矩陣的廣義逆定義和基本理論

1、矩陣的廣義逆定義和基本理論2但是，在許多實際問題中所遇到的矩陣往往是奇異方陣或是 ，這就促使人們?nèi)ハ胂竽芊裢茝V逆矩陣的概念，引進某種具有普通逆矩陣類似性質(zhì)的矩陣，使方程組的解仍可以表示為的形式 矩陣（一般），顯然不存在通常的逆矩陣 廣義逆矩陣是通常逆矩陣的推廣，這種推廣的必要性，是線性方程組的求解問題的實際需要，設(shè)有線性方程組階方陣，且時，則方程組存在唯一解且可表示為：當(dāng)是 1920Moore）首先提出了廣義逆矩陣的概念，但其后的30 年未引起人們的重視直到1955年彭諾斯（Penrose）利用四個矩陣方程給出了廣義逆矩陣的新的更簡便實用的定義之后，廣義逆矩陣的研究才進入了一個新的時期，其理論

2、和應(yīng)用得到了迅速發(fā)展，已成為矩陣論的一個重要分支，廣義逆矩陣在數(shù)理統(tǒng)計、最優(yōu)化理論、控制理論、系統(tǒng)識別、數(shù)字圖象處理等許多領(lǐng)域都具有重要應(yīng)用3第4章 矩陣的廣義逆 Moore-Penrose廣義逆矩陣4.2 廣義逆矩陣4.3 廣義逆矩陣A1,24.4 廣義逆矩陣A1,3 4.5 廣義逆矩陣A1,4 4.6 M-P廣義逆矩陣 4. 7 廣義逆在解線性方程組中的應(yīng)用4. 8 幾種計算 的直接方法4線性方程組一般理論復(fù)習(xí)定理A:線性方程組Ax=b, ACnn,x,bCn對任意右端b都有唯一解的充要條件是A-1存在.證:必要性 令A(yù)x(i)=ei,i=1,n,X=(x(1),x(n)Cnn 其中ei為

3、En的第i列(今后將常用此記號) 則 AX=(Ax(1),Ax(n)=(e1,en)=En A-1=X.充分性 若A-1存在,則對任意右端b Ax=b x=A-1b 即 x=A-1b是線性方程組Ax=b的唯一解. 本章著重介紹廣義逆矩陣的概念、性質(zhì)、計算方法和應(yīng)用5減號逆若一般線性方程組Ax=b, ACmn,xCn,bCm (1)對任意bR(A)的解都可表示為x=A-b,則矩陣A-Cnm 稱為A的一個減號逆.因為當(dāng)ACnnn時,(1)的解都可表示為 x=A-1b,所以,在此情形下A有唯一減號逆: A-=A-1. 這一事實說明減號逆是普通逆矩陣的推廣.6減號逆舉例例: A= C23有下列兩個實質(zhì)

4、不同的減號逆: A-= 或 證:易見兩種情形都有AA-=E2,從而,對任意bC2,AA-b=b Ax=b 有解 x=A-bC2即對任意 bR(A)=C2,Ax=b 的解都可表示為x=A-b 所以,這兩個A-都是A的減號逆.注:此例說明減號逆一般不唯一.7 矩陣的單邊逆8命題1（2）同理可證9推論初等變換求左(右)逆矩陣:10例 1解 11例2解 12 Moore-Penrose廣義逆矩陣4. 1. 1 廣義逆矩陣的基本概念定義2 設(shè)為任意復(fù)數(shù)矩陣，如果存在復(fù)矩陣，滿足（1）（2）（3）（4）定義1 134個方程的全部或一部分，則稱G為A 的一個廣義逆矩陣，并把上面4個方程叫做穆爾-彭諾斯（M-

5、P）方程進一步，如果 G滿足M-P的4個方程式，則G稱為A 的穆爾-彭諾斯廣義逆，記為 ， 一般地，如果 G滿足4個M-P方程式中的第 個，則稱 G為 A的一種弱逆，記為14 （2）滿足方程（1）與（2）的廣義逆矩陣類記為其中任意一個確定的廣義逆，稱為自反減號逆，記為（3）滿足方程（1）與（3）的廣義逆矩陣類記為其中任意一個確定的廣義逆，稱為最小范數(shù)廣義逆，記為（4）滿足方程（1）與（4）的廣義逆矩陣類記為其中任意一個確定的廣義逆，稱為最小二乘廣義逆，記為（5）滿足全部4個M-P方程的廣義逆矩陣類記為下面分別介紹這5類廣義逆矩陣.稱為加號逆，或穆爾-彭諾斯廣義逆記為這類廣義逆對給定的來說只有唯

6、一的一個廣義逆，15問題的引入4.2 廣義逆矩陣則 一定是解，那么稱 是 的一種廣義逆。定理116定理1174.2.1 廣義逆 的定義和構(gòu)造 顯然，減號廣義逆不唯一，并且減號逆是普通逆矩陣的推廣18證明 因為對任意的，都有所以19證明 因為對任意的，都有所以反過來，對任意的 ，若滿足則必有，即20對 其中分別是的任意矩陣由于21故 所以，反之，由，即有 由例2可知： 22（1）求非奇異矩陣, 使得注意到：對矩陣進行初等變換，E的位置記錄了對A進行變換的過程說明：1. （*）式實際上是A的秩分解。 2. 定理2 告訴我們 的一般形式，從而告訴我們有解方程組AX=b的一般解。（2）寫出的減號逆23

7、24其中，是任意常數(shù).如果都取0就有特別地，就是的一個減號逆.25，26其中，是任意常數(shù)特別地，取得因此，并且的一個減號逆：定理3定理44.2.2 廣義逆 的性質(zhì)故同理33344.3 廣義逆矩陣A1,2（自反廣義逆）354.3 .1 廣義逆A1,2的定義及存在性結(jié)論成立4.3 .2 廣義逆A1,2的性質(zhì)充分性 法二定理4之（5） 證明 充分性 法一定理7 3842定理10定理11證明104310 11定理12 定義6 444.3 .3 廣義逆A1,2的構(gòu)造定理13 45464748解 因為 所以為行滿秩矩陣，故49解 因為 所以為列滿秩矩陣，故50解 因為 所以既非行也非列滿秩矩陣，先對其進行

8、滿秩分解，由于令 于是 并且51故 524.4 廣義逆矩陣A1,3 4.4.1 廣義逆A1,4 的定義和構(gòu)造53即得 54證明 首先證明對于任何矩陣，式所確定的是的最小二乘廣義逆事實上，從而所以，式所確定的確是的最小二乘廣義逆其次證明對任意的最小二乘廣義逆必存在使具有式的形式所以，由于，事實上，可取 55定理18 證明 75657584.5 廣義逆矩陣A1,4 4.5.1 廣義逆A1,4 的定義和構(gòu)造5960證明 設(shè)并且有滿秩分解即 用右乘上式兩端，得即 所以滿足式其次它也滿足式，因為故 是的一個最小范數(shù)廣義逆 是一個減號逆，所以 因616263從而其中是任意常數(shù)如取顯然，最小范數(shù)廣義逆不唯一

9、，不同方法獲得不同結(jié)果就是解法一結(jié)果.64定理21證明65 M-P廣義逆存在及性質(zhì)4.6 M-P廣義逆矩陣 66 定理 22 對任意 ACmn , A+存在且唯一. 證 存在性. 當(dāng)A=O時，顯然 存在，就是零矩陣；當(dāng)A是非零矩陣時，設(shè) rankA=r ，A 的最大秩分解為 A=BC，則說明 和 是滿秩的r階方陣?，F(xiàn)在來證就是 ，事實上 廣義逆矩陣 的計算 67 可見 唯一性. 設(shè) 和 均滿足方程（1）-（4）,68則 證畢70定理23證明71 定理23 的證明過程告訴我們?nèi)?ACmn , rankA=r ，A=BC 是A 的最大秩分解，則 73類似地，若rankA=n，則 例10 設(shè) ，求

10、解 因為 而特別地，若rankA=m，則因為此時A的最大秩分解為因為此時A的最大秩分解為74所以75 例11 設(shè) ，求 解 列數(shù)76 例12 設(shè) ，求 解 因為所以 于是有從而7778定理24 證明7980定理25 證明81 M-P廣義逆幾種顯示表示 證明 由定理16、定理18、定理19可知，式所給出得矩陣是一個加號逆，所以，我們僅僅要證明其唯一性即可設(shè)，是兩個加號逆，于是同理 所以故加號逆是唯一的82定理27 證明83定理28844. 7 廣義逆在解線性方程組中的應(yīng)用85 線性方程組求解問題的提法8687884.7.2 廣義逆 應(yīng)用于解線性方程組推論2證明 89定理29證明 90證明 因為相

11、容，所以必有一個維向量，使 是方程組的一個特解，亦即，由此得出 成立又由于是的一個減號逆，所以，則有意向量定理30 如果線性方程組是相容的， 是的任一個減號逆，可表示成 其中是與同維的任則線性方程組的一個特解可表示成 ， 而通解 的解而且當(dāng)為任意一個解時，若令，則有所以，式確定的是方程組其次，在式兩端左乘，則有91的通解 從而方程的任意一個解均可表示為的形式這表明由式確定的解是方程組的解而且當(dāng)為任意一個解時，若令，則有所以，式確定的是方程組性方程組總是有解的。特別地，當(dāng) 時， 為齊次線性方程組，而齊次線92例11 求線性方程組的通解 解 方程組的系數(shù)矩陣與常數(shù)列為由于所以方程組是相容的，并且有

12、減號逆故所求方程組的通解為：其中為任意常數(shù)9394定理31 不相容方程組有最小二乘解 其中是的最小二乘廣義逆證明 設(shè)是的一個最小二乘廣義逆，于是對任意的恒有 所以是不相容方程組的最小二乘解4.7.3 廣義逆 應(yīng)用于解線性方程組959697推論4 證明8 98解 由于系數(shù)矩陣為列滿秩矩陣，所以又因向量于是，最小二乘解為將代入誤差公式可得誤差994.7.4 廣義逆 應(yīng)用于解線性方程組引論1 證明100證明 設(shè)和是的兩個不同的最小范數(shù)廣義逆，應(yīng)有記 為線性方程組的兩個最小范數(shù)解，則所以這說明不同的最小范數(shù)廣義逆和，按求得的最小范數(shù)解是唯一的101證明 因為是的一個減號逆，所以可設(shè)的通解為由于而且 同理所以 故 是最小范數(shù)解定