2014鎮(zhèn)江數(shù)學(xué)試題

1、2014屆高三調(diào)研測試試卷(五)數(shù)學(xué)(滿分160分，考試時(shí)間120分鐘)20141參考公式：樣本數(shù)據(jù)x1，x2，xn的方差s2eq f(1,n)(xieq o(x,sup6()2，其中eq o(x,sup6()eq f(1,n)i.一、 填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分不需要寫出解答過程，請把答案直接填寫在相應(yīng)位置上1. 已知集合A1，a1，B2，3，且AB3，則實(shí)數(shù)a的值為_2. 已知復(fù)數(shù)z滿足(1i)z15i，則z_3. 點(diǎn)A(1，2)關(guān)于點(diǎn)P(3，4)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為_4. 我市開展的“魅力教師”學(xué)生原創(chuàng)網(wǎng)文大賽，各校上傳文章的時(shí)間為3月1日至30日，評委會把各校上傳的文章

2、數(shù)按5天一組分組統(tǒng)計(jì)，繪制了頻率分布直方圖(如圖)已知從左至右各長方形的高的比為234641，第二組的頻數(shù)為180.那么本次活動(dòng)收到的文章數(shù)是_(第4題圖)(第5題圖)5. 執(zhí)行上面的流程圖，輸出的結(jié)果s_6. 在等差數(shù)列an中，已知a5a6eq f(2,3)，則數(shù)列an的前10項(xiàng)的和S10_7. 設(shè)函數(shù)f(x)log2x，則在區(qū)間(0，5)上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，f(x)2的概率為_8. “a1”是“直線axy2a0與直線(2a1)xaya0互相垂直”的_(填“必要不充分”“充分不必要”“充要”或“既不充分也不必要”)條件9. 已知ABC中，點(diǎn)D、E分別為邊AC、AB上的點(diǎn)，且DA2CD，EB2A

3、E，若eq o(BC,sup6()a，eq o(CA,sup6()b，則a、b為基底表示eq o(DE,sup6()_10. 若xeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,4)，且sin2xeq f(1,4)，則f(x)eq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)的值為_11. 已知定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)f(x)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x2；則不等式f(x)x20的解集為_12. 如果雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1的漸近線與拋物線yx21相切，則該雙曲線的離心率為_13. 設(shè)函數(shù)f(x)eq blc(avs4alco1(1|x1|，x

4、0，y0，若不等式x3y3kxy(xy)恒成立，則實(shí)數(shù)k的最大值為_二、 解答題：本大題共6小題，共90分解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟15. (本小題滿分14分)已知ABC的面積為S，且|eq o(BC,sup6()|2eq o(CA,sup6()eq o(CB,sup6()2S.(1) 求B的大??；(2) 若Seq f(1,2)，且|eq o(BC,sup6()eq o(BA,sup6()|1，試求ABC最長邊的長度(本小題滿分14分)已知aR，函數(shù)f(x)x22ax5.(1) 若不等式f(x)0對任意x(0，)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2) 若a1，且函數(shù)f(x)的定

5、義域和值域均為1，a，求實(shí)數(shù)a的值(本小題滿分14分)過去的2013年，我國多地區(qū)遭遇了霧霾天氣，引起口罩熱銷某品牌口罩原來每只成本為6元，售價(jià)為8元，月銷售5萬只(1) 據(jù)市場調(diào)查，若售價(jià)每提高0.5元，月銷售量將相應(yīng)減少0.2萬只，要使月總利潤不低于原來的月總利潤(月總利潤月銷售總收入月總成本)，該口罩每只售價(jià)最多為多少元？(2) 為提高月總利潤，廠家決定下月進(jìn)行營銷策略改革，計(jì)劃每只售價(jià)x(x9)元，并投入eq f(26,5)(x9)萬元作為營銷策略改革費(fèi)用據(jù)市場調(diào)查，每只售價(jià)每提高0.5元，月銷售量將相應(yīng)減少eq f(0.2,（x8）2)萬只則當(dāng)每只售價(jià)x為多少時(shí)，下月的月總利潤最大？

6、并求出下月最大總利潤18. (本小題滿分16分)橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，右頂點(diǎn)為A，直線l過F2交橢圓于B、C兩點(diǎn)(1) 如果直線l的方程為yx1，且F1BC為直角三角形，求橢圓方程；(2) 證明：以A為圓心，半徑為b的圓上任意一點(diǎn)到F1、F2的距離之比為定值19. (本小題滿分16分)已知實(shí)數(shù)kR，且k0，e為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f(x)eq f(kex,ex1)，g(x)f(x)x.(1) 如果函數(shù)g(x)在R上為減函數(shù)，求k的取值范圍；(2) 如果k(0，4，求證：方程g(x)0有且只有一個(gè)根xx0；且當(dāng)xx0時(shí)，有xf(

7、f(x)成立；(3) 定義： 對于閉區(qū)間s，t稱差值ts為區(qū)間s，t的長度； 對于函數(shù)g(x)，如果對任意x1、x2s，tD(D為函數(shù)g(x)的定義域)，記h|g(x2)g(x1)|，h的最大值稱為函數(shù)g(x)在區(qū)間s，t上的“身高”問：如果k(0，4，函數(shù)g(x)在哪個(gè)長度為2的閉區(qū)間上“身高”最“矮”？20. (本小題滿分16分)已知數(shù)列an的首項(xiàng)a11，且存在常數(shù)p、r、t(其中r0)，使得anan1r2n1與an1panpt對任意正整數(shù)n都成立；數(shù)列bn為等差數(shù)列(1) 求常數(shù)p、r、t，并寫出數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 如果bn滿足條件： b1為正整數(shù)； 公差為1； 項(xiàng)數(shù)為m(m為常

8、數(shù))； 2eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,b1)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,b2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,b3)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,bm)log2am，試求所有滿足條件的m值；(3) 如果數(shù)列an與數(shù)列bn沒有公共項(xiàng)，數(shù)列an與bn的所有項(xiàng)按從小到大的順序排列成：1，c2，c3，c4，且1，c2，c3，c4成等比數(shù)列，試求滿足條件的所有數(shù)列bn的通項(xiàng)公式.2014屆高三調(diào)研測試試卷(五)數(shù)學(xué)附加題(滿分40分，考試時(shí)間30分鐘)21. 【選做題】從A、B、C、D四小題中選做兩小題，每小題10

9、分，共20分解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟A. (選修41：幾何證明選講)如圖，已知AB是圓O的直徑，圓O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作圓O的切線DE交AC于點(diǎn)E，且DEAC.求證：AC2OD.B. (選修42：矩陣與變換)已知矩陣eq blcrc(avs4alco1(x3,21)的一個(gè)特征值為4，求另一個(gè)特征值及其對應(yīng)的一個(gè)特征向量C. (選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程)求經(jīng)過極坐標(biāo)為(0，0)，eq blc(rc)(avs4alco1(6，f(,2)，eq blc(rc)(avs4alco1(6r(2)，f(,4)三點(diǎn)的圓的直角坐標(biāo)方程D. (選修45：不等式選講)已知正數(shù)a、b、c滿

10、足abc1，求(a2)(b2)(c2)的最小值【必做題】第22題、第23題，每小題10分，共20分解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟22. 已知曲線C：y22x4.(1) 求曲線C在點(diǎn)A(3，eq r(2)處的切線方程；(2) 過原點(diǎn)O作直線l與曲線C交于A、B兩不同點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程已知數(shù)列an滿足a1eq f(2,3)，an1(1an)1.(1) 試計(jì)算a2，a3，a4，a5的值；(2) 猜想|an1an|與eq f(1,15)（）(其中nN*)的大小關(guān)系，并證明你的猜想2014屆高三調(diào)研測試試卷(五)(鎮(zhèn)江)數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)1. 42. 23i3. (5，

11、6)4. 1 2005. 206. eq f(10,3)7. eq f(4,5)8. 充分不必要9. eq f(1,3)aeq f(1,3)b10. eq f(r(3),2)11. 1，112. eq r(5)13. 614. 115. 解：(1) |eq o(BC,sup6()|2eq o(CA,sup6()eq o(CB,sup6()2S， a2bacosCabsinC，(2分) abcosCbsinC.由正弦定理得：sinAsinBcosCsinBsinC，(4分)在ABC中，sinAsin(BC)，sinC0，B(0，)，(6分)(1個(gè)或2個(gè)不交代扣1分，3個(gè)不交代扣2分) sinBc

12、osCcosBsinCsinBcosCsinBsinC， cosBsinCsinBsinC， cosBsinB，tanB1，(8分) Beq f(,4).(9分)(2) b1，B45，Seq f(1,2)， eq f(1,2)eq f(1,2)acsinB.(10分)由余弦定理得1a2c22aceq f(r(2),2)，(11分)解得a1，ceq r(2)或aeq r(2)，c1.(13分) 最長邊為eq r(2).(14分)16. 解：(1) x22ax50時(shí)x(0，)恒成立， 2a0恒成立(3分) x0時(shí)，xeq f(5,x)2eq r(5)，(5分)當(dāng)且僅當(dāng)xeq f(5,x)，即xeq

13、 r(5)時(shí)，(6分)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(5,x)eq sdo7(min)2eq r(5). 2a2eq r(5)，即a1)， f(x)在1，a上為減函數(shù)，(8分) f(x)的值域?yàn)閒(a)，f(1)，(10分)而已知值域?yàn)?，a， eq blc(avs4alco1(f（a）a22a251，,f（1）12a5a，)(12分)解得eq blc(avs4alco1(a2，,a2，) a2.(14分)17. 解：(1) 設(shè)每只售價(jià)為x元，則月銷售量為eq blc(rc)(avs4alco1(5f(x8,0.5)0.2)萬只，由已知得eq blc(rc)(avs4alco1

14、(5f(x8,0.5)0.2)(x6)(86)5，(3分) eq f(2,5)x2eq f(53,5)xeq f(296,5)0，即2x253x2960，(4分)解得8xeq f(37,2)，(5分)即每只售價(jià)最多為18.5元(6分)(2) 下月的月總利潤yeq blcrc(avs4alco1(5f(x8,0.5)f(0.2,（x8）2)(x6)eq f(26,5)(x9)(9分)eq f(2.40.4x,x8)eq f(1,5)xeq f(234150,5)eq f(0.4（x8）0.8,x8)eq f(1,5)xeq f(84,5)eq blcrc(avs4alco1(f(4,5（x8）)

15、f(x8,5)eq f(74,5)，(10分) x9， eq f(4,5（x8）)eq f(x8,5)2eq r(f(4,25)eq f(4,5)，(12分)當(dāng)且僅當(dāng)eq f(4,5（x8）)eq f(x8,5)，即x10，ymin14，(13分)答：當(dāng)x10時(shí)，下月的月總利潤最大，且最大利潤為14萬元(14分)18. 解：(1) l：yx1，過右焦點(diǎn)F2， F2(1，0)，故橢圓左焦點(diǎn)為F1(1，0)即c1，(1分)設(shè)橢圓方程為eq f(x2,b21)eq f(y2,b2)1，當(dāng)B或C為直角頂點(diǎn)時(shí)，由對稱性，不妨設(shè)B為直角頂點(diǎn)， F1B斜率為1.又過點(diǎn)F1(1，0)， F1B方程為yx1，聯(lián)

16、立和，解得點(diǎn)B(0，1)(2分) 點(diǎn)B在橢圓eq f(x2,b21)eq f(y2,b2)1上，代入得b1，又c1， a2b2c22，故此時(shí)橢圓方程為eq f(x2,2)eq f(y2,1)1；(4分)當(dāng)F1為直角頂點(diǎn)時(shí)，(解法1)設(shè)F1B：yk(x1)，F(xiàn)1C方程為yeq f(1,k)(x1)，聯(lián)立yx1，解得Beq blc(rc)(avs4alco1(f(1k,1k)，f(2k,1k)，(5分)同理，C坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(k1,k1)，f(2,k1).(6分) 點(diǎn)B、C在橢圓eq f(x2,b21)eq f(y2,b2)1上， eq blc(avs4alco

17、1(f(blc(rc)(avs4alco1(f(1k,1k)sup12(2),b21)f(blc(rc)(avs4alco1(f(2k,1k)sup12(2),b2)1，,f(blc(rc)(avs4alco1(f(k1,k1)sup12(2),b21)f(blc(rc)(avs4alco1(f(2,k1)sup12(2),b2)1，)(8分)解得b2eq r(3)1，此時(shí)橢圓方程為eq f(x2,r(3)2)eq f(y2,r(3)1)1.(9分)(解法2)聯(lián)立和，得(2b21)x22(b21)x1b40，(5分)設(shè)B(x1，x11)，C(x2，x21)，則x1、x2為方程的兩個(gè)根， x1x

18、2eq f(1b4,2b21).(6分) F1BF1Ceq f(x11,x11)eq f(x21,x21)1，即x1x21，(7分)由得eq f(1b4,2b21)1，b42b220，b2eq r(3)1，(8分)此時(shí)橢圓方程為eq f(x2,r(3)2)eq f(y2,r(3)1)1.(9分)綜上，所求橢圓方程為eq f(x2,2)y21或eq f(x2,r(3)2)eq f(y2,r(3)1)1.(10分)(2) 證明： 右頂點(diǎn)A(a，0)， A為圓心，半徑為b的圓為(xa)2y2b2，(11分)該圓上的任一點(diǎn)可設(shè)為P(x0，y0)，F(xiàn)1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)，其中c2a2b2. eq

19、 blc(rc)(avs4alco1(f(PF1,PF2)eq sup12(2)eq f(PFeq oal(2,1),PFeq oal(2,2)eq f(（x0c）2yeq oal(2,0),（x0c）2yeq oal(2,0)(12分)eq f(（x0c）2b2（x0a）2,（x0c）2b2（x0a）2)eq f(2x0c2ax0,2x0c2ax0)(14分)eq f(ac,ac)為定值，(15分) eq f(PF1,PF2)為定值(16分)19. 解：(1) g(x)f(x)xeq f(kex,ex1)x在R上為減函數(shù)， g(x)eq f(kex（ex1）kexex,（ex1）2)1eq

20、f(kex,（ex1）2)10恒成立，(1分)即keq f(（ex1）2,ex)恒成立(2分) eq f(（ex1）2,ex)exeq f(1,ex)22eq r(1)24，(3分)當(dāng)且僅當(dāng)exeq f(1,ex)，即x0時(shí)，eq f(（ex1）2,ex)的最小值為4， k4.(4分)(2) 由(1)知：k(0，4時(shí)，g(x)在R上為減函數(shù)，又g(0)eq f(k,11)0eq f(k,2)0，(5分)g(4)eq f(ke4,e41)4eq f(ke44e44,e41)eq f(（k4）e44,e41)， k4， (k4)e440， g(4)x0時(shí)，有g(shù)(x)g(x0)0，即f(x)xf(x

21、).(8分) f(x)eq f(kex,ex1)eq f(k,1blc(rc)(avs4alco1(f(1,e)sup12(x)為增函數(shù)，由xf(x)， f(x)f(f(x).(9分)由得xf(f(x)成立(10分)(3) 設(shè)x1，x2t2，t，不妨x10，當(dāng)且僅當(dāng)eteq f(e2,et)，即t1時(shí)，hmin2keq f(e1,e1).(15分) 函數(shù)g(x)在長度為2的閉區(qū)間1，1上“身高”最“矮”(16分)20. 解：(1) an1panpt對任意正整數(shù)n都成立， an2pan1pt，兩式相加得an1an2p(anan1)2pt，(2分) anan1r2n1對任意正整數(shù)n都成立， r2n

22、pr2n12pt，即r2n1(p2)2pt0對任意正整數(shù)n都成立，(3分)令n1，2得：r(p2)2pt0，r2(p2)2pt0，解得：p2，t0.(4分)(注意：如果直接寫“又r0，故p20，pt0”不扣分) an12an對任意正整數(shù)n都成立，故數(shù)列an為首項(xiàng)a11，公比為2的等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為an2n1.(5分)又anan1r2n1，所以2n12nr2n1，故r3.(6分)(2) 由已知得2eq f(b11,b1)eq f(b21,b2)eq f(b31,b3)eq f(bm1,bm)log22m1，由題意得：bnbn11，上式即為2eq f(bm1,b1)m1，(7分)又bmb1(m1

23、)，代入得mb13b12m0，即meq f(3b1,b12)3eq f(6,b12)，(9分)由于b1與m都為正整數(shù)， b12，且b12為6的正約數(shù)；(10分) eq blc(avs4alco1(b13，,m9)或eq blc(avs4alco1(b14，,m6)或eq blc(avs4alco1(b15，,m5)或eq blc(avs4alco1(b18，,m4.)故滿足條件的m的值有4，5，6，9.(11分)(3) 由已知，a11，a22，a34，故數(shù)列an共3項(xiàng)在1，c2，c3，c4，4，的前5項(xiàng)中， b1b2在前5項(xiàng)中，而b3不在，即b34.(12分) 若1，2之間無bn的項(xiàng)，則c22

24、，前4項(xiàng)1，2，c3，c4成等比數(shù)列，則公比為2， c34為其第三項(xiàng)，與已知矛盾；(13分) 若1，2之間有且只有bn一項(xiàng)b1，則1，b1，2成等比數(shù)列，公比為eq r(2)， 前5項(xiàng)為1，eq r(2)，2，2eq r(2)，4，滿足條件，此時(shí)bneq r(2)n(nN*)；(14分) 若1，2之間有且只有bn中的兩項(xiàng)b1，b2，前4項(xiàng)為1，b1，b2，2， bn公差db2b11，則b3b2d4矛盾(15分) 當(dāng)bneq r(2)n(nN*)時(shí)滿足條件(16分)2014屆高三調(diào)研測試試卷(五)(鎮(zhèn)江)數(shù)學(xué)附加題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)21. A. 證明： DE是圓O的切線， ODDE，又DEAC，

25、 ODAC.(4分) O是AB的中點(diǎn)， OD是ABC的中位線，(7分) ODeq f(1,2)AC，即AC2OD.(10分)B. 解：矩陣的特征多項(xiàng)式為f()eq blc|rc|(avs4alco1(12,3x)(1)(x)6，(2分)因?yàn)?4是方程f()0的一個(gè)根，所以x2.(4分)由(1)(2)60得21.(6分)設(shè)21對應(yīng)的一個(gè)特征向量eq blcrc(avs4alco1(x,y)，則eq blc(avs4alco1(2x3y0，,2x2y0，)得xy，(8分)令x1，則y1，(9分)則矩陣的另一個(gè)特征值為1，對應(yīng)的一個(gè)特征向量為eq blcrc(avs4alco1(avs4alco1(

26、 1,1).(10分)C. 解：將點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，點(diǎn)O、A、B的直角坐標(biāo)分別為(0，0)，(0，6)，(6，6)；(3分) OAB是以O(shè)B為斜邊的等腰直角三角形，(5分) 經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的圓的圓心為(3，3)，半徑為3eq r(2)，(7分) 圓的直角坐標(biāo)方程為(x3)2(y3)218，即為x2y26x6y0.(10分)D. 解： (a2)(b2)(c2)(a11)(b11)(c11)(3分)3eq r(3,a)3eq r(3,b)3eq r(3,c)(6分)27eq r(3,abc)27，(7分)當(dāng)且僅當(dāng)abc1時(shí)等號成立(9分) (a2)(b2)(c2)的最小值為27.(10分)22. 解：(1) 當(dāng)y0時(shí)yf(x)eq r(2x4)， yeq f(2,2r(2x4)eq f(1,r(2x4)，(3分) kf(3)eq f(r(2),2)，(4分) 切線為yeq r(2)eq f(r(2),2)(x3)，即為xeq r(2)y10.(5分)(2) 設(shè)l：ykx，線段AB的中點(diǎn)M(x，y)；由eq blc(avs4alco1(ykx，,y22x4，)得y2eq f(1,2)x(x