激光原理課件第5講光束

1、激光原理與技術原理部分第5講高斯光束5.0 類透鏡介質中的波動方程從麥克斯韋方程組出發(fā)，推導出各向同性、無電荷分布介質中的波動方程為：若假設其解為修正平面波，且將類透鏡介質折射率表達式帶入其中可以得到：其中 為修正因子，若假設其形式為：可得到簡化的波動方程：5.1 均勻介質中的高斯光束均勻介質可以認為是類透鏡介質的一種特例，即k2=0時的類透鏡介質，此時簡化波動方程為：引入一中間函數(shù)S，使 代入上式得到得出 該微分方程的解為 ，a、b為復常數(shù)則由p與q的關系得到C1不影響振幅和相位的分布，因此可以設C1=0。5.1 均勻介質中的高斯光束將上述結果代入到 的表達式中有：滿足該表達式的q0有很多形

2、式，但對其研究發(fā)現(xiàn)純虛數(shù)形式的q0可以得到有物理意義的波，因此假設q0具有如下表達形式：將q0的表達式帶入（1）式中，其指數(shù)的兩項可以分別表示為：5.1 均勻介質中的高斯光束人為定義以下參數(shù)：將上述參數(shù)帶入到光場的表達式，整理可以得到光場的表達式：該式所表示的是均勻介質中波動方程的一個解，稱為基本高斯光束解，其橫向依賴關系只包含r，而與方位角無關。那些與方位角相關的分布是高階高斯光束解。上面最后一個表達式中的兩項，前一項是振幅項，后一項是相位項。為什么是這個解？還有其他解嗎？5.1 均勻介質中的高斯光束高斯分布：在統(tǒng)計學中更多的被稱為正態(tài)分布，它指的是服從以下概率密度函數(shù)的分布：Johann

3、Carl Friedrich Gauss (17771855) 5.1 均勻介質中的高斯光束高斯光束基本特性振幅分布特性由高斯光束的表達式可以得到：在z截面上，其振幅按照高斯函數(shù)規(guī)律變化，如圖所示。將在光束截面內，振幅下降到最大值的1/e時，離光軸的距離 定義為該處的光斑半徑。由 的定義可以得到：即光束半徑隨傳輸距離的變化規(guī)律為雙曲線，在z=0時有最小值 ，這個位置被稱為高斯光束的束腰位置。5.1 均勻介質中的高斯光束等相位面特性從高斯光束解的相位部分可以得到傳輸過程中的總相移為：將上式同標準球面波的總相移表達式比較：可以得出結論，在近軸條件下高斯光束的等相位面是以R(z)為半徑的球面，球面的

4、球心位置隨著光束的傳播不斷變化，由R(z)的表達式可知：z=0時， ,此時的等相位面是平面； 時， ，此時等相位面也是平面； 時， ，此時的等相位面半徑最??； 5.1 均勻介質中的高斯光束瑞利長度當光束從束腰傳播到 處時，光束半徑 ，即光斑面積增大為最小值的兩倍，這個范圍稱為瑞利范圍，從束腰到該處的長度稱為高斯光束的瑞利長度，通常記作 。在實際應用中，一般認為基模高斯光束在瑞利長度范圍內是近似平行的，因此也把瑞利距離長度稱為準直距離。從瑞利長度表達式 可以得出結論，高斯光束的束腰半徑越小，其準直距離越長，準直性越好。5.1 均勻介質中的高斯光束高斯光束的孔徑從基模高斯光束的光束半徑表達式可以得

5、到截面上振幅的分布為：則其光強分布為：考慮垂直于高斯光束傳播方向上存在一無限大平面，以光軸為中心開一半徑為a的孔，則透過該孔徑的光功率與總功率的比值為左下式，通過計算可以得到不同孔徑的功率透過率。在激光應用中，高斯光束總要通過各種光學元件，從上面推導可知，只要光學元件的孔徑大于3/2，即可保證高斯光束的絕大部分功率有效透過。孔徑半徑a/23/22功率透過比39.3%86.5%98.89%99.99%5.1 均勻介質中的高斯光束遠場發(fā)散角從高斯光束的等相位面半徑以及光束半徑的分布規(guī)律可以知道，在瑞利長度之外，高斯光束迅速發(fā)散，定義當 時高斯光束振幅減小到最大值1/e處與z軸夾角為高斯光束的遠場發(fā)

6、散角（半角）：包含在全遠場發(fā)散角內的光束功率占高斯光束總功率的86.5%高斯光束在軸線附近可以看成一種非均勻高斯球面波，在傳播過程中曲率中心不斷改變，其振幅在橫截面內為一高斯分布，強度集中在軸線及其附近，且等相位面保持球面。5.2 類透鏡介質中的高斯光束類透鏡介質中k20，此時的簡化波動方程為： 其解仍可以采用與均勻介質中相類似的處理方式得到，最終可以求出：5.2 類透鏡介質中的高斯光束類透鏡介質中的基本高斯光束解仍然可以采取的形式，如果我們只討論其中包含r2的指數(shù)部分：仍取 ，則q(z)可以表示成：將(2)式代入(1)式可以得到：其中(z)是光斑半徑，R(z)是等相位面曲率半徑，其物理意義同

7、均勻介質中的基本高斯光束解相同，然而數(shù)學表達式比較復雜。5.2 類透鏡介質中的高斯光束前面得到了類透鏡介質中高斯光束參數(shù)q(z)的復數(shù)表達形式：q0是由邊界條件求出的光束初始條件，將上式同前面得到的光線矩陣比較：前面推導均勻介質中的基模高斯光束解時曾假設振幅橫向分布與方位角無關，如果考慮方位角的變化 ，則算符可以表示為：此時波動方程的特解為：代入波動方程，分離變量后解得：5.3 均勻介質中的高階高斯光束其解為厄米多項式 仍為基本高斯光束解，所以總的解為其中的m、n為x、y方向上的零點數(shù)，此時高階高斯光束分布為厄米-高斯光束，表示為TEMmn模式。5.3 均勻介質中的高階高斯光束5.3 均勻介質中的高階高斯光束幾種高階高斯光束的光強分布圖TEM0TEM1TEM2Hm(x)Hm(x)FIH2m(x)F25.3 均勻介質中的高階高斯光束貝賽爾光束如果假設無電荷的自由空間中波動方程的解是在橫向平面上振幅分布旋轉對稱的修正平面波，具有以下形式：其中 ，將其帶入波動方程可以得到：其中上式表明修正因子具有零階一類貝賽爾函數(shù)形式：貝賽爾光束則相應柱面坐標下波動方程的解為：這一