2012年高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)_橢圓

1、2012年高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí) 橢 圓【考綱要求】1. 掌握橢圓的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，了解橢圓的參數(shù)方程；2. 掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)一、考點(diǎn)回顧1. 橢圓的定義1. 第一定義：滿足 的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 的橢圓2. 第二定義：到一個(gè)定點(diǎn)與到一定直線的距離之比等于一個(gè)小于1的正數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫橢圓其中是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，是相應(yīng)于的準(zhǔn)線，定義式： 2. 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）焦點(diǎn)在軸上：焦點(diǎn)，且滿足：（2）焦點(diǎn)在軸上： 焦點(diǎn)，且滿足：（3）統(tǒng)一形式： 【注】為橢圓的定型條件，對(duì)三個(gè)值中知道任意兩個(gè)，可求第三個(gè)，其中3. 橢圓的參數(shù)方程焦點(diǎn)在軸上，中心在原點(diǎn)的橢圓的參數(shù)方程為： （為參數(shù)）（其中為橢

2、圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，為橢圓的短軸長(zhǎng)）4 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)以橢圓為例說(shuō)明（1）范圍：，（2）對(duì)稱(chēng)性：橢圓的對(duì)稱(chēng)軸:軸，軸；對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)（3）頂點(diǎn)：長(zhǎng)軸頂點(diǎn)：，短軸頂點(diǎn)：，（4）離心率： 。 【注】；越大，橢圓越扁；（5）準(zhǔn)線：橢圓有左，右兩條準(zhǔn)線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)。左準(zhǔn)線： 右準(zhǔn)線： （6）焦半徑：橢圓上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離。左、右焦半徑分別為，5 點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系已知橢圓，點(diǎn)，則：6 關(guān)于焦點(diǎn)三角形與焦點(diǎn)弦（1）橢圓上一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)所構(gòu)成的稱(chēng)為焦點(diǎn)三角形。設(shè)，則有：P ，當(dāng)（即為短軸頂點(diǎn)）時(shí)，最大，此時(shí) 的面積當(dāng)（即為短軸頂點(diǎn)）時(shí)，最大，且 AB（2）經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)或的橢圓的弦，稱(chēng)為焦點(diǎn)弦。設(shè)，的中點(diǎn)為，則弦長(zhǎng)

3、 （左焦點(diǎn)取“+”，右焦點(diǎn)取“-”）當(dāng)軸時(shí)，最短，且7 橢圓的光學(xué)性質(zhì)從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)橢圓反射后，經(jīng)過(guò)橢圓的另一焦點(diǎn)。8. 關(guān)于直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題常用處理方法1 聯(lián)立方程法：聯(lián)立直線和橢圓方程，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，則有，以及，還可進(jìn)一步求出。在涉及弦長(zhǎng)，中點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)，面積等問(wèn)題時(shí)，常用此法2 點(diǎn)差法：設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為代入橢圓方程，并將兩式相減，可得，在涉及斜率、中點(diǎn)、范圍等問(wèn)題時(shí)，常用此法二 典例剖析1 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】（1）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸較近的一個(gè)端點(diǎn)的距離為，則橢圓方程為_(kāi)

4、 （2）橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，且，則橢圓方程為_(kāi)【解】（1）由已知：，又，故求得：。所以，橢圓方程為：（2）設(shè)橢圓方程為：，且設(shè)， PQ的中點(diǎn)為。由已知：，所以， 即有：，又 ，求得： 或 。 聯(lián)立，消去y,得：， 則有: ，即。 由韋達(dá)定理可得：，從而有， 易知：，所以或， 解之得： 或。故橢圓方程為： 或 ?！纠?】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作的垂線分別交橢圓于，交軸于，且（1）求橢圓的離心率。（2）若過(guò)三點(diǎn)的圓恰好與直線相切，求橢圓的方程。【解】（1）由已知可得： 由可得：，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程可得：。 即 （2）由（1）得：，圓心為，半徑于是有：

5、， 所以 。故橢圓方程為： 【例3】已知中心在原點(diǎn)的橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，斜率為的直線過(guò)右焦點(diǎn) 與橢圓交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)點(diǎn)，且（1）若，求橢圓離心率的取值范圍（2）若，且弦的中點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為，求橢圓的方程【解】（1）設(shè)橢圓方程為：，則直線的方程為：由，可求得：代入橢圓方程，并整理得：而且，故有：由已知： 得：考慮到，故求得：（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，故橢圓方程可化為：聯(lián)立 消去得：設(shè)的中點(diǎn)為，則 易知：橢圓的右準(zhǔn)線為：，于是 故橢圓方程為：【例4】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，短軸長(zhǎng)為，右準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，且，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)（1）求橢圓的方程（2）若，求直線的方程（3）若點(diǎn)關(guān)于軸

6、的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，證明：直線過(guò)定點(diǎn)（4）求的最大面積【解】（1） 橢圓方程為：（2）設(shè)直線的方程為：，且設(shè)聯(lián)立 消去，得：則 從而求得：由 得 ： ，求得 所以的方程為：（3）有已知及（2）知：。設(shè)直線與軸交于點(diǎn)則有由（2）可知：所以 又由（2）知： ， 所以 ，即故直線過(guò)定點(diǎn)，即為橢圓的右焦點(diǎn)（4）由（1）得：令 ， 則 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取“”所以的最大面積為【例5】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上,橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為，最小值為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)（不是左，右頂點(diǎn)）且以 為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)【解】（1）由已知且從而

7、所以橢圓的方程為：（2）設(shè)聯(lián)立 ， 消去得：則 又有 從而有因?yàn)橐詾橹睆降膱A過(guò)右頂點(diǎn)， 所以而 ，所以即所以得： 或 ）當(dāng)時(shí)，直線過(guò)右頂點(diǎn)不合題意）當(dāng)時(shí)，直線為，顯然直線過(guò)定點(diǎn)故直線過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為 2 橢圓的性質(zhì)【例6】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，在橢圓上存在一點(diǎn)，使得（1）求橢圓離心率的取值范圍（2）當(dāng)離心率取最小值時(shí)，的面積為，設(shè)是橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，若線段的垂直平分線恒過(guò)定點(diǎn)。求橢圓的方程；求直線的斜率的取值范圍?！窘狻浚?）設(shè)橢圓短軸的端點(diǎn)為B,由已知及橢圓的性質(zhì)得： 所以，從而 ，即，又， 所以，得：，所以 。（2）當(dāng)取得最小值時(shí)，在短軸頂點(diǎn)，所以， 又， 故求得：。 所以橢圓方程為：

8、【法一：點(diǎn)差法】設(shè)，設(shè)的中點(diǎn)為，則 即 由已知 的垂直平分線方程為：易知點(diǎn)在該直線上，所以 由，可求得： 即 由已知：點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以 【法二：聯(lián)立方程法】設(shè)，設(shè)直線的方程為，的垂直平分線方程為：聯(lián)立消去得：則有 即 又有: 從而所以的中點(diǎn)為 。又在的垂直平分線上，所以， 即 將代人求得：【注1】在方法二中，也可由得到【注2】求取值范圍問(wèn)題通常要建立不等式，關(guān)于不等式的來(lái)源有以下幾種情況：（1）已知不等式；（2）橢圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足；（3）；（4）橢圓內(nèi)部的點(diǎn)滿足； 【例7】橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，斜率為的直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)，與向量共線。（1）求橢圓的離心率（2）設(shè)為橢

9、圓上任一點(diǎn)，若，求證：為定值【解】（1）設(shè)橢圓方程為 ，設(shè)， 由已知：直線AB的方程為：，代入橢圓方程，得： ， 由韋達(dá)定理得：，易知： 因?yàn)榕c向量共線，所以 ， 而，所以， 即 ，于是有： 又 ，所以，故有：。（2）由（1）得：，所以橢圓方程為：，即，直線AB的方程為：，于是有：，從而，。于是。設(shè)，由已知：，將M的坐標(biāo)代入橢圓方程得：， 即， 于是有：。 故為定值?！纠?】已知為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，弦分別過(guò)焦點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，恰有. （1）橢圓的離心率（2）設(shè)，判斷是否為定值？【解】（1）當(dāng)軸時(shí)，從而 依定義有，所以 而，所以 ，即 。（2）由（1）可知橢圓方程為：， 設(shè)若的斜率都存在，則直線的方程為

10、代入橢圓方程，并整理得：由韋達(dá)定理有由已知：；同理可得： 所以若有一個(gè)斜率不存在，不妨設(shè)軸則 所以 綜上所述為定值。【例9】設(shè)是橢圓上的定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作兩條直線 與橢圓分別交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)）且滿足直線與的傾斜角互補(bǔ)，求證：直線的斜率為定值【證明】【法一：點(diǎn)差法】設(shè)，。則有： ， ， （2）（3）得：，即 。 所以。同理可得：。由已知：，即 （4）另一方面，所以 （5）由（4）（5）可得：。所以 為定值。即直線的斜率為定值 【法二：聯(lián)立方程法】設(shè)，。 設(shè)直線PA： ，直線PB：。 聯(lián)立，消去Y，得： ， 由韋達(dá)定理可得：同理可得： 。由已知：，即，于是得：， 即 。得：，所以 。于是 。所以 為定值

11、。3. 最值問(wèn)題【例10】已知是橢圓的左，右焦點(diǎn)以及兩定點(diǎn)（1）設(shè)為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)求的最大值與最小值；求的最大值與最小值。（2）過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若為銳角（為原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍【解】（1）由已知：點(diǎn)在橢圓內(nèi)部。易知所以，。 依定義有：， 所以，由三角不等式可得： ，即 。當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)依次共線以及三點(diǎn)依次共線時(shí)，左右等號(hào)分別成立。所以；（此時(shí)三點(diǎn)依次共線）。（此時(shí)三點(diǎn)依次共線）【法一】易知所以，設(shè)，則。 因?yàn)椋十?dāng)，即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值當(dāng)，即點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，有最大1. 【法二】易知，所以，設(shè)，由向量的數(shù)量積定義及余弦定理可得： （以下同解法一）（2）顯然直線

12、不滿足題設(shè)條件，設(shè)，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立，消去，整理得： 由 得： 或 又 所以 又 所以 ，即 所以 。 故由、得： 或 【例11】已知橢圓，是垂直于軸的弦，直線交軸于點(diǎn)， 為橢圓的右焦點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)（1）證明：點(diǎn)在橢圓上（2）求面積的最大值【解】（1）由已知。設(shè)，則且，與的方程分別為：聯(lián)立兩直線的方程求得： 即 因?yàn)椋?所以點(diǎn)在橢圓上（2）設(shè)直線的方程為且聯(lián)立則由：所以 所以令，函數(shù)遞增， 所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故當(dāng)時(shí)，取得最大值【例12】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，左，右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為，設(shè)，過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求的最大值【解】【方法一】由已知可得：橢圓方程為：。 設(shè)則，所以直

13、線的方程為：即， 作于， 則 易知， 所以因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以可設(shè)所以當(dāng)時(shí)，取得最大值【方法二】由，可得當(dāng)且僅當(dāng)即或時(shí)取等號(hào)所以的最大值為 【例13】（08 山東）已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為，曲線的內(nèi)切圓半徑為，記是以與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）設(shè)是過(guò)橢圓中心的任意弦，是線段的垂直平分線，是上異于橢圓中心的點(diǎn)。 若（為坐標(biāo)原點(diǎn)）當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程； 若點(diǎn)是與橢圓的交點(diǎn)，求的最小面積【解】（1）由題意得 又，解得：因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）假設(shè)所在直線的斜率存在且不為零，設(shè)所在直線方程為，且設(shè) 解方程組 得：，所以設(shè)，由題意知：，所以 ，即，

14、因?yàn)槭堑拇怪逼椒志€，所以直線的方程為，即，因此 ， 又，所以，故 當(dāng)或不存在時(shí)，上式仍然成立綜上所述，的軌跡方程為 當(dāng)存在且時(shí)，由（1）得：，由 解得：，所以， 由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)面積的最小值是當(dāng)，當(dāng)不存在時(shí)，綜上所述，的面積的最小值為【（2）另解】因?yàn)?，又 ，所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)面積的最小值是【例14】已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（1）求的面積的最大值（2）當(dāng)?shù)拿娣e最大值時(shí)，求的值【解】（1）由已知得： 設(shè)直線的方程為，且設(shè)聯(lián)立則有：由已知可得：令易證函數(shù)在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故當(dāng)時(shí)，取得最小值， 故的最大值為。（2）當(dāng)最大值

15、時(shí)，從而，而所以【例15】(2009山東卷) 設(shè)橢圓E: 過(guò)M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（1）求橢圓E的方程；（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且？若存在，寫(xiě)出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說(shuō)明理由。（3）設(shè)直線與橢圓相切于點(diǎn)，與橢圓E只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)取何值時(shí)，取得最大值？并求此最大值【解】（1）因?yàn)闄E圓E: 過(guò)M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn),所以解得 即 所以橢圓E的方程為（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，且。 設(shè)該圓的切線方程為解方程組 消去y，得：, , .則=，即

16、 由由韋達(dá)定理得：，。于是要使,需使 ，所以 ， 因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，所以圓的半徑為由 可得：，所求的圓為，而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線為，與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或，滿足。綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，且.因?yàn)? ， 所以 ）當(dāng)時(shí)，。 因?yàn)樗?， 即 ,所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=”. ）當(dāng)時(shí),.）當(dāng)AB的斜率不存在時(shí), 兩個(gè)交點(diǎn)為或此時(shí),綜上, |AB |的取值范圍為：。即: ?！玖斫狻咳鐖D，設(shè)，作于D，ABDO 由及已知可得：， 易知，。 所以。 令，易知：函數(shù)在上遞減，在上遞增。所以，。故 。（3）設(shè)直線的方程為，設(shè)， 因?yàn)橹本€與

17、圓相切，所以 聯(lián)立，消去Y得： 由已知：，即 由 可得：，。 當(dāng)直線與橢圓有唯一公共點(diǎn)Q時(shí)，有：即有： 從而有： 于是有： 而 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)。 所以，故當(dāng)時(shí)，。 【注】存在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的圓，使得圓的任一切線與橢圓交于P, Q兩點(diǎn)，滿足，且圓的方程為；反之，若，則O點(diǎn)到直線PQ的距離為定值. 當(dāng)時(shí)，|PQ|取得最大值;當(dāng)或軸時(shí)，|PQ|取得最小值。.4 直線與橢圓的位置關(guān)系【例16】已知是橢圓的左，右焦點(diǎn)，直線與橢圓相切。（1）分別過(guò)作切線的垂線，垂足分別為，求的值（3）設(shè)直線與軸，軸分別交于兩點(diǎn)，求的最小值?！窘狻浚?）設(shè)直線的方程為，由已知: ，。 所以 ；。 于是。 聯(lián)立，

18、消去y，的：。 因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以 。 所以 為定值。 （2）易知：，。 所以 。當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)。 所以 ?！纠?7】已知橢圓，過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓順次交于兩點(diǎn)（在之間）。（1）求的取值范圍； （2）是否存在這樣的直線，使得以弦為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求的方程，若不存在，說(shuō)明理由?！窘狻浚?）方法一：（聯(lián)立方程法）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為且設(shè)。聯(lián)立， 消去，并整理得：則有， 求得：又有 設(shè) ，則有，即 從，中消去可得：而 ， 所以 。 而 ，故求得：）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，綜上所述， 的取值范圍是方法二：（點(diǎn)差法） 設(shè)， 則有：， 所以，即于是有 (1)(2) 得：，

19、即 由已知， ，所以 而， 所以 （2）假設(shè)滿足條件的直線存在，設(shè)，則由（1）可知： 從而求得：于是有： 滿足 故滿足條件的直線存在，且直線方程為：或【例18】設(shè)是橢圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，線段的垂直平分線交橢圓于兩點(diǎn)（1）確定的取值范圍，并求直線的方程（2）是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使得四點(diǎn)在同一圓上？并說(shuō)明理由【解】（）解法1：依題意，設(shè)直線AB的方程為代人整理得 設(shè)，則是方程的兩個(gè)不同的根， 且。 由N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，得： 解得k=1，代入得，。 則的取值范圍是（12，+）. 于是，直線AB的方程為 解法2：設(shè)則有 依題意，N（1，3）是AB的中點(diǎn)， 又由N（1，3）在橢圓內(nèi)，。

20、的取值范圍是（12，+）.直線AB的方程為y3=（x1），即x+y4=0. （）CD垂直平分AB，直線CD的方程為y3=x1，即xy+2=0，代入橢圓方程，整理得 設(shè)CD的中點(diǎn)為.是方程的兩根， 于是即由弦長(zhǎng)公式可得 將直線AB的方程x + y4=0，代入橢圓方程得 同理可得 當(dāng)時(shí)，|假設(shè)存在12，使得A、B、C、D四點(diǎn)共圓，則CD必為圓的直徑，點(diǎn)M為圓心.點(diǎn)M到直線AB的距離為 于是，由、式和勾股定理可得故當(dāng)12時(shí)，A、B、C、D四點(diǎn)勻在以M為圓心，為半徑的圓上. （注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得：）A、B、C、D共圓ACD為直角三角形，A為直角|AN|2=|CN|DN|，即 由式知：