復(fù)變函數(shù)課件：chapter4 級數(shù)

1、第四章 級數(shù) 1 級數(shù)和序列的基本性質(zhì)一、復(fù)數(shù)列1.定義復(fù)數(shù)序列和級數(shù)二、級數(shù)復(fù)數(shù)項無窮級數(shù)解所以原級數(shù)發(fā)散. 例所以發(fā)散.絕對收斂與條件收斂定理條件收斂：絕對收斂： 收斂 求極限.解 例1例2 解 級數(shù)滿足必要條件, 但例3故原級數(shù)收斂, 且為絕對收斂.因為所以由正項級數(shù)的比值判別法知:解故原級數(shù)收斂.所以原級數(shù)非絕對收斂.例4解函數(shù)序列和函數(shù)項級數(shù)在單位圓|z|1時, 內(nèi)閉一致收斂，但不一致收斂.即 證畢. 冪級數(shù)(Abel定理)收斂圓與收斂半徑級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對收斂.除原點外處處發(fā)散.收斂圓收斂半徑收斂圓 在收斂圓周上可能收斂，也可能發(fā)散.注意例如, 以下級數(shù):收斂圓周上無收斂點;在

2、收斂圓周上處處收斂.收斂半徑的求法方法1: 比值法方法2: 根值法定理設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)證明：內(nèi)閉一致收斂，魏爾斯特拉斯定理例求收斂半徑:(1)(并討論在收斂圓周上的情形)或解(1)因為所以收斂半徑即原級數(shù)在圓內(nèi)收斂, 在圓外發(fā)散.收斂的級數(shù) 所以原級數(shù)在收斂圓上是處處收斂的.在圓周上,級數(shù)原級數(shù)成為交錯級數(shù), 收斂.發(fā)散.原級數(shù)成為調(diào)和級數(shù)，(2)(并討論時的情形)故收斂半徑例求冪級數(shù) 的收斂半徑:解解所以例求 的收斂半徑.例把函數(shù)表成形如的冪級數(shù), 其中是不相等的復(fù)常數(shù) .解把函數(shù)寫成如下的形式:代數(shù)變形 , 使其分母中出現(xiàn)湊出級數(shù)收斂,且其和為例 求級數(shù)的收斂半徑

3、與和函數(shù).解利用逐項積分,得:所以例 求級數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解例 計算解 2 泰勒展式.內(nèi)任意點.K.解析函數(shù)的泰勒展式（Cauchy積分公式 ）泰勒級數(shù)其中解析函數(shù)的泰勒展開式定理設(shè)在圓盤內(nèi)解析,則對由柯西不等式,那么即因此, 解析函數(shù)在一點的冪級數(shù)展開是唯一的.問題：解析函數(shù)在一點展開為冪級數(shù)，展開式是否唯一？將函數(shù)展開成泰勒級數(shù): 直接法和間接法.1.直接法:計算系數(shù)例，2. 間接法 : 借助于一些已知函數(shù)的展開式 , 結(jié)合冪級數(shù)運算性質(zhì) (逐項求導(dǎo), 積分等)和其它數(shù)學(xué)技巧 (代換等) , 求函數(shù)的泰勒展開式.附: 常見函數(shù)的泰勒展開式例1解例2分析如圖,即解例3 解例4解零點零點

4、的判定(1)由于知是的一階零點 .練習(xí)是五階零點,是二階零點.知是的一階零點.解 (2)由于答案例 求以下函數(shù)的零點的階:的零點及階數(shù) .求解析函數(shù)的唯一性 解析函數(shù)的唯一性定理上節(jié)回顧 3 洛朗(Laurent)展式負(fù)冪項部分正冪項部分主要部分解析部分同時收斂收斂解析函數(shù)的洛朗展式收斂半徑R收斂半徑收斂域兩收斂域無公共部分,兩收斂域有公共部分結(jié)論:.常見的特殊圓環(huán)域:.2. 問題:圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)是否能展開成雙邊冪級數(shù)?定理C為環(huán)域內(nèi)繞 的任一正向簡單閉曲線. （洛朗系數(shù)）證對于第一個積分:.z.對于第二個積分:C為在圓環(huán)域內(nèi)繞 的任何一條正向簡單閉曲線 . 可用同一個式子表示:說明: 函

5、數(shù)在給定圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開是唯一的. 將函數(shù)洛朗展開的方法 : 1. 直接法 2. 間接法 1. 直接展開法用代數(shù)運算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開 .2. 間接展開法例1解其中另解解 解例3 12oxy2oxy2. 函數(shù)在各個不同的圓環(huán)域中有不同的洛朗展開.例4內(nèi)的洛朗展開式. 解 例1是函數(shù)的孤立奇點.是函數(shù)的孤立奇點.解不是孤立奇點.所以孤立奇點的分類1可去奇點:1可去奇點 2極點 3本性奇點洛朗級數(shù)中不含 的負(fù)冪項 2. 極點: 洛朗級數(shù)中含有限多個的負(fù)冪項3. 本性奇點：洛朗級數(shù)中含無窮多個的負(fù)冪項 1.可去奇點：補(bǔ)充定義則函數(shù)在解析. 如果補(bǔ)充定義:時,那么在解析.例3 中不含負(fù)冪

6、項,是的可去奇點 . 例4 說明為的可去奇點.解 所以為的可去奇點.無負(fù)冪項另解 的可去奇點.為2. 極點 階極點.則稱為函數(shù)的例5 有理分式函數(shù)是二階極點, 是一階極點. 練習(xí)例5 函數(shù)有些什么奇點, 如果是極點, 指出它的階.解 函數(shù)的奇點是使的點,這些奇點是是孤立奇點.的一階極點.即解 所以不是二階極點, 而是一階極點.是的幾階極點?思考例6 問是的二階極點嗎?注意: 不能以函數(shù)的表面形式作出結(jié)論 .本性奇點3.例如，含有無窮多個負(fù)冪項 孤立奇點可去奇點極點本性奇點洛朗級數(shù)存在且為有限值不存在且不為無負(fù)冪項無窮多個負(fù)冪項有限個負(fù)冪項 令是的孤立奇點.規(guī)定: m階極點或本性奇點 .的可去奇點、m階極點或本性奇點,如果 t=0 是是的可去奇點、 則稱點可去奇點極點本性奇點洛朗級數(shù)存在且為有限值不存在且不為無正冪項無窮多個正冪項有限個正冪項 例10 (1)函數(shù)在圓環(huán)域不含正冪項所以是的可去奇點 .(2)函數(shù)含有正冪項且 z 為最高正冪項,所以是的1階極點.(3)函數(shù)的展開式:含有無窮多的正冪項所以是的本性奇點.練習(xí)的奇點及其類型.說出函數(shù)