全國大學(xué)生數(shù)學(xué)專業(yè)及高等數(shù)學(xué)競賽試題及解答

1、2010年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)專業(yè)競賽試題及解答（1）計算積分 解方法一 直接利用分部積分法得；方法二 不妨設(shè)，由于，而積分關(guān)于在上一致收斂，故可交換積分次序；方法三 將固定，記， 可證在上收斂設(shè)因為，而收斂，所以由Weierstrass判別法知道對一致收斂所以可以交換微分運算和積分運算的次序，即 由的任意性，上式在上成立所以，由于所以，即若關(guān)于的方程，在區(qū)間內(nèi)有唯一的實數(shù)解，求常數(shù).解：設(shè)，則有，當(dāng)時，；當(dāng)時，.由此在處達(dá)到最小值，又在內(nèi)有唯一的零點，必有，所以.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，由積分中值公式，有，若導(dǎo)數(shù)存在且非零，求.解：， ，由條件，可知 ，故有.二、設(shè)函數(shù)在附近可微，,定義數(shù)列.證明：有

2、極限并求其值.證明：由導(dǎo)數(shù)的定義，對于任意,存在，當(dāng)時，有.于是，從而，當(dāng)時，有，其中.對于上式求和，得到，即，令，有,由的任意性，得到 . 設(shè)在上有定義，在處可導(dǎo)，且.證明：.三、設(shè)函數(shù)在上一致連續(xù)，且對任何，有，證明： 。試舉例說明，僅有在上的連續(xù)性推不出上述結(jié)論。證明 證法一由在上一致連續(xù)，對， ，當(dāng)且時，便有；取定充分大的正整數(shù)，使得?，F(xiàn)把區(qū)間等分，設(shè)其分點為，每個小區(qū)間的長度小于。對于任意，；從而必有，使得；由條件對每個，有；于是存在，當(dāng)時，對都成立；故當(dāng)時，便有，即得，結(jié)論得證。證法二 設(shè),由題設(shè)條件知在上等度一致連續(xù),對每一,有;利用Osgood定理得, 在上一致收斂于0,對,存

3、在，當(dāng)時, 有,從而當(dāng)時,有,即得，結(jié)論得證。設(shè)在上的連續(xù)，且對任何，有，但推不出。例如函數(shù)滿足在上的連續(xù)，且對任何，有，但不成立 。 四、設(shè)，在內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)連續(xù)有界，且滿足條件：當(dāng)時，；在中與有二階偏導(dǎo)數(shù)，.證明：在內(nèi)處處成立.證明：設(shè)，則有 .于是 ， ， ;由已知條件，存在，當(dāng)時，有 ， .記，設(shè) ，我們斷言，必有，假若，則必有，使得 ；易知， . 這與矛盾，所以 從而 ，；由的任意性，得 ， .故在內(nèi)處處成立.五、 設(shè).考慮積分，定義，證明 ；利用變量替換：，計算積分的值，并由此推出.證明：（1）由，在上一致收斂，可以進(jìn)行逐項積分 ，又，所以 關(guān)于是一致收斂的，可以逐項求極限，于是有

4、.故有 ；, 注意到區(qū)域關(guān)于軸對稱 ; ; ;或者利用分部積分,得 ,于是,故.2010年全國大學(xué)生非數(shù)學(xué)專業(yè)競賽試題及解答一、計算題求極限 解法1 直接化為黎曼和的形式有困難.注意到 ,由于 ，所以.解法2 利用，得，,由于，所以 .（2）計算，其中為下半球的上側(cè)，.解法一. 先以代入被積函數(shù)， ，補一塊有向平面，其法向量與軸正向相反，利用高斯公式，從而得到，其中為圍成的空間區(qū)域，為上的平面區(qū)域，于是 .解法二. 直接分塊積分 ，其中為平面上的半圓，.利用極坐標(biāo)，得， ，其中為平面上的圓域，用極坐標(biāo)，得 ，因此.（3）現(xiàn)要設(shè)計一個容積為的圓柱體的容積，已知上下兩低的材料費為單位面積元，而側(cè)面

5、的材料費為單位面積元.試給出最節(jié)省的設(shè)計方案：即高與上下底面的直徑之比為何值時，所需費用最少？解：設(shè)圓柱體的高為，底面直徑為，費用為，根據(jù)題意，可知， ，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故當(dāng)時，所需要的費用最少.（4）已知在內(nèi)滿足求.解： ， ，所以，.求下列極限. （1）； （2），其中，.解：（1） . ，故.一般地，有，其中，.設(shè)在點附近有定義，且在點可導(dǎo)，求.解：.設(shè)在上連續(xù)，無窮積分收斂，求.解：設(shè)，由條件知， ，利用分部積分，得，于是 .設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可微，且，.證明：（1）存在，使得； （2）對于每一，存在，使得.證明：（1）令，由題設(shè)條件，可知，；利用連續(xù)函數(shù)的介值定理，得存在，使

6、得，即.令，由題設(shè)條件和（1）中的結(jié)果，可知，；利用羅爾中值定理，得存在，使得，由，即得.六、 試證：對每一個整數(shù)，成立 . 分析：這是一個估計泰勒展開余項的問題，其技巧在于利用泰勒展開的積分余項.證明：顯然時，不等式成立；下設(shè).由于，這樣問題等價于證明，即，令上式化為，從而等價于，只要證明，設(shè)，則只要證明，就有， ，則問題得證.以下證明，成立上式等價于，即，令，則，并且對，有 ，從而當(dāng)時，這樣問題得證.注：利用這一結(jié)論，我們可以證明如下結(jié)論.六、設(shè)為整數(shù)，證明方程，在上至少有一個根.證明：存在，使得.證明：令，則有， ，由連續(xù)函數(shù)的介值定理，得存在，使得，故問題得證.這里是由于， ，在上嚴(yán)格單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，有.七、 是否存在上的可微函數(shù)，使得，若存在，請給出一個例子；若不存在，請給出證明。證明 如果這樣的函數(shù)存在，我們來求的不動點，即滿足的，由此得，這表明有唯一的不動點，易知也僅有唯一的不動點，在等式，兩邊對求導(dǎo)，得，讓，即得，這是不可能的，故這樣的函數(shù)不存在。八、設(shè)函數(shù)在上一致連續(xù)，且對任何，有，證明： 。試舉例說明，僅有在上的連續(xù)性推不出上述結(jié)論。證明由在上一致連續(xù)，對， ，當(dāng)且時，便有；取定充分大的正整數(shù)，使得?，F(xiàn)把區(qū)間等分，設(shè)其分點為，每個小