2021版數(shù)學（新教材）必修 第一冊人教A版：第三章 3-2-2 第1課時

1、32.2奇偶性第1課時奇偶性的概念學習目標1.了解函數(shù)奇偶性的定義.2.掌握函數(shù)奇偶性的判斷和證明方法.3.會應(yīng)用奇、偶函數(shù)圖象的對稱性解決簡單問題知識點一函數(shù)奇偶性的幾何特征一般地，圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)稱為偶函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)稱為奇函數(shù)知識點二函數(shù)奇偶性的定義1偶函數(shù)：函數(shù)f(x)的定義域為I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)2奇函數(shù)：函數(shù)f(x)的定義域為I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)知識點三奇(偶)函數(shù)的定義域特征奇(偶)函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱1奇、偶函數(shù)的定義域都關(guān)于原點對稱()2函數(shù)f(x)x

2、2|x|的圖象關(guān)于原點對稱()3對于定義在R上的函數(shù)f(x)，若f(1)f(1)，則函數(shù)f(x)一定是偶函數(shù)()4不存在既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)()一、函數(shù)奇偶性的判斷例1判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x)eq f(1,x)；(2)f(x)x2(x22)；(3)f(x)eq f(x,x1)；(4)f(x)eq r(x21)eq r(1x2).解(1)f(x)eq f(1,x)的定義域為(，0)(0，)，f(x)eq f(1,x)eq f(1,x)f(x)，f(x)eq f(1,x)是奇函數(shù)(2)f(x)x2(x22)的定義域為R.f(x)f(x)，f(x)x2(x22)是偶函數(shù)(3)f(x)

3、eq f(x,x1)的定義域為(，1)(1，)，定義域不關(guān)于原點對稱，f(x)eq f(x,x1)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)(4)f(x)eq r(x21)eq r(1x2)的定義域為1,1f(x)f(x)f(x)0，f(x)eq r(x21)eq r(1x2)既為奇函數(shù)，又為偶函數(shù)反思感悟判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)定義法：定義域關(guān)于原點對稱；確定f(x)與f(x)的關(guān)系(2)圖象法跟蹤訓練1判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x)eq r(x)；(2)f(x)eq f(r(1x2),x)；(3)f(x)eq blcrc (avs4alco1(x2x，x0，,x2x，x0時，x0，則f(x)(x)2

4、(x)x2xf(x)；當x0，則f(x)(x)2(x)x2xf(x)，所以f(x)是偶函數(shù)二、奇、偶函數(shù)圖象的應(yīng)用例2定義在R上的奇函數(shù)f(x)在0，)上的圖象如圖所示(1)畫出f(x)的圖象；(2)解不等式xf(x)0.考點函數(shù)圖象的對稱性題點中心對稱問題解(1)先描出(1,1)，(2,0)關(guān)于原點的對稱點(1，1)，(2,0)，連線可得f(x)的圖象如圖(2)xf(x)0即圖象上橫坐標、縱坐標同號結(jié)合圖象可知，xf(x)0的解集是(2,0)(0,2)延伸探究把本例中的“奇函數(shù)”改為“偶函數(shù)”，重做該題解(1)f(x)的圖象如圖所示：(2)xf(x)0的解集是(，2)(0,2)反思感悟可以用

5、奇(偶)函數(shù)圖象關(guān)于原點(y軸)對稱這一特性去畫圖，求值，解不等式等跟蹤訓練2已知奇函數(shù)f(x)的定義域為5,5，且在區(qū)間0,5上的圖象如圖所示(1)畫出在區(qū)間5,0上的圖象；(2)寫出使f(x)0的x的取值集合考點函數(shù)圖象的對稱性題點中心對稱問題解(1)如圖，在0,5上的圖象上選取5個關(guān)鍵點O，A，B，C，D.分別描出它們關(guān)于原點的對稱點O，A，B，C，D，再用光滑曲線連接即得(2)由(1)圖可知，當且僅當x(2,0)(2,5)時，f(x)0.使f(x)0的x的取值集合為x|2x0或2x5三、利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值例3(1)若函數(shù)f(x)ax2bx3ab是偶函數(shù)，定義域為a1,2a，則a_

6、，b_.答案eq f(1,3)0解析因為偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，所以a12a，解得aeq f(1,3).又函數(shù)f(x)eq f(1,3)x2bxb1為二次函數(shù)，結(jié)合偶函數(shù)圖象的特點，易得b0.(2)已知函數(shù)f(x)ax22x是奇函數(shù)，則實數(shù)a_.答案0解析由奇函數(shù)定義有f(x)f(x)0，得a(x)22(x)ax22x2ax20，故a0.反思感悟利用奇偶性求參數(shù)的常見類型(1)定義域含參數(shù)：奇偶函數(shù)f(x)的定義域為a，b，根據(jù)定義域關(guān)于原點對稱，利用ab0求參數(shù)(2)解析式含參數(shù)：根據(jù)f(x)f(x)或f(x)f(x)列式，比較系數(shù)利用待定系數(shù)法求解跟蹤訓練3(1)若函數(shù)f(x)x2|x

7、a|為偶函數(shù)，則實數(shù)a_.答案0解析方法一顯然xR，由已知得f(x)(x)2|xa|x2|xa|.又f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)f(x)，即x2|xa|x2|xa|，即|xa|xa|.又xR，所以a0.方法二由題意知f(1)f(1)，則|a1|a1|，解得a0.(2)已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，當x(，0)時，f(x)x2mx.若f(2)3，則m的值為_答案eq f(1,2)解析f(2)f(2)3，f(2)(2)22m3，meq f(1,2).1下列函數(shù)是偶函數(shù)的是()Ayx By2x23Cyeq r(x) Dyx2，x(1,1答案B2函數(shù)f(x)eq f(1,x)x的圖象關(guān)于()Ay軸對稱

8、B直線yx對稱C坐標原點對稱 D直線yx對稱答案C解析f(x)eq f(1,x)x是奇函數(shù)，f(x)eq f(1,x)x的圖象關(guān)于原點對稱3下列圖象表示的函數(shù)具有奇偶性的是()考點函數(shù)的奇偶性概念題點函數(shù)奇偶性概念的理解答案B4f(x)x2|x|()A是偶函數(shù)，在(，)上是增函數(shù)B是偶函數(shù)，在(，)上是減函數(shù)C不是偶函數(shù)，在(，)上是增函數(shù)D是偶函數(shù)，且在(0，)上是增函數(shù)考點單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用題點判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性答案D5若已知函數(shù)f(x)eq f(axb,1x2)是定義在(1,1)上的奇函數(shù)，且f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq f(2,5)，則函數(shù)

9、f(x)的解析式為_答案f(x)eq f(x,1x2)解析f(x)eq f(axb,1x2)是定義在(1,1)上的奇函數(shù)，f(0)0，f(0)eq f(a0b,102)0，b0.即f(x)eq f(ax,1x2)，又f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq f(2,5)，eq f(f(a,2),1blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2)eq f(2,5).a1，函數(shù)f(x)eq f(x,1x2).1知識清單：(1)函數(shù)奇偶性的概念(2)奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖象特征2方法歸納：特值法、數(shù)形結(jié)合法3常見誤區(qū)：忽略函數(shù)的定義域的對稱性，只有定義域關(guān)于原點對稱，才可能具有

10、奇偶性1下列函數(shù)中奇函數(shù)的個數(shù)為()f(x)x3；f(x)x5；f(x)xeq f(1,x)；f(x)eq f(1,x2).A1 B2 C3 D4答案C2已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(3)2，則下列各點中一定在函數(shù)f(x)的圖象上的是()A(3，2) B(3,2) C(3，2) D(2，3)答案A解析f(3)2即點(3,2)在奇函數(shù)的圖象上，(3,2)關(guān)于原點的對稱點(3，2)必在f(x)的圖象上3設(shè)f(x)是定義在R上的一個函數(shù)，則函數(shù)F(x)f(x)f(x)在R上一定()A是奇函數(shù)B是偶函數(shù)C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)答案A解析F(x)f(x)f(x)f(x)f

11、(x)F(x)F(x)為奇函數(shù)4若f(x)3x35xa1為奇函數(shù)，則a的值為()A0 B1 C1 D2答案C解析f(x)為R上的奇函數(shù)，f(0)0得a1.5.如圖，給出奇函數(shù)yf(x)的局部圖象，則f(2)f(1)的值為()A2 B2C1 D0答案A解析f(2)f(1)f(2)f(1)eq f(3,2)eq f(1,2)2.6若f(x)(xa)(x4)為偶函數(shù)，則實數(shù)a_.答案4解析f(x)x2(a4)x4a是偶函數(shù)，a4.7已知yf(x)是奇函數(shù)，當x0時，f(x)x2ax，且f(3)6，則a的值為_答案5解析因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(3)f(3)6，所以(3)2a(3)6，解得a5.8

12、若f(x)為R上的奇函數(shù)，給出下列四個說法：f(x)f(x)0；f(x)f(x)2f(x)；f(x)f(x)f(3)11下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0，)上單調(diào)遞增的函數(shù)是()Ayx3 By|x|1Cyx21 Dyeq f(2,x)答案B解析對于函數(shù)y|x|1，f(x)|x|1|x|1f(x)，所以y|x|1是偶函數(shù)，當x0時，yx1，所以在(0，)上單調(diào)遞增另外，函數(shù)yx3不是偶函數(shù)，yx21在(0，)上單調(diào)遞減，yeq f(2,x)不是偶函數(shù)故選B.12設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是()Af(x)|g(x)|是偶函數(shù)Bf(x)|g(x)|是奇函數(shù)C

13、|f(x)|g(x)是偶函數(shù)D|f(x)|g(x)是奇函數(shù)考點函數(shù)的奇偶性判定與證明題點判斷抽象函數(shù)的奇偶性答案A解析由f(x)是偶函數(shù)，可得f(x)f(x)，由g(x)是奇函數(shù)可得g(x)g(x)，故|g(x)|為偶函數(shù)，f(x)|g(x)|為偶函數(shù)13函數(shù)f(x)eq f(r(4x2),2|x2|)的定義域為_，為_函數(shù)(填“奇”或“偶”)答案2,0)(0,2奇解析依題意有eq blcrc (avs4alco1(4x20，,2|x2|0，)解得2x2且x0，f(x)的定義域為2,0)(0,2f(x)eq f(r(4x2),2|x2|)eq f(r(4x2),x)eq f(r(4x2),x)

14、，定義域關(guān)于原點對稱，f(x)eq f(r(4x2),x)f(x)，f(x)為奇函數(shù)14函數(shù)f(x)ax3bxeq f(c,x)5滿足f(3)2，則f(3)的值為_答案8解析設(shè)g(x)f(x)5ax3bxeq f(c,x)(x0)，g(x)ax3bxeq f(c,x)g(x)，g(x)是奇函數(shù)，g(3)g(3)f(3)5f(3)5253，又g(3)f(3)53，f(3)8.15已知函數(shù)f(x)eq f(x2x1,x21)，若f(a)eq f(2,3)，則f(a)_.考點函數(shù)圖象的對稱性題點中心對稱問題答案eq f(4,3)解析根據(jù)題意，f(x)eq f(x2x1,x21)1eq f(x,x21)，而h(x)eq f(x,x21)是奇函數(shù)，故f(a)1h(a)1h(