2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊8.6.2直線與平面垂直（第一課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)冊

1、8.6.2直線與平面垂直（第一課時(shí)）(人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊第八章)一、教學(xué)目標(biāo)1.理解直線與平面垂直的意義，理解點(diǎn)到平面的距離、直線與平面成角的概念；2.探索直線與平面垂直的判定定理，能應(yīng)用判定定理證明直線和平面垂直的簡單問題，能求簡單的直線與平面所成的角；3.在探索直線與平面垂直判定定理的過程中發(fā)展合情推理能力、感悟和體驗(yàn)“空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”“線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直”，進(jìn)一步感悟數(shù)學(xué)中以“化繁為簡”的轉(zhuǎn)化思想.二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：1.對直線與平面垂直的定義和判定定理的理解難點(diǎn)：1.概括線面垂直的定義和判定定理時(shí)如何將“線面垂直”轉(zhuǎn)化為“線線垂直”2.求直線和平面所成角時(shí)

2、，直線的射影的尋找學(xué)生初接觸會(huì)有點(diǎn)難度.三、教學(xué)過程1.復(fù)習(xí)引入回顧直線和平面的位置關(guān)系如下圖1：圖1【設(shè)計(jì)意圖】由復(fù)習(xí)舊知可以知道，直線與平面垂直是直線與平面相交關(guān)系中的一種，為后續(xù)特別是線面角作鋪墊.2.觀察歸納，形成概念2.1創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)思考問題1：在日常生活中，我們對直線與平面垂直有很多感性認(rèn)識，比如，圖中旗桿與地面的垂直關(guān)系，還有書脊與桌面的垂直關(guān)系，給我們以直線與平面垂直的形象.那么什么叫做直線與平面垂直呢？【設(shè)計(jì)意圖】列舉生活中的例子，使學(xué)生對直線與平面垂直的概念獲得一定的感性認(rèn)識，化抽象為具體.然后再應(yīng)到學(xué)生概括出定義.2.2歸納概括，得出定義問題2：能否把直觀的形象數(shù)學(xué)化？

3、用確切的數(shù)學(xué)語言刻畫直線與平面垂直思考： （1）書脊AB與桌面上經(jīng)過B點(diǎn)的直線有什么關(guān)系？ （2）書脊AB與桌面上不過B點(diǎn)的直線有什么關(guān)系？ （3）書脊AB與桌面上的任意直線有什么關(guān)系？圖2追問1：怎么理解“任意”？結(jié)論：直線AB垂直于平面內(nèi)的任意一條直線,那么它就垂直于這個(gè)平面追問2：可以用“無數(shù)”代替“任意”嗎？直線與平面垂直的定義：如果一條直線l垂直于平面 內(nèi)的任意一條直線，我們就說直線 l 與平面 互相垂直.記作：圖4【設(shè)計(jì)意圖】這里是對直線垂直于平面定義的形成過程，結(jié)合幾何直觀感知，就能夠在問題的引導(dǎo)下獲得思路，利用轉(zhuǎn)化的思想歸納出線面垂直的定義，并讓學(xué)生體會(huì)到定義的本質(zhì)是直線與直線

4、垂直；強(qiáng)調(diào)直線要與平面內(nèi)的任意直線都垂直，不等于無數(shù).并規(guī)范表達(dá)，感受數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密.2.3知識拓展:圖3點(diǎn)到平面距離的定義：過點(diǎn)P作直線PO垂直于平面，垂足為O，垂線段PO長度就是點(diǎn)P到平面的距離.【活動(dòng)預(yù)設(shè)】教師提出問題，師生共同探討，直觀感知和操作確認(rèn)“過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條”，進(jìn)而提出點(diǎn)到平面的距離的概念，為求棱錐體積做鋪墊.【設(shè)計(jì)意圖】類比平面幾何有關(guān)性質(zhì)，結(jié)合直線與平面垂直的定義，給出空間類似的性質(zhì)；呼應(yīng)前面棱錐的高的概念.3 實(shí)驗(yàn)探究，得出定理3.1 簡單探究，得到猜想問題:3： 如果直線l與平面內(nèi)的一條（兩條，無數(shù)條）直線垂直，則直線和平面互相垂直?【活動(dòng)預(yù)設(shè)】

5、師生共同探討以下問題：圖4一條直線圖4無數(shù)條直線兩條平行直線兩條相交直線【設(shè)計(jì)意圖】結(jié)合圖例，讓學(xué)生感受直線與平面垂直需要兩條相交直線，得到猜想，找到一種替代定義去證明線面垂直的辦法.3.2 動(dòng)手操作，驗(yàn)證猜想問題4：為什么兩條相交直線可以？怎么去驗(yàn)證這件事情？【活動(dòng)預(yù)設(shè)】教師提出問題，并引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作；如圖準(zhǔn)備一塊三角形紙片ABC，過頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上，并請學(xué)生思考;折痕AD與桌面垂直嗎？如何翻折才能得到使折痕AD與桌面垂直？為什么？這樣就初步驗(yàn)證了剛才的猜想：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線圖5都垂直，這條直線就和這個(gè)平面垂直.追問（1）：

6、為什么一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線圖4圖4圖4圖4都垂直，這條直線就和這個(gè)平面垂直？可能的回答：兩條相交直線可以確定一個(gè)平面？追問（2）：兩條平行直線也可以確定一個(gè)平面，為什么兩條平行直線都垂直于一條直線的時(shí)候，直線和平面就不垂直呢？【設(shè)計(jì)意圖】通過實(shí)踐操作，讓學(xué)生有直觀感受，初步判斷剛才的猜想是正確的；不斷追問，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步的思考，兩條相交直線可以確定一個(gè)平面，但是更主要的是他們可以表示這個(gè)平面內(nèi)的所以直線，這里可以用平面向量基本定理來給出解釋，從而進(jìn)一步對于判定定理的正確性給出說明，讓學(xué)生體會(huì)直線與平面垂直向直線與直線垂直轉(zhuǎn)化，體會(huì)感知化無限為為有限，以及歸納猜想、思辨論證這一研究

7、問題的思維過程.問題5：試分別用文字語言、圖形語言、符號語言來表述直線與平面的判定定理.【設(shè)計(jì)意圖】實(shí)現(xiàn)圖形語言、文字語言、符號語言之間的轉(zhuǎn)換是讓學(xué)生進(jìn)一步理解判定定理的需要，也是發(fā)展學(xué)生邏輯思維的需要.4 鞏固練習(xí)，典例剖析例1（課本例3）求證：如果兩條平行線中的一條直線垂直與一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直與這個(gè)平面.追問（1）：你能根據(jù)條件與結(jié)論畫出示意圖，寫出已知、求證嗎？追問（2）：結(jié)合所畫圖形，你認(rèn)為該如何證明此問題？【活動(dòng)預(yù)設(shè)】教師要求學(xué)生寫出已知求證，并與學(xué)生共同分析證明思路：根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，只需證明另一條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線即可.在此問題中，需要構(gòu)造

8、兩條相交直線，既需要做輔助線.可以請一名同學(xué)板書，教師反饋，完成證明.追問（3）：你還有不同證明方法嗎?可能的答案 ：嘗試用定義證明.【設(shè)計(jì)意圖】通過例題，鞏固直線和平面垂直的判定定理，并結(jié)合例題讓學(xué)生把握判定定理中“兩條相交直線”這一關(guān)鍵.通過引導(dǎo)學(xué)生從線面垂直的定義出發(fā)進(jìn)行證明時(shí)，提高學(xué)生思維的靈活性，讓學(xué)生認(rèn)識到證明線面垂直的不同方法，從而感受判定定理證明的優(yōu)越性.5 直線與平面所成的角及其應(yīng)用問題6：直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情況.當(dāng)它們不垂直時(shí)，如圖，可以發(fā)現(xiàn)，不同的直線與平面相交的情況也是不同的，如何刻畫這種不同呢？【活動(dòng)預(yù)設(shè)】教師提出問題，給出斜線的概念.引導(dǎo)學(xué)生發(fā)

9、現(xiàn)，斜線與平面相交位置的不同在于他們相對于平面的“傾斜程度不同”，進(jìn)而給出直線與平面所成角的概念，并用它來刻畫斜線和平面的位置關(guān)系.圖6【設(shè)計(jì)意圖】引出直線與平面所成角的概念，同時(shí)建立平面的一條斜線在平面上的射影的概念.例2（課本例4）：如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，求直線A1B與平面A1DCB1所成的角.追問：有直線與平面成角的概念知，應(yīng)該先找到A1B在平面A1DCB1內(nèi)的射影，怎樣找到呢？【活動(dòng)預(yù)設(shè)】教師引導(dǎo)學(xué)生對題目進(jìn)行分析，從要解決的問題出發(fā)，要求直線和平面的成角，要先找到這條直線在平面上的射影；進(jìn)而要找到這個(gè)平面的垂線，再利用直線與平面垂直的判定定理，問題圖7可以解決.然后書寫證明過程，規(guī)范解題.【設(shè)計(jì)意圖】 通過例題教學(xué)，鞏固直線和平面所成角的概念，以及直線與平面垂直的判定定理.結(jié)合分析題目，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成回歸定義思考問題的意識，并引導(dǎo)學(xué)生形成解決問題的一般思路,規(guī)范書寫.6 歸納小結(jié)，布置作業(yè)問題：本節(jié)課你學(xué)到了什么？【