《自動控制原理》盧京潮主編西北工業(yè)大學(xué)(清華大學(xué))第四章習(xí)題及答案

1、 +本資料由CORE_0整理上傳+第4章習(xí)題及解答4-1系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(5)=(5+1)(5+2)(5+4)試證明點=-在根軌跡上，并求出相應(yīng)的根軌跡增益K*和開環(huán)增益KO解若點S在根軌跡上，則點$1應(yīng)滿足相角條件ZG(s)H(f)=(2k+l)龍,如圖解4-1所示。對于s=弟,由相角條件O-Z(-l+j/3+l)-Z(-l+j73+2)-Z(-1+jy/3+4)=0=-7C236滿足相角條件，因此1+八療在根軌跡上。將打代入幅值條件:-1+八代+1-1+八療+2-1+八療+4解出：Kj824-2己知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試概略繪出系統(tǒng)根軌跡。|G(5i)H(5i)=(1

2、)G(s)=s(02s+l)(0.5s+l)(2)G($)=人(小)+2)(5+3)G(s)=5(25+1) 解(1)G(s)=5(0.25+1)(0.55+1)+5)(5+2)系統(tǒng)有三個開環(huán)極點：=0，卩2=-2丿3=一5實軸上的根軌跡：(一叫一5,2,0TOC o 1-5 h z0-2-57ct=漸近線:33(2K+1)龍,7i0=一坪%33，分離點：1F_dd+5d+2解之得:=-0.88,J2=-3.7863(舍去)。與虛軸的交點：特征方程為D(s)=$3+7+i0s+10k=0人fReD(j7y)=-Ta)2+10K=04-2(b)根軌跡副Im)(j7y)=-co3+10血=0解得片

3、価K=7與虛軸的交點(0,VlOj)o根軌跡如圖解4-2(a)所示。(2)根軌跡繪制如下：實軸上的根軌跡：-5-3,-2,00-2-3-(-5)nTOC o 1-5 h z6=0漸近線:分離點:V2_(2K+l)/r_7t%一2_y1111H+=dd+2d+3d+5用試探法可得d=0.886。根軌跡如圖解42(b)所示。 G(5)=K(s+1)2“)分離點：111+=dd+0.5d+1根軌跡繪制如下:實軸上的根軌跡：(s,l,-0.5,0解之得：d】=0.293,2=1707。根軌跡如圖解4-2(c)所示。4-3已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試概略繪出相應(yīng)的根軌跡。G(s)=K，(s+2)(

4、s+1+丿2)(s+1j2)G(s)=K(s+20)s(5+10+yl0)(5+10-yl0)G(s)H(5)=G(s)H(5)=K*(s+2)s(s+3)(s_4-2s4-2)解5%+鳥;J)根軌跡繪制如下：實軸上的根軌跡：(-8,-2分離點：!+!二丄d+l+J2d+lJ2d+2解之得：d=4.23起始角：6n=180+63.435-90=153.435P1由對稱性得另一起始角為-153.435。根軌跡如圖解4-3(a)所示。國解根軌跡圖G(s)=K(+20)5(5+10+710)(5+10-JIO) 系統(tǒng)有三個開環(huán)極點和一個開環(huán)零點。根軌跡繪制如下：實軸上的根軌跡：-20,0漸近線：b_

5、(10)10)+(10+)10)(20)_0(2k+1)7171(P=-=起始角：=180+45-90-135=0根軌跡如圖解43(b)所示。G(s)H($)=2-s(s+8s+20)實軸上的根軌跡：(-8,0漸近線：(2k+1)tt30+(4+)2)+(4丿2)_833土亍龍分離點：存卅石r卅刁r解之得：d-一2皿-一333o與虛軸交點：0(5)=s3+852+20s+K圖解4-3(c)系統(tǒng)根軌跡把$=丿代入上方程，整理，令其實、虛部分別為零得:jReD(jy)=/C8/=0lmD(j7i9)=20d?-($)=5(5+3)(52+2s+2)+K*(s+2)把3=丿血代入上方程，令jRe(;

6、7y)=血4-8”+2/C=0lmD(jQ)=(6+K*)ey5Q=06?=0co=1.61解得：zr=ol/r=7.03起始角色=1嗆+4亍-9213弘25.57=-25根軌跡如圖解43(d)所示。4-4己知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，耍求：(1)雌)=諾需益產(chǎn)生純虛根為“的俺和K*值;(2)概略繪出G(s)=“+%+辺(“3+丿2)心32)的閉環(huán)根軌跡圖(要求確定根軌跡的漸近線、分離點、與虛軸交點和起始角)。解(1)閉環(huán)特征方程D(s)=疋($+10)(5+20)+K*(s+z)=/+30”+200/+K、+Kp=0有Djco)=(6?4-2002+K)+j(Kb30/)=0令實、虛部分別

7、等丁零即:200/+K0K-30a)3=0/C=30,2=199/30。（2）系統(tǒng)有五個開環(huán)極點:Pi=0,“2-1,Pi=-3.5,p4=3+J2,p5=3j2實軸上的根軌跡:(-oo-3.5j-1,0_1一3.5+(-3+/2)+(-3-丿2)Ua漸近線:571371=土一，土,71555=2.1分離點:1111+1=0dd+1d+3.5d+3j2d+3+)2 # 解得：,d22.4（舍去），3、4=-3.25）1.90（舍去）閉環(huán)特征方程為dj=-0.45與虛軸交點：)(5)=s($+1)(5+3.5)(5+3+j2)(5+3j2)+K派=0把$=丿代入上方程，整理，令實、虛部分別為零得

8、:jRe（M）=1C+10加_79.5/=0co5-43.5”+45.59=0解得:CD=O/r=0co=1.02co=6.52/C=71.90/C=-15546.3圖解44根軌跡圖起始角：根據(jù)法則七（相角條件），根軌跡的起始角為久=180-75.96-90=35-146.3=92.7廠 # #由對稱性得，另一起始角為92.74,根軌跡如圖解4-4所示。4-5己知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 #GH（5）=K*(s+2)(52+4s+9)2 試概略繪制系統(tǒng)根軌跡。解根軌跡繪制如下:實軸上的根軌跡：（-8,-2漸近線：_2_聲_2+聲_(_2)_233_(2k+1)71丄龍”土、33分離點:22_1

9、d+2+苗d+2-朋一d+2 # 解之得：di=-3.29,di=0-71(舍去)與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為D(s)=(2+4s+9尸+KHs+2)=0把3=丿血代入上方程，令jReD(jd)=加_34/+81+2/C=0imgQ)=(72+/C)q-曲=0解得：co=a/2TK*=96起始角：90(20,2x90)=(2k+l)兀Pl解出0Pi=45”幾=135根軌跡如圖解4-5所示。4-6.直升機靜穩(wěn)定性不好，需耍加控制裝置改善性能。如圖423所示是加入鎮(zhèn)定控制回路的直升機俯仰控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。直升機的動態(tài)特性可用傳遞函數(shù)表示。10(5+0,5)(S+1)(30.4)2 (1)(2)圖423

10、直升機俯仰控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖畫出俯仰控制系統(tǒng)的根軌跡。信號坊（$）直升機靈譜特性傭仰角當(dāng)=1.9時，確定對陣風(fēng)擾動TWs的穩(wěn)態(tài)誤差。 # #（1）開環(huán)傳遞函數(shù)為叫+0.5) #(s+9)(s+9)(s04)2 # 唁皿2一9一（一0.5）=*根軌跡繪制如下：實軸上的根軌跡：卜9,-0.5；漸近線：2(2+1)龍,71(pt=3-12分離點：由1=1d+0.5d0.4d+9解得：d=1.79，幾=3.46。根軌跡如圖解46所示。（2）穩(wěn)態(tài)誤差為 # #=nm5-(5).E(5)=lim5-_GKiG+1)$+9i+g.Ki($+i)s5+9=1.9limi=-0.868$to(s+9)(s_0.4)

11、2+10K(s+O5)10K(s+05) 4-7單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 # #G(s)=K(2s+1)G+i)2(*_i) # 11+7/4(0.5)1咕=4解得:圖解47根軌跡圖co=0K=1試繪制系統(tǒng)根軌跡，并確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。解根軌跡繪制如下：實軸上的根軌跡：0.5,7/4漸近線：2皿_(2k+1)7T_丄兀久2_7與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為D($)=*3+*2+(2K羅)$+K1=0把$=丿&代入上方程，令ReD(j)=K-1丄co2=0v7ImD(M)=(2K一弊弓宀0CD=V227根軌跡如圖解47所示。由圖解47可知使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍為lvK9/7。4-8單位反饋系

12、統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G=WJ+5)(5+2)(5-0.5)試繪制系統(tǒng)根軌跡，確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。解根軌跡繪制如下：實軸上的根軌跡：-2,0.5分離點：由1111+=+d0.5d+2d1+jld-l-j2解得：d=-0.41o與虛軸交點:D(s)=(5+2)(5-0.5)+Ks2+25+5)=0把$勻。代入上方程，令jReD(j7y)=-(l+K*)/+5K*-1=0lmZ)(j7y)=(1.5-2Ars)69=0(a)=0(a)=1.25解得ii./r=o.2/r=0.75圖解根軌跡圖根軌跡如圖解4-8所示。由圖解4-8可知，系統(tǒng)穩(wěn)定的K*值范圍為0.2V/C(jQ)=10K-3/=0lm

13、)(j7y)=+2)cd-=0試根可得： # #(a)=0k=oco=1.69 R($)K1)31匚1Cv12)圖424系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖根軌跡如圖解49(b)所示。4-10控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖424所示,試概略繪制其根軌跡。解系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 G(s)=/r(s+i)G+2)3 # #此系統(tǒng)為正反饋系統(tǒng)，應(yīng)繪零度根軌跡。 # #實軸上的根軌跡:分離點：(-co-2,-l,+co)3_1d+2d+1 # 解得d=一0.5起始角：根據(jù)相角條件,卩-乞=2熾/=1)=1得0=60,0n=-60,en=180oriPlP3根軌跡如圖解4-10所示。4-11設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=K*(l-s

14、)5(5+2)試繪制其根軌跡，并求出使系統(tǒng)產(chǎn)生重實根和純虛根的/C值。解由開環(huán)傳遞函數(shù)的表達式知需繪制0根軌跡。實軸上的根軌跡：-2,0,1,+8)；分離點：纟+丄二丄dd+2d1解得:久=-0.732,d2=2.732將$=心=-0.732,xd?=2.732代入幅值條件，得KJ=0.54,KS,=7.46與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為($)=s(s+2)+K*(1-s)=0把$=代入上方程，整理，令實、虛部分別為零得：圖解4-11根軌跡圖 解得:ReD(悶=-q2+k*=0ImD(j7y)=(2-K*)69=0q=0Jq=1.41fC=0i/C=2根軌跡如圖解411所示，復(fù)平面上的根軌跡為以開

15、環(huán)零點為圓心，開環(huán)零點到分離點的距離為半徑的圓。系統(tǒng)產(chǎn)生重實根的K*為0.54,7.46,產(chǎn)生純虛根的K*為2。4-12已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試繪制參數(shù)b從零變化到無窮大時的根軌跡，并寫出b=2時系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。(1)G(s)=20(5+4)(5+b)5忤解(1)做等效開環(huán)傳遞函數(shù)#b(s+4)G(s)=+45+20實軸上的根軌跡：(-叫-4分離點:111+=d+2+j4d+2)4d+4解得：d】=-0.472(舍去)，d2=8.472如圖解4-12(a)所示，根軌跡為以開環(huán)零點為圓心，開環(huán)零點到開環(huán)極點的距離為半徑的圓。當(dāng)b=2時,兩個閉環(huán)特征根為人衛(wèi)=一3土丿424。此時閉環(huán)

16、傳遞函數(shù)為20-(5+3+丿424)($+3)4.24)做等效開環(huán)傳遞函數(shù)9#缶-50實軸上的根軌跡：-40-010-30-23-10co-5-10圖解4.12(b)根軌跡圖 分離點:解得：d=2011+dd+40=0根軌跡如圖解442(b)所示,當(dāng)b=2時，兩個閉環(huán)特征根為=-38.44,22=-1.56此時閉環(huán)傳遞函數(shù)為二30(s+2)(s+1.56)($+38.44)圖4-25位置隨動系統(tǒng)4-13設(shè)一位置隨動系統(tǒng)如圖425所示。試求(1)繪制以7為參數(shù)的根軌跡；(2)求系統(tǒng)阻尼比歹=0.5時的閉環(huán)傳遞函數(shù)。、5(1+T5)1+T5解：(1)G(S)=s(5s+l)s(s+02)D(s)=

17、F+0.2$+1+rs=0作等效開環(huán)傳遞函數(shù)圖解43根軌跡圖G(s)=TS_TSs2+0.25+1(5+0.1-j0.975)(5+0.1+j0.975)以為參數(shù)的根軌跡如圖解4-13所示。(2)歹=0.5,0=60。過坐標原點作一與負實軸成60的射線，交根軌跡于A點,其坐標為：0.5+)0.866,對應(yīng)的z值由幅值條件求得?+0.25+1t=0.8S*-0.5+)0.866此時的閉環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)_1+0.851+G(s)(s+0.5+j0.866)(5+0.5j0.866)4-14已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖4-26所示，試繪制時間常數(shù)T變化時系統(tǒng)的根軌跡，并分析參數(shù)T的變化對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響

18、。 解:G(s)=100Ts3+52+20s作等效開環(huán)傳遞函數(shù)G()=1/T(52+20s+100) # #根軌跡繪制如下:實軸上的根軌跡：(010,10,0分禺點:3_2dd+10 # 圖解4-14根軌跡圖解得:co=10T=0.2解得根據(jù)幅值條件，對應(yīng)的T=0.015o虛軸交點：閉環(huán)特征方程為O(5)=Ts3+s2+20s+100=0把3=丿血代入上方程，整理，令實、虛部分別為零得:jReD(;7y)=100-co2=0lm)(j7y)=20co-Tco3=0起始角：=60。參數(shù)T從零到無窮大變化時的根軌跡如圖解4-14所示。從根軌跡圖可以看出，當(dāng)0VTV0.015時，系統(tǒng)階躍響應(yīng)為單調(diào)收

19、斂過程；0.015T0.2時，有兩支根軌跡在s右半平面,此時系統(tǒng)不穩(wěn)定。4-15實系數(shù)特征方程A(5)=疋+5”+(6+d)s+d=0耍使其根全為實數(shù)，試確定參數(shù)c的范圍。解作等效開環(huán)傳遞函數(shù) G(s)=a(s+1)3-2；s+k+6sa(s+1)s(s+2)($+3) # 當(dāng)G0時，需繪制180根軌跡。實軸上的根軌跡：-3-2,-1,0漸近線:23+1(Ja=-23-1(2k+1)7T2匚廠71=+2解得分離點：111Fdd+2d+3d+1d=-2.47分離點處的根軌跡增益可由幅值條件求得:d+l=04147圖解4J5系統(tǒng)根軌跡根據(jù)以上計算，可繪制出系統(tǒng)根軌跡如圖解4-15所示。由圖解4-1

20、5(a)可以看出，當(dāng)06/0.4147時，多項式的根全為實數(shù)。當(dāng)0時，需繪制0根軌跡。實軸上的根軌跡區(qū)段為：(-8,-3,-2-1,0,8)。由圖解4-15可以看出，當(dāng)gvO時，多項式的根全為實數(shù)。因此所求參數(shù)a的范圍為05aW0.4147或a0o4-16某單位反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖427所示，試分別繪出控制器傳遞函數(shù)G(5)為G“($)=/TGr2(s)=/T(s+3)Gc3(s)=/T($+1)時系統(tǒng)的根軌跡，并討論比例加微分控制器圖4-27系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖G(s)=K*(s+Z,)中，零點J的取值對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響o解(1)當(dāng)Gcl(s)=K*時； 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G（滬E根軌跡繪制如下:實軸上

21、的根軌跡：（-8廠2漸近線:-2_2T3(2k+1)7T37t-土亍龍根軌跡如圖解446（a）所示。當(dāng)Gc2（s）=K（s+3）時;系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G（滬暑汁，根軌跡繪制如下:實軸上的根軌跡：-3-2漸近線:”-一2-(丿)_丄22(2k+l)7t,71根軌跡如圖解4-16（b）所示。（3）當(dāng)G3（s）=Ks+1）時；系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G（s）=根軌跡繪制如下：實軸上的根軌跡：-2-1漸近線:b=一2十1)a22皿_(2k+1)龍_丄龍%-2_7根軌跡如圖解4-16（c）所示。從根軌跡圖中可以看出，比例加微分控制器G,s）=K*（$+以）的加入使根軌跡向左 移動，且當(dāng)ZcP時系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，附

22、加開環(huán)零點越靠近虛軸這種趨勢越強。4-17單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制一8VKV00時的根軌跡；應(yīng)用主導(dǎo)極點法求出系統(tǒng)處于臨界阻尼時的開環(huán)增益，并寫出對應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。解(1)繪制系統(tǒng)根軌跡G(s)=K(l+0.1$)5(5+1)(0.255+l)2K*(s+10)s(s+1)($+4)216v=1 # #當(dāng)0K(jQ)=96?+(16+K)q=0 解得:6?=1.53/C=507當(dāng)0Ks時的根軌跡如圖解447(a)所示。當(dāng)sKv0時，繪制0根軌跡。二4,有四條根軌跡，其中三條趨丁無窮遠處;實軸上的根軌跡:-10-4,-4-1,0)漸近線:分離點：d=2.25-1-4x2+101=-“A134-12k兀2龍0(P,=,0灼4-13當(dāng)sK0時的根軌跡如圖解4-17(b)所示。(2)求臨界阻尼的開環(huán)增益由丁-svK0時，系統(tǒng)不穩(wěn)定，應(yīng)此不存在臨界阻尼狀態(tài)。0vK0和速度反饋系數(shù)0,使系統(tǒng)的單位速度誤差小T-0.5,超調(diào)量小于10%,調(diào)節(jié)時間小于2s。G(s)=丄.s圖428控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為(s+3)(s+7)i+F(5+3)(5+7)as(2+10s+21+K