計(jì)算機(jī)圖形學(xué) 第六章 二維變換及二維觀察-1

1、第六章 二維變換及二維觀察提出問題：如何對(duì)二維圖形進(jìn)行方向、尺寸和形狀方面的變換如何方便地實(shí)現(xiàn)在顯示設(shè)備上對(duì)二維圖形進(jìn)行觀察 圖形的幾何變換是指對(duì)圖形的幾何信息經(jīng)過平移、比例、旋轉(zhuǎn)等變換后產(chǎn)生新的圖形，是圖形在方向、尺寸和形狀方面的變換。5.1 基本概念5.1.2 幾何變換5.1.1 齊次坐標(biāo)5.1 基本概念 齊次坐標(biāo)表示就是用n+1維向量表示一個(gè)n維向量 PP1,P2,Pn PhP1,hP2,hPn,h h不為0 齊次坐標(biāo)的不唯一性 規(guī)范化齊次坐標(biāo)表示就是h=1的齊次坐標(biāo)表示 PP1,P2,Pn,1 如何從齊次坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到規(guī)范化齊次坐標(biāo) PhP1 /h,hP2 /h,hPn/h,h/h5.1

2、基本概念5.1.1 齊次坐標(biāo)為什么要在幾何變換中提出齊次坐標(biāo)的概念？二維變換：x,yx y = ax+cy bx+dya bc dx y+l m = x+l y+mx y s = sx syx,yx y = ax+cy bx+dya bc dx y+l m = x+l y+mx y s = sx sy5.1 基本概念5.1.1 齊次坐標(biāo)5.1.3 二維變換矩陣5.1 基本概念T1：比例、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱、錯(cuò)切T2：平移T3：投影T4：整體縮放T1T3T2T45.2 基本幾何變換 基本幾何變換都是相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸進(jìn)行的幾何變換平移是一種不產(chǎn)生變形而移動(dòng)物體的剛體變換（rigid-body tra

3、nsformation）5.2.1 平移變換平移是指將p點(diǎn)沿直線路徑從一個(gè)坐標(biāo)位置移到另一個(gè)坐標(biāo)位置的重定位過程。Tx，Ty稱為平移矢量推導(dǎo)：矩陣：5.2.1 平移變換x=x+Tx,y=y+Ty5.2.2 比例變換 比例變換是指對(duì)p點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)沿x方向放縮Sx倍，沿y方向放縮Sy倍。其中Sx和Sy稱為比例系數(shù)。推導(dǎo)：矩陣：5.2.2 比例變換x=Sx*X,y=Sy*Y5.2.2 比例變換整體比例變換：5.2.2 比例變換問題：S1時(shí)縮還是放？x y 1=x y s=x/s y/s s/s5.2.3 旋轉(zhuǎn)變換 二維旋轉(zhuǎn)是指將p點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)某個(gè)角度（逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)）得到新的點(diǎn)p的重

4、定位過程。X = rcos(a+) = rcosacos-rsinasin = x cos -y siny= rsin(a+) = rcosasin+rsinacos = x sin +y cos推導(dǎo)：矩陣：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角?5.2.3 旋轉(zhuǎn)變換X = rcos(a+) = rcosacos-rsinasin = x cos -y siny= rsin(a+) = rcosasin+rsinacos = x sin +y cos簡化計(jì)算（很?。?.2.3 旋轉(zhuǎn)變換5.2.4 對(duì)稱變換對(duì)稱變換后的圖形是原圖形關(guān)于某一軸線或原點(diǎn)的鏡像。5.2.4 對(duì)稱變換對(duì)稱變換后的圖形是原圖形關(guān)于某一軸

5、線或原點(diǎn)的鏡像。(1)關(guān)于x軸對(duì)稱5.2.4 對(duì)稱變換(2)關(guān)于y軸對(duì)稱5.2.4 對(duì)稱變換(3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱5.2.4 對(duì)稱變換(4)關(guān)于y=x軸對(duì)稱5.2.4 對(duì)稱變換(5)關(guān)于y=-x軸對(duì)稱5.2.4 對(duì)稱變換5.2.5 錯(cuò)切變換 錯(cuò)切變換，也稱為剪切、錯(cuò)位變換，用于產(chǎn)生彈性物體的變形處理。其變換矩陣為： (1)沿x方向錯(cuò)切(2)沿y方向錯(cuò)切(3)兩個(gè)方向錯(cuò)切5.2.5 錯(cuò)切變換5.2.6 二維圖形幾何變換的計(jì)算幾何變換均可表示成 P = P * T 的形式：1. 點(diǎn)的變換2. 直線的變換3. 多邊形的變換4. 曲線的變換5.3 復(fù)合變換復(fù)合變換是指：圖形作一次以上的幾何變換，變換結(jié)果是

6、每次的變換矩陣相乘。任何一復(fù)雜的幾何變換都可以看作基本幾何變換的組合形式。復(fù)合變換具有形式：5.3.1 二維復(fù)合平移兩個(gè)連續(xù)平移是加性的。5.3.2 二維復(fù)合比例連續(xù)比例變換是相乘的。5.3.3 二維復(fù)合旋轉(zhuǎn)兩個(gè)連續(xù)旋轉(zhuǎn)是相加的?？蓪憺椋?.3 復(fù)合變換5.3.4 其它二維復(fù)合變換5.3 復(fù)合變換5.3.5 相對(duì)任一參考點(diǎn)的二維幾何變換相對(duì)某個(gè)參考點(diǎn)(xF,yF)作二維幾何變換，其變換過程為：(1) 平移(2) 針對(duì)原點(diǎn)進(jìn)行二維幾何變換。(3) 反平移5.3 復(fù)合變換xyF(xF,yF)oPP5.3.5 相對(duì)任一參考點(diǎn)的二維幾何變換例1. 相對(duì)點(diǎn)(xF,yF)的旋轉(zhuǎn)變換xyF(xF,yF)oP

7、xyoPPxyoPPTxTyTx=- xF Ty=- yFxyoPTxTyTx= xF Ty= yFP5.3.6 相對(duì)任意方向的二維幾何變換 相對(duì)任意方向作二維幾何變換，其變換的過程是：(1) 旋轉(zhuǎn)變換(2) 針對(duì)坐標(biāo)軸進(jìn)行二維幾何變換；(3) 反向旋轉(zhuǎn)例3. 相對(duì)直線 y=x 的反射變換5.3 復(fù)合變換例4. 將正方形ABCO各點(diǎn)沿圖6-8所示的(0,0)(1,1)方向進(jìn)行拉伸，結(jié)果為如圖所示的，寫出其變換矩陣和變換過程。5.3 復(fù)合變換5.3.7 坐標(biāo)系之間的變換問題：5.3 復(fù)合變換分析：5.3.7 坐標(biāo)系之間的變換可以分兩步進(jìn)行：5.3.7 坐標(biāo)系之間的變換于是：5.3.7 坐標(biāo)系之間

8、的變換5.3.8 光柵變換直接對(duì)幀緩存中象素點(diǎn)進(jìn)行操作的變換稱為光柵變換。光柵平移變換：90、180和270的光柵旋轉(zhuǎn)變換： 5.3.8 光柵變換陣列每個(gè)象素值顛倒交換行與列a11 a12 a13a21 a22 a23a13 a12 a11a23 a22 a21a13 a23a12 a22a11 a21a13 a23a12 a22a11 a215.3.8 光柵變換90、180和270的光柵旋轉(zhuǎn)變換： a11 a12 a13a21 a22 a23a23 a22 a21a13 a12 a11陣列每個(gè)象素值顛倒將行序顛倒a13 a12 a11a23 a22 a21a23 a22 a21a13 a12

9、 a11任意角度的光柵旋轉(zhuǎn)變換： 5.3.8 光柵變換Gray(A)= Gray(i) A在i上的覆蓋率(Gray(x)表示某點(diǎn)的灰度等級(jí))i=1nGray(A)=Gray(1) A在1上的覆蓋率+ Gray(2) A在2上的覆蓋率+ Gray(3) A在3上的覆蓋率光柵比例變換： 5.3.8 光柵變換123412 Gray(i) Sii=1nGray(A)= Sii=1nG=(G1+G2+G3+G4)/4G=(G1S1 + G2S2)/(S1 + S2)5.3.9 變換的性質(zhì)仿射變換具有平行線不變性和有限點(diǎn)數(shù)目的不變性平移、比例、旋轉(zhuǎn)、錯(cuò)切和反射等變換均是二維仿射變換的特例，反過來，任何常用的二維仿射變換總可以表示為這五種變換的復(fù)