計(jì)算機(jī)仿真課件：第三章 MATLAB數(shù)值計(jì)算

1、基本數(shù)學(xué)函數(shù)sin, sinhasin, asinhcos, coshacos, acoshtan, tanhcot, cothacot, acothsec, sechasec, asechcsc, cschacsc, acsch其他常用函數(shù)fixroundfloor remceilexp：以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)expm以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)(矩陣)log 以e為底數(shù)的對數(shù)函數(shù)log10 以10為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)abs，conj,imag,real,angle,complex,mod,第三章 MATLAB數(shù)值計(jì)算3.1 MATLAB數(shù)學(xué)函數(shù)3. 2矩陣運(yùn)算3.2.1矩陣變換1矩陣的轉(zhuǎn)置 運(yùn)算符 ()

2、, 共軛轉(zhuǎn)置。2矩陣的旋轉(zhuǎn) rot90(A,k)函數(shù)rot90(A,k)將矩陣A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90的k倍，當(dāng)k為1時可省略。3矩陣的左右翻轉(zhuǎn): 函數(shù)是fliplr(A)。左右翻轉(zhuǎn)是將原矩陣的第一列和最后一列調(diào)換，第二列和倒數(shù)第二列調(diào)換，依次類推。4矩陣的上下翻轉(zhuǎn): 函數(shù)是flipud(A)。A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 fliplr(A)ans = 4 3 2 1 8 7 6 512 11 10 916 15 14 13 flipud(A)ans = 13 14 15 16 9 10 11 12 5 6 7 8 1 2 3 4 rot90

3、(A,1)ans = 4 8 12 16 3 7 11 15 2 6 10 14 1 5 9 13 rot90(A,2)ans = 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 13.2.2矩陣的秩、跡、行列式、逆和偽逆 rank(A) trace(A) det(A) inv(A) pinv(A)。1矩陣的秩矩陣線性無關(guān)的行數(shù)或列數(shù)稱為矩陣的秩。 在MATLAB中，求矩陣秩的函數(shù)是rank(A)。2矩陣的跡矩陣的跡等于矩陣的對角線元素之和，也等于矩陣的特征值之和。在MATLAB中，求矩陣的跡的函數(shù)是trace(A)。3 矩陣的行列式 在MATLAB中，求方陣A所對應(yīng)

4、的行列式的值的函數(shù)是det(A)。4矩陣的逆對于一個方陣A，如果存在一個與其同階的方陣B，使得：AB=BA=I (I為單位矩陣)則稱B為A的逆矩陣，當(dāng)然，A也是B的逆矩陣。求方陣A的逆矩陣可調(diào)用函數(shù)inv(A)。例 用求逆矩陣的方法解線性方程組。Ax=b其解為：x=A-1b x=inv(A)*b。5矩陣的偽逆如果矩陣A不是一個方陣，或者A是一個非滿秩的方陣時，矩陣A沒有逆矩陣，但可以找到一個與A的轉(zhuǎn)置矩陣A同型的矩陣B，使得：ABA=ABAB=B此時稱矩陣B為矩陣A的偽逆，也稱為廣義逆矩陣。在MATLAB中，求一個矩陣偽逆的函數(shù)是pinv(A)。3.2.3矩陣的范數(shù)和條件數(shù)矩陣或向量的范數(shù)用來

5、度量矩陣或向量在某種意義下的長度。范數(shù)有多種方法定義，其定義不同，范數(shù)值也就不同。1向量的3種常用范數(shù)及其計(jì)算函數(shù)在MATLAB中，求向量范數(shù)的函數(shù)為：(1) norm(V)或norm(V,2)：計(jì)算向量V的2范數(shù)。(2) norm(V,1)：計(jì)算向量V的1范數(shù)。(3) norm(V,inf)：計(jì)算向量V的范數(shù)。2矩陣的范數(shù)及其計(jì)算函數(shù)MATLAB提供了求3種矩陣范數(shù)的函數(shù)，其函數(shù)調(diào)用格式與求向量的范數(shù)的函數(shù)完全相同。3 矩陣的條件數(shù)在MATLAB中，計(jì)算矩陣A的3種條件數(shù)的函數(shù)是：(1) cond(A,1) 計(jì)算A的1范數(shù)下的條件數(shù)。(2) cond(A)或cond(A,2) 計(jì)算A的2范數(shù)

6、數(shù)下的條件數(shù)。(3) cond(A,inf) 計(jì)算A的 范數(shù)下的條件數(shù)。3.2.4矩陣特征值和特征向量 在MATLAB中，計(jì)算矩陣A的特征值和特征向量的函數(shù)是eig(A)，常用的調(diào)用格式有3種：(1) E=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成向量E。(2) V,D=eig(A)：矩陣A的全部特征值構(gòu)成對角陣D，A的特征向量構(gòu)成V的列向量。 (3) V,D=eig(A,nobalance)：與第2種格式類似，但第2種格式中先對A作相似變換后求矩陣A的特征值和特征向量，而格式3直接求矩陣A的特征值和特征向量。例 用求特征值的方法解一元多次方程。3x5-7x4+5x2+2x-18=0p=3,-7

7、,0,5,2,-18;A=compan(p); %p的友矩陣方法一 x1=eig(A) %求A的特征值方法二 x2=roots(p) %直接求多項(xiàng)式p的零點(diǎn)A的第1行元素為 -p (2:n)/p(1)，其中p (2:n)為p的第2到第n個元素， A = 2.3333 0 -1.6667 -0.6667 6.0000 1.0000 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 1.0000 03.3稀疏矩陣3.3.1矩陣的存儲方式MATLAB的矩陣有兩種存儲方式：完全存儲方式和稀疏存儲方式。 1完全存儲方式完全存儲方式是將矩陣的全部元素按列存儲。以前講到

8、的矩陣的存儲方式都是按這個方式存儲的，此存儲方式對稀疏矩陣也適用。 2稀疏存儲方式稀疏存儲方式僅存儲矩陣所有的非零元素的值及其位置，即行號和列號。在MATLAB中，稀疏存儲方式也是按列存儲的。注意，在講稀疏矩陣時，有兩個不同的概念，一是指矩陣的0元素較多，該矩陣是一個具有稀疏特征的矩陣，二是指采用稀疏方式存儲的矩陣。3.2.2創(chuàng)建稀疏矩陣1）將完全存儲方式轉(zhuǎn)化為稀疏存儲方式函數(shù)A=sparse(S)將矩陣S轉(zhuǎn)化為稀疏存儲方式的矩陣A。當(dāng)矩陣S是稀疏存儲方式時，則函數(shù)調(diào)用相當(dāng)于A=S。2）將稀疏存儲方式轉(zhuǎn)化為完全存儲方式 F=full(A)：返回和稀疏存儲矩陣A對應(yīng)的完全存儲方式矩陣。A=0 0

9、 1;0 3 0;0 0 5;s=sparse(A)s=(2,2) 3(1,3) 1(3,3) 5f=full(s)f=0 0 10 3 00 0 5sparse函數(shù)還有其他一些調(diào)用格式：sparse(m,n)：生成一個mn的所有元素都是0的稀疏矩陣。 sparse(i,j,s,m,n) 其中i,j分別是矩陣非零元素的行和列的下標(biāo)向量，s是對應(yīng)行列處的非零元素，m,n分別是矩陣的行數(shù)和列數(shù)。此外，還有一些和稀疏矩陣操作有關(guān)的函數(shù)。例如i,j,k=find(A)：返回矩陣A中非0元素的下標(biāo)和元素。這里產(chǎn)生的i,j,k可作為sparse(i,j,k)的參數(shù)。s=sparse(2 1 3,2 3 3

10、,3 1 5,3,3)s=(2,2) 3 (1,3) 1(3,3) 5i,j,k=find(s)i=213j=233k=3 1 53.4數(shù)據(jù)處理與多項(xiàng)式運(yùn)算3.4.1數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)與分析1. 最大值和最小值 MATLAB提供的求數(shù)據(jù)序列的最大值和最小值的函數(shù)分別為max和min，兩個函數(shù)的調(diào)用格式和操作過程類似。（1）求向量的最大值和最小值求一個向量X的最大值的函數(shù)有兩種調(diào)用格式，分別是：y=max(X)：返回向量X的最大值存入y，如果X中包含復(fù)數(shù)元素，則按模取最大值。y,I=max(X)：返回向量X的最大值存入y，最大值的 序號存入I。如果X中包含復(fù)數(shù)元素，則按模取最大值。 求向量X的最小值的函數(shù)

11、是min(X)，用法同max(X) 。例 求向量x的最大值。命令如下：x=-43,72,9,16,23,47;y=max(x) %求向量x中的最大值y,l=max(x) %求向量x中的最大值及其該元素的位置y = 72l = 2（2）求矩陣的最大值和最小值求矩陣A的最大值的函數(shù)有3種調(diào)用格式，分別是：Y=max(A)：返回一個行向量，向量的第i個元素是矩陣A的第i列上的最大值。Y,U=max(A)：返回行向量Y和U，Y向量記錄A的每列的最大值，U向量記錄每列最大值的行號。max(A,dim)：dim取1或2。dim取1時，該函數(shù)和max(A)完全相同；dim取2時，該函數(shù)返回一個列向量，其第i

12、個元素是A矩陣的第i行上的最大值。求最小值的函數(shù)是min，其用法和max完全相同。（3）兩個向量或矩陣對應(yīng)元素的比較函數(shù)max和min還能對兩個同型的向量或矩陣進(jìn)行比較，調(diào)用格式為：U=max(A,B)：A,B是兩個同型的向量或矩陣， 結(jié)果U是與A,B同型的向量或矩陣，U的每個元素 等于A,B對應(yīng)元素的較大者。(2) U=max(A,n)：n是一個標(biāo)量，結(jié)果U是與A同型的 向量或矩陣，U的每個元素等于A對應(yīng)元素和n 中的較大者。min函數(shù)的用法和max完全相同。2.平均值和中值 求數(shù)據(jù)序列平均值的函數(shù)是mean， 求數(shù)據(jù)序列中值的函數(shù)是median。調(diào)用格式為：mean(X)：返回向量X的算術(shù)

13、平均值。mean(A)：返回一個行向量，其第i個元素是矩陣A的第i列的算術(shù)平均值。mean(A,dim)：當(dāng)dim為1時，該函數(shù)等同于mean(A)；當(dāng)dim為2時，返回一個列向量，其第i個元素是矩陣A的第i行的算術(shù)平均值。median(X)：返回向量X的中值。median(A)：返回一個行向量，其第i個元素是A的第i列的中值。median(A,dim)：當(dāng)dim為1時，該函數(shù)等同于median(A)；當(dāng)dim為2時，返回一個列向量，其第i個元素是A的第i行的中值。3. 矩陣元素求和sum與求積prod設(shè)X是一個向量，A是一個矩陣，函數(shù)的調(diào)用格式為：sum(X)：返回向量X各元素的和。prod

14、(X)：返回向量X各元素的乘積。sum(A)：返回一個行向量，其第i個元素是A的第i列的元素和。prod(A)：返回一個行向量，其第i個元素是A的第i列的元素乘積。sum(A,dim)：當(dāng)dim為1時，該函數(shù)等同于sum(A)； 當(dāng)dim為2時，返回一個列向量，其第i個元素是A的第i行的各元素之和。prod(A,dim)：當(dāng)dim為1時，該函數(shù)等同于prod(A)； 當(dāng)dim為2時，返回一個列向量，其第i個元素是A的第i行的各元素乘積。4. 累加和與累乘積在MATLAB中，使用cumsum和cumprod函數(shù)能方便地求得向量和矩陣元素的累加和與累乘積向量，函數(shù)的調(diào)用格式為：cumsum(X)：

15、返回向量X累加和向量。cumprod(X)：返回向量X累乘積向量。cumsum(A)：返回一個矩陣，其第i列是A的第i列的累加和向量。cumprod(A)：返回一個矩陣，其第i列是A的第i列的累乘積向量。cumsum(A,dim)：當(dāng)dim為1時，該函數(shù)等同于cumsum(A)；當(dāng)dim為2時，返回一個矩陣，其第i行是A的第i行的累加和向量。cumprod(A,dim)：當(dāng)dim為1時，該函數(shù)等同于cumprod(A)；當(dāng)dim為2時，返回一個向量，其第i行是A的第i行的累乘積向量。x=1,2,3,4,5;sum(x)ans = 15 cumsum(x) ans = 1 3 6 10 15cu

16、mulative5. 標(biāo)準(zhǔn)方差與相關(guān)系數(shù)求標(biāo)準(zhǔn)方差在MATLAB中，提供了計(jì)算數(shù)據(jù)序列的標(biāo)準(zhǔn)方差的函數(shù)std。對于向量X，std(X)返回一個標(biāo)準(zhǔn)方差。對于矩陣A，std(A)返回一個行向量，它的各個元素便是矩陣A各列或各行的標(biāo)準(zhǔn)方差。std函數(shù)的一般調(diào)用格式為： Y=std(A,flag,dim)其中dim取1或2。當(dāng)dim=1時，求各列元素的標(biāo)準(zhǔn)方差；當(dāng)dim=2時，則求各行元素的標(biāo)準(zhǔn)方差。flag取0或1，當(dāng)flag=0時，按s1所列公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)方差，當(dāng)flag=1時，按s2(見肖偉P53)所列公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)方差。缺省flag=0，dim=1。相關(guān)系數(shù)correlationcoeffici

17、ent corrcoef函數(shù)，可以求出數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)矩陣。corrcoef(X)：返回從矩陣X形成的一個相關(guān)系數(shù)矩陣。此相關(guān)系數(shù)矩陣的大小與矩陣X一樣。它把矩陣X的每列作為一個變量，然后求它們的相關(guān)系數(shù)。corrcoef(X,Y)：X,Y是向量，它們與corrcoef(X,Y)的作用一樣。例 生成滿足正態(tài)分布的100005隨機(jī)矩陣，然后求各列元素的均值和標(biāo)準(zhǔn)方差，再求這5列隨機(jī)數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)矩陣。命令如下：X=randn(10000,5);M=mean(X)D=std(X)R=corrcoef(X)6. 矩陣元素排序?qū)ο蛄縓進(jìn)行排序的函數(shù)是sort(X)，函數(shù)返回一個對X中的元素按升序排列的新

18、向量。sort函數(shù)也可以對矩陣A的各列或各行重新排序，其調(diào)用格式為：Y=sort(A,dim)Y,I=sort(A,dim)其中dim指明對A的列還是行進(jìn)行排序。若dim=1，則按列排；若dim=2，則按行排。Y是排序后的矩陣，而I記錄Y中的元素在A中位置。3.4.2曲線擬合 利用最小二乘法進(jìn)行曲線擬合的函數(shù)為polyfit P,S=polyfit(X,Y,m) 函數(shù)根據(jù)采樣點(diǎn)X和采樣點(diǎn)函數(shù)值Y，產(chǎn)生一個m次多項(xiàng)式P及其在采樣點(diǎn)的誤差向量S。其中X,Y是兩個等長的向量，P是一個長度為m+1的向量，P的元素為多項(xiàng)式系數(shù)。用polyval函數(shù)求擬合函數(shù)P在采樣點(diǎn)X處的函數(shù)值。x=0:0.1:3;y

19、=sin(x);p=polyfit(x,y,8);y1=polyval(p,x);plot(x,y1, k*,x,y,k-)用一個8次多項(xiàng)式在區(qū)間0,3內(nèi)逼近函數(shù)sin(x)3.4.3數(shù)值插值1.一維數(shù)據(jù)插值interp1Y1=interp1(X,Y,X1,method) 函數(shù)根據(jù)X,Y的值，計(jì)算函數(shù)在X1處的值。X,Y是兩個等長的已知向量，分別描述采樣點(diǎn)和樣本值，X1是一個向量或標(biāo)量，描述欲插值的點(diǎn)，Y1是一個與X1等長的插值結(jié)果。method是插值方法，允許的取值有l(wèi)inear、nearest、cubic、spline。注意：X1的取值范圍不能超出X的給定范圍，否則，會給出“NaN”錯誤。

20、MATLAB中有一個專門的3次樣條插值函數(shù)Y1=spline(X,Y,X1)，其功能及使用方法與函數(shù)Y1=interp1(X,Y,X1,spline)完全相同。例 某觀測站測得某日6:00時至18:00時之間每隔2小時的室內(nèi)外溫度()，用3次樣條插值分別求得該日室內(nèi)外6:30至17:30時之間每隔2小時各點(diǎn)的近似溫度()。設(shè)時間變量h為一行向量，溫度變量t為一個兩列矩陣，其中第一列存放室內(nèi)溫度，第二列儲存室外溫度。命令如下：h =6:2:18;t=18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30;XI =6.5:2:17.5YI=interp1(h,t,XI,

21、spline) %用3次樣條插值計(jì)算2. 二維數(shù)據(jù)插值在MATLAB中，提供了解決二維插值問題的函數(shù)interp2，其調(diào)用格式為：Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method)其中X,Y是兩個向量，分別描述兩個參數(shù)的采樣點(diǎn)，Z是與參數(shù)采樣點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值，X1,Y1是兩個向量或標(biāo)量，描述欲插值的點(diǎn)。Z1是根據(jù)相應(yīng)的插值方法得到的插值結(jié)果。 method的取值與一維插值函數(shù)相同。X,Y,Z也可以是矩陣形式。同樣，X1,Y1的取值范圍不能超出X,Y的給定范圍，否則，會給出“NaN”錯誤。例某實(shí)驗(yàn)對一根長10米的鋼軌進(jìn)行熱源的溫度傳播測試。用x表示測量點(diǎn)0:2.5:10(米)，用h表示測

22、量時間0:30:60(秒)，用T表示測試所得各點(diǎn)的溫度()。試用線性插值求出在一分鐘內(nèi)每隔20秒、鋼軌每隔1米處的溫度TI。命令如下：x=0:2.5:10;h=0:30:60;T=95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41;xi=0:10;hi=0:20:60;TI=interp2(x,h,T,xi,hi)Z1=interp3(X,Y,Z,V,X1,Y1,Z1,method)三維數(shù)值插值3.5多項(xiàng)式及其運(yùn)算1.多項(xiàng)式的建立多項(xiàng)式是形如下式的式子：P(x)=a0 xn+a1xn-1+an-1x+an多項(xiàng)式用行向量表示：Pa0 a1 a2an-1 an多項(xiàng)式行

23、向量的構(gòu)造直接鍵入用命令poly(a) 來生成特征值為a的特征多項(xiàng)式。如果a=x0 x1xn-1 xn，由命令poly(a)可生成(x-x0)(x-x1)(x-xn-1)(x-xn)所對應(yīng)的多項(xiàng)式的系數(shù)。也就是由給定的根創(chuàng)建多項(xiàng)式。例：已知向量A=1 34 80，用此向量構(gòu)造一多項(xiàng)式并顯示結(jié)果。A=1 -34 -80;PA=poly(A)PA = 1 113 2606 -2720PAX=poly2sym(PA,X)PAX = X3+113*X2+2606*X-27202.多項(xiàng)式求根多項(xiàng)式求根可用roots函數(shù)。例：求多項(xiàng)式p(x)=2x4-6x3+3x2+0 x+7的根。p=2 -6 3 0

24、7;x=roots(p)x = 1.9322 + 0.4714i 1.9322 - 0.4714i -0.4322 + 0.8355i -0.4322 - 0.8355i3.多項(xiàng)式求值采用polyval函數(shù)可以求出當(dāng)多項(xiàng)式中的未知數(shù)為某個特定值時該多項(xiàng)式的值。例：求上例中x=1時的值。p=2 -6 3 0 7;polyval(p,1)ans = 64.多項(xiàng)式的四則運(yùn)算多項(xiàng)式的加減法運(yùn)算符進(jìn)行加減運(yùn)算的多項(xiàng)式應(yīng)該具有相同的階次，如果階次不同，低階的多項(xiàng)式必須用零添補(bǔ)至高階多項(xiàng)式的階次。例：求兩個多項(xiàng)式a(x)=5x4+4x3+3x2+2x+1和b(x)=3x2+1的和。a=5 4 3 2 1;b

25、=3 0 1;c=a+0 0 bc = 5 4 6 2 2多項(xiàng)式的乘除法多項(xiàng)式乘除法分別對應(yīng)多項(xiàng)式的卷積（convolution）和解卷（deconvolution）運(yùn)算。乘法采用conv函數(shù) d=conv(a,b)上例求積：d=conv(a,b)d = 15 12 14 10 6 2 1除法采用deconv函數(shù) q,r=deconv(P1,P2)結(jié)果包括商（quotient）和余數(shù)（remainder）兩部分。 函數(shù)q,r=deconv(P1,P2)用于對多項(xiàng)式P1和P2作除法運(yùn)算。其中q返回多項(xiàng)式P1除以P2的商式（商向量），r返回P1除以P2的余式（余向量）。這里，q和r仍是多項(xiàng)式系數(shù)向

26、量。deconv是conv的逆函數(shù)，即有P1=conv(P2,q)+r。5.多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù) polynomial derivative函數(shù)polyder例：求多項(xiàng)式p(x)=2x4-6x3+3x2+7的導(dǎo)數(shù)。p=2 -6 3 0 7;q=polyder(p)q = 8 -18 6 0pd=poly2sym(q,x)pd =8*x3-18*x2+6*x常用的多項(xiàng)式函數(shù)函數(shù)功能roots求多項(xiàng)式的根poly用根構(gòu)造多項(xiàng)式polyval計(jì)算多項(xiàng)式的值polyvalm計(jì)算參數(shù)為矩陣的多項(xiàng)式的值residue部分分式展開polyfit多項(xiàng)式數(shù)據(jù)擬合polyder導(dǎo)數(shù)conv乘法deconv除法第4章 MA

27、TLAB符號計(jì)算1.符號計(jì)算基礎(chǔ)2.符號微積分3. 級 數(shù)4.符號方程求解5.積分變換4.1符號計(jì)算基礎(chǔ)4.1.1符號對象的建立1.創(chuàng)建符號變量兩個建立符號對象的函數(shù)：sym和syms，兩個函數(shù)的用法不同。(1) sym函數(shù)sym函數(shù)用來建立單個符號量，一般調(diào)用格式為：符號量名=sym(符號字符串)該函數(shù)可以建立一個符號量，符號字符串可以是常量、變量、函數(shù)或表達(dá)式。 a=sym(a)a =a注意：符號變量a和非符號變量a是不同的。非符號變量在參與運(yùn)算之前必須賦值，變量的運(yùn)算實(shí)際上是該變量對應(yīng)的值進(jìn)行運(yùn)算，其結(jié)果是一個和變量類型對應(yīng)的值；而符號變量參與運(yùn)算之前無須賦值，其結(jié)果是一個由參與運(yùn)算的變

28、量名組成的表達(dá)式。a=sym(a);b=sym(b);c=sym(c);d=sym(d); A=a,b;c,d A = a, b c, d w=1;x=2;y=3;z=4; B=w,x;y,zB = 1 2 3 4 det(A) ans = a*d-b*c(A=sym(a,b;c,d) det(B)ans = -2sym函數(shù)還可以定義符號常數(shù)下面的命令用于比較符號常量與數(shù)值常量在代數(shù)運(yùn)算時的差別。 a=sym(8); b=8; sqrt(a) %結(jié)果為符號常量%結(jié)果為精確的數(shù)學(xué)表達(dá)式ans = 2*2(1/2) sqrt(b) %結(jié)果為數(shù)值常量%近似值ans = 2.8284 (2) syms

29、函數(shù)一次可以定義多個符號變量。一般調(diào)用格式為：syms 符號變量名1 符號變量名2 符號變量名n注: 定義符號變量時不要在變量名上加字符串分界符()，變量間用空格而不要用逗號分隔。例如 用syms定義a、b、c三個符號變量：syms a b c 2建立符號表達(dá)式和符號矩陣 建立符號表達(dá)式有以下2種方法：(1)用sym函數(shù)建立符號表達(dá)式。(2) 使用已經(jīng)定義的符號變量組成符號表達(dá)式。 f=sym(a*x2+b*x+c) f = a*x2+b*x+c syms x a b c f=a*x2+b*x+cf = a*x2+b*x+c創(chuàng)建符號矩陣的方法同創(chuàng)建符號表達(dá)式如： syms a11 a12 a2

30、1 a22 A=a11 a12;a21 a22 A = a11, a12 a21, a22sym(a11 a12;a21 a22)法一法二符號表達(dá)式的因式分解與展開的函數(shù)如下，調(diào)用格式為：factor(f)：對符號表達(dá)式f分解因式。expand(f)：對符號表達(dá)式f進(jìn)行展開。collect(f)：對符號表達(dá)式f合并同類項(xiàng)。collect(f,v)：對符號表達(dá)式f按變量v合并同類項(xiàng)。4.1.2 基本的符號表達(dá)式運(yùn)算 syms x y f=(2*x+3*y)*(x+1); a=expand(f) a = 2*x2+2*x+3*y*x+3*y a=collect(a,x) a = 2*x2+(2+3

31、*y)*x+3*y factor(a) ans = (2*x+3*y)*(x+1)符號表達(dá)式與數(shù)值表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)換利用函數(shù)sym可以將數(shù)值表達(dá)式變換成它的符號表達(dá)式。函數(shù)numeric或eval可以將符號表達(dá)式變換成數(shù)值表達(dá)式。符號表達(dá)式中變量的確定MATLAB中的符號可以表示符號變量和符號常量。findsym可以幫助用戶查找一個符號表達(dá)式中的的符號變量。該函數(shù)的調(diào)用格式為： findsym(s,n)函數(shù)返回符號表達(dá)式s中的n個符號變量，若沒有指定n，則返回s中的全部符號變量。符號矩陣的運(yùn)算 符號矩陣也是一種符號表達(dá)式，所以前面介紹的符號表達(dá)式運(yùn)算都可以在矩陣意義下進(jìn)行。但應(yīng)注意這些函數(shù)作用于

32、符號矩陣時，是分別作用于矩陣的每一個元素。 由于符號矩陣是一個矩陣，所以符號矩陣還能進(jìn)行有關(guān)矩陣的運(yùn)算。例如transpose(s)：返回符號矩陣s的轉(zhuǎn)置矩陣(也適用于數(shù)值矩陣)。s：返回符號矩陣s的共軛轉(zhuǎn)置矩陣(也適用于數(shù)值矩陣) 。det(s)：返回s矩陣的行列式值。其實(shí)，曾介紹過的許多應(yīng)用于數(shù)值矩陣的函數(shù)，如diag、triu、tril、inv、det、rank、eig等，也可直接應(yīng)用于符號矩陣。以上函數(shù)作用于單個的數(shù)據(jù)無意義。4.2.1符號函數(shù)的極限limit函數(shù)的調(diào)用格式為：limit(f,x,a)：求符號函數(shù)f(x)的極限值。即計(jì)算當(dāng)變量x趨近于常數(shù)a時，f(x)函數(shù)的極限值。注：

33、其中a可以為一個確定的數(shù)，也可以為無窮大。在應(yīng)用時，先用syms命令把x聲明為符號變量。(2) limit(f,a)：求符號函數(shù)f(x)的極限值。由于沒有指定符號函數(shù)f(x)的自變量，則使用該格式時，符號函數(shù)f(x)的變量為函數(shù)findsym(f)確定的默認(rèn)自變量，即變量x趨近于a。4.2 微分運(yùn)算(3) limit(f)：求符號函數(shù)f(x)的極限值。符號函數(shù)f(x)的變量為函數(shù)findsym(f)確定的默認(rèn)變量；沒有指定變量的目標(biāo)值時，系統(tǒng)默認(rèn)變量趨近于0，即a=0的情況。(4) limit(f,x,a,right)：求符號函數(shù)f的極限值。right表示變量x從右邊趨近于a。(5) limi

34、t(f,x,a,left)：求符號函數(shù)f的極限值。left表示變量x從左邊趨近于a。例如：求極限 syms x limit(sin(x)/x,x,0)ans =1 limit(sin(x)/x)ans =1 limit(1/x,x,0) ans = NaN limit(1/x,x,0,left) ans = -inf limit(1/x,x,0,right) ans = inf例 求下列極限。極限1：syms a x;f=(x*(exp(sin(x)+1)-2*(exp(tan(x)-1)/(x+a);limit(f,x,a)ans =(1/2*a*exp(sin(a)+1/2*a-exp(t

35、an(a)+1)/a極限2：syms x t;limit(1+2*t/x)(3*x),x,inf)ans =exp(6*t)極限3：syms x;f=x*(sqrt(x2+1)-x);limit(f,x,inf,left)ans =1/2極限4：syms x;f=(sqrt(x)-sqrt(2)-sqrt(x-2)/sqrt(x*x-4);limit(f,x,2,right)ans =-1/24.2.2 符號函數(shù)的微分diff函數(shù)用于對符號表達(dá)式求微分（導(dǎo)數(shù)）。該函數(shù)的一般調(diào)用格式為：diff(f)：沒有指定變量和導(dǎo)數(shù)階數(shù)，則系統(tǒng)按findsym函數(shù)指示的默認(rèn)變量對符號表達(dá)式f求一階導(dǎo)數(shù)。di

36、ff(f, x)：以x為自變量，對符號表達(dá)式f求一階導(dǎo)數(shù)。diff(f,n)：按findsym函數(shù)指示的默認(rèn)變量對符號表達(dá)式f求n階導(dǎo)數(shù)，n為正整數(shù)。diff(f, x,n)：以x為自變量，對符號表達(dá)式f求n階導(dǎo)數(shù)。 syms x diff(x*cos(x),x) ans = cos(x)-x*sin(x) diff(x*cos(x),x,2) ans = -2*sin(x)-x*cos(x) diff(x*cos(x),x,3) ans = -3*cos(x)+x*sin(x)求曲線與直線平行的切線的切點(diǎn) sym(y=x3+3*x-2); f=diff(y); p=solve(f-4)%求f

37、-4=0的根eval(solve(f-4)%將結(jié)果轉(zhuǎn)化為數(shù)值解p = 1/3*3(1/2) -1/3*3(1/2)ans = 0.5774 -0.57744.3積分運(yùn)算符號積分由函數(shù)int來實(shí)現(xiàn)。該函數(shù)的一般調(diào)用格式為：int(f)：沒有指定積分變量和積分階數(shù)時，系統(tǒng)按findsym函數(shù)指示的默認(rèn)變量對被積函數(shù)或符號表達(dá)式f求不定積分。int(f,x)：以x為自變量，對被積函數(shù)或符號表達(dá)式f求不定積分。int(f,x,a,b)：求定積分運(yùn)算。a,b分別表示定積分的下限和上限。該函數(shù)求被積函數(shù)在區(qū)間a,b上的定積分。a和b可以是兩個具體的數(shù)，也可以是一個符號表達(dá)式，還可以是無窮(inf)。當(dāng)函數(shù)

38、f關(guān)于變量x在閉區(qū)間a,b上可積時，函數(shù)返回一個定積分結(jié)果。當(dāng)a,b中有一個是inf時，函數(shù)返回一個廣義積分。當(dāng)a,b中有一個符號表達(dá)式時，函數(shù)返回一個符號函數(shù)。 syms x int(1/(x2+1)ans =atan(x) syms x t; f1=x2/(x+1); a1=int(f1,1,2) a1 = log(3)+1/2-log(2) double(a1)ans = 0.9055 f2=1/(x2+1) ; a2=int(f2,-inf,inf) a2 = pi f3=2*t*x; a3=int(f3,x,1,sin(t)a3 = t*(sin(t)2-1)4.4 級 數(shù)1.級數(shù)符

39、號求和 求符號表達(dá)式的無窮級數(shù)的和，需要symsum，其調(diào)用格式為：symsum(s,v,n,m) 其中s表示一個級數(shù)的通項(xiàng)，是一個符號表達(dá)式。 v是求和變量，v省略時使用系統(tǒng)的默認(rèn)變量。 n和m是求和的開始項(xiàng)和末項(xiàng)(可以為有限項(xiàng))。例：分別求級數(shù)的和。 和syms ksymsum(1/k,k,1,inf)ans =infsymsum(1/(k*(k+1),k,1,10)ans =10/112. 函數(shù)的泰勒級數(shù)taylor函數(shù)將函數(shù)展開為冪級數(shù)，其調(diào)用格式為：taylor(f,x,n,a)該函數(shù)將函數(shù)f按變量x展開為泰勒級數(shù)，展開到第n項(xiàng)(即變量x的n-1次冪)為止，n的缺省值為6。x的缺省值

40、與diff函數(shù)相同。參數(shù)a指定將函數(shù)f在自變量x=a處展開，a的缺省值是0。 f=(1+2*x+3*x2)/(1-2*x-3*x2); taylor(f,x,5) ans = 1+4*x+14*x2+40*x3+122*x44.5.1 代數(shù)方程在MATLAB中，求解用符號表達(dá)式表示的代數(shù)方程可由函數(shù)solve實(shí)現(xiàn)，其調(diào)用格式為：solve(f)：求解符號表達(dá)式f=0的代數(shù)方程，求解變量為默認(rèn)變量。solve(f,x)：求解符號表達(dá)式f=0的代數(shù)方程，求解變量為x。solve(f1,f2,fn,x1,x2,xn)：求解符號表達(dá)式f1,f2,fn組成的代數(shù)方程組，求解變量分別x1,x2,xn。4.

41、5 求解方程例如求解一元二次方程的解 syms x a b c y=a*x2+b*x+c y = a*x2+b*x+c solve(y) ans = 1/2/a*(-b+(b2-4*a*c)(1/2) 1/2/a*(-b-(b2-4*a*c)(1/2) solve(y,a) %求解未知變量aans = -(b*x+c)/x2在求解后，有時解的表示是符號表達(dá)式形式，可以用double函數(shù)將結(jié)果化為小數(shù)，但會使結(jié)果不夠精確。 y=x2+3*x+4; solve(y) ans = -3/2+1/2*i*7(1/2) -3/2-1/2*i*7(1/2) double(ans)ans = -1.5000 + 1.3229i -1.5000 - 1.3229i若要求解的是 形式的方程，可給出整個方程，并用單引號引起來，或?qū)⒎匠谈臑?，并將 賦給另一個變量，然后再使用函數(shù)。求解方程組：x,y=solve(x*y=2,x2+y2=4) x = 2(1/2) -2(1/2) y = 2(1/2) -2(1/2) 4.5.3 符號常微分方程求解在MATLAB中，用大寫字母D表示導(dǎo)數(shù)。例如，Dy表示y，D2y表示y，Dy(0)=5表示y (0)=5。D3y+D2y+Dy-x+5=0表示微分方程y (3) +y +y -x+5=0。符號常微分