2022屆福建省福州市高考考前模擬數(shù)學(xué)試題含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意：1請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的注意事項(xiàng)，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知，是球的球面上四個(gè)不同的點(diǎn)，若，且平面平面，則球的表面積為（ ）ABCD2已知，橢圓的方程，雙曲線的方程為，和的離心率之積為，則的漸近線方程為（ ）ABCD3從集合中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為，從集合中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為，則在方程表示雙曲線的條件

2、下，方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的概率為（ ）ABCD4如圖，正三棱柱各條棱的長(zhǎng)度均相等，為的中點(diǎn)，分別是線段和線段的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），且滿足，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論中不正確的是A在內(nèi)總存在與平面平行的線段B平面平面C三棱錐的體積為定值D可能為直角三角形5已知非零向量、，若且，則向量在向量方向上的投影為（ ）ABCD6射線測(cè)厚技術(shù)原理公式為，其中分別為射線穿過被測(cè)物前后的強(qiáng)度，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為被測(cè)物厚度，為被測(cè)物的密度，是被測(cè)物對(duì)射線的吸收系數(shù).工業(yè)上通常用镅241（）低能射線測(cè)量鋼板的厚度.若這種射線對(duì)鋼板的半價(jià)層厚度為0.8，鋼的密度為7.6，則這種射線的吸收系數(shù)為（ ）（注：半價(jià)層厚度是指將

3、已知射線強(qiáng)度減弱為一半的某種物質(zhì)厚度，結(jié)果精確到0.001）A0.110B0.112CD7已知雙曲線的焦距是虛軸長(zhǎng)的2倍，則雙曲線的漸近線方程為（ ）ABCD8如圖，正方形網(wǎng)格紙中的實(shí)線圖形是一個(gè)多面體的三視圖，則該多面體各表面所在平面互相垂直的有（ ）A2對(duì)B3對(duì)C4對(duì)D5對(duì)9過雙曲線的左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，若與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為（ ）ABCD10已知排球發(fā)球考試規(guī)則：每位考生最多可發(fā)球三次，若發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到次結(jié)束為止某考生一次發(fā)球成功的概率為，發(fā)球次數(shù)為，若的數(shù)學(xué)期望，則的取值范圍為( )ABCD11已知斜率為k的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，

4、線段AB的中點(diǎn)為，則斜率k的取值范圍是（ ）ABCD12已知符號(hào)函數(shù)sgnxf（x）是定義在R上的減函數(shù)，g（x）f（x）f（ax）（a1），則（ ）Asgng（x）sgn xBsgng（x）sgnxCsgng（x）sgnf（x）Dsgng（x）sgnf（x）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13設(shè)f（x）etx（t0），過點(diǎn)P（t，0）且平行于y軸的直線與曲線C：yf（x）的交點(diǎn)為Q，曲線C過點(diǎn)Q的切線交x軸于點(diǎn)R，若S（1，f（1），則PRS的面積的最小值是_14有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎(jiǎng)，有人走訪了四位歌手，甲說“是乙或丙獲獎(jiǎng).”乙說：“甲、丙都未獲

5、獎(jiǎng).”丙說：“我獲獎(jiǎng)了”.丁說：“是乙獲獎(jiǎng).”四位歌手的話只有兩句是對(duì)的，則獲獎(jiǎng)的歌手是_15若函數(shù)與函數(shù)，在公共點(diǎn)處有共同的切線，則實(shí)數(shù)的值為_16已知實(shí)數(shù)，且由的最大值是_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知點(diǎn)，且，滿足條件的點(diǎn)的軌跡為曲線（1）求曲線的方程；（2）是否存在過點(diǎn)的直線，直線與曲線相交于兩點(diǎn)，直線與軸分別交于兩點(diǎn)，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由18（12分）設(shè)函數(shù).（1）解不等式；（2）記的最大值為，若實(shí)數(shù)、滿足，求證：.19（12分）設(shè)點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，且的最小值為1（1）求橢圓的方

6、程；（2）如圖，動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)，是直線上的兩點(diǎn)，且，求四邊形面積的最大值20（12分）已知橢圓：（），與軸負(fù)半軸交于，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交直線于，兩點(diǎn)，已知，求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).21（12分）第十四屆全國(guó)冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)召開期間，某校舉行了“冰上運(yùn)動(dòng)知識(shí)競(jìng)賽”，為了解本次競(jìng)賽成績(jī)情況，從中隨機(jī)抽取部分學(xué)生的成績(jī)(得分均為整數(shù)，滿分100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，請(qǐng)根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù)，解答下列問題：（1）求、的值及隨機(jī)抽取一考生其成績(jī)不低于70分的概率；（2）若從成績(jī)較好的3、4、5組中按分層抽樣的方法抽取5人參加

7、“普及冰雪知識(shí)”志愿活動(dòng)，并指定2名負(fù)責(zé)人，求從第4組抽取的學(xué)生中至少有一名是負(fù)責(zé)人的概率.組號(hào)分組頻數(shù)頻率第1組150.15第2組350.35第3組b0.20第4組20第5組100.1合計(jì)1.0022（10分）已知是拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，到軸的距離比小1.（1）求的方程；（2）設(shè)直線與交于另一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，.若，求直線的斜率.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1A【解析】由題意畫出圖形，求出多面體外接球的半徑，代入表面積公式得答案【詳解】如圖，取BC中點(diǎn)G，連接AG，DG，則，分別取與的外心E，F(xiàn)，分別過

8、E，F(xiàn)作平面ABC與平面DBC的垂線，相交于O，則O為四面體的球心，由，得正方形OEGF的邊長(zhǎng)為，則，四面體的外接球的半徑，球O的表面積為故選A【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題2A【解析】根據(jù)橢圓與雙曲線離心率的表示形式，結(jié)合和的離心率之積為，即可得的關(guān)系，進(jìn)而得雙曲線的離心率方程.【詳解】橢圓的方程，雙曲線的方程為，則橢圓離心率，雙曲線的離心率，由和的離心率之積為，即，解得，所以漸近線方程為，化簡(jiǎn)可得，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓與雙曲線簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)應(yīng)用，橢圓與雙曲線離心率表示形式，雙曲線漸近線方程求法，屬于基礎(chǔ)題.3A【解析】設(shè)事件A為“方

9、程表示雙曲線”，事件B為“方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線”，分別計(jì)算出，再利用公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)事件A為“方程表示雙曲線”，事件B為“方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線”，由題意，則所求的概率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用定義計(jì)算條件概率的問題，涉及到雙曲線的定義，是一道容易題.4D【解析】A項(xiàng)用平行于平面ABC的平面與平面MDN相交，則交線與平面ABC平行；B項(xiàng)利用線面垂直的判定定理；C項(xiàng)三棱錐與三棱錐體積相等，三棱錐的底面積是定值，高也是定值，則體積是定值;D項(xiàng)用反證法說明三角形DMN不可能是直角三角形.【詳解】A項(xiàng)，用平行于平面ABC的平面截平面MND，則交線平行于平面ABC，故正確； B

10、項(xiàng)，如圖：當(dāng)M、N分別在BB1、CC1上運(yùn)動(dòng)時(shí),若滿足BM=CN,則線段MN必過正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面平面，故正確；C項(xiàng),當(dāng)M、N分別在BB1、CC1上運(yùn)動(dòng)時(shí),A1DM的面積不變,N到平面A1DM的距離不變,所以棱錐N-A1DM的體積不變,即三棱錐A1-DMN的體積為定值,故正確；D項(xiàng),若DMN為直角三角形,則必是以MDN為直角的直角三角形,但MN的最大值為BC1,而此時(shí)DM,DN的長(zhǎng)大于BB1,所以DMN不可能為直角三角形,故錯(cuò)誤.故選D【點(diǎn)睛】本題考查了命題真假判斷、棱柱的結(jié)構(gòu)特征、空間想象力和思維能力，意在考查對(duì)線面、面面平行、垂直的判定和性質(zhì)的

11、應(yīng)用，是中檔題.5D【解析】設(shè)非零向量與的夾角為，在等式兩邊平方，求出的值，進(jìn)而可求得向量在向量方向上的投影為，即可得解.【詳解】，由得，整理得，解得，因此，向量在向量方向上的投影為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查向量投影的計(jì)算，同時(shí)也考查利用向量的模計(jì)算向量的夾角，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6C【解析】根據(jù)題意知,，代入公式,求出即可.【詳解】由題意可得,因?yàn)?所以,即.所以這種射線的吸收系數(shù)為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查知識(shí)的遷移能力,把數(shù)學(xué)知識(shí)與物理知識(shí)相融合;重點(diǎn)考查指數(shù)型函數(shù),利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來研究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì),以及解指數(shù)型方程；屬于中檔題.7A【解析】根據(jù)雙曲線的焦距是虛軸長(zhǎng)的

12、2倍，可得出，結(jié)合，得出，即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】解：由雙曲線可知，焦點(diǎn)在軸上，則雙曲線的漸近線方程為：，由于焦距是虛軸長(zhǎng)的2倍，可得：，即：，所以雙曲線的漸近線方程為：.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，以及雙曲線的漸近線方程.8C【解析】畫出該幾何體的直觀圖，易證平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，從而可選出答案【詳解】該幾何體是一個(gè)四棱錐，直觀圖如下圖所示，易知平面平面，作POAD于O，則有PO平面ABCD，POCD，又ADCD，所以，CD平面PAD，所以平面平面，同理可證：平面平面，由三視圖可知：POAOOD，所以，APPD，又APCD，所以，AP平面PC

13、D，所以，平面平面，所以該多面體各表面所在平面互相垂直的有4對(duì)【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的三視圖，考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了面面垂直的證明，屬于中檔題9A【解析】直線的方程為，令，得，得到a,b的關(guān)系，結(jié)合選項(xiàng)求解即可【詳解】直線的方程為，令，得.因?yàn)?，所以，只有選項(xiàng)滿足條件.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系以及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查運(yùn)算求解能力.10A【解析】根據(jù)題意，分別求出再根據(jù)離散型隨機(jī)變量期望公式進(jìn)行求解即可【詳解】由題可知，則解得，由可得，答案選A【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量期望的求解，易錯(cuò)點(diǎn)為第三次發(fā)球分為兩種情況：三次都不成功、第三次成功11C【解析】設(shè)，

14、設(shè)直線的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，由得，利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件得，代入上式即可求出的取值范圍【詳解】設(shè)直線的方程為：， ，聯(lián)立方程，消去得：，且，線段的中點(diǎn)為,，把 代入，得，故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于中檔題12A【解析】根據(jù)符號(hào)函數(shù)的解析式，結(jié)合f（x）的單調(diào)性分析即可得解.【詳解】根據(jù)題意，g（x）f（x）f（ax），而f（x）是R上的減函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，xax，則有f（x）f（ax），則g（x）f（x）f（ax）0，此時(shí)sgng （ x）1，當(dāng)x0時(shí)，xax，則有f（x）f（ax），則g（x）f（x）f（ax）0，此時(shí)sgng （ x

15、）0，當(dāng)x0時(shí)，xax，則有f（x）f（ax），則g（x）f（x）f（ax）0，此時(shí)sgng （ x）1，綜合有：sgng （ x）sgn（x）；故選：A【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)新定義問題，涉及函數(shù)單調(diào)性辨析，關(guān)鍵在于讀懂定義，根據(jù)自變量的取值范圍分類討論.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】計(jì)算R（t，0），PRt（t），PRS的面積為S，導(dǎo)數(shù)S，由S0得t1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值.【詳解】PQy軸，P（t，0），Q（t，f（t）即Q（t，），又f（x）etx（t0）的導(dǎo)數(shù)f（x）tetx，過Q的切線斜率kt，設(shè)R（r，0），則k，rt，即R（t，0），PRt（t），

16、又S（1，f（1）即S（1，et），PRS的面積為S，導(dǎo)數(shù)S，由S0得t1，當(dāng)t1時(shí)，S0，當(dāng)0t1時(shí)，S0，t1為極小值點(diǎn)，也為最小值點(diǎn)，PRS的面積的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求面積的最值問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.14丙【解析】若甲獲獎(jiǎng)，則甲、乙、丙、丁說的都是錯(cuò)的，同理可推知乙、丙、丁獲獎(jiǎng)的情況，可知獲獎(jiǎng)的歌手是丙考點(diǎn)：反證法在推理中的應(yīng)用.15【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，求出?dǎo)函數(shù)，利用曲線與曲線公共點(diǎn)為由于在公共點(diǎn)處有共同的切線，解得，聯(lián)立解得的值【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，設(shè)曲線與曲線公共點(diǎn)為，由于在公共點(diǎn)處有共同的切線，解得，由，可得聯(lián)立，解得故答案為

17、：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題16【解析】將其轉(zhuǎn)化為幾何意義，然后根據(jù)最值的條件求出最大值【詳解】由化簡(jiǎn)得，又實(shí)數(shù)，圖形為圓，如圖:，可得，則由幾何意義得，則，為求最大值則當(dāng)過點(diǎn)或點(diǎn)時(shí)取最小值，可得所以的最大值是【點(diǎn)睛】本題考查了二元最值問題，將其轉(zhuǎn)化為幾何意義，得到圓的方程及斜率問題，對(duì)要求的二元二次表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后求出最值問題，本題有一定難度。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）（2）存在， 或【解析】（1）由得看成到兩定點(diǎn)的和為定值，滿足橢圓定義，用定義可解曲線的方程.（2）先討論斜率不存在情

18、況是否符合題意，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線點(diǎn)斜式方程，由，可得，再直線與橢圓聯(lián)解，利用根的判別式得到關(guān)于的一元二次方程求解.【詳解】解：設(shè)，由， ，可得，即為，由，可得的軌跡是以為焦點(diǎn)，且的橢圓，由，可得，可得曲線的方程為；假設(shè)存在過點(diǎn)的直線l符合題意當(dāng)直線的斜率不存在，設(shè)方程為，可得為短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，不成立；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，由，可得，即，可得，化為，由可得，由在橢圓內(nèi)，可得直線與橢圓相交，則化為，即為，解得，所以存在直線符合題意，且方程為或【點(diǎn)睛】本題考查求軌跡方程及直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題. （1）定義法求軌跡方程的思路:應(yīng)用定義法求軌跡方程的關(guān)鍵在于由已知條件推出關(guān)于動(dòng)點(diǎn)

19、的等量關(guān)系式，由等量關(guān)系結(jié)合曲線定義判斷是何種曲線，再設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，用待定系數(shù)法求解；（2）解決是否存在直線的問題時(shí)，可依據(jù)條件尋找適合條件的直線方程，聯(lián)立方程消元得出一元二次方程，利用判別式得出是否有解.18（1）（2）證明見解析【解析】（1）采用零點(diǎn)分段法：、，由此求解出不等式的解集；（2）先根據(jù)絕對(duì)值不等式的幾何意義求解出的值，然后利用基本不等式及其變形完成證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，不等式為，解得當(dāng)時(shí)，不等式為，解得當(dāng)時(shí)，不等式為，解得原不等式的解集為（2）當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）同理可得，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的解法以及利用基本不等式證明不等式

20、，難度一般.（1）常見的絕對(duì)值不等式解法：零點(diǎn)分段法、圖象法、幾何意義法；（2）利用基本不等式完成證明時(shí)，注意說明取等號(hào)的條件.19（1）；（2）2.【解析】（1）利用的最小值為1，可得，即可求橢圓的方程；（2）將直線的方程代入橢圓的方程中，得到關(guān)于的一元二次方程，由直線與橢圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)知，即可得到，的關(guān)系式，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得到，當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的傾斜角為，則，即可得到四邊形面積的表達(dá)式，利用基本不等式的性質(zhì)，結(jié)合當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，即可得出的最大值【詳解】（1）設(shè)，則，由題意得， 橢圓的方程為；（2）將直線的方程代入橢圓的方程中，得由直線與橢圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)知，化簡(jiǎn)得：設(shè)， 當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的傾斜角為，則， ，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，所以四邊形面積的最大值為2【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、向量知識(shí)、二次函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想20（1） （2）證明見解析；定點(diǎn)坐標(biāo)為【解析】（1）由條件直接算出即可（2）由得，由可得，同理，然后由推出即可【詳解】（1）由題有，.，.橢圓方程為.（2）由得，.又，同理又，此時(shí)滿足直線恒過定點(diǎn)【點(diǎn)睛】涉及橢圓的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“