（教案）向量的數(shù)量積

1、向量的數(shù)量積教學(xué)目標(biāo)理解平面向量的數(shù)量積的含義及其物理意義，了解數(shù)量積的幾何意義，掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)。通過(guò)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過(guò)程的教學(xué)，使學(xué)生感受和領(lǐng)悟“數(shù)學(xué)化”過(guò)程及其思想。通過(guò)師生互動(dòng)、自主探究、交流與學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生探究新知以及合作交流的學(xué)習(xí)品質(zhì)。教學(xué)過(guò)程情景創(chuàng)設(shè)問(wèn)題1 我們以經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的加法、減法和數(shù)乘，它們的運(yùn)算結(jié)果都是向量，那么向量與向量之間有沒(méi)有“乘法”運(yùn)算呢？這種新的運(yùn)算結(jié)果又是什么呢？（從數(shù)學(xué)內(nèi)部來(lái)尋求發(fā)展）學(xué)生活動(dòng)聯(lián)想：物理中，功就是矢量與矢量“相乘”的結(jié)果。問(wèn)題2 物理學(xué)中的“功”是通過(guò)什么方法計(jì)算出來(lái)的？通過(guò)對(duì)物理公式W=（其中F與S的夾角）的分析，得到如下結(jié)論：功W

2、是兩個(gè)向量F和S的某種運(yùn)算的結(jié)果，而且這個(gè)結(jié)果是一個(gè)數(shù)量；功不僅與力和位移的大小有關(guān)，而且還與它們的方向有關(guān)，具體地，它和力F與位移S的夾角有關(guān)。由此可見(jiàn)，“求功運(yùn)算”作為一種新的向量運(yùn)算，不同與我們以前學(xué)習(xí)過(guò)的其他數(shù)學(xué)運(yùn)算。建構(gòu)數(shù)學(xué)問(wèn)題3 從求功的運(yùn)算中，可以抽象出什么樣的數(shù)學(xué)運(yùn)算？學(xué)生討論。教師指出數(shù)學(xué)抽象的方向：舍棄抽象原型的物理意義抽取其中的數(shù)量關(guān)系。平面向量的數(shù)量積（初步認(rèn)識(shí)）（1）最初的認(rèn)識(shí)學(xué)生討論：如把力F和位移S抽象地看成兩個(gè)向量，把力F與位移S的夾角抽象地看成兩個(gè)向量的夾角，就可以得到一種新的運(yùn)算，它是從向量a，b；得到一個(gè)數(shù)量（即）的運(yùn)算這里是向量a，b的夾角。（）進(jìn)一步表

3、述。引進(jìn)向量的數(shù)量積等術(shù)語(yǔ)后，就可以把上面的結(jié)果進(jìn)一步表述為：已知兩個(gè)向量a和b，他們的夾角為，我們把數(shù)量叫做a和b的數(shù)量積（或內(nèi)積），計(jì)作，即=兩個(gè)向量的夾角問(wèn)題在上面的向量數(shù)量積中，提到了“兩個(gè)向量的夾角”的概念，它究竟代表什么意義呢？從實(shí)際背景中的“力”和“位移”的夾角出發(fā)，展開(kāi)討論，得到下面的結(jié)論：對(duì)于兩個(gè)非零向量a和b，作=a，=b,則叫做向量a與b的夾角。特別地，當(dāng)向量a與b的夾角分別等于和時(shí)。兩個(gè)向量分別是同向、反向和垂直。向量a與b垂直，計(jì)作.在討論中，應(yīng)注意上述定義中對(duì)向量的“非零”的限制。平面向量的數(shù)量積（形式化的表述）（）表述的精確化。問(wèn)題在進(jìn)一步弄清了“向量的夾角”的意

4、義以后，應(yīng)該怎樣更精確地表述向量的數(shù)量積的概念？對(duì)前面的定義加上“非零”的限制。問(wèn)題零向量有沒(méi)有數(shù)量積？應(yīng)該如何定義？問(wèn)題在實(shí)際的“求功運(yùn)算”中是怎樣解決這個(gè)問(wèn)題的？通過(guò)討論，得到“數(shù)量積”的定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，他們的夾角為，我們把數(shù)量叫做a和b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即=.同時(shí)規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0，即.對(duì)定義的理解。盡管向量數(shù)量積是從做功運(yùn)算中抽象出來(lái)的，但是，它已經(jīng)是一種抽象的數(shù)學(xué)運(yùn)算了。一般地，它已經(jīng)不具有“求功”的具體意義了。在引入向量的數(shù)量積以后，物理學(xué)中的概念就可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表示為：功就是里F與其作用下物體產(chǎn)生的位移S的數(shù)量積，即W=FS。兩個(gè)數(shù)量積的結(jié)

5、果是一個(gè)實(shí)數(shù)，這與向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算是不同的。注意：，等式右邊的零是一個(gè)實(shí)數(shù)，而不是零向量。練習(xí)練習(xí)1 判斷下列說(shuō)法是否正確：向量的數(shù)量積可以是任意實(shí)數(shù)。若a=0，則對(duì)任意向量b，有=0.若a0，則對(duì)任意非零向量b,有0. 如果ab0，那么a和b的夾角為銳角。若a0，ab=0.則b=0.若b0，ab= bc，則a=c.（6） 數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)問(wèn)題8 向量的數(shù)量積有是什么樣的性質(zhì)？教師指出：可以和字母的乘法運(yùn)算比較。問(wèn)題9 在實(shí)數(shù)的乘法中，我們有：a,b同號(hào)時(shí)， =，特別地，；a,b異號(hào)時(shí)，有.在向量的數(shù)乘中，類(lèi)似的結(jié)論也成立嗎？經(jīng)過(guò)討論得到下面的結(jié)論：當(dāng)a與b同向時(shí)， ab=,特別地，

6、aa=或=；當(dāng)a與b反向時(shí)，ab=.用類(lèi)似的方法，可以得到下面的結(jié)論：設(shè)向量a,b,c和實(shí)數(shù)，則向量的數(shù)量積滿(mǎn)足下列運(yùn)算律：1ab= ba;2. (a)b= a(b)=(ab)=ab;3. (a+b)c= ac+ bc.（參見(jiàn)“鏈接”）數(shù)學(xué)運(yùn)用例1 已知向量 a與b的夾角為 ，=2, =3,分別在下列條件下求ab:(1); (2) a/b; (3) ab例2 已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，設(shè)，求ab+ bc+ ca練習(xí)2 在平行四邊形ABCD中，已知 求：（1） （2） （3）指導(dǎo)閱讀“鏈接”.向量數(shù)量積的幾何意義：1叫做向量b 在 a 方向上的投影。投影是一個(gè)數(shù)量，而不是向量。當(dāng)為銳角時(shí)，投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)，投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時(shí)，投影為0；當(dāng)= 時(shí)，投影為 ；當(dāng) =時(shí)，投影為2向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積ab 等于a 的長(zhǎng)度 與b 在 a 方向上的投影的乘積，也等于b的長(zhǎng)度 與a在b 方向上的投影的乘積?；仡櫺〗Y(jié)向量數(shù)量積的物理模型是力的做功，兩個(gè)向量非零夾角的范圍是，平面向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，數(shù)量積ab的幾何意義是a 的長(zhǎng)度與b 在 a 方向上的投影的乘積。平面