第七章一階線性微分方程

1、一階線性微分方程 第四節(jié)一、一階線性微分方程*二、伯努利方程 第七章 一、一階線性微分方程一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 稱為非齊次方程 .1. 解齊次方程分離變量兩邊積分得故通解為稱為齊次方程 ;對應(yīng)齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解2. 解非齊次方程用常數(shù)變易法:則故原方程的通解即即作變換兩端積分得例1. 解方程 解: 先解即積分得即用常數(shù)變易法求特解.則代入非齊次方程得解得故原方程通解為令在閉合回路中, 所有支路上的電壓降為 0例2. 有一電路如圖所示, 電阻 R 和電解: 列方程 .已知經(jīng)過電阻 R 的電壓降為R i 經(jīng)過 L的電壓降為因此有即初始

2、條件: 由回路電壓定律:其中電源求電流感 L 都是常量,解方程:由初始條件: 得利用一階線性方程解的公式可得暫態(tài)電流穩(wěn)態(tài)電流因此所求電流函數(shù)為解的意義: 例3. 求方程的通解 .解: 注意 x, y 同號,由一階線性方程通解公式 , 得故方程可變形為所求通解為 這是以為因變量 y 為自變量的一階線性方程*二、伯努利 ( Bernoulli )方程 伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:令求出此方程通解后,除方程兩邊 , 得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法:(線性方程)伯努利 例4. 求方程的通解.解: 令則方程變形為其通解為將代入, 得原方程通解: 內(nèi)容小結(jié)1. 一階線性方程方法1 先解齊次方程 , 再用

3、常數(shù)變易法.方法2 用通解公式化為線性方程求解.2. 伯努利方程3. 注意用變量代換將方程化為已知類型的方程例如, 解方程法1. 取 y 作自變量: 線性方程 法2. 作變換 則 代入原方程得 可分離變量方程思考與練習(xí)判別下列方程類型:提示: 可分離 變量方程齊次方程線性方程線性方程伯努利方程P315 1 (3) , (6) , (9) ; 2 (5) ; 6 ; *8 (1) , (3) , (5) 作業(yè)第五節(jié) 習(xí)題課1 備用題1. 求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)使其滿足下列方程:提示:令則有線性方程利用公式可求出2. 設(shè)有微分方程其中試求此方程滿足初始條件的連續(xù)解.解: 1) 先解定解問題利用通解公式, 得利用得故有2) 再解定解問題此齊次線性方程的通解為利用銜接條件得因此有3) 原問題的解為( 雅各布第一 伯努利 ) 書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用, 伯努利(1654 1705)瑞士數(shù)學(xué)家, 位數(shù)學(xué)家. 標(biāo)和極坐標(biāo)下的曲率半徑公式, 1695年 版了他的巨著猜度術(shù),上的一件大事, 而伯努利定理則是大數(shù)定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孫三代出過十多 1694