高二數(shù)學(xué)教案：最小二乘估計(jì)教案

1、5/5高二數(shù)學(xué)教案：最小二乘估計(jì)教案教學(xué)目標(biāo)：1、掌握最小二乘法的思想2、能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程教學(xué)重點(diǎn)：最小二乘法的思想教學(xué)難點(diǎn)：線性回歸方程系數(shù)公式的應(yīng)用教學(xué)過程回憶：上節(jié)課我們討論了人的身高與右手一拃長之間的線性關(guān)系 ,用了很多種方法來刻畫這種線性關(guān)系 ,但是這些方法都缺少數(shù)學(xué)思想依據(jù)。問題1、用什么樣的線性關(guān)系刻畫會(huì)更好一些?想法：保證這條直線與所有點(diǎn)都近(也就是距離最小)。最小二乘法就是基于這種想法。問題2、用什么樣的方法刻畫點(diǎn)與直線的距離會(huì)方便有效?設(shè)直線方程為y=a+bx ,樣本點(diǎn)A(xi ,yi)方法一、點(diǎn)到直線的距離公式方法二、顯然方法二能有效地表示

2、點(diǎn)A與直線y=a+bx的距離 ,而且比方法一更方便計(jì)算 ,所以我們用它來表示二者之間的接近程度。問題3、怎樣刻畫多個(gè)點(diǎn)與直線的接近程度?例如有5個(gè)樣本點(diǎn) ,其坐標(biāo)分別為(x1 ,y1) ,(x2 ,y2) ,(x3 ,y3) ,(x4 ,y4) ,(x5 ,y5)與直線y=a+bx的接近程度：從而我們可以推廣到n個(gè)樣本點(diǎn)：(x1 ,y1) ,(x2 ,y2) ,(xn ,yn)與直線y=a+bx的接近程度：使得上式到達(dá)最小值的直線y=a+bx就是我們所要求的直線 ,這種方法稱為最小二乘法問題4、怎樣使 到達(dá)最小值?先來討論3個(gè)樣本點(diǎn)的情況設(shè)有3個(gè)點(diǎn)(x1 ,y1) ,(x2 ,y2) ,(x3

3、 ,y3) ,那么由最小二乘法可知直線y=a+bx與這3個(gè)點(diǎn)的接近程度由下面表達(dá)式刻畫：整理成為關(guān)于a的一元二次函數(shù) ,如下所示：利用配方法可得從而當(dāng) 時(shí) ,使得函數(shù) 到達(dá)最小值。將 代入式 ,整理成為關(guān)于b的一元二次函數(shù) ,同樣使用配方法可以得到 ,當(dāng)時(shí) ,使得函數(shù) 到達(dá)最小值。從而得到直線y=a+bx的系數(shù)a ,b ,且稱直線y=a+bx為這3個(gè)樣本點(diǎn)的線性回歸方程。用同樣的方法我們可以推導(dǎo)出n個(gè)點(diǎn)的線性回歸方程的系數(shù)：其中由 我們知道線性回歸直線y=a+bx一定過 。例題與練習(xí)例1 在上一節(jié)練習(xí)中 ,從散點(diǎn)圖可以看出 ,某小賣部6天賣出熱茶的杯數(shù)(y)與當(dāng)天氣溫(x)之間是線性相關(guān)的。數(shù)

4、據(jù)如下表氣溫(xi)/oC 26 18 13 10 4 -1杯數(shù)(yi)/杯 20 24 34 38 50 64(1) 試用最小二乘法求出線性回歸方程。(2) 如果某天的氣溫是-3 oC ,請(qǐng)預(yù)測(cè)可能會(huì)賣出熱茶多少杯。解：(1)先畫出其散點(diǎn)圖i xi yi xi2 xiyi1 26 20 676 5202 18 24 324 4323 13 34 169 4424 10 38 100 3805 4 50 16 2006 -1 64 1 -64合計(jì) 70 230 1286 1910可以求得那么線性回歸方程為y =57.557-1.648x(2)當(dāng)某天的氣溫是-3 oC時(shí) ,賣出熱茶的杯數(shù)估計(jì)為：

5、練習(xí)1 x ,y之間的一組數(shù)據(jù)如下表 ,那么y與x的線性回歸方程y=a+bx必經(jīng)過點(diǎn) ( D )x 0 1 2 3y 1 3 5 7(A)(2 ,2) (B)(1.5 ,0) (C)(1 ,2) (D)(1.5 ,4)練習(xí)2 某連鎖經(jīng)營公司所屬5個(gè)零售店某月的銷售額和利潤額資料如下表：商店名稱 A B C D E銷售額(x)/千萬元 3 5 6 7 9利潤額(y)/百萬元 2 3 3 4 5(1) 畫出銷售額和利潤額的散點(diǎn)圖;(2) 假設(shè)銷售額和利潤額具有相關(guān)關(guān)系 ,計(jì)算利潤額y對(duì)銷售額x的回歸直線方程。解：(1)(2)數(shù)據(jù)如下表：i xi yi xi2 xiyi1 3 2 9 62 5 3

6、25 153 6 3 36 184 7 4 49 285 9 5 81 45合計(jì) 30 17 200 112可以求得b=0.5 ,a=0.4線性回歸方程為：小結(jié)1、 最小二乘法的思想2、 線性回歸方程的系數(shù)：“教書先生恐怕是市井百姓最為熟悉的一種稱呼 ,從最初的門館、私塾到晚清的學(xué)堂 ,“教書先生那一行當(dāng)怎么說也算是讓國人景仰甚或敬畏的一種社會(huì)職業(yè)。只是更早的“先生概念并非源于教書 ,最初出現(xiàn)的“先生一詞也并非有傳授知識(shí)那般的含義。?孟子?中的“先生何為出此言也？；?論語?中的“有酒食 ,先生饌；?國策?中的“先生坐 ,何至于此？等等 ,均指“先生為父兄或有學(xué)問、有德行的長輩。其實(shí)?國策?中本

7、身就有“先生長者 ,有德之稱的說法?？梢姟跋壬夥钦嬲摹敖處熤?,倒是與當(dāng)今“先生的稱呼更接近?？磥?,“先生之根源含義在于禮貌和尊稱 ,并非具學(xué)問者的專稱。稱“老師為“先生的記載 ,首見于?禮記?曲禮? ,有“從于先生 ,不越禮而與人言 ,其中之“先生意為“年長、資深之傳授知識(shí)者 ,與教師、老師之意根本一致。單靠“死記還不行,還得“活用,姑且稱之為“先死后活吧。讓學(xué)生把一周看到或聽到的新鮮事記下來,摒棄那些假話套話空話,寫出自己的真情實(shí)感,篇幅可長可短,并要求運(yùn)用積累的成語、名言警句等,定期檢查點(diǎn)評(píng),選擇優(yōu)秀篇目在班里朗讀或展出。這樣,即穩(wěn)固了所學(xué)的材料,又鍛煉了學(xué)生的寫作能力,同時(shí)還培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能力、思維能力等等,到達(dá)“一石多鳥的效果。作業(yè)：P60 習(xí)題1-8 第1題課本、報(bào)刊雜志中的成語、名言警句等俯首皆是,但學(xué)生寫作文運(yùn)用到文章中的甚少,即使運(yùn)用也很難做到恰如其分。為什么?還是沒有徹底“記死的緣故。要解決這個(gè)問題,方法很簡(jiǎn)單,每天花3-5分鐘左右的時(shí)間記一條成語、一那么名言警句即可?？梢詫懺诤蠛诎宓摹胺e累專欄上每日一換,可以在每天課前的3分鐘讓學(xué)生輪流講解,也