數(shù)學的理性認知與感性經(jīng)驗

1、數(shù)學的理性認知與感性經(jīng)驗美國數(shù)學家柯朗和羅賓認為：“數(shù)學，作為人類思維的表達形式，反映了人們積極進取的意志、縝密周詳?shù)耐评硪约皩ν昝谰辰绲淖非?。”?】數(shù)學嚴密的邏輯體系決定了數(shù)學學習要“依靠學生的理性思維而達到對數(shù)學知識的實質性理解。”【2】然而，當我們以兒童的視角去關照小學生的數(shù)學思維活動時，會發(fā)現(xiàn)他們的思維是以具體形象為主的，這就帶來了他們的數(shù)學學習具有較強的直觀性，充滿了感性的色彩。楊慶余教授認為：“兒童認知數(shù)學的起點并不是科學的數(shù)學，而是他們在自己的生活實踐中形成的經(jīng)驗。也就是說，兒童的數(shù)學活動是從觀察日?，F(xiàn)象開始，用特征歸納來進行的?！薄?】綜上所述，數(shù)學學科的理性訴求和學生（特別

2、是小學生）認知的感性方式之間似乎存在著矛盾。然而筆者卻認為，這看似矛盾的兩者之間也存在著相互依存、相互促進的關系，它們是一對矛盾統(tǒng)一體。在小學數(shù)學教學中，只有正確理解和處理好學生認知的“感性”和數(shù)學思維的“理性”這一對矛盾統(tǒng)一體的關系，才能幫助學生真正理解數(shù)學，形成深度的學習。一、“理性認知”需要根植于“感性經(jīng)驗”著名教育家陶行知先生有過一個精辟的比喻：“接知如接枝?！彼f：“我們要有自己的經(jīng)驗做根，以這經(jīng)驗的形態(tài)所發(fā)生的知識做枝，然后別人的知識才能接得上去，別人的知識才成為我們知識的一個有機部分。”4曾經(jīng)有一個廣告也很形象地表達了這個觀點。廣告大意是：一個小女孩被一道一位數(shù)的減法難住了，結果

3、爸爸拿出了與被減數(shù)個數(shù)相同的果凍，讓這個小女孩一邊吃一邊做題，結果這個女孩順利地解決了問題。這是一個在現(xiàn)實學習中確實存在的現(xiàn)象。這些都表明，有效的教學活動應該是一個從學生已有的感性經(jīng)驗出發(fā)，通過觀察、交流、實驗、猜測、驗證、推理等一系列數(shù)學思維活動，促進學生逐步實現(xiàn)“數(shù)學化”，直至形成“理性認知”的過程。換句話說，離開學生的感性經(jīng)驗做基礎，任何的理性認知就會無處附著，既不可能牢固，也不能真正進入理解狀態(tài)。作為一名數(shù)學教師，必須要準確地分析學生的認知起點，并巧妙設計教學活動，激活學生的感性經(jīng)驗，并在此基礎上開展教學。（一）及時安排操作，激活生活經(jīng)驗生活中處處有數(shù)學。學生在日常生活中潛移默化地積累

4、了一些數(shù)學經(jīng)驗，雖然這些經(jīng)驗還沒有轉化為數(shù)學知識，但是這種經(jīng)驗對于學生深刻理解和掌握數(shù)學知識起著非常積極的基礎作用。譬如，學生雖然不能準確說出長方體的特征，但是卻能憑借生活經(jīng)驗，運用直覺大致判斷哪些物體是長方體。學生能根據(jù)12根小棒（3組，每組4根）拼搭出長方體，但是卻不能自發(fā)地歸納出長方體棱的特征。這就表明，日常積累的生活經(jīng)驗具有數(shù)學因素，是兒童學習數(shù)學的重要基礎，但它與數(shù)學知識是有距離的，不可能由此自發(fā)地形成數(shù)學知識，完成數(shù)學認知的系統(tǒng)發(fā)展。教師在數(shù)學教學中，需要激活學生已經(jīng)積累的日常生活經(jīng)驗，以作為數(shù)學知識教學的基礎。例如，在長方體和正方體的認識一課中，為了幫助學生探究長方體“相對的棱長

5、度相等”的特征，我們可以給學生提供四種顏色的小棒（相同顏色的小棒長度相同，不同顏色的小棒長度不同）和一些接頭，讓他們自主選擇小棒，拼搭成一個長方體模型。在學生成功地拼搭出長方體后，適時追問：為什么不選白色的小棒？（只有3根）黃色小棒有6根，為什么你只選4根？并且，教師故意將三根紅色小棒插在一個三維接頭上：“老師也在嘗試搭一個長方體，卻沒有搭成功，你能幫我分析一下是什么原因嗎？”要想成功地拼搭一個長方體，學生必須調動已有的對長方體的認知經(jīng)驗，并運用經(jīng)驗進行篩選、嘗試、調整、反思成功的拼搭過程，就是學生對長方體棱的本質屬性通過操作逐步形成清晰表象的過程。而隨后的交流和討論過程，更加深了學生對棱的條

6、數(shù)、位置、長度等特征的深刻理解。(二)自覺正向遷移，激活直接經(jīng)驗“為遷移而教”已經(jīng)成為一種教學共識。遷移分為正遷移和負遷移（即干擾）。教師在教學中利用正遷移完成教學的例子不勝枚舉。例如，在教學三位數(shù)乘兩位數(shù)時，可以先復習兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算，激活兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算經(jīng)驗，然后將其中的兩位數(shù)變成三位數(shù)，再讓學生嘗試計算。學生就很自然地將兩位數(shù)乘兩位數(shù)的經(jīng)驗順利地遷移到三位數(shù)乘兩位數(shù)中。再如，在學生理解了一位小數(shù)表示十分之幾的基礎上，再教學兩位小數(shù)、三位小數(shù)的意義，學生就能自然將一位小數(shù)的意義進行遷移，得出兩位小數(shù)表示百分之幾、三位小數(shù)表示千分之幾。這樣的遷移，就是借助原有認知的基礎作用，形成認知

7、過程的“順勢下滑”，實現(xiàn)認知的順應。（三）轉化負面遷移，激活思維經(jīng)驗負遷移一般對新知教學起干擾作用，應當加以避免。但是，只要巧妙利用，有的時候利用負遷移也能轉化為正方向的教學效果。例如，認識公頃的教學導入，大多數(shù)教師都采用“填面積單位”的方式，先分別讓學生填寫電話卡表面、數(shù)學書封面、教室占地的面積單位。接著出示“學校的占地面積是2（ ）”，這時總有一些學生會迅速喊出“平方千米”這個單位。這是學生根據(jù)已有知識正常遷移的結果，因為學生已經(jīng)學習了“千米”這個長度單位，知道這個單位比其他幾個長度單位大，自然聯(lián)想到“平方千米”這個單位。此時，教師若采取回避或簡單否定的教學方法都是不可取的，應該順勢利導：

8、大家憑著直覺推想到了一個新的面積單位平方千米，你認為1平方千米有多大呢？我們的學校是個長方形，它的長和寬和1千米相比怎樣？在這里，我們利用“負遷移”既自然地引出新知公頃，又強化了類比推理、反思校正等數(shù)學能力的培養(yǎng)。二、“感性經(jīng)驗”必須上升為“理性認知”數(shù)學學習是透過“數(shù)學現(xiàn)象”研究“數(shù)學本質”的過程。以小學生現(xiàn)有的認知水平和知識基礎，還不足以獨立完成這個認知過程，需要教師的有效引導。教師要在學生的“感性經(jīng)驗”與“理性認知”之間搭建一個橋梁，引領他們通過不斷地嘗試、探索和反思，逐步感悟數(shù)學的本質，最終完成從“感性”到“理性”的認知蛻變。（一）關注過程，凸顯理性本質要實現(xiàn)對數(shù)學知識本質的理解，需要

9、做到三個關注：一是關注知識的生長、發(fā)展過程，二是關注學生思維發(fā)展的過程，三是關注知識的運用過程。例如，兩步混合運算一課，顯性的目標是掌握先乘除后加減的運算順序和遞等式的計算方法，但僅僅告訴學生運算順序的規(guī)定是不夠的，學生往往對“為什么要先乘除”不能理解。對于“為什么要先乘除”，教師可以借助解決兩步計算的實際問題，幫助學生理解。教師可以展示將兩個分步式合并成一道綜合算式的過程。比如，38=24，24+36=60（或36+24=60）38+36（或36+38）。這樣的算式合并，不僅讓學生理解綜合算式的由來，也讓學生感悟到“24”和“38”的對等、替換關系，對先算“38”也就有了認可。為了進一步幫助

10、學生理解，教者還可以出示類似“8+3+3+3+3+3+3+3”的算式，讓學生計算，學生自然會把它轉化成“8+37”計算，通過轉化，學生對為什么要先算高一級的“乘法”會產(chǎn)生更深刻的感悟。（二）引導反思，強化理性思維教師在教學中，往往對如何解題下足功夫，似乎問題獲得解決，就可以大功告成。但是，“如果在獲得結論后就此終止，不對獲得結論的過程進行回顧和反思，那么，數(shù)學活動就有可能停留在經(jīng)驗水平上，事倍功半；如果在得到結論后能對思路進行檢驗和自我評價，探討成功的經(jīng)驗或失敗的教訓，那么學生的思維就會在更高的層次上進行再概括，從而可以使對數(shù)學理論的認識上升到理性水平，事半功倍?！薄?】所以，在教學中，我們要

11、有意識地引導學生通過反思去提煉解題思路，分析思維過程，總結策略方法，剖析問題本質這對學生形成對數(shù)學的理性認知，形成良好的數(shù)學思想具有重要的意義。比如，在學生運用畫圖、列表、計算等方法解決“雞兔同籠”的問題后，教師不能滿足于問題的解決，而是要引導學生對這幾種方法進行對比，讓學生發(fā)現(xiàn)這幾種方法的共同之處，都是“先假設，再替換”，而其中，“假設”是最重要的，沒有假設，就沒有問題的解決。只有學生通過反思，比較概括，形成理性認識，才能使數(shù)學學習達到深度的理解。（三）組織辨析，深化理性思考數(shù)學學習中，學生的思維經(jīng)歷由感性到理性認識的過程，還需要經(jīng)過適當?shù)谋容^、辨析，排除似是而非的模糊認識，走向理解掌握的康

12、莊大道。比如，教學兩步混合運算時，對于“為什么遞等式的第一步要按順序將數(shù)照抄下來”，我們也不能一味地只是強調規(guī)定，而是要適當變式，引導學生比較、辨析。要讓學生不斷調整方法，最終形成優(yōu)化策略。教師可以先出示如36+38的算式讓學生練習。這樣學生中會出現(xiàn)兩種做法：一是36+38=36+24=60，二是36+38=24+36=60。因為結果相同，所以對兩種列式計算學生一般都會認可。教師可以接著變化為減法，出示36-38。學生在其后的計算中會發(fā)現(xiàn)，在第一步脫式計算時，只能寫成36-24，而不能寫成24-36。這時，教師就可以提出問題：“在脫式計算時，怎樣規(guī)定才更合理？”這樣的比較、辨析為學生認同和接受

13、規(guī)則提供了意義支撐。三、“感性經(jīng)驗”和“理性認知”需要通過綜合應用實現(xiàn)良性互促人的認知由感性經(jīng)驗開始，經(jīng)過提升、抽象，上升形成理性認識。理性認知比感性經(jīng)驗具有更大的涵蓋范圍，并達到較為深刻的認知程度，形成一定的穿透力。但無論是感性經(jīng)驗還是理性認知，一維的直線式認知往往還不夠牢靠，還得經(jīng)過必要的鞏固和檢驗。這種鞏固和檢驗，常常是迂回式的過程，體現(xiàn)感性經(jīng)驗與理性認知之間的往復運動與相互作用，繼續(xù)延伸著學習認知推進的歷程，成為一個辯證的發(fā)展過程。其間，感性經(jīng)驗要為理性認知作支撐，理性認知也對感性經(jīng)驗加以篩選、分類、合并、概括、提升等，越加自覺地積累感性經(jīng)驗。對于數(shù)學教學來說，這樣的認識階段其實就是運

14、用性練習過程。學生通過必要而扎實的練習，才能統(tǒng)整感性經(jīng)驗和理性認知，完成二者的協(xié)調和完美結合，發(fā)展辯證統(tǒng)一關系。運用性練習過程具有多方面的學習意義：一是為了強化知識信息的刺激，避免遺忘，知識信息的保持由瞬時記憶轉化為長效記憶，達到持久地保持的狀態(tài)；二是為了顯示其價值，讓學生感受知識信息的作用，真切地體驗到知識有用；三是為了進一步鑒別、檢驗其真?zhèn)?，加強認知的確定性程度；四是為了拓展，形成多方面的綜合聯(lián)系，使得學生對知識信息的把握獲得突破，體驗諸多變式，靈活地適應變化。例如，長方形和正方形的認識教學，首先調集學生的感性經(jīng)驗，讓學生觀察門窗、課本封面、方桌面、黑板等事物的形象，舍棄具體的材質、顏色、大小、位置、作用等非本質元素，留下四條邊圍成、四個角都是直角的圖形表象。這就是由感性經(jīng)驗初步形成的理性認知。之后，教學還并未停止。除了出現(xiàn)各種大小、形狀、位置變化了的圖形，以作識別練習外，教學還進一步發(fā)展：（1）通過折紙操作等滲透變化的觀念，將長方形中寬邊延長與長邊相等，或者將長邊縮短與寬邊相等，長方形就變成正方形，認識正方形是特殊的一種長方形，即為鄰邊相等的長方形；(2)用若干個小的正方形紙片拼擺成一個大的長方形；(3)分別量出教室地面長方形和課本長方形的長和寬；(4)嘗試找出大小國旗中的長方形，感悟形狀相似的規(guī)律性等。經(jīng)過這樣的練習，引導學生