式=（2）解：原式=說(shuō)明：(1) 分式的乘除運(yùn)算一般化為乘法進(jìn)行，當(dāng)分子、分母為多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)先因式分解再進(jìn)行約分化簡(jiǎn)；(2) 分式的計(jì)算結(jié)果應(yīng)是最簡(jiǎn)分式或整式 【鞏固練習(xí)】解不等式 設(shè)，求代數(shù)式的值當(dāng)，求的值設(shè)，求的值計(jì)算6化簡(jiǎn)或計(jì)算：(1) (2) (3) (4) 各專題參考答案 專題一數(shù)與式的運(yùn)算參考答案例1 （1）解法1：由，得；若，不等式可變?yōu)?，即?若，不等式可變?yōu)?，即，解得：綜上所述，原不等式的解為解法2： 表示x

4、軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)到坐標(biāo)為2的點(diǎn)之間的距離，所以不等式的幾何意義即為x軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)到坐標(biāo)為2的點(diǎn)之間的距離小于1，觀察數(shù)軸可知坐標(biāo)為x的點(diǎn)在坐標(biāo)為3的點(diǎn)的左側(cè)，在坐標(biāo)為1的點(diǎn)的右側(cè)所以原不等式的解為解法3：，所以原不等式的解為（2）解法一：由，得；由，得；若，不等式可變?yōu)?，?，解得x0，又x1，x0；若，不等式可變?yōu)?，?4，不存在滿足條件的x；若，不等式可變?yōu)?，?， 解得x4又x3，x4綜上所述，原不等式的解為x0，或x4解法二：如圖，表示x軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)P到坐標(biāo)為1的點(diǎn)A之間的距離|PA|，即|PA|x1|；|x3|表示x軸上點(diǎn)P到坐標(biāo)為2的點(diǎn)B之間的距離|PB|，即|PB|x3|

5、所以，不等式4的幾何意義即為|PA|PB|4由|AB|2，可知點(diǎn)P 在點(diǎn)C(坐標(biāo)為0)的左側(cè)、或點(diǎn)P在點(diǎn)D(坐標(biāo)為4)的右側(cè)所以原不等式的解為x0，或x4例2（1）解：原式= 說(shuō)明：多項(xiàng)式乘法的結(jié)果一般是按某個(gè)字母的降冪或升冪排列（2）原式=（3）原式=（4）原式=例3解： 原式=例4解：原式= ，把代入得原式=例5解：（1）原式= （2）原式=說(shuō)明：注意性質(zhì)的使用：當(dāng)化去絕對(duì)值符號(hào)但字母的范圍未知時(shí)，要對(duì)字母的取值分類討論（3）原式=（4） 原式=例6解：原式=說(shuō)明：有關(guān)代數(shù)式的求值問(wèn)題：(1)先化簡(jiǎn)后求值；(2)當(dāng)直接代入運(yùn)算較復(fù)雜時(shí)，可根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，倒推幾步，再代入條件，有時(shí)整體代

6、入可簡(jiǎn)化計(jì)算量【鞏固練習(xí)】 1 2 3或4 5 6專題二因式分解答案例1分析：(1) 中應(yīng)先提取公因式再進(jìn)一步分解；(2) 中提取公因式后，括號(hào)內(nèi)出現(xiàn)，可看著是或解：(1) (2) 例2（1）分析：按照原先分組方式，無(wú)公因式可提，需要把括號(hào)打開(kāi)后重新分組，然后再分解因式解：（2）分析：先將系數(shù)2提出后，得到，其中前三項(xiàng)作為一組，它是一個(gè)完全平方式，再和第四項(xiàng)形成平方差形式，可繼續(xù)分解因式解：例5 解： 【鞏固練習(xí)】12； 3 其他情況如下：；.4專題三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系習(xí)題答案例1解：，(1) ； (2) ；(3) ；(4)例2解：可以把所給方程看作為關(guān)于的方程，整理得：由于是實(shí)數(shù)，所

7、以上述方程有實(shí)數(shù)根，因此：，代入原方程得：綜上知：例3解：由題意，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：(1) (2) (3) (4) 說(shuō)明：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：，等等韋達(dá)定理體現(xiàn)了整體思想【鞏固練習(xí)】1 A； 2A； 3； 4； 5 (1)當(dāng)時(shí)，方程為，有實(shí)根；(2) 當(dāng)時(shí)，也有實(shí)根6(1) ； (2) 專題四 平面直角坐標(biāo)系、一次函數(shù)、反比例函數(shù)參考答案例1 解：(1)因?yàn)?、關(guān)于x軸對(duì)稱，它們橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，所以，則、(2)因?yàn)?、關(guān)于y軸對(duì)稱，它們橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同，所以，則、(3)因?yàn)?、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，它們的橫縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，所以，則、例2分析：因?yàn)?/p>

8、直線過(guò)第一、三象限，所以可知k0，又因?yàn)閎2，所以直線與y軸交于（0，2），即可知OB2，而AOB的面積為2，由此可推算出OA2，而直線過(guò)第二象限，所以A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)可求出此一次函數(shù)的表達(dá)式。解：B是直線ykx2與y軸交點(diǎn)，B（0，2），OB2，過(guò)第二象限，【鞏固練習(xí)】1 B 2 D(2，2)、C(8，2)、B(6，0) 3（1）（2）點(diǎn)的坐標(biāo)是或?qū)ｎ}五二次函數(shù)參考答案例1 解：y3x26x13(x1)24，函數(shù)圖象的開(kāi)口向下；對(duì)稱軸是直線x1；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，4)；當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)y取最大值y4；當(dāng)x1時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x1時(shí)，y隨著x的增大而減?。徊捎妹椟c(diǎn)法

9、畫圖，選頂點(diǎn)A(1，4)，與x軸交于點(diǎn)B和C，與y軸的交點(diǎn)為D(0，1)，過(guò)這五點(diǎn)畫出圖象（如圖25所示）說(shuō)明：從這個(gè)例題可以看出，根據(jù)配方后得到的性質(zhì)畫函數(shù)的圖象，可以直接選出關(guān)鍵點(diǎn)，減少了選點(diǎn)的盲目性，使畫圖更簡(jiǎn)便、圖象更精確例2 分析：由于每天的利潤(rùn)日銷售量y(銷售價(jià)x120)，日銷售量y又是銷售價(jià)x的一次函數(shù)，所以，欲求每天所獲得的利潤(rùn)最大值，首先需要求出每天的利潤(rùn)與銷售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系，然后，再由它們之間的函數(shù)關(guān)系求出每天利潤(rùn)的最大值解：由于y是x的一次函數(shù)，于是，設(shè)ykx（B），將x130，y70；x150，y50代入方程，有 解得 k1，b200 yx200設(shè)每天的利潤(rùn)為z（元

10、），則z(x+200)(x120)x2320 x24000(x160)21600，當(dāng)x160時(shí)，z取最大值1600答：當(dāng)售價(jià)為160元/件時(shí)，每天的利潤(rùn)最大，為1600元例3 分析：本例中函數(shù)自變量的范圍是一個(gè)變化的范圍，需要對(duì)a的取值進(jìn)行討論 解：（1）當(dāng)a2時(shí)，函數(shù)yx2的圖象僅僅對(duì)應(yīng)著一個(gè)點(diǎn)(2，4)，所以，函數(shù)的最大值和最小值都是4，此時(shí)x2； （2）當(dāng)2a0時(shí)，由圖226可知，當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)取最大值y4；當(dāng)xa時(shí)，函數(shù)取最小值ya2；（3）當(dāng)0a2時(shí)，由圖226可知，當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)取最大值y4；當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)取最小值y0；（4）當(dāng)a2時(shí)，由圖226可知，當(dāng)xa時(shí)，函數(shù)取最大值ya2；

11、當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)取最小值y0說(shuō)明：在本例中，利用了分類討論的方法，對(duì)a的所有可能情形進(jìn)行討論此外，本例中所研究的二次函數(shù)的自變量的取值不是取任意的實(shí)數(shù)，而是取部分實(shí)數(shù)來(lái)研究，在解決這一類問(wèn)題時(shí)，通常需要借助于函數(shù)圖象來(lái)直觀地解決問(wèn)題例4（1）分析：在解本例時(shí)，要充分利用題目中所給出的條件最大值、頂點(diǎn)位置，從而可以將二次函數(shù)設(shè)成頂點(diǎn)式，再由函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)來(lái)求解出系數(shù)a解：二次函數(shù)的最大值為2，而最大值一定是其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2又頂點(diǎn)在直線yx1上，所以，2x1，x1頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2）設(shè)該二次函數(shù)的解析式為，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，1），解得a2二次函數(shù)的解析式為，即y2x28x7

12、說(shuō)明：在解題時(shí)，由最大值確定出頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用頂點(diǎn)的位置求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，最終解決了問(wèn)題因此，在解題時(shí)，要充分挖掘題目所給的條件，并巧妙地利用條件簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題（2） 分析一：由于題目所給的條件中，二次函數(shù)的圖象所過(guò)的兩點(diǎn)實(shí)際上就是二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，于是可以將函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成交點(diǎn)式解法一：二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(3，0)，(1，0)，可設(shè)二次函數(shù)為ya(x3) (x1) (a0)，展開(kāi)，得 yax22ax3a， 頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ，由于二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)到x軸的距離2，|4a|2，即a所以，二次函數(shù)的表達(dá)式為y，或y分析二：由于二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(3，0)，(

13、1，0)，所以，對(duì)稱軸為直線x1，又由頂點(diǎn)到x軸的距離為2，可知頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，或2，于是，又可以將二次函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成頂點(diǎn)式來(lái)解，然后再利用圖象過(guò)點(diǎn)(3，0)，或(1，0)，就可以求得函數(shù)的表達(dá)式解法二：二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(3，0)，(1，0)，對(duì)稱軸為直線x1又頂點(diǎn)到x軸的距離為2，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，或2于是可設(shè)二次函數(shù)為ya(x1)22，或ya(x1)22，由于函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(1，0)，0a(11)22，或0a(11)22a，或a所以，所求的二次函數(shù)為y(x1)22，或y(x1)22說(shuō)明：上述兩種解法分別從與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)的坐標(biāo)這兩個(gè)不同角度，利用交點(diǎn)式和頂點(diǎn)式來(lái)解題，在今后的解題

14、過(guò)程中，要善于利用條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)解決問(wèn)題（3）解：設(shè)該二次函數(shù)為yax2bxc(a0)由函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(1，22)，(0，8)，(2，8)，可得 解得 a2，b12，c8所以，所求的二次函數(shù)為y2x212x8 【鞏固練習(xí)】1（1）D （2）C （3）D 2（1）yx2x2 （2）yx22x33（1）（2） （3）（4）4當(dāng)長(zhǎng)為6m，寬為3m時(shí)，矩形的面積最大5（1）函數(shù)f（x）的解析式為 （2）函數(shù)y的圖像如圖所示（3）由函數(shù)圖像可知，函數(shù)y的取值范圍是0y2專題六二次函數(shù)的最值問(wèn)題參考答案例1分析：由于函數(shù)和的自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，所以只要確定它們的圖象有最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，就可以

15、確定函數(shù)有最大值或最小值解：（1）因?yàn)槎魏瘮?shù)中的二次項(xiàng)系數(shù)20，所以拋物線有最低點(diǎn)，即函數(shù)有最小值因?yàn)?，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值是（2）因?yàn)槎魏瘮?shù)中的二次項(xiàng)系數(shù)-10，所以拋物線有最高點(diǎn)，即函數(shù)有最大值因?yàn)?，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值例2解：作出函數(shù)的圖象當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，說(shuō)明：二次函數(shù)在自變量的給定范圍內(nèi)，對(duì)應(yīng)的圖象是拋物線上的一段那么最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最大值，最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最小值根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸的位置，函數(shù)在所給自變量的范圍的圖象形狀各異下面給出一些常見(jiàn)情況：例3解：作出函數(shù)在內(nèi)的圖象可以看出：當(dāng)時(shí)，無(wú)最大值所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的取值范圍是例5解：(1) 由已知得每件商品的銷售利潤(rùn)為元，那么件的銷售利潤(rùn)為，又(2) 由(1)知對(duì)稱軸為，位于的范圍內(nèi)，另拋物線開(kāi)口向下當(dāng)時(shí)，當(dāng)每件商品的售價(jià)定為42元時(shí)每天有最大銷售利潤(rùn)，最大銷售利潤(rùn)為432元【鞏固練習(xí)】14 14或2， 2 3 4或5當(dāng)時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)專題七不等式答案例2解：(1) 不等式可化為 不等式的解是(2) 不等式可化為 不等式的解是；(3) 不等式可化為例3解：顯然不合題意，于是：例4分析：(1) 類似于一元二次不等式的解法，運(yùn)用“符號(hào)法則”將之化為兩