2021-2022學年天津耀華高三沖刺模擬數學試卷含解析

1、2021-2022高考數學模擬試卷注意事項1考生要認真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知函數，則不等式的解集是（ ）ABCD2已知定義在上的可導函數滿足，若是奇函數，則不等式的解集是（ ）ABCD3設是等差數列，且公差不為零，其前項和為則“，”是“為遞增數列”的（ ）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D

2、既不充分也不必要條件4函數圖象的大致形狀是（ ）ABCD5已知函數,則方程的實數根的個數是（ ）ABCD6已知是虛數單位，若，則（ ）AB2CD37已知函數為奇函數，則（ ）AB1C2D38已知數列的通項公式是，則（ ）A0B55C66D789已知，若，則正數可以為（ ）A4B23C8D1710某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為ABC2D11中，為的中點，則（ ）ABCD212如圖所示的程序框圖，當其運行結果為31時，則圖中判斷框處應填入的是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知集合，則_.14若，則_，_.15在的展開式中，各項系數之和為，則展開式中

3、的常數項為_.16已知雙曲線的兩條漸近線方程為，若頂點到漸近線的距離為1，則雙曲線方程為 三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）設直線與拋物線交于兩點，與橢圓交于兩點，設直線（為坐標原點）的斜率分別為，若.（1）證明：直線過定點，并求出該定點的坐標；（2）是否存在常數，滿足？并說明理由.18（12分）設函數（1）若，求函數的值域；（2）設為的三個內角，若，求的值；19（12分）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，ABAA1，M，N分別是AC，B1C1的中點求證：（1）MN平面ABB1A1；（2）ANA1B20（12分）曲線的參數方程為（為參數

4、），以原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程為.(1)求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程；(2)若直線與曲線，的交點分別為、（、異于原點），當斜率時，求的最小值.21（12分）如圖中，為的中點，.（1）求邊的長；（2）點在邊上，若是的角平分線，求的面積.22（10分）某職稱晉級評定機構對參加某次專業(yè)技術考試的100人的成績進行了統計，繪制了頻率分布直方圖（如圖所示），規(guī)定80分及以上者晉級成功，否則晉級失敗晉級成功晉級失敗合計男16女50合計（1）求圖中的值；（2）根據已知條件完成下面列聯表，并判斷能否有的把握認為“晉級成功”與性別有關？（3）將頻率視為概率，從本次考試

5、的所有人員中，隨機抽取4人進行約談，記這4人中晉級失敗的人數為，求的分布列與數學期望（參考公式：，其中）0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.024參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1B【解析】由導數確定函數的單調性，利用函數單調性解不等式即可.【詳解】函數，可得，時，單調遞增，故不等式的解集等價于不等式的解集故選：B【點睛】本題主要考查了利用導數判定函數的單調性，根據單調性解不等式，屬于中檔題.2A【解析】構造函數，根據已知條件判斷出的單調性.根據是奇

6、函數，求得的值，由此化簡不等式求得不等式的解集.【詳解】構造函數，依題意可知，所以在上遞增.由于是奇函數，所以當時，所以，所以.由得，所以，故不等式的解集為.故選：A【點睛】本小題主要考查構造函數法解不等式，考查利用導數研究函數的單調性，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.3A【解析】根據等差數列的前項和公式以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可【詳解】是等差數列，且公差不為零，其前項和為，充分性：，則對任意的恒成立，則，若，則數列為單調遞減數列，則必存在，使得當時，則，不合乎題意；若，由且數列為單調遞增數列，則對任意的，合乎題意.所以，“，”“為遞增數列”；必要性：設，當時，此時，但

7、數列是遞增數列.所以，“，”“為遞增數列”.因此，“，”是“為遞增數列”的充分而不必要條件.故選：A.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合等差數列的前項和公式是解決本題的關鍵，屬于中等題4B【解析】判斷函數的奇偶性，可排除A、C，再判斷函數在區(qū)間上函數值與的大小，即可得出答案.【詳解】解：因為，所以，所以函數是奇函數，可排除A、C；又當，可排除D；故選：B.【點睛】本題考查函數表達式判斷函數圖像，屬于中檔題.5D【解析】畫出函數 ,將方程看作交點個數，運用圖象判斷根的個數【詳解】畫出函數令有兩解 ，則分別有3個，2個解，故方程的實數根的個數是3+2=5個故選：D【點睛】本題綜合考

8、查了函數的圖象的運用，分類思想的運用，數學結合的思想判斷方程的根，難度較大，屬于中檔題6A【解析】直接將兩邊同時乘以求出復數，再求其模即可.【詳解】解：將兩邊同時乘以，得故選：A【點睛】考查復數的運算及其模的求法，是基礎題.7B【解析】根據整體的奇偶性和部分的奇偶性，判斷出的值.【詳解】依題意是奇函數.而為奇函數，為偶函數，所以為偶函數，故，也即，化簡得，所以.故選：B【點睛】本小題主要考查根據函數的奇偶性求參數值，屬于基礎題.8D【解析】先分為奇數和偶數兩種情況計算出的值，可進一步得到數列的通項公式，然后代入轉化計算，再根據等差數列求和公式計算出結果.【詳解】解：由題意得，當為奇數時，當為偶

9、數時， 所以當為奇數時，；當為偶數時，所以 故選：D【點睛】此題考查數列與三角函數的綜合問題，以及數列求和，考查了正弦函數的性質應用，等差數列的求和公式，屬于中檔題.9C【解析】首先根據對數函數的性質求出的取值范圍，再代入驗證即可；【詳解】解：，當時，滿足，實數可以為8.故選：C【點睛】本題考查對數函數的性質的應用，屬于基礎題.10A【解析】 由給定的三視圖可知，該幾何體表示一個底面為一個直角三角形，且兩直角邊分別為和，所以底面面積為 高為的三棱錐，所以三棱錐的體積為，故選A11D【解析】在中，由正弦定理得；進而得，在中，由余弦定理可得.【詳解】在中，由正弦定理得，得，又，所以為銳角，所以，在

10、中，由余弦定理可得，.故選：D【點睛】本題主要考查了正余弦定理的應用，考查了學生的運算求解能力.12C【解析】根據程序框圖的運行，循環(huán)算出當時，結束運行，總結分析即可得出答案.【詳解】由題可知，程序框圖的運行結果為31，當時，；當時，；當時，；當時，；當時，.此時輸出.故選：C.【點睛】本題考查根據程序框圖的循環(huán)結構，已知輸出結果求條件框，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】由集合和集合求出交集即可.【詳解】解：集合，.故答案為：.【點睛】本題考查了交集及其運算，屬于基礎題.14 【解析】根據誘導公式和二倍角公式計算得到答案.【詳解】，故.故答案為：；.【點

11、睛】本題考查了誘導公式和二倍角公式，屬于簡單題.15【解析】利用展開式各項系數之和求得的值，由此寫出展開式的通項，令指數為零求得參數的值，代入通項計算即可得解.【詳解】的展開式各項系數和為，得，所以，的展開式通項為，令，得，因此，展開式中的常數項為.故答案為：.【點睛】本題考查二項展開式中常數項的計算，涉及二項展開式中各項系數和的計算，考查計算能力，屬于基礎題.16【解析】由已知，即，取雙曲線頂點及漸近線，則頂點到該漸近線的距離為，由題可知，所以，則所求雙曲線方程為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）證明見解析（0，2）；（2）存在，理由見解析【解析】（1

12、）設直線l的方程為y=kx+b代入拋物線的方程，利用OAOB，求出b，即可知直線過定點（2）由斜率公式分別求出，聯立直線與拋物線，橢圓，再由根與系數的關系得，代入，化簡即可求解.【詳解】（1）證明：由題知，直線l的斜率存在且不過原點，故設由可得，.，故所以直線l的方程為故直線l恒過定點.（2）由（1）知設由可得，即存在常數滿足題意.【點睛】本題主要考查了直線與拋物線、橢圓的位置關系，直線過定點問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題18（1）（2）【解析】（1）將，利用三角恒等變換轉化為：，再根據正弦函數的性質求解，（2）根據，得，又為的內角，得到，再根據，利用兩角和與差的余弦公式求解，【

13、詳解】（1），即的值域為；（2）由，得，又為的內角，所以，又因為在中，所以，所以.【點睛】本題主要考查三角恒等變換和三角函數的性質，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題，19（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】（1）利用平行四邊形的方法，證明平面.（2）通過證明平面，由此證得.【詳解】（1）設是中點，連接，由于是中點，所以且，而且，所以與平行且相等，所以四邊形是平行四邊形，所以，由于平面，平面，所以平面.（2）連接，由于直三棱柱中，而，所以平面，所以，由于,所以.由于四邊形是矩形且，所以四邊形是正方形，所以,由于,所以平面，所以.【點睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查線面垂直的證明，考查

14、空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.20（1）的極坐標方程為；曲線的直角坐標方程.（2）【解析】(1)消去參數，可得曲線的直角坐標方程，再利用極坐標與直角坐標的互化，即可求解. (2)解法1：設直線的傾斜角為，把直線的參數方程代入曲線的普通坐標方程，求得，再把直線的參數方程代入曲線的普通坐標方程，得，得出，利用基本不等式，即可求解；解法2：設直線的極坐標方程為，分別代入曲線，的極坐標方程，得， ，得出，即可基本不等式，即可求解.【詳解】(1) 由題曲線的參數方程為（為參數），消去參數，可得曲線的直角坐標方程為，即，則曲線的極坐標方程為，即，又因為曲線的極坐標方程為，即，根據，代入即可求解曲

15、線的直角坐標方程.(2)解法1：設直線的傾斜角為，則直線的參數方程為（為參數，），把直線的參數方程代入曲線的普通坐標方程得：，解得，把直線的參數方程代入曲線的普通坐標方程得：，解得，即，當且僅當，即時取等號，故的最小值為.解法2：設直線的極坐標方程為），代入曲線的極坐標方程，得，把直線的參數方程代入曲線的極坐標方程得：，即，曲線的參，即，當且僅當，即時取等號，故的最小值為.【點睛】本題主要考查了參數方程與普通方程，以及極坐標方程與直角坐標方程點互化，以及直線參數方程的應用和極坐標方程的應用，其中解答中熟記互化公式，合理應用直線的參數方程中參數的幾何意義是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬

16、于基礎題.21（1）10；（2）.【解析】（1）由題意可得cosADBcosADC，由已知利用余弦定理可得：9+BD252+9+BD2160，進而解得BC的值（2）由（1）可知ADC為直角三角形，可求SADC6，SABC2SADC12，利用角平分線的性質可得，根據SABCSBCE+SACE可求SBCE的值【詳解】（1）因為在邊上，所以，在和中由余弦定理，得，因為，所以，所以，.所以邊的長為10.（2）由（1）知為直角三角形，所以，.因為是的角平分線，所以.所以，所以.即的面積為.【點睛】本題主要考查了余弦定理，三角形的面積公式，角平分線的性質在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想和數形結合思想，屬于中檔題22 (1) ；(2)列聯表見解析，有超過的把握認為“晉級成功”與性別有關；(3)分布列見解析，=3【解析】（1）由頻率和為1，列出方程求的值；（2）由頻率分布直方圖求出晉級成功的頻率，計算晉級成功的人數，填寫列聯表，計算觀測值，對照臨界值得出結論；（3）由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率，將頻率視為概率，知隨機變量服從二項分布，計算對應的概率值，寫出分布列，計算數學期望.【詳解】解：（1）由頻率分布直方圖各小長方形面積總和為1，可知，解得；（2）由頻率分布直方圖知，晉級成功的頻