中考數(shù)學(xué)分類匯編三角形

1、 第 頁華北5省市自治區(qū)2011年中考數(shù)學(xué)試題分類解析匯編專題9：三角形選擇題1. （天津3分）sin45的值等于（A) (B) (C) (D)1【答案】B?！究键c(diǎn)】特殊角三角函數(shù)?！痉治觥坷锰厥饨侨呛瘮?shù)的定義，直接得出結(jié)果。2.（河北省3分）如圖，在ABC 中，C=90，BC=6，D，E 分別在 AB、AC上，將ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A處，若A為CE的中點(diǎn)，則折痕DE的長(zhǎng)為 A、12B、2 C、3D、4【答案】B?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問題），相似三角形的判定和性質(zhì)。【分析】ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A處，EDA=EDA=90，AE=AE，ACBAED。 。又A為CE的中點(diǎn)，

2、AE=AE=AC。ED=2。故選B。3.（山西省2分）如圖，ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G、F在BC邊上，四邊形DEFG是正方形若DE=2cm，則AC的長(zhǎng)為 Acm B4cm Ccm Dcm【答案】D。【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，正方形的性質(zhì)，勾股定理。【分析】根據(jù)三角形的中位線定理可得出BC=4，由AB=AC，可證明BG=CF=1，由勾股定理可求出CE=，即可得出AC=2。故選D。4.（內(nèi)蒙古呼和浩特3分）如果等腰三角形兩邊長(zhǎng)是6cm和3cm，那么它的周長(zhǎng)是 A、9cmB、12cm C、15cm或12cmD、15cm【答案】D。【考點(diǎn)】等腰三角形

3、的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系?！痉治觥壳蟮妊切蔚闹荛L(zhǎng)，即要確定等腰三角形的腰與底的長(zhǎng)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系知當(dāng)6為腰，3為底時(shí)，6366+3，能構(gòu)成等腰三角形，周長(zhǎng)為6+6+3=15；當(dāng)3為腰，6為底時(shí)，3+3=6，不能構(gòu)成三角形。故選D。5.（內(nèi)蒙古呼倫貝爾3分）如圖，ACBA1CB1, BCB1=30，則ACA1的度數(shù)為 A 20 B. 30 C. 35 D. 40【答案】B。【考點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)。【分析】根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，得ACB=A1CB1，所以ACBBCA1=A1CB1BCA1，即 ACA1=BCB1=35。故選B。填空題1. （山西省3分）如圖，已知AB=12；ABB

4、C于B，ABAD于A，AD=5，BC=10點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，則AE的長(zhǎng)是 ?！敬鸢浮?。【考點(diǎn)】平行的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥窟^點(diǎn)E作EGAB，垂足為點(diǎn)G，AB與DC交于點(diǎn)F，則DAGEBC。 點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，AB=12，根據(jù)平行的性質(zhì)，得AG=6。 DABC，ADFBCF。 AB=12，即BF=12AF。又AD=5，BC=10，解得，AF=4，F(xiàn)B=8。FG=64=2。GEBC，F(xiàn)GEFBC。，即，解得，GE=。在RtAGE中，由勾股定理，得AE=。2.（內(nèi)蒙古巴彥淖爾、赤峰3分）如圖，AD是ABC的中線，ADC=60，BC=6，把ABC沿直線AD折疊，點(diǎn)C落在C處，

5、連接BC，那么BC的長(zhǎng)為 【答案】3?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問題），軸對(duì)稱的性質(zhì)，平角定義，等邊三角形的判定與性質(zhì)。【分析】根據(jù)題意：BC=6，D為BC的中點(diǎn)；故BD=DC=3。 由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：ADC=ADC=60，DC=DC=2，BDC=60。故BDC為等邊三角形，故BC=3。3.（內(nèi)蒙古巴彥淖爾、赤峰3分）如圖，EF是ABC的中位線，將AEF沿AB方向平移到EBD的位置，點(diǎn)D在BC上，已知AEF的面積為5，則圖中陰影部分的面積為 【答案】10?！究键c(diǎn)】三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，平移的性質(zhì)?！痉治觥縀F是ABC的中位線，EFBC，AEFABC。EF：BC=1：2，SAE

6、F：SABC=1：4。AEF的面積為5，SABC=20。將AEF沿AB方向平移到EBD的位置，SEBD=5。圖中陰影部分的面積為：SABCSEBDSAEF=2055=10。ADBCEO4.（內(nèi)蒙古包頭3分）如圖，ABD與AEC都是等邊三角形，ABAC，下列結(jié)論中：BE=DC；BOD=60；BODCOE正確的序號(hào)是 【答案】?！究键c(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，相似三角形的判定?！痉治觥緼BD、AEC都是等邊三角形，AD=AB，AE=AC，DAB=CAE=60。DAC=BAC+60，BAE=BAC+60。DAC=BAE。DACBAE（SAS）。BE=DC?！菊_

7、】ADC=ABE。BOD+BDO+DBO=180，BOD=180BDODBO=60?！菊_】由DACBAE和ABAC，得ADCAEB，ODBOEC。又ODB60，OCE60，ODBOCE。而DOB=EOC，BOD和COE不相似?！惧e(cuò)誤】5.（內(nèi)蒙古呼和浩特3分）如圖所示，在梯形ABCD中，ADBC，CE是BCD的平分線，且CEAB，E為垂足，BE=2AE，若四邊形AECD的面積為1，則梯形ABCD的面積為 QUOTE 157 【答案】?！究键c(diǎn)】角平分線和垂直的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，梯形的面積，一元一次方程的應(yīng)用。【分析】延長(zhǎng)

8、BA與CD，交于F，CE是BCD的平分線，BCE=FCE。CEAB，BEC=FEC=90。EC=EC，BCEFCE（ASA）。BE=EF。BE=2AE，BF=4AF。又ADBC，F(xiàn)ADFBC。設(shè)SFAD=x，SFBC=16x，SBCE=SFEC=8x，S四邊形AECD=7x。四邊形AECD的面積為1，7x=1，x= QUOTE 17 。梯形ABCD的面積為：SBCE+S四邊形AECD=15x= QUOTE 157 。6.（內(nèi)蒙古烏蘭察布4分）如圖，在RtABC中，ABC = 90, AB = 8cm , BC = 6cm , 分別以A,C為圓心，以的長(zhǎng)為半徑作圓, 將 RtABC截去兩個(gè)扇形，

9、則剩余（陰影）部分的面積為 cm（結(jié)果保留）【答案】?！究键c(diǎn)】直角三角形兩銳角的關(guān)系，勾股定理，扇形的面積?！痉治觥坑深}意可知，陰影部分的面積為三角形面積減去兩個(gè)扇形面積。 三角形面積為。 由勾股定理，得AC=10，圓半徑為5。 在RtABC中，ABC = 90,AC =90。 兩個(gè)扇形的面積的和為半徑5，圓心角90的扇形的面積，即四分之一圓的面積。 陰影部分的面積為 cm。7.（內(nèi)蒙古烏蘭察布4分）某廠家新開發(fā)的一種電動(dòng)車如圖，它的大燈A射出的光線AB,AC 與地面MN 所夾的銳角分別為 8和 10，大燈A與地面離地面的距離為lm則該車大燈照亮地面的寬度BC是 m .（不考慮其它因素）【答案

10、】?！究键c(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)定義?！痉治觥窟^點(diǎn)A作ADBC，垂足為點(diǎn)D。由銳角三角函數(shù)定義，得 BCBDCD。解答題1.（北京5分）如圖，點(diǎn)A、B、C、D在同一條直線上，BEDF，A=F，AB=FD求證：AE=FC HYPERLINK / 【答案】證明：BEDF，ABE=D。 在ABC和FDC中， ABCFDC（ASA）。 AE=FC【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)。【分析】利用平行線同位角相等的性質(zhì)可得ABE=D，由已知用ASA判定ABCFDC，再由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)證得AE=FC。2.（北京5分）如圖，在ABC，AB=AC，以AB為直徑的O分別交AC、B

11、C于點(diǎn)D、E，點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上，且CBF=CAB（1）求證：直線BF是O的切線；（2）若AB=5，sinCBF=，求BC和BF的長(zhǎng) HYPERLINK / 【答案】解：（1）證明：連接AE。AB是O的直徑，AEB=90。 1+2=90。 AB=AC，1= QUOTE * MERGEFORMAT CAB。 CBF=CAB，1=CBF。CBF+2=90。即ABF=90。 AB是O的直徑，直線BF是O的切線。 （2）過點(diǎn)C作CGAB于點(diǎn)G。 sinCBF= QUOTE * MERGEFORMAT ，1=CBF，sin1=。 AEB=90，AB=5，BE=ABsin1= QUOTE * MERGE

12、FORMAT 。 AB=AC，AEB=90，BC=2BE=2 QUOTE * MERGEFORMAT 。 EMBED Equation.DSMT4 * MERGEFORMAT 在RtABE中，由勾股定理得AE=2，sin2=，cos2=。 在RtCBG中，可求得GC=4，GB=2，AG=3。 GCBF，AGCBFA。 QUOTE * MERGEFORMAT ?！究键c(diǎn)】切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形?！痉治觥浚?）連接AE，利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，從而判定直角三角形，利用直角三角形兩銳角相等得到直角，從而證明ABE=90。 （2）利用已知條件證得

13、AGCBFA，利用對(duì)應(yīng)邊的比求得線段的長(zhǎng)即可。3.（北京5分）閱讀下面材料：小偉遇到這樣一個(gè)問題，如圖1，在梯形ABCD中，ADBC，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O若梯形ABCD的面積為1，試求以AC，BD，AD+BC的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形的面積 小偉是這樣思考的：要想解決這個(gè)問題，首先應(yīng)想辦法移動(dòng)這些分散的線段，構(gòu)造一個(gè)三角形，再計(jì)算其面積即可他先后嘗試了翻折，旋轉(zhuǎn)，平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過平移可以解決這個(gè)問題他的方法是過點(diǎn)D作AC的平行線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，得到的BDE即是以AC，BD，AD+BC的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形（如圖2）參考小偉同學(xué)的思考問題的方法，解決下列問題：如圖3，ABC的三條中線

14、分別為AD，BE，CF（1）在圖3中利用圖形變換畫出并指明以AD，BE，CF的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的一個(gè)三角形（保留畫圖痕跡）；（2）若ABC的面積為1，則以AD，BE，CF的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形的面積等于 QUOTE * MERGEFORMAT 【答案】解：BDE的面積等于1。 （1）如圖以AD、BE、CF的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的一個(gè)三角形是CFP。 （2）連接EF，PE，則CFP可公割成PEF，PCE和EFC。 四邊形BEPF是平行四邊形，PEFBFE。 又E，F(xiàn)是AC，AB的中點(diǎn)，BFE的底和高都是ABC的一半。 BFE的面積是ABC的，即PEF的面積是ABC的。 同理，PCE和EFC的面積都是ABC的

15、。 以AD、BE、CF的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形的面積等于 QUOTE * MERGEFORMAT ?！究键c(diǎn)】平移的性質(zhì)，三角形的面積，尺規(guī)作圖?！痉治觥扛鶕?jù)平移可知，ADCECD，且由梯形的性質(zhì)知ADB與ADC的面積相等，即BDE的面積等于梯形ABCD的面積。 （1）分別過點(diǎn)F、C作BE、AD的平行線交于點(diǎn)P，得到的CFP即是以AD、BE、CF的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的一個(gè)三角形。 （2）由平移的性質(zhì)可得對(duì)應(yīng)線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等。結(jié)合圖形知以AD，BE，CF的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形的面積等于ABC的面積的。4.（天津8分）某校興趣小組坐游輪拍攝海河兩岸美景如圖，游輪出發(fā)點(diǎn)A與望海樓B的距離為300 m

16、在一處測(cè)得望海校B位于A的北偏東30方向游輪沿正北方向行駛一段時(shí)間后到達(dá)C在C處測(cè)得望海樓B位于C的北偏東60方向求此時(shí)游輪與望梅樓之間的距離BC (取l.73結(jié)果保留整數(shù))【答案】解：根據(jù)題意，AB=10，如圖，過點(diǎn)B作BDAC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D。 在RtADB中， BAD=300，。 在RtCDB中，。 答：此時(shí)游輪與望梅樓之間的距離約為173 m。【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用。【分析】要求BC的長(zhǎng)，就要把它作為直角三角形的邊，故輔助線過點(diǎn)B作BDAC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，形成兩個(gè)直角三角形，利用三角函數(shù)解直角三角形先求BD再求出BC。5.（山西省7分）如圖，某校綜合實(shí)踐活動(dòng)小組的同學(xué)欲測(cè)

17、量公園內(nèi)一棵樹DE的高度他們?cè)谶@棵樹正前方一座樓亭前的臺(tái)階上A點(diǎn)處測(cè)得樹頂端D的仰角為30，朝著這棵樹的方向走到臺(tái)階下的點(diǎn)C處，測(cè)得樹頂端D的仰角為60已知A點(diǎn)的高度AB為2米，臺(tái)階AC的坡度為 (即AB：BC=)，且B、C、E三點(diǎn)在同一條盲線上。請(qǐng)根據(jù)以上殺件求出樹DE的高度(測(cè)傾器的高度忽略不計(jì))【答案】解：如圖，過點(diǎn)A作AFDE于F，則四邊形ABEF為矩形。AF=BE，EF=AB=2。設(shè)DE=x，在RtCDE中，CE=，在RtABC中， AB：BC=，AB=2，BC=。在RtAFD中，DF=DEEF=x2，AF= 。AF=BE=BC+CE，解得x=6。答：樹DE的高度為6米。【考點(diǎn)】解直

18、角三角形的應(yīng)用（仰角俯角、坡度坡角問題），銳角三角函數(shù)，特殊角的三角函數(shù)值。【分析】通過構(gòu)造直角三角形分別表示出BC和AF，得到有關(guān)的方程求解即可。6.（山西省9分）如圖（1），RtABC中，ACB=90，CDAB，垂足為DAF平分CAB，交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F（1）求證：CE=CF（2）將圖（1）中的ADE沿AB向右平移到ADE的位置，使點(diǎn)E落在BC邊上，其它條件不變，如圖（2）所示試猜想：BE與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論 【答案】解：（1）ACB=90，CFA=90CAF。 CDAB，CEF=AED=90EAD。 又AF平分CAB，CAF=EAD。CFA=CEF。CE=CF。

19、 （2）BE與CF相等。證明如下：如圖，過點(diǎn)E作EGAC于G。又AF平分CAB，EDAB，ED=EG。 由平移的性質(zhì)可知：DE=DE，DE =GE。 ACB=90，ACD+DCB=90。 CDAB于D，B+DCB=90。ACD=B。在RtCEG與RtBED中，GCE=B，CGE=BDE，CE=DE，CEGBED（AAS）。CE=BE。 由（1）CE=CF，得CF=BE?！究键c(diǎn)】三角形兩銳角的關(guān)系，對(duì)頂角的性質(zhì)，等腰三角形的判定，角平分線定義，平移的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)。【分析】（1）要證CE=CF，根據(jù)等腰三角形等角對(duì)等邊的判定，只要CFA=CEF即可。由已知，知CFA與C

20、AF互余，CEF=AED與EAD互余，而AF平分CAB。從而CAF=EAD。得證。 （2）由角的等量關(guān)系轉(zhuǎn)換和平移的性質(zhì)，根據(jù)AAS證得CEGBED，即可根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)得到CE=BE。由（1）的結(jié)論即可得到CF=BE。7.（內(nèi)蒙古呼和浩特6分）在一次課外實(shí)踐活動(dòng)中，同學(xué)們要測(cè)量某公園人工湖兩側(cè)A，B兩個(gè)涼亭之間的距離現(xiàn)測(cè)得AC=30m，BC=70m，CAB=120，請(qǐng)計(jì)算A，B兩個(gè)涼亭之間的距離【答案】解：如圖，作CDAB于點(diǎn)D在RtCDA中，AC=30，CAD=180CAB=180120=60，CD=ACsinCAD=30sin60=15 QUOTE 3 ，AD=ACcos

21、CAD=30cos60=15。在RtCDB中，BC=70，BD2=BC2CD2，BD= QUOTE 702（153）2 。AB=BDAD=6515=50。答：A，B兩個(gè)涼亭之間的距離為50m?！究键c(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用（方向角問題），銳角三角函數(shù)，特殊角的三角函數(shù)值，勾股定理?！痉治觥繕?gòu)造直角三角形，過C點(diǎn)作CDAB于點(diǎn)D，先在RtCDA中應(yīng)用銳角三角函數(shù)求得AD、CD的長(zhǎng)，再利用勾股定理求得BD的長(zhǎng)，從而由AB=BDAD即得A，B兩個(gè)涼亭之間的距離。8.（內(nèi)蒙古巴彥淖爾、赤峰10分）如圖，一架滿載救援物資的飛機(jī)到達(dá)災(zāi)區(qū)的上空，在A處測(cè)到空投地點(diǎn)C的俯角=60，測(cè)到地面指揮臺(tái)的俯角=30，已知BC的距離是2000米，求此時(shí)飛機(jī)的高度（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】解：作ADBC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D， EABC，ABC=30。 又BAC=30，ABC=BAC。 AC=BC=2000。 在RtACD中，AD= ACcosCAD=ACcos300=1000 QUOTE 3 。 答：此時(shí)飛機(jī)的高度為1000 QUOTE 3 米?！究键c(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用（仰角俯角問題），平行的性質(zhì)，等腰三角形的判定，銳角三角函數(shù)，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥孔鰽DBC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D， 由平行線內(nèi)錯(cuò)角相等的性質(zhì)和等腰三角形的判定，易得AC=BC=2000，從而在RtACD中應(yīng)用銳角三角函數(shù)即可