金融工程 (1)ppt課件

1、 金 融 工 程Financial Engineering 凌愛凡lingafianyahoo .第4章 利率利率的種類：零息利率，平價(jià)利率 收益率曲線與債券定價(jià)遠(yuǎn)期利率協(xié)議與利率期限構(gòu)造實(shí)際簡(jiǎn)介 久期與凸性利率曲線的曲率.4.1. 利率的種類利率的含義:利率，就其表現(xiàn)方式來(lái)說(shuō)，是指一定時(shí)期內(nèi)利息額同借貸資本總額的比率。對(duì)利率的了解“古典學(xué)派以為，利率是資本的價(jià)錢，而資本的供應(yīng)和需求決議利率的變化；凱恩斯那么把利率看作是“運(yùn)用貨幣的代價(jià)。馬克思以為，利率是剩余價(jià)值的一部分，是借貸資本家參與剩余價(jià)值分配的一種表現(xiàn)方式。.利率通常由國(guó)家的中央銀行控制，在美國(guó)由聯(lián)邦貯藏委員會(huì)管理。如今，一切國(guó)家都把

2、利率作為宏觀經(jīng)濟(jì)調(diào)控的重要工具之一。當(dāng)經(jīng)濟(jì)過(guò)熱、通貨膨脹上升時(shí)，便提高利率、收緊信貸；當(dāng)過(guò)熱的經(jīng)濟(jì)和通貨膨脹得到控制時(shí)，便會(huì)把利率適當(dāng)?shù)卣{(diào)低。因此，利率是重要的根本經(jīng)濟(jì)要素之一。.4.1.1.國(guó)債利率Treasury rates 投資者投資國(guó)庫(kù)券或國(guó)債時(shí)所獲的收益率，在各類衍消費(fèi)品定價(jià)中，通常用此利率作為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率.4.1.2 浮動(dòng)利率 LIBOR是指?jìng)惗赝瑯I(yè)銀行拆出利率，簡(jiǎn)單說(shuō)， LIBOR是指某一個(gè)銀行A給其他大銀行B提供資金時(shí)所收取的利率，銀行A需求資金的大銀行B1B2Bn借出資金LIBOR.LIBOR的期限：有1個(gè)月，3個(gè)月，6個(gè)月及1年，最長(zhǎng)為1年，可以以LIBOR借款的銀行：信譽(yù)評(píng)

3、級(jí)AA, 反過(guò)來(lái)，也可以以為，AA級(jí)銀行向其他銀行短期借款的利率，即為L(zhǎng)IBOR.注LIBOR 不完全等同于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，違約仍能夠發(fā)生；衍消費(fèi)品買賣員普通將LIBOR，而不是國(guó)債利率，作為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率；.LIBID: 倫敦同業(yè)銀行拆入利率,指某一銀行贊同其他銀行以LIBID將資金存入本人的銀行。區(qū)別LIBOR與LIBID，主要從懇求借款或貸款的自動(dòng)方思索，如銀行A有資金剩余，該銀行希望將資金存入銀行B，這時(shí)，銀行B將以LIBID接受A的存款；假設(shè)銀行A 資金短缺，且具有AA級(jí)，他希望從銀行B獲得貸款，那么銀行B將以LIBOR將資金貸給A。LIBOR 與LIBID 也會(huì)受市場(chǎng)供求關(guān)系而發(fā)生變化普通

4、有LIBOR 略大于LIBID.4.1.3 再回購(gòu)利率Repo rates再回購(gòu)協(xié)議隔夜回購(gòu)期限回購(gòu).4.2. 利率的度量引例：P52 .復(fù)利頻率通常被作為利率度量的根本單位；一年復(fù)利一次的利率總可以轉(zhuǎn)換成一個(gè)以不同頻率復(fù)利的等價(jià)利率，如一年復(fù)利一次利率10.25%相當(dāng)于年利率10%情形下的半年復(fù)利一次利率。按季度復(fù)利一次與一年復(fù)利一次之間的不同，類似于長(zhǎng)度單位的英里與公里的區(qū)別。.4.2.1 延續(xù)復(fù)利 (Page 53)Q: 在上面的引例中，假設(shè)令復(fù)利計(jì)算頻率趨于無(wú)窮，那么會(huì)是什么情形呢？假設(shè)將資金A投資n年，年利率為R,假設(shè)1 年計(jì)算復(fù)利1次，那么，n年后終值為假設(shè)1年計(jì)算復(fù)利 m次，那么

5、，n年后終值為4.1.延續(xù)復(fù)利利率：在上述4.1中，復(fù)利頻率趨于無(wú)窮時(shí)，所對(duì)應(yīng)的利率，稱為為延續(xù)復(fù)利利率。按延續(xù)復(fù)利利率計(jì)算，n年后，資金A變?yōu)椋篟emark:延續(xù)復(fù)利與按天計(jì)算復(fù)利所得到資產(chǎn)終值相對(duì)接近；n年后的一筆資金B(yǎng)，按利率為R進(jìn)展貼現(xiàn)，其現(xiàn)值為4.2.延續(xù)復(fù)利與每年m次復(fù)利的轉(zhuǎn)換公式假設(shè) 是延續(xù)利率， 是與之相對(duì)應(yīng)的每年次復(fù)利率，那么有 即是.從而可得例4.1 P53例4.2 P534.34.4.4.3. 零息利率定義：n年的零息利率是指，今天投入資金，延續(xù)持有n年后，所得的收益率。特點(diǎn)：一切利息與本金在n年末一同支付給投資者，而在n年期滿之前，不支付任何利息收益。n年期即期利率=n

6、年期零息利率例：1年后到期的面值為1元的零息債券，當(dāng)前的價(jià)值為0.95元，計(jì)算持有該債券的零息利率。.4.4 債券價(jià)錢債券的實(shí)際價(jià)錢等于債券持有人在未來(lái)所收取的一切現(xiàn)金流貼現(xiàn)后的總和。設(shè)現(xiàn)金流為 , 各個(gè)現(xiàn)金流的貼現(xiàn)利率分別為 , 這里i表示第i筆現(xiàn)金流， 而表示收到該筆現(xiàn)金流的時(shí)間，那么債券的實(shí)際價(jià)錢為注： 是年利率， 的單位是年.對(duì)債券的現(xiàn)金流貼現(xiàn)方式：一切現(xiàn)金流以同一個(gè)貼現(xiàn)率貼現(xiàn)，即上述表達(dá)公式中，滿足不同現(xiàn)金流采用不同的貼現(xiàn)率貼現(xiàn)，.例 P54, 表4.2.4.1 債券的收益率債券的收益率等于對(duì)一切現(xiàn)金流貼現(xiàn)并使得債券的價(jià)錢與市場(chǎng)價(jià)錢相等的貼現(xiàn)率。設(shè)現(xiàn)金流為 , 債券的市場(chǎng)價(jià)錢為 P,

7、 那么債券的收益率 y 滿足方程注：假設(shè)債券的貼現(xiàn)率為常數(shù)，且實(shí)際價(jià)錢等于市場(chǎng)價(jià)錢，那么債券的收益率與貼現(xiàn)率相等. 例，在上例中，假設(shè)債券的市場(chǎng)價(jià)錢等于實(shí)際價(jià)錢為 98.39，那么債券的收益率y 滿足下面方程：y=0.0676 or 6.76%.4.2 平價(jià)收益率債券的平價(jià)收益率是債券價(jià)錢等于面值時(shí)的債券票面利率券息率，設(shè)債券面值為100，平價(jià)收益率為c, 貼現(xiàn)利率假設(shè)為 根據(jù)定義，債券的現(xiàn)金流為 為每年支付利息的次數(shù)，每次支付利息.再由平價(jià)收益率的定義，債券的實(shí)際價(jià)錢等于面值，即于是或.例 P54， c是債券的票面利息，因此平價(jià)收益率為 c%, 依然記為c, 這樣就有.假設(shè)令 c表示票面利息

8、，平價(jià)收益率為c%, 依然記為c,那么滿足 或.4.5.國(guó)庫(kù)券零利息率確實(shí)定票息剝離法：從普通的國(guó)債和國(guó)庫(kù)券價(jià)錢和收益為出發(fā)點(diǎn)來(lái)計(jì)算零息率。引例P55 BondTime toAnnualBond CashPrincipalMaturityCouponPrice(dollars)(years)(dollars)(dollars)1000.25097.51000.50094.91001.00090.01001.50896.01002.0012101.6.第一個(gè)債券： 3個(gè)月期限，無(wú)券息收益：投資97.5$，收益2.5$，年收益率：按季度復(fù)利計(jì)算為 按延續(xù)復(fù)利計(jì)算為.第二個(gè)債券： 6個(gè)月期限，無(wú)券息

9、收益：投資94.9$，收益5.1$,年收益率：按半年復(fù)利計(jì)算按延續(xù)復(fù)利計(jì)算.第三個(gè)債券：1年期限，無(wú)券息收益：投資90.0$， 收益10$；年收益率：按每年復(fù)利一次計(jì)算：10%按1年期延續(xù)復(fù)利計(jì)算.第四個(gè)債券：1.5年期限，有券息收益：投資 96.0$6個(gè)月： 4$12個(gè)月：4$1.5年：104$年收益率 R，根據(jù)定價(jià)方法，此債券的價(jià)錢等于一切現(xiàn)金流的貼現(xiàn)：6個(gè)月的現(xiàn)金流4$,應(yīng)按6個(gè)月期限的年利率貼現(xiàn)12個(gè)月的現(xiàn)金流4$，應(yīng)按12個(gè)月期限的年利率貼現(xiàn)；1.5年的現(xiàn)金流104$，應(yīng)按1.5年期限的年利率 R貼現(xiàn)；.期限為1.5年的年利率 R 應(yīng)滿足如下方程： 即得到 R = 0.10681 或

10、 10.681%.第五個(gè)債券：2年期限，有券息年收益率R：用類似于1.5年期的付息債券方法，可知， R應(yīng)按如下方程計(jì)算： 因此，可得2年期的債券，其年利率為R=0.10808, 或10.808%.表4.4：由表4-3數(shù)據(jù)所得出的延續(xù)復(fù)利利率P56. 零息年利率 (%)期限 (年)10.12710.46910.53610.68110.808圖4.1 由息票剝離法得出的零息利率.實(shí)際中的運(yùn)用有時(shí)實(shí)際中并沒有想要的某個(gè)期限的債券，那么相應(yīng)的該期限的零息債券的年利率不能經(jīng)過(guò)市場(chǎng)上債券的收益與價(jià)錢來(lái)估計(jì)，而是用線性插值方法。例：P56， 知兩個(gè)債券期限及相應(yīng)的年利率如下：2.3年期限，年利率為6%2.7

11、年期限，年利率6.5%Q：2.5年期限，其年利率為多少？.6. 遠(yuǎn)期利率定義：由當(dāng)前零息利率所蘊(yùn)含出來(lái)的未來(lái)一定期限的利率。例子：P57. n-yearForward Rate zero ratefor nth YearYear (n)(% per annum)(% per annum)13.024.05.034.65.845.06.255.36.5.根據(jù)上表，思索以下幾種情形：如今投資100元，1年后其值是多少？?jī)赡旰笃渲涤质嵌嗌伲恳荒旰笸顿Y100元，第二年末，其值是多少？.結(jié)論：當(dāng)利率按延續(xù)復(fù)利表達(dá)時(shí)，將相互銜接的時(shí)間段上的利率結(jié)合在一同，整個(gè)時(shí)段的等價(jià)利率為各個(gè)時(shí)段利率的平均值。假設(shè) R

12、1 和 R2 分別是對(duì)應(yīng)期限 T1 和 T2 的零息利率，那么在延續(xù)復(fù)利情形下， 時(shí)間T1 和T2之間的遠(yuǎn)期利率 可表示為： (4.5).例子：P57，在表4-5中，驗(yàn)證第3年到第4年之間的遠(yuǎn)期利率，這時(shí) T1=3, T2=4, R1=0.046, R2=0.05, 那么 RF=0.062.由4.5，可得 上式闡明：假設(shè)零息利率曲線在T1, T2之間向上傾斜，即R2R1，那么有RFR2，這闡明遠(yuǎn)期利率比兩個(gè)利率都大；相反，假設(shè)零息利率曲線在T1, T2之間向下傾斜，即R2R1，那么有RFR2，這闡明遠(yuǎn)期利率比兩個(gè)利率都?。?.6.瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率 在4.6中，令 T1=T, 并讓T2趨近于T，兩邊

13、取極限，即得到 稱之為T時(shí)辰的瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率，R為期限為T的年零息利率。這是表示在T時(shí)辰開場(chǎng)的一段很短時(shí)間內(nèi)的遠(yuǎn)期利率。.假設(shè)P(t, T)表示T時(shí)辰到期的零息債券在當(dāng)前t 時(shí)辰的價(jià)錢，那么 或 代入瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率公式中，即有.7.遠(yuǎn)期利率協(xié)議FRA7.1 定義：買賣商定：在未來(lái)某一段時(shí)間，買賣的一方以某一預(yù)先確定的利率借入或借出固定數(shù)量的資金，是一種場(chǎng)外買賣產(chǎn)品。例：假設(shè)公司X贊同在未來(lái)的 T1 和 T2之間將資金L借給公司Y， RK ：FRA中商定的利率 RF ：由今天計(jì)算的介于時(shí)間T1和T2之間的 LIBOR利率 RM ：在時(shí)間T1和T2之間的真正的LIBOR 利率.公司X的現(xiàn)金流：公司X在

14、 T1時(shí)辰，其資金 L 可以以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 RM 貸出，假設(shè)X進(jìn)入FRA，那么可以以利率RK 把資金 L 借給公司Y, 獲得額外利率 RK RM，在時(shí)辰T2，公司X的額外利率導(dǎo)致的現(xiàn)金流為能夠?yàn)樨?fù)：.公司Y的現(xiàn)金流：與X的現(xiàn)金流方向相反，數(shù)量相等，即在T1時(shí)辰，公司Y本可以以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 RM 獲得借款 L，但當(dāng)Y進(jìn)入FRA后，需求以利率RK從X借入資金L，這樣，在T2時(shí)辰，公司Y額外支付的利率 RM Rk，導(dǎo)致的現(xiàn)金流為(能夠?yàn)檎?FRA的交割時(shí)辰：普通在T1時(shí)辰可交割(why)交割時(shí)辰X的收益：將T2的現(xiàn)金流貼現(xiàn)到T1:交割時(shí)辰Y(jié)的收益：注：這里假設(shè)利率按復(fù)合頻率計(jì)算，而不是延續(xù)復(fù)利方式 例

15、 4-3 P59 .7.2 FRA的價(jià)值在t=0時(shí)辰，假設(shè)FRA的執(zhí)行利率為RK=RF，那么這份FRA 在 t=0 時(shí)辰的價(jià)值為0.思索兩個(gè)本金均為L(zhǎng)的FRA，F(xiàn)RA1: 承諾在T1和T2之間收益率為由LIBOR計(jì)算的遠(yuǎn)期利率RF (參照作用。FRA2: 承諾在T1和T2之間收益率為RK.FRA1與FRA2的額外現(xiàn)金流的貼現(xiàn)之差為. 那么，收入商定利率為RK的FRA的一方，在t=0時(shí)辰，其持有的FRA的價(jià)值為： 反過(guò)來(lái)，支出商定利率為RK的FRA的一方，在t=0時(shí)辰，其持有的FRA的價(jià)值為： 這兩個(gè)值恰好相反。(4.9)4.10.7.3 對(duì)FRA定價(jià)的步驟：假定遠(yuǎn)期利率會(huì)被實(shí)現(xiàn)的情形下即 RM

16、=RF)，根據(jù)4.7或4.8計(jì)算現(xiàn)金流；將收益用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)展貼現(xiàn)例4-4. P59.8. 久期8.1 定義：指投資者收到一切現(xiàn)金流所要等待的平均時(shí)間。一個(gè) n 年期零息國(guó)債的久期為 n 年，而一個(gè)年帶息國(guó)債的久期小于 n 年。8.2 久期的計(jì)算公式 I: 延續(xù)復(fù)利假設(shè)下設(shè)某債券在時(shí)間 共支付了n 次現(xiàn)金流 ，那么在延續(xù)復(fù)利收益率y下，債券的價(jià)錢B為：4.11. 債券久期定義為：方括號(hào)中的項(xiàng)為 時(shí)辰債券支付現(xiàn)金流現(xiàn)值與債券價(jià)錢的比，而債券價(jià)錢等于一切未來(lái)支付的現(xiàn)值總和?；?.12.8.3 久期的意義：久期是付款時(shí)間的加權(quán)平均，對(duì)應(yīng)于 時(shí)辰的權(quán)重等于 時(shí)辰的支付現(xiàn)值與債券總貼現(xiàn)的比率，一切的權(quán)重

17、相加等于1，即.當(dāng)收益率 y 有微小變化時(shí)，利用函數(shù)微分的近似特點(diǎn)，有：在4.11中，對(duì) y 進(jìn)展求導(dǎo)，代入上式，有 從上式可知，債券價(jià)錢的變化 與其收益率的變化 是逆向的，或說(shuō)B與 y 的變化反向的。4.134.14.根據(jù)4.12及4.14，有：或這個(gè)公式反映了債券價(jià)錢變化率與收益率之間呈線性關(guān)系。4.154.16.假設(shè)債券當(dāng)前的收益率為y,價(jià)錢為B，當(dāng)收益率變化 時(shí)，債券的價(jià)錢變化為 ，這時(shí)債券的新的價(jià)錢 可用如下公式估計(jì)利率的變化通常用基點(diǎn)來(lái)衡量：1基點(diǎn)=0.01%.例4-5 P61.8.4 修正久期久期的計(jì)算公式 II : 年復(fù)利假設(shè)下假設(shè) y 是一年復(fù)利一次的利率，那么久期計(jì)算公式為

18、假設(shè) y 是一年復(fù)利m 次的利率，那么久期計(jì)算公式為.稱下式的 D* 為債券的修正久期。假設(shè) y 是一年復(fù)利m 次的利率，那么有例 4-6 P61絕對(duì)額久期 D*： , 那么有 .8.5 債券組合的久期定義：構(gòu)成債券的組合中每一個(gè)債券的久期的加權(quán)平均，其權(quán)重與相應(yīng)債券價(jià)錢成正比。計(jì)算公式：假設(shè)一個(gè)組合中有n個(gè)債券，其價(jià)錢為 Bi ,久期為 Ti i=1, , n)， 記那么此組合的久期為.注：此公式可以用來(lái)對(duì)債券組合的價(jià)錢進(jìn)展估計(jì)，即當(dāng)債券收益有一個(gè)微小的變化時(shí)，債券組合的價(jià)值也會(huì)有一個(gè)反向的變化，但是，這種估計(jì)普通要求一切債券的收益率的變化是一樣的。.9 曲率凸度為什么要研討債券的凸度？久期提供了一種對(duì)債券價(jià)值相對(duì)于單位收益率的變化靈敏程度；但是，這是建立在債券價(jià)錢報(bào)答與收益率變化呈線性關(guān)系的假設(shè)之上的，即當(dāng)收益率的變化很小時(shí)，利用久期可以估計(jì)債券的價(jià)錢。但是