均值不等式公式總結(jié)和應用

1、.wd.wd7/7.wd均值不等式應用1.(1)假設，那么(2)假設，那么當且僅當時取“=2.(1)假設，那么(2)假設，那么當且僅當時取“=(3)假設，那么(當且僅當時取“=3.假設，那么(當且僅當時取“=假設，那么(當且僅當時取“=假設，那么(當且僅當時取“=4.假設，那么(當且僅當時取“=假設，那么(當且僅當時取“=5.假設，那么當且僅當時取“=(1)當兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大(2)求最值的條件“一正，二定，三取等(3)均值定理在求最值、對比大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題

2、方面有廣泛的應用應用一：求最值例1：求以下函數(shù)的值域1y3x2eq f(1,2x 2) 2yxeq f(1,x) 解：(1)y3x2eq f(1,2x 2) 2 eq r(3x 2eq f(1,2x 2) ) eq r(6) 值域為 eq r(6) ，+(2)當x0時，yxeq f(1,x) 2 eq r(xeq f(1,x) ) 2；當x0時，yxeq f(1,x) =xeq f(1,x) 2 eq r(xeq f(1,x) ) =2值域為，22，+解題技巧技巧一：湊項例，求函數(shù)的最大值。解：因，所以首先要“調(diào)整符號，又不是常數(shù)，所以對要進展拆、湊項，當且僅當，即時，上式等號成立，故當時，。

3、評注：此題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)例1.當時，求的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將湊上一個系數(shù)即可。當，即x2時取等號當x2時，的最大值為8。評注：此題無法直接運用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。變式：設，求函數(shù)的最大值。解：當且僅當即時等號成立。技巧三：別離例3.求的值域。解析一：此題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有x1的項，再將其別離。當，即時，當且僅當x1時取“號。技巧四：換元解析二：此題看似無法運用

4、均值不等式，可先換元，令t=x1，化簡原式在別離求最值。當，即t=時，當t=2即x1時取“號。評注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為，g(x)恒正或恒負的形式，然后運用均值不等式來求最值。技巧五：在應用最值定理求最值時，假設遇等號取不到的情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。例：求函數(shù)的值域。解：令，那么因，但解得不在區(qū)間，故等號不成立，考慮單調(diào)性。因為在區(qū)間單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，故。所以，所求函數(shù)的值域為。練習求以下函數(shù)的最小值，并求取得最小值時，x的值.12(3)2，求函數(shù)的最大值.；3，求函數(shù)的最大值.條件求最值1.假設

5、實數(shù)滿足，那么的最小值是.分析：“和到“積是一個縮小的過程，而且定值，因此考慮利用均值定理求最小值，解：都是正數(shù)，當時等號成立，由及得即當時，的最小值是6變式：假設，求的最小值.并求x，y的值技巧六：整體代換屢次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否那么就會出錯。2：，且，求的最小值。錯解：，且，故。錯因：解法中兩次連用均值不等式，在等號成立條件是，在等號成立條件是即，取等號的條件的不一致，產(chǎn)生錯誤。因此，在利用均值不等式處理問題時，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。正解：，當且僅當時，上式等號成立，又，可得時，。變式：1假設且，求的最小值(2)

6、且，求的最小值技巧七x，y為正實數(shù)，且x2eq f(y 2,2) 1，求x eq r(1y 2) 的最大值.分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式abeq f(a 2b 2,2) 。同時還應化簡 eq r(1y 2) 中y2前面的系數(shù)為eq f(1,2) ，x eq r(1y 2) x eq r(2eq f(1y 2,2) ) eq r(2) x eq r(eq f(1,2) eq f(y 2,2) ) 下面將x， eq r(eq f(1,2) eq f(y 2,2) ) 分別看成兩個因式：x eq r(eq f(1,2) eq f(y 2,2) ) eq f(x 2( eq r(eq

7、 f(1,2) eq f(y 2,2) ) )2,2) eq f(x 2eq f(y 2,2) eq f(1,2) ,2) eq f(3,4) 即x eq r(1y 2) eq r(2) x eq r(eq f(1,2) eq f(y 2,2) ) eq f(3,4) eq r(2) 技巧八：a，b為正實數(shù)，2baba30，求函數(shù)y eq f(1,ab) 的最小值.分析：這是一個二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或 根本不等式求解，對此題來說，這種途徑是可行的；二是直接用 根本不等式，對此題來說，因條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出

8、最值，考慮用 根本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進展。法一：a eq f(302b,b1) ，ab eq f(302b,b1) b eq f(2 b 230b,b1) 由a0得，0b15令tb+1，1t16，ab eq f(2t 234t31,t) 2t eq f(16,t) 34t eq f(16,t) 2 eq r(t eq f(16,t) ) 8ab18yeq f(1,18) 當且僅當t4，即b3，a6時，等號成立。法二：由得：30aba2ba2b2 eq r(2 ab ) 30ab2 eq r(2 ab ) 令u eq r(ab ) 那么u22 eq r(2) u300，5 eq

9、r(2) u3 eq r(2) eq r(ab ) 3 eq r(2) ，ab18，yeq f(1,18) 點評：此題考察不等式的應用、不等式的解法及運算能力；若何由不等式出發(fā)求得的范圍，關鍵是尋找到之間的關系，由此想到不等式，這樣將條件轉(zhuǎn)換為含的不等式，進而解得的范圍.變式：1.a0，b0，ab(ab)1，求ab的最小值。2.假設直角三角形周長為1，求它的面積最大值。技巧九、取平方5、x，y為正實數(shù)，3x2y10，求函數(shù)W eq r(3x) eq r(2y) 的最值.解法一：假設利用算術平均與平方平均之間的不等關系，eq f(ab,2) eq f(a 2b 2,2) ，此題很簡單 eq r(

10、3x) eq r(2y) eq r(2) eq r( eq r(3x) 2 eq r(2y) 2) eq r(2) eq r(3x2y) 2 eq r(5) 解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設法直接用 根本不等式，應通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值條件靠攏。W0，W23x2y2 eq r(3x) eq r(2y) 102 eq r(3x) eq r(2y) 10( eq r(3x) )2( eq r(2y) )210(3x2y)20W eq r(20) 2 eq r(5) 變式:求函數(shù)的最大值。解析：注意到與的和為定值。又，所以當且僅當=，即時取等號。故。評注：此題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件?？傊?，我們利用均值不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。應用二：利用均值不等式證明不等式1為兩兩不相等的實數(shù)，求證：1正數(shù)a，b，c滿足abc1，求證：(1a)(1b)(1c)8abc例6：a、b、c，且。求證：分析：不等式右