感悟思想數(shù)學(xué)教學(xué)的理性追求

1、感悟思想，數(shù)學(xué)教學(xué)的理性追求摘 要：教師對學(xué)科數(shù)學(xué)認(rèn)識的窄化、功利化，是數(shù)學(xué)教學(xué)枯燥乏味的重要成因。把握數(shù)學(xué)基本思想尤為重要。教學(xué)中，教師必須認(rèn)真研讀和整體把握教材，挖掘數(shù)學(xué)基本思想并使之明朗化；必須悉心演繹課堂，適時點化學(xué)生，使之經(jīng)歷知識“再創(chuàng)造”，充分感悟數(shù)學(xué)思想；必須實施反思性、實踐性作業(yè)，促使學(xué)生在活學(xué)活用中內(nèi)化、積淀數(shù)學(xué)思想。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想 顯化 點化 內(nèi)化數(shù)學(xué)的靈魂是數(shù)學(xué)的精神和思想。弗里德曼說：“數(shù)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)的一個特殊的和最重要的要素就是數(shù)學(xué)思想，整個數(shù)學(xué)學(xué)科就是建立在這些思想的基礎(chǔ)上，并按照這些思想發(fā)展起來的?！敝挥嘘P(guān)注數(shù)學(xué)思想，才能引領(lǐng)學(xué)生觸及數(shù)學(xué)的靈魂，促進理性精神的養(yǎng)

2、成。數(shù)學(xué)思想究竟是什么？思想之于文化。梁漱溟認(rèn)為：文化是人們生存的狀態(tài)，文明是人們創(chuàng)造的東西。數(shù)學(xué)的思想、方法、知識等構(gòu)成了數(shù)學(xué)文化，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)文化的精髓。人們在學(xué)校通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)獲得的知識，70%都會忘記，只有30%會留存，這些留存就是數(shù)學(xué)基本思想，對人的一生都起作用，支配著人的思維方式。思想之于方法。數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法之間有著密切的聯(lián)系，甚至有時候人們將數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法歸為一體。譬如極限，在強調(diào)其價值時，認(rèn)為是思想，在強調(diào)其應(yīng)用時，認(rèn)為是方法。應(yīng)該說，思想是方法的提煉與簡化，是方法的“升級版”。方法多停留在技術(shù)層面，而思想則上升至精神層面。所謂：形而上者謂之道，形而下者謂之器，數(shù)學(xué)思想

3、就是道，數(shù)學(xué)方法就是器。思想之于知識。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識的結(jié)晶核，是聯(lián)系數(shù)學(xué)知識的紐帶。數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)知識不是兩張皮，而是合二為一的。不存在剝離數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)思想，也不存在缺失數(shù)學(xué)思想的數(shù)學(xué)知識。史寧中教授沒有明確定義數(shù)學(xué)思想，但對于什么是數(shù)學(xué)思想的標(biāo)準(zhǔn)卻說得通俗易懂：數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展所依賴的思想，這是標(biāo)準(zhǔn)之一；學(xué)過數(shù)學(xué)的人與沒有學(xué)過數(shù)學(xué)的人的根本差異，這是標(biāo)準(zhǔn)之二。前者是從數(shù)學(xué)學(xué)科的角度而言的，后者則是數(shù)學(xué)教育學(xué)的角度而言的。如果非要給數(shù)學(xué)思想一個定義的話，本人認(rèn)同邵光華教授的說法：“從數(shù)學(xué)教育角度來講，我們認(rèn)為數(shù)學(xué)思想應(yīng)被理解為更高層次的理性認(rèn)識，那就是對于數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法的本質(zhì)認(rèn)識，是對數(shù)學(xué)

4、內(nèi)容和方法進一步的抽象和概括。”讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想的魅力，感受數(shù)學(xué)思想的力量，理應(yīng)成為數(shù)學(xué)教師的教學(xué)訴求。作為數(shù)學(xué)教師，要從潛心研讀數(shù)學(xué)教材、悉心演繹課堂、創(chuàng)新作業(yè)形式等途徑引導(dǎo)學(xué)生感悟、內(nèi)化和積淀數(shù)學(xué)基本思想。一、潛心研讀教材，顯化數(shù)學(xué)思想小學(xué)數(shù)學(xué)教材中蘊涵了豐富的數(shù)學(xué)思想。如果說數(shù)學(xué)知識是寫在教材上的一條明線，那么數(shù)學(xué)思想就是隱含其中的一條暗線。明線容易理解，暗線不易看明。教師只有領(lǐng)悟并掌握數(shù)學(xué)思想方法，才能從整體上、本質(zhì)上理解教材，只有深入挖掘教材中的數(shù)學(xué)基本思想，才能科學(xué)地、靈活地設(shè)計教學(xué)方法，使學(xué)生領(lǐng)悟、把握數(shù)學(xué)基本思想。蘇教版六年級上冊“用假設(shè)的策略解決實際問題”例2是“雞兔同籠”

5、問題，教材是這樣呈現(xiàn)的：首先用圖示的方法，引導(dǎo)學(xué)生想一想、畫一畫；然后采用列表的方法，引導(dǎo)學(xué)生逐層逼近；最后使用問句的形式，引導(dǎo)學(xué)生打開思維另辟蹊徑。我認(rèn)為這部分教材至少蘊涵了三種數(shù)學(xué)思想：其一，幾何直觀的思想，“雞兔同籠”問題對于小學(xué)生而言是比較抽象的，如果能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)量關(guān)系借助于直觀的圖形顯現(xiàn)出來，可以降低思維的難度，促進學(xué)生的理解。其二，函數(shù)的思想，張景中教授認(rèn)為小學(xué)階段有三種重要的數(shù)學(xué)思想，函數(shù)思想首當(dāng)其沖。教材引導(dǎo)學(xué)生列表，從假設(shè)全部是大船開始，然后調(diào)整大船的只數(shù)，最終得出結(jié)果。其實，這里的大船只數(shù)就是自變量，而小船只數(shù)和坐船的人數(shù)就是因變量，體現(xiàn)了函數(shù)思想。其三，假設(shè)的思想，這也

6、是數(shù)學(xué)中重要的思想。無論是畫圖、列表，還是解方程都離不開它。當(dāng)然，如果細(xì)究下去還有其他的一些數(shù)學(xué)思想，如區(qū)間套思想、逐步逼近思想等等，這里不再贅述。數(shù)學(xué)基本思想的感悟不可能畢其功于一役，而應(yīng)通過多種形式反復(fù)出現(xiàn)，促使學(xué)生逐步感悟。譬如分類的思想，在數(shù)學(xué)各個內(nèi)容領(lǐng)域中都有所滲透，教師要有意識地將隱藏在文本背后的思想挖掘和顯現(xiàn)出來。如“數(shù)與代數(shù)”部分涉及：數(shù)可以分為負(fù)數(shù)、0和正數(shù)，自然數(shù)可分為奇數(shù)和偶數(shù)，分?jǐn)?shù)可以分為真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)等?！皥D形與幾何”部分涉及：0到180的角可以分為銳角、直角和鈍角，三角形按角可以分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，平面圖形可以分為由曲線圍成的圖形和由線段圍成的圖

7、形?！敖y(tǒng)計與概率”部分涉及：分類整理統(tǒng)計，事件發(fā)生的可能性可分為一定、可能和不可能三種情況。對于這些，教師要通盤考慮，整體把握，引導(dǎo)學(xué)生就為什么要分類，如何確立分類的標(biāo)準(zhǔn)，怎么分類進行追問，促使學(xué)生逐步感悟分類思想的深刻內(nèi)涵。二、悉心演繹課堂，點化數(shù)學(xué)思想對于數(shù)學(xué)基本思想，學(xué)生不可能像吃餅?zāi)菢右豢谝豢诘赝滔氯?，需要場境的催化和靈感的不期而至。教師要善于做“砸向牛頓的蘋果”，促使學(xué)生深入思考，豁然開朗，從而把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)與核心。在概念的生成處點化。數(shù)學(xué)概念往往是剝離了生活的感性材料，抽象概括出其數(shù)和形的本質(zhì)特征。史寧中教授認(rèn)為數(shù)學(xué)基本思想包括抽象、推理、建模這三類，抽象解決了數(shù)學(xué)的入口問題。如果

8、僅僅局限于告訴學(xué)生幾個數(shù)學(xué)概念，那么對于學(xué)生數(shù)學(xué)思想的形成是不利的，甚至是有害的。因此，在教學(xué)中，我們必須讓學(xué)生充分經(jīng)歷概念是如何從生活現(xiàn)實走向數(shù)學(xué)現(xiàn)實，實現(xiàn)數(shù)學(xué)化的過程。譬如圓的認(rèn)識一課，我是這樣引導(dǎo)學(xué)生利用聚化思維實現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的。先依次出現(xiàn)幾種能形成圓的方法：第一個層次，教師用圓規(guī)在黑板上畫一個圓，學(xué)生在自己的草稿本上畫一個圓，比較兩者的共同點，明白畫圓要先固定一個點，再拉開圓規(guī)兩腳，最后旋轉(zhuǎn)一周。第二個層次，視屏觀看在操場上畫一個更大的圓。其一是體育老師以自己為中心用灰勺旋轉(zhuǎn)一周畫一個圓；其二是固定繩子一端，拉直繩子，旋轉(zhuǎn)一周形成一個圓，追問：如果要畫得更大，可以怎么辦？再次比較這兩種畫

9、圓方法的共同點。第三個層次，畫出無形的圓，其一是用一根一端系著小球的繩子甩動一周，想一想小球走過的路線是什么；其二是觀察時鐘上秒針旋轉(zhuǎn)一周針尖留下的痕跡，再將這一層次的畫法與前兩個層次進行比較。在這三個層次的基礎(chǔ)上，聚焦分析：這三種方法都畫出了一個圓，他們有什么共同的地方？進而揭示出圓的三個要素：定點、定長、旋轉(zhuǎn)一周。就這樣，不斷去除圓的非本質(zhì)屬性，直逼知識的核心部分，學(xué)生對于圓的認(rèn)識逐步清晰和深刻。在思維的伸展處點化。面積是多少是蘇教版五年級下冊的內(nèi)容，它是學(xué)生從學(xué)習(xí)長方形、正方形面積到學(xué)習(xí)其他平面圖形面積的過渡。這部分內(nèi)容既起著橋梁的作用，又滲透著轉(zhuǎn)化、區(qū)間等重要的數(shù)學(xué)思想。如果能把這部分

10、內(nèi)容教扎實、教透徹，對于面積的學(xué)習(xí)至關(guān)重要。下面我以計算銀杏樹葉的面積為例，談?wù)勛约旱慕虒W(xué)。首先，教師放手讓學(xué)生估計，并追問其方法；其次，引導(dǎo)學(xué)生思考樹葉面積的范圍，即最少是整格的個數(shù)，最多是將所有不足一格的都當(dāng)成整格來計數(shù)；再次，研究一般的估計方法，即把所有不滿格的都當(dāng)成半格來計數(shù)；最后，思考發(fā)現(xiàn)更準(zhǔn)確的估計方法，也就是將邊長1厘米的正方形劃分成更多相等的小正方形。在此基礎(chǔ)上，討論有沒有更簡潔的估計方法，從而發(fā)現(xiàn)軸對稱圖形的巧妙數(shù)法。以往教學(xué)，教師大都采用“掐頭去尾燒中段”的方法，局限于教學(xué)生“把不足一格的都當(dāng)成半格”的方法來進行估計。而上述教學(xué)，學(xué)生對于為什么這么估計是清楚的，因為教師引導(dǎo)

11、他們探究了樹葉的面積范圍（區(qū)間思想）；學(xué)生對于怎么估計是清楚的，因為他們既知道常規(guī)方法，又知道不斷細(xì)分再估計的方法（不斷逼近的極限思想），還知道簡化估計的方法。三、精心設(shè)計作業(yè)，內(nèi)化數(shù)學(xué)思想設(shè)計反思型作業(yè)。杜威認(rèn)為人的思維中最重要的就是反省思維，只有經(jīng)過深入地反思，人才有可能形成智慧。同樣，要使數(shù)學(xué)思想真正內(nèi)化為學(xué)生的智慧就離不開反省，因而設(shè)計反思性作業(yè)顯得特別有意義。將數(shù)學(xué)作業(yè)理解為抄概念、做題目，這是對作業(yè)內(nèi)涵認(rèn)識的異化。反思性作業(yè)，也就是讓學(xué)生對剛剛學(xué)習(xí)的內(nèi)容進行回顧反思，寫下自己的得與失、困惑與質(zhì)疑。譬如在教學(xué)了平行四邊形面積、三角型面積、梯形面積之后，我們便設(shè)計了這樣的作業(yè)：如果用其中一種圖形的面積公式概括其他幾種，你認(rèn)為哪種最為合適？學(xué)生經(jīng)過比較之后發(fā)現(xiàn)：梯形的面積公式最具有概括性，因為平行四邊形可以看成上底和下底相等的梯形，三角形又可以看成上底為0的梯形。有了這樣的反思過程，學(xué)生對于運動變換的思想有了一定的認(rèn)識。設(shè)計實踐性作業(yè)。數(shù)學(xué)思想也要在實踐中體察和感悟。教師要引導(dǎo)學(xué)生走