[自然科學(xué)]北京大學(xué)量子力學(xué)課件自旋與全同粒子

1、目 錄第一章 量子力學(xué)的誕生 第二章 波函數(shù)和 Schrodinger 方程 第三章 一維定態(tài)問題 第四章 量子力學(xué)中的力學(xué)量 第五章 態(tài)和力學(xué)量表象 第六章 近似方法 第七章 量子躍遷 第八章 自旋與全同粒子 附錄 科學(xué)家傳略 第一章 量子力學(xué)的誕生1 經(jīng)典物理學(xué)的困難 2 量子論的誕生 3 實(shí)物粒子的波粒二象性1 電子的自旋 2 電子的自旋算符和自旋波函數(shù) 3 簡單塞曼效應(yīng) 4 兩個(gè)角動(dòng)量耦合 5 光譜精細(xì)結(jié)構(gòu) 6 全同粒子的特性 7 全同粒子體系波函數(shù)Pauli 原理 8 兩電子自旋波函數(shù) 9 氦原子（微擾法）第八章 自旋與全同粒子返回（一）Stern-Gerlach 實(shí)驗(yàn) (二）光譜線

2、精細(xì)結(jié)構(gòu) （三）電子自旋假設(shè) （四）回轉(zhuǎn)磁比率1 電子的自旋返回（1）實(shí)驗(yàn)描述Z處于 S 態(tài)的氫原子（2）結(jié)論I。氫原子有磁矩 因在非均勻磁場中發(fā)生偏轉(zhuǎn)II。氫原子磁矩只有兩種取向 即空間量子化的S 態(tài)的氫原子束流，經(jīng)非均勻磁場發(fā)生偏轉(zhuǎn)，在感光板上呈現(xiàn)兩條分立線。NS（一）Stern-Gerlach 實(shí)驗(yàn)（3）討論磁矩與磁場之夾角原子 Z 向受力分析若原子磁矩可任意取向， 則 cos 可在 （-1，+1）之間連續(xù)變化，感光板將呈現(xiàn)連續(xù)帶但是實(shí)驗(yàn)結(jié)果是：出現(xiàn)的兩條分立線對應(yīng) cos = -1 和 +1 ，處于 S 態(tài)的氫原子 =0，沒有軌道磁矩，所以原子磁矩來自于電子的固有磁矩，即自旋磁矩。3p

3、3s58933p3/23p1/23s1/2D1D258965890鈉原子光譜中的一條亮黃線 5893，用高分辨率的光譜儀觀測，可以看到該譜線其實(shí)是由靠的很近的兩條譜線組成。其他原子光譜中也可以發(fā)現(xiàn)這種譜線由更細(xì)的一些線組成的現(xiàn)象，稱之為光譜線的精細(xì)結(jié)構(gòu)。該現(xiàn)象只有考慮了電子的自旋才能得到解釋（二）光譜線精細(xì)結(jié)構(gòu)Uhlenbeck 和 Goudsmit 1925年根據(jù)上述現(xiàn)象提出了電子自旋假設(shè)（1）每個(gè)電子都具有自旋角動(dòng)量，它在空間任何方向上的投影只能取兩個(gè)數(shù)值：（2）每個(gè)電子都具有自旋磁矩，它與自旋角動(dòng)量的關(guān)系為：自旋磁矩，在空間任何方向上的投影只能取兩個(gè)數(shù)值：Bohr 磁子（三）電子自旋假設(shè)

4、（1）電子回轉(zhuǎn)磁比率我們知道，軌道角動(dòng)量與軌道磁矩的關(guān)系是：（2）軌道回轉(zhuǎn)磁比率則，軌道回轉(zhuǎn)磁比率為：可見電子回轉(zhuǎn)磁比率是軌道回轉(zhuǎn)磁比率的二倍（四）回轉(zhuǎn)磁比率2 電子的自旋算符和自旋波函數(shù)返回（一）自旋算符 （二）含自旋的狀態(tài)波函數(shù) （三）自旋算符的矩陣表示與 Pauli 矩陣 （四）含自旋波函數(shù)的歸一化和幾率密度 （五）自旋波函數(shù) （六）力學(xué)量平均值自旋角動(dòng)量是純量子概念，它不可能用經(jīng)典力學(xué)來解釋。 自旋角動(dòng)量也是一個(gè)力學(xué)量，但是它和其他力學(xué)量有著根本的差別通常的力學(xué)量都可以表示為坐標(biāo)和動(dòng)量的函數(shù)而自旋角動(dòng)量則與電子的坐標(biāo)和動(dòng)量無關(guān)，它是電子內(nèi)部狀態(tài)的表征，是描寫電子狀態(tài)的第四個(gè)自由度（第四

5、個(gè)變量）。與其他力學(xué)量一樣，自旋角動(dòng)量 也是用一個(gè)算符描寫，記為自旋角動(dòng)量 軌道角動(dòng)量 異同點(diǎn)與坐標(biāo)、動(dòng)量無關(guān)不適用同是角動(dòng)量滿足同樣的角動(dòng)量對易關(guān)系（一）自旋算符由于自旋角動(dòng)量在空間任意方向上的投影只能取 /2 兩個(gè)值所以的本征值都是/2，其平方為/22算符的本征值是仿照自旋量子數(shù) s 只有一個(gè)數(shù)值因?yàn)樽孕请娮觾?nèi)部運(yùn)動(dòng)自由度，所以描寫電子運(yùn)動(dòng)除了用 (x, y, z) 三個(gè)坐標(biāo)變量外，還需要一個(gè)自旋變量 (SZ），于是電子的含自旋的波函數(shù)需寫為：由于 SZ 只取 /2 兩個(gè)值， 所以上式可寫為兩個(gè)分量：寫成列矩陣規(guī)定列矩陣 第一行對應(yīng)于Sz = /2， 第二行對應(yīng)于Sz = -/2。若已知

6、電子處于Sz = /2或Sz = -/2的自旋態(tài)，則波函數(shù)可分別寫為：（二）含自旋的狀態(tài)波函數(shù)（1） SZ的矩陣形式電子自旋算符（如SZ）是作用與電子自旋波函數(shù)上的，既然電子波函數(shù)表示成了21 的列矩陣，那末，電子自旋算符的矩陣表示應(yīng)該是 22 矩陣。因?yàn)?/2 描寫的態(tài)，SZ有確定值 /2，所以1/2 是 SZ 的本征態(tài)，本征值為 /2，即有：矩陣形式同理對1/2 處理，有最后得 SZ 的矩陣形式SZ 是對角矩陣，對角矩陣元是其本征值/2。（三）自旋算符的矩陣表示與 Pauli 矩陣（2）Pauli 算符1. Pauli 算符的引進(jìn)分量形式因?yàn)镾x, Sy, Sz的本征值都是/2， 所以x,

7、y,z的本征值都是1； x2,y2,Z2 的本征值都是 。即：2. 反對易關(guān)系基于的對易關(guān)系，可以證明 各分量之間滿足反對易關(guān)系:證：我們從對易關(guān)系:出發(fā)左乘y右乘y二式相加同理可證:x, y 分量的反對易關(guān)系亦成立. 證畢或由對易關(guān)系和反對易關(guān)系還可以得到關(guān)于 Pauli 算符的如下非常有用性質(zhì)：y2=13. Pauli算符的矩陣形式根據(jù)定義求 Pauli 算符的 其他兩個(gè)分量令利用反對易關(guān)系X 簡化為：令：c = expi (為實(shí)），則由力學(xué)量算符厄密性得：b = c*(或c = b*)x2 = I求y 的矩陣形式這里有一個(gè)相位不定性，習(xí)慣上取= 0， 于是得到 Pauli 算符的矩陣形式

8、為：從自旋算符與 Pauli 矩陣的關(guān)系自然得到自旋算符的矩陣表示：寫成矩陣形式（1）歸一化電子波函數(shù)表示成矩陣形式后，波函數(shù)的歸一化時(shí)必須同時(shí)對自旋求和和對空間坐標(biāo)積分，即（2）幾率密度表示 t 時(shí)刻在 r 點(diǎn)附近 單位體積內(nèi)找到電子的幾率表示 t 時(shí)刻 r 點(diǎn)處 單位體積內(nèi)找到自旋 Sz= /2的電子的幾率表示 t 時(shí)刻 r 點(diǎn)處單位 體積內(nèi)找到 自旋 Sz = /2 的電子的幾率在全空間找到Sz = /2的電子的幾率在全空間找到 Sz = /2 的電子的幾率（四）含自旋波函數(shù)的歸一化和幾率密度波函數(shù)這是因?yàn)椋ǔＷ孕蛙壍肋\(yùn)動(dòng)之間是有相互作用的，所以電子的自旋狀態(tài)對軌道運(yùn)動(dòng)有影響。但是，

9、當(dāng)這種相互作用很小時(shí)，可以將其忽略，則1 ,2 對 (x, y, z) 的依賴一樣，即函數(shù)形式是相同的。此時(shí)可以寫成如下形式：求：自旋波函數(shù)(Sz)SZ 的本征方程令一般情況下，1 2，二者對(x, y, z)的依賴是不一樣的。（五）自旋波函數(shù)因?yàn)?Sz 是 2 2 矩陣，所以在 S2, Sz 為對角矩陣的表象內(nèi)，1/2, -1/2 都應(yīng)是 21 的列矩陣。代入本征方程得：由歸一化條件確定a1所以二者是屬于不同本征值的本征函數(shù)，彼此應(yīng)該正交引進(jìn)自旋后，任一自旋算符的函數(shù) G 在 Sz 表象表示為22矩陣算符 G 在任意態(tài)中對自旋求平均的平均值算符 G 在 態(tài)中對坐標(biāo)和自旋同時(shí)求平均的平均值是：

10、（六）力學(xué)量平均值3 簡單塞曼效應(yīng)返回（一）實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象 （二）氫、類氫原子在外場中的附加能 （三）求解 Schrodinger 方程 （四） 簡單塞曼效應(yīng)塞曼效應(yīng)：氫原子和類氫原子在外磁場中，其光譜線發(fā)生分裂的現(xiàn)象。 該現(xiàn)象在1896年被Zeeman首先 觀察到（1）簡單塞曼效應(yīng)：在強(qiáng)磁場作用下，光譜線的分裂現(xiàn)象。 （2）復(fù)雜塞曼效應(yīng)：當(dāng)外磁場較弱，軌道-自旋相互作用不能忽略時(shí)，將產(chǎn)生復(fù)雜塞曼效應(yīng)。（一）實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象取外磁場方向沿 Z 向，則磁場引起的附加能（CGS 制）為：磁場沿 Z 向（二）Schrodinger 方程考慮強(qiáng)磁場忽略自旋-軌道相互作用，體系Schrodinger 方程：（二）氫、

11、類氫原子在外場中的附加能根據(jù)上節(jié)分析，沒有自旋-軌道相互作用的波函數(shù)可寫成：代入 S方程最后得 1 滿足的方程同理得 2 滿足的方程（1） 當(dāng) B=0 時(shí)（無外場），是有心力場問題，方程退化為不考慮自旋時(shí)的情況。其解為：I。 對氫原子情況II。對類氫原子情況如 Li，Na，等堿金屬原子，核外電子對核庫侖場有屏蔽作用，此時(shí)能級(jí)不僅與 n 有關(guān)，而且與 有關(guān)，記為E n 則有心力場方程可寫為：（三）求解 Schrodinger 方程由于（2） 當(dāng) B 0 時(shí)（有外場）時(shí)所以在外磁場下，n m 仍為方程的解，此時(shí)同理（1）分析能級(jí)公式可知：在外磁場下，能級(jí)與 n, l, m 有關(guān)。原來 m 不同能量

12、相同的簡并現(xiàn)象被外磁場消除了。（2）外磁場存在時(shí)，能量與自旋狀態(tài)有關(guān)。當(dāng)原子處于 S 態(tài)時(shí)， l = 0, m = 0 的原能級(jí) En l 分裂為二。這正是 SternGerlach 實(shí)驗(yàn)所觀察到的現(xiàn)象。（四） 簡單塞曼效應(yīng)（3）光譜線分裂2p1sSz= /2Sz= - /2m+10- 1m+10- 100(a) 無外磁場(b) 有外磁場I。 B = 0 無外磁場時(shí)電子從 En 到 En 的躍遷的譜線頻率為：II。 B 0 有外磁場時(shí) 根據(jù)上一章選擇定則可知，所以譜線角頻率可取三值：無磁場時(shí)的一條譜線被分裂成三條譜線Sz= /2 時(shí)，取 +；Sz= /2 時(shí)，取 。我們已分別討論過了只有 L

13、和只有 S 的情況，忽略了二者之間的相互作用，實(shí)際上，在二者都存在的情況下，就必須同時(shí)考慮軌道角動(dòng)量和自旋，也就是說，需要研究 L 與 S 的耦合問題。下面我們普遍討論一下兩個(gè)角動(dòng)量的耦合問題。（一）總角動(dòng)量 （二）耦合表象和無耦合表象4 兩個(gè)角動(dòng)量耦合返回設(shè)有 J1, J2 兩個(gè)角動(dòng)量，分別滿足如下角動(dòng)量對易關(guān)系：因?yàn)槎呤窍嗷オ?dú)立的角動(dòng)量，所以相互對易，即其分量 對易關(guān)系可寫為證：同理，對其他分量成立。 證畢（1）二角動(dòng)量之和構(gòu)成總角動(dòng)量（一）總角動(dòng)量證：同理，對其他分量亦滿足。事實(shí)上這是意料之中的事，因?yàn)榉彩菨M足角動(dòng)量定義的力學(xué)量都滿足如下對易關(guān)系：證：上面最后一步證明中，使用了如下對易

14、關(guān)系：同理可證成立。 證畢由上面證明過程可以看出，若對易括號(hào)將 J12用J1代替，顯然有如下關(guān)系：這是因?yàn)樽C：同理亦成立。 證畢所以這四個(gè)角動(dòng)量算符有共同的正交歸一完備的本征函數(shù)系。記為：綜合上述對易關(guān)系可知：四個(gè)角動(dòng)量算符兩兩對易（1）本征函數(shù)也兩兩對易，故也有共同完備的本征函數(shù)系，記為：耦合 表象 基矢非耦合表象基矢（二）耦合表象和無耦合表象由于這兩組基矢都是正交歸一完備的，所以可以相互表示，即：稱為矢量耦合系數(shù) 或 Clebsch - Gorldon 系數(shù)因?yàn)樗杂杏谑巧鲜角蠛椭恍鑼?m2 進(jìn)行即可?？紤]到 m1 = m - m2 ，則上式可改寫為：或：（2）C-G系數(shù)的么正性我們知道，

15、兩個(gè)表象之間的么正變換有一個(gè)相位不定性，如果取適當(dāng)?shù)南辔灰?guī)定，就可以使C-G系數(shù)為實(shí)數(shù)。共軛式將上式左乘 用耦合表象基矢 |j1,j2,j,m 展開：C-G系數(shù) 實(shí)數(shù)性共軛式左乘上式，并注意非耦合表象基矢的正交歸一性：對 m2 = m2 情況, 得：考慮到上式兩個(gè)C-G系數(shù)中總磁量子數(shù)與分量子數(shù)之間的關(guān)系： m2 = m- m1 和 m2 = m - m1 最后得：上式與關(guān)系式一起反映了C-G系數(shù)的么正性和實(shí)數(shù)性。（3）j的取值范圍（j與j1,j2的關(guān)系）1.對給定j1 j2 ，求 jmax因?yàn)閙 m1 m2 取值范圍分別是：m = j, j-1,., -j+1, -j mmax = j; m

16、1 = j1, j1-1,., -j1+1, -j1 (m1)max = j1; m2 = j2, j2-1,., -j2+1, -j2 (m2)max = j2;再考慮到m = m1 + m2，則有：mmax = (m1)max+ (m2)max = j = jmax，于是： jma x = j1 + j22.求 jmin由于基矢|j1 m1, |j2 m2 對給定的j1 j2分別有2j1+1和2j2+1個(gè)， 所以非耦合表象的基矢 |j1, m1,j2,m2 = |j1,m1 |j2, m2 的數(shù)目為(2j1+1)( 2j2+1)個(gè) 。另一方面，對于一個(gè) j 值，|j1, j2, j, m

17、基矢有 2j+1個(gè)，那末 j 從 jmin 到 jmax 的所有基矢數(shù)則由下式給出：等差級(jí)數(shù)求和公式Jmax = j1 + j2由于非耦合表象基矢和耦合表象基矢是相互獨(dú)立的，等式兩邊基矢數(shù)應(yīng)該相等，所以耦合表象基矢|j1,j2,j,m 的數(shù)亦應(yīng)等于(2j1+1)(2j2+1)個(gè)，從非耦合表象到耦合表象的變換由下式給出：等式兩邊基矢數(shù)應(yīng)該相等于是 (j1+j2+1)2 - jmin2 = (2j1+1)(2j2+1) 從而可解得： jmin = |j1-j2|。3. j 的取值范圍由于 j 只取 0 的數(shù)，所以當(dāng) j1 j2 給定后，j 的可能取值由下式給出： j = j1+j2, j1+j2-

18、1, j1+j2-2, ., |j1 - j2|.該結(jié)論與舊量子論中角動(dòng)量求和規(guī)則相符合。j1, j2 和 j 所滿足的上述關(guān)系稱為三角形關(guān)系，表示為(j1, j2, j)。求得 j, m 后， J2, Jz 的本征值問題就得到解決。本征矢作為一個(gè)例子下面列出了電子自旋角動(dòng)量j2 = 1/2情況下幾個(gè)C-G系數(shù)公式。將這些系數(shù)代入本征矢表達(dá)式可得：（一）復(fù)習(xí)類氫原子能譜（無自旋軌道作用）（二）有自旋軌道相互作用情況（1）無耦合表象（2）耦合表象（1）Hamilton量（2）微擾法求解（3）光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)（4）零級(jí)近似波函數(shù)本節(jié)討論無外場作用下，考慮電子自旋對類氫原子能級(jí)和譜線的影響。5 光譜精細(xì)

19、結(jié)構(gòu)返回（1）無耦合表象類氫原子Hamilton量對類氫原子在不考慮核外電子對核電得屏蔽效應(yīng)情況下，勢場可寫為：因?yàn)?H0, L2, Lz 和 Sz 兩兩對易， 所以它們有共同完備得本征函數(shù)（無耦合表象基矢）：可見電子狀態(tài)由 n, l, ml , ms 四個(gè)量子數(shù)確定，能級(jí)公式只與 n 有關(guān)能級(jí)簡并度，不計(jì)電子自旋時(shí)，是 n2 度簡并， 考慮電子自旋后，因 ms 有二值，故 En 是 2n2 度簡并。（一）復(fù)習(xí)類氫原子能譜（無自旋軌道作用）（2）耦合表象電子總角動(dòng)量因?yàn)?L2, S2, J2, Jz 兩兩對易且與 H0 對易，故體系定態(tài)也可寫成它們得共同本征函數(shù)：耦合表象基矢電子狀態(tài) 用 n,

20、l,j,m 四個(gè)量子 數(shù)確定。（1）Hamilton 量基于相對論量子力學(xué)和實(shí)驗(yàn)依據(jù)，L-S自旋軌道作用可以表示為：稱為自旋 軌道耦合項(xiàng)（二）有自旋軌道相互作用情況于是體系Hamilton量由于 H 中包含有自旋-軌道耦合項(xiàng)，所以 Lz, Sz與 H 不再對易。二者不再是守恒量，相應(yīng)的量子數(shù) ml, ms都不是好量子數(shù)了，不能用以描寫電子狀態(tài)。 現(xiàn)在好量子數(shù)是 l, j, m ，這是因?yàn)槠湎鄳?yīng)的力學(xué)量算符 L2, J2, Jz 都與 H 對易的緣故。證：所以 L2, J2, Jz 都與 H對易從而也與 H 對易。（2）微擾法求解因?yàn)?H0的本征值是簡并的，因此需要使用簡并微擾法求解。H0 的波

21、函數(shù)有兩套：耦合表象波函數(shù)和非耦合表象波函數(shù)。為方便計(jì)，我們選取耦合表象波函數(shù)作為零級(jí)近似波函數(shù)。 之所以方便，是因?yàn)槲_ Hamilton 量 H在耦合表象矩陣是對角化的，而簡并微擾法解久期方程的本質(zhì)就是尋找正確的零級(jí)波函數(shù)是 H對角化。這樣我們就可以省去求解久期方程的步驟。令：展開系數(shù)滿足如下方程：其中 矩陣元下面我們計(jì)算此矩陣元其中：代入關(guān)于Cljm的方程得：為書寫簡捷將 lj m用 l j m 代替由于 Cljm 0 ，所以能量一級(jí)修正（3）光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)1. 簡并性由上式給出的能量一級(jí)修正可以看出，L-S耦合使原來簡并能級(jí)分裂開來，簡并消除，但是是部分消除。這是因?yàn)?Enlj(1) 仍

22、與 m 無關(guān)，同一j值，m 可取 2j+1個(gè)值，所以還有 2j+1度簡并。2. 精細(xì)結(jié)構(gòu)對給定的 n, 值，j=(1/ 2)有二值 = 0除外具有相同 n, 的能級(jí)有二個(gè)由于(r) 通常很小，所以這二個(gè)能級(jí)間距很小，這就是產(chǎn)生精細(xì)結(jié)構(gòu)的原因。 例: 鈉原子 2p 項(xiàng)精細(xì)結(jié)構(gòu) 求 58905896鈉原子 2P 項(xiàng)的精細(xì)結(jié)構(gòu)關(guān)于上式積分具體計(jì)算參見 E.U. Condon and G.H. Shortley, The Theory of Atomic Spectra, p.120-125.原能級(jí)分裂為：n, j=+1/2j=1/2（4）零級(jí)近似波函數(shù)波函數(shù)的零級(jí)近似取為 nljm 對不同 m 的線

23、性組合，也可以就直接取為 nljm 因?yàn)槲_ Hamilton 量 H在該態(tài)的矩陣元已是對角化的了。上述波函數(shù)是耦合表象基矢，表示成相應(yīng)的 Dirac 符號(hào)后并用非耦合表象基矢表示出來。上述討論適用于 0的情況，當(dāng) = 0時(shí)，沒有自旋軌道耦合作用，因而能級(jí)不發(fā)生移動(dòng)。作 業(yè)周世勛 量子力學(xué)教程 7.2、7.4、7.5 、7.7 曾謹(jǐn)言 量子力學(xué)導(dǎo)論 8.1、8.5、8.6 、9.6（一）全同粒子和全同性原理 （二）波函數(shù)的對稱性質(zhì) （三）波函數(shù)對稱性的不隨時(shí)間變化 （四）Fermi 子和 Bose 子6 全同粒子的特性返回（1）全同粒子質(zhì)量、電荷、自旋等固有性質(zhì)完全相同的微觀粒子。（2）經(jīng)典粒

24、子的可區(qū)分性經(jīng)典力學(xué)中，固有性質(zhì)完全相同的兩個(gè)粒子，是可以區(qū)分的。因?yàn)槎Ｗ釉谶\(yùn)動(dòng)中，有各自確定的軌道，在任意時(shí)刻都有確定的位置和速度?？膳袛嗄膫€(gè)是第一個(gè)粒子哪個(gè)是第二個(gè)粒子1212（一）全同粒子和全同性原理（3）微觀粒子的不可區(qū)分性微觀粒子運(yùn)動(dòng)服從量子力學(xué)用波函數(shù)描寫在波函數(shù)重疊區(qū) 粒子是不可區(qū)分的（4）全同性原理全同粒子所組成的體系中，二全同粒子互相代換不引起體系物理狀態(tài)的改變。全同性原理是量子力學(xué)的基本原理之一。（1）Hamilton 算符的對稱性N 個(gè)全同粒子組成的體系，其Hamilton 量為：調(diào)換第 i 和第 j 粒子， 體系 Hamilton 量不變。即：表明，N 個(gè)全同粒子組成

25、的體系的Hamilton 量具有交換對稱性，交換任意兩個(gè)粒子坐標(biāo)（q i , q j ) 后不變。（二）波函數(shù)的對稱性質(zhì)（2）對稱和反對稱波函數(shù)考慮全同粒子體系的含時(shí) Shrodinger 方程將方程中（q i , q j ) 調(diào)換，得：由于 Hamilton 量對于 （q i , q j ) 調(diào)換 不變表明： （q i , q j ) 調(diào)換前后的波函數(shù)都是Shrodinger 方程的解。根據(jù)全同性原理：描寫同一狀態(tài)。因此，二者相差一常數(shù)因子。再做一次（q i , q j ) 調(diào)換對稱波函數(shù)反對稱波函數(shù)引入粒子坐標(biāo)交換算符全同粒子體系波函數(shù)的這種對稱性不隨時(shí)間變化，即初始時(shí)刻是對稱的，以后時(shí)刻

26、永遠(yuǎn)是對稱的； 初始時(shí)刻是反對稱的，以后時(shí)刻永遠(yuǎn)是反對稱的。證方法 I 設(shè)全同粒子體系波函數(shù) s 在 t 時(shí)刻是對稱的，由體系哈密頓量是對稱的，所以 H s 在t 時(shí)刻也是對稱的。在 t+dt 時(shí)刻，波函數(shù)變化為對稱對稱二對稱波函數(shù)之和仍是對稱的依次類推，在以后任何時(shí)刻，波函數(shù)都是對稱的。同理可證：t 時(shí)刻是反對稱的波函數(shù)a ，在t 以后任何時(shí)刻都是反對稱的。（三）波函數(shù)對稱性的不隨時(shí)間變化方法 II 全同粒子體系哈密頓量是對稱的結(jié)論：描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)只能是對稱的或反對稱的，其對稱性不隨時(shí)間改變。如果體系在某一時(shí)刻處于對稱（或反對稱）態(tài)上，則它將永遠(yuǎn)處于對稱（或反對稱）態(tài)上。實(shí)驗(yàn)表

27、明：對于每一種粒子，它們的多粒子波函數(shù)的交換對稱性是完全確定的，而且該對稱性與粒子的自旋有確定的聯(lián)系。（1）Bose 子凡自旋為 整數(shù)倍（s = 0，1，2，) 的粒子，其多粒子波函數(shù)對于交換 2 個(gè)粒子總是對稱的，遵從Bose統(tǒng)計(jì)，故稱為 Bose 子如： 光子 （s =1）； 介子 （s = 0）。（四）Fermi 子和 Bose 子（2）Fermi 子凡自旋為 半奇數(shù)倍（s =1/2，3/2，) 的粒子，其多粒子波函數(shù)對于交換 2 個(gè)粒子總是反對稱的，遵從Fermi 統(tǒng)計(jì)，故稱為Fermi 子。例如：電子、質(zhì)子、中子（ s =1/2）等粒子。（3）由“基本粒子”組成的復(fù)雜粒子如： 粒子（

28、氦核）或其他原子核。 如果在所討論或過程中，內(nèi)部狀態(tài)保持不變，即內(nèi)部自由度完全被凍結(jié)，則全同概念仍然適用，可以作為一類全同粒子來處理。偶數(shù)個(gè) Fermi 子組成Bose 子組成奇數(shù)個(gè) Fermi子組成奇數(shù)個(gè) Fermi子組成（一）2 個(gè)全同粒子波函數(shù) （二）N 個(gè)全同粒子體系波函數(shù) （三）Pauli 原理7 全同粒子體系波函數(shù)Pauli 原理返回（1）對稱和反對稱波函數(shù)的構(gòu)成I 2 個(gè)全同粒子Hamilton 量II 單粒子波函數(shù)（一）2 個(gè)全同粒子波函數(shù)III 交換簡并粒子1 在 i 態(tài)，粒子2 在 j 態(tài)，則體系能量和波函數(shù)為：驗(yàn)證：粒子2 在 i 態(tài)，粒子1 在 j 態(tài)，則體系能量和波函

29、數(shù)為：IV 滿足對稱條件波函數(shù)的構(gòu)成全同粒子體系要滿足對稱性條件，而 (q1,q2) 和 (q2,q1) 僅當(dāng) i = j 二態(tài)相同時(shí)，才是一個(gè)對稱波函數(shù)； 當(dāng) i j 二態(tài)不同時(shí)，既不是對稱波函數(shù)，也不是反對稱波函數(shù)。所以 (q1,q2) 和 (q2,q1) 不能用來描寫全同粒子體系。構(gòu)造具有對稱性的波函數(shù)C 為歸一化系數(shù)顯然 S (q1,q2) 和 A (q1,q2) 都是 H 的本征函數(shù)，本征值皆為 ：V S 和 A 的歸一化若單粒子波函數(shù)是正交歸一化的， 則 (q1,q2) 和 (q2 , q1) 也是正交歸一化的證：同理：而同理：證畢首先證明然后考慮S 和 A 歸一化則歸一化的 S同

30、理對 A 有：上述討論是適用于二粒子間無相互作用的情況，當(dāng)粒子間有互作用時(shí)，但是下式仍然成立歸一化的 S A 依舊因H 的對稱性式2成立（1）Shrodinger 方程的解上述對2個(gè)全同粒子的討論可以推廣到N個(gè)全同粒子體系，設(shè)粒子間無互作用，單粒子H0 不顯含時(shí)間，則體系單粒子本征方程：（二）N 個(gè)全同粒子體系波函數(shù)（2）Bose 子體系和波函數(shù)對稱化2 個(gè)Bose 子體系，其對稱化波函數(shù)是：1，2 粒子在 i，j態(tài)中的一種排列N 個(gè)Bose 子體系，其對稱化波函數(shù)可類推是：N 個(gè) 粒子在 i，j k 態(tài)中的一種排列歸一化系數(shù)對各種可能排列 p 求和nk 是單粒子態(tài)k 上的粒子數(shù)例: N =

31、3 Bose 子體系,，設(shè)有三個(gè)單粒子態(tài)分別記為 1 、2 、 3 ，求：該體系對稱化的波函數(shù)。I。n1=n2=n3=1II。n1=3，n2=n3=0 n2=3，n1=n3=0 n3=3，n2=n1=0III。n1=2，n2=1，n3=0。 另外還有 5 種可能的狀態(tài)，分別是：n1=1，n2=0，n3=2n1=0，n2=1，n3=2n1=0，n2=2，n3=1n1=1，n2=2，n3=0n1=2，n2=0，n3=1附注：關(guān)于重復(fù)組合問題從m 個(gè)不同元素中每次取 n 個(gè)元素（元素可重復(fù)選?。┎还芘帕许樞驑?gòu)成一組稱為重復(fù)組合，記為： （m 可大于、等于或小于n ）重復(fù)組合與通常組合不同，其計(jì)算公式

32、為：通常組合計(jì)算公式：重復(fù)組合計(jì)算公式表明： 從m個(gè)不同元素中每次取n個(gè)元素的重復(fù)組合的種數(shù)等于從（m+n-1）個(gè)不同元素中每次取n個(gè)元素的普通組合的種數(shù)。應(yīng)用重復(fù)組合，計(jì)算全同Bose 子體系可能狀態(tài)總數(shù)是很方便的。如上例，求體系可能狀態(tài)總數(shù)的問題實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)從 3 個(gè)狀態(tài)中每次取3 個(gè)狀態(tài)的重復(fù)組合問題。（3）Fermi 子體系和波函數(shù)反對稱化2 個(gè)Fermi 子體系，其反對稱化波函數(shù)是：行列式的性質(zhì)保證了波函數(shù)反對稱化推廣到N 個(gè)Fermi 子體系：兩點(diǎn)討論I。行列式展開后，每一項(xiàng)都是單粒子波函數(shù)乘積形式，因而 A 是 本征方程 H = E 的解.II。交換任意兩個(gè)粒子，等價(jià)于行列式中

33、相應(yīng)兩列對調(diào)，由行列式性質(zhì)可知，行列式要變號(hào)，故是反對稱化波函數(shù)。此行列式稱為 Slater 行列式。（1）二 Fermi 子體系其反對稱化波函數(shù)為：若二粒子處于相同態(tài)，例如都處于 i 態(tài)，則寫成 Slater 行列式兩行相同，行列式為 0（2）N Fermi 子體系（三）Pauli 原理如果 N 個(gè)單粒子態(tài) i j k 中有兩個(gè)相同，則行列式中有兩行相同，于是行列式為0，即兩行同態(tài)上述討論表明，N Fermi 子體系中，不能有 2 個(gè)或 2 個(gè)以上Fermi 子處于同一狀態(tài)，這一結(jié)論稱為 Pauli 不相容原理。波函數(shù)的反對稱化保證了全同F(xiàn)ermi 子體系的這一重要性質(zhì)。（3）無自旋軌道相互

34、作用情況在無自旋軌道相互作用情況，或該作用很弱，從而可略時(shí)，體系總波函數(shù)可寫成空間波函數(shù)與自旋波函數(shù)乘積形式：若是Fermi 子體系，則 應(yīng)是反對稱化的。對2 粒子情況，反對稱化可分別由 的對稱性保證。I。 對稱， 反對稱； II。 反對稱， 對稱。（一）二電子波函數(shù)的構(gòu)成 （二）總自旋 S2，SZ 算符的本征函數(shù) （三）二電子波函數(shù)的再解釋8 兩電子自旋波函數(shù)返回當(dāng)體系 Hamilton 量不含二電子自旋相互作用項(xiàng)時(shí)，二電子自旋波函數(shù)單電子自旋波函數(shù)可構(gòu)成4種相互獨(dú)立二電子自旋波函數(shù)：由此又可構(gòu)成4組具有一定對稱性的二電子自旋波函數(shù)：對稱 波函數(shù)反對稱 波函數(shù)（一）二電子波函數(shù)的構(gòu)成（1）總

35、自旋算符：（二）總自旋 S2，SZ 算符的本征函數(shù)（2） S A 是 S2 SZ 的本征函數(shù)： 證：計(jì)算表明， sI 是 S2 和SZ 的本征函數(shù)，其本征值分別為22和 。相應(yīng)的自旋角動(dòng)量量子數(shù) S=1，磁量子數(shù) mZ =1同理可求得：上述結(jié)果表明：下面從兩個(gè)角動(dòng)量耦合的觀點(diǎn)對二電子波函數(shù)作一解釋，以加深對此問題的理解。單電子自旋波函數(shù)（1）無耦合表象（2）耦合表象耦合表象基矢（3）二表象基矢間的關(guān)系耦合表象基矢按無耦合表象基矢展開CG系數(shù)（三）二電子波函數(shù)的在解釋S = 1, ms =1, 0, -1ms =1ms = 0ms =-1 S = 0, ms = 0盡管氦原子在結(jié)構(gòu)上的簡單程度僅次于氫原子，但是對氦原子能級(jí)的解釋，Bohr 理論遇到了嚴(yán)重的困難。其根本原因是在二電子情況下，必須考慮電子的自旋和 Pauli 不相容原理。（一）氦原子 Hamilton 量 （二）微擾法下氦原子的能級(jí)和波函數(shù) （三）討論9 氦原子（微擾法）返回由于 H 中不含自旋變量，所以氦原子定態(tài)波函數(shù)可寫成空間坐標(biāo)波函數(shù)和自旋波函數(shù)乘積形式：空間坐標(biāo)波函數(shù)滿足定態(tài) Schrodinger 方程（一）氦原子 Hamilton 量