高校工程數(shù)學(xué)第2節(jié)復(fù)數(shù)的幾何表示教學(xué)課件

1、1.2 復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù)的幾何表示1、復(fù)平面、復(fù)平面2、復(fù)球面、復(fù)球面3、小結(jié)與思考、小結(jié)與思考一、復(fù)平面一、復(fù)平面1 1、復(fù)平面的定義、復(fù)平面的定義復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z=x+iy與一對有序?qū)崝?shù)與一對有序?qū)崝?shù)(x，y)成一一對應(yīng)。所以一個成一一對應(yīng)。所以一個建立了直角坐標(biāo)系的平面可以用來表示復(fù)數(shù)，通常把橫軸建立了直角坐標(biāo)系的平面可以用來表示復(fù)數(shù)，通常把橫軸叫實軸或叫實軸或x軸，縱軸叫虛軸或軸，縱軸叫虛軸或y軸，這種用來表示復(fù)數(shù)的平軸，這種用來表示復(fù)數(shù)的平面叫復(fù)平面。面叫復(fù)平面。復(fù)平面也稱為復(fù)平面也稱為z平面。平面。),(yx xyxyoiyxz 2、復(fù)數(shù)的直角坐標(biāo)表示、復(fù)數(shù)的直角坐標(biāo)表示復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z=x

2、+iy可以用復(fù)平面上的點可以用復(fù)平面上的點(x，y)表示。表示。復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點成一一對應(yīng)，并且常把復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點成一一對應(yīng)，并且常把“點點z”作為作為“復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z”的同義詞。的同義詞。),(yx xyxyoiyxz 3、復(fù)數(shù)的向量表示法、復(fù)數(shù)的向量表示法復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z還能用從原點指向點還能用從原點指向點(x, y)的向量來表示的向量來表示(如圖如圖)。該向量的長度稱為該向量的長度稱為z的模或絕對值，記作：的?；蚪^對值，記作： 0顯然，下列各式成立：顯然，下列各式成立： |x|z|，|y|z| |z|x|+|y|xyxyoiyxz Pr復(fù)數(shù)的輻角復(fù)數(shù)的輻角在在z0的情況，表示的情況，表示z的

3、向量與的向量與x軸的交角軸的交角稱為稱為z的的輻角，記作：輻角，記作：Arg z=這時，有這時，有tg(Arg z)=y/x說明：說明：任何一個復(fù)數(shù)任何一個復(fù)數(shù)z0有無窮多個輻角。有無窮多個輻角。如果如果1是其中的一個輻角，那么是其中的一個輻角，那么z的全部輻角為：的全部輻角為：Arg z=1+2k （k為任意整數(shù)）為任意整數(shù)） (1.2.3)就給出了就給出了z的全部輻角。的全部輻角。復(fù)數(shù)的輻角復(fù)數(shù)的輻角在在z（0）的輻角中，我們把滿足：）的輻角中，我們把滿足：0的的0稱為稱為Arg z的主值，的主值，記作：記作：0=arg z。當(dāng)當(dāng)z z落于一落于一, ,四象限時，不變。四象限時，不變。 當(dāng)

4、當(dāng)z z落于第二象限時，加落于第二象限時，加 。 當(dāng)當(dāng)z z落于第三象限時，減落于第三象限時，減 。 復(fù)數(shù)的輻角復(fù)數(shù)的輻角特殊地：特殊地：當(dāng)當(dāng)z=0時，時，|z|=0，而輻角不確定。，而輻角不確定。, 0 x)2arctan2( xy其中其中輻輻角角的的主主值值0 z zarg, 0, 0 yx, 0, 0 yx. 0, 0 yx,arctanxy,2 ,arctan xy, 計算計算argz(z0) 的公式的公式4、復(fù)數(shù)的矢量加減運算、復(fù)數(shù)的矢量加減運算根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則可知，兩個復(fù)數(shù)根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則可知，兩個復(fù)數(shù)z1和和z2的加、減法運算和相應(yīng)向量的加減的加、減法運算和相應(yīng)向量的加減法運

5、算一致法運算一致(如圖如圖)。xyo1z2z21zz xyo1z2z21zz 2z 復(fù)數(shù)和差的模的性質(zhì)復(fù)數(shù)和差的模的性質(zhì)上述運算規(guī)則稱為平行四邊形法則。上述運算規(guī)則稱為平行四邊形法則。因為因為|z2z1|就是就是z1與與z2之間的距離，因此之間的距離，因此 |z1+z2|z1|+|z2| |z1z2|z1|z2|1z2z21zz xyo1z2z5、共軛復(fù)數(shù)、共軛復(fù)數(shù)一對共軛復(fù)數(shù)一對共軛復(fù)數(shù)z和和 在平面內(nèi)的位置是關(guān)在平面內(nèi)的位置是關(guān)于實軸對稱的于實軸對稱的(如圖如圖)，因而，因而 ，如果如果z不在負(fù)實軸和原點上，還有：不在負(fù)實軸和原點上，還有：xyoiyxz iyxz 6、復(fù)數(shù)的三角表示法和指

6、數(shù)表示法、復(fù)數(shù)的三角表示法和指數(shù)表示法利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系：利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系：x=rcos，y=rsin還可以把復(fù)數(shù)還可以把復(fù)數(shù)z表示為下面的形式：表示為下面的形式：z=r(cos+isin)稱為復(fù)數(shù)的三角表示法。稱為復(fù)數(shù)的三角表示法。復(fù)數(shù)的指數(shù)表示法復(fù)數(shù)的指數(shù)表示法利用利用Euler公式（公式（eiz=cosz+isinz，z為任意復(fù)為任意復(fù)數(shù)）：數(shù)）：ei=cos+isin，我們又可以得到：，我們又可以得到：z=rei稱為復(fù)數(shù)的指數(shù)表示法。稱為復(fù)數(shù)的指數(shù)表示法。結(jié)論：結(jié)論：復(fù)數(shù)的各種表示法可以相互轉(zhuǎn)換，以復(fù)數(shù)的各種表示法可以相互轉(zhuǎn)換，以適應(yīng)討論不同問題時的需要。適應(yīng)討論不同

7、問題時的需要。歐拉和歐拉公式歐拉和歐拉公式復(fù)平面上圖形復(fù)平面上圖形/曲線的表示曲線的表示很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程(或不等或不等式式)來表示來表示; 也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式或不等式)來確定來確定 它所表示的平面圖形。它所表示的平面圖形?！纠?】例例1 將通過兩點將通過兩點z1=x1+iy1與與z2=x2+iy2的直線用復(fù)數(shù)形式的方程的直線用復(fù)數(shù)形式的方程來表示來表示.解解 通過點通過點(x1,y1)與與(x2,y2)的直線可用參數(shù)方程表示為的直線可用參數(shù)方程表示為121121(),()().xxt xxtyyt y

8、y 因此因此, 它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為z=z1+t(z2 z1). ( t+ )【例例1】 由此得知由由此得知由z1到到z2的直線段的參數(shù)方程可以寫成的直線段的參數(shù)方程可以寫成 z=z1+t(z2 z1). (0 0 t 1 1)取取12t 得知得知直直線段線段的中點為的中點為122zzz計算舉例計算舉例例例1-2-1 將下列復(fù)數(shù)化為三將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式：角表示式與指數(shù)表示式：;5cos5sin)2(;212)1( iziz解解由于由于z在第三象限，所以：在第三象限，所以：0= 5/6z的三角表示式是：的三角表示式是：z=4cos(5/6)+isin

9、(5/6)=4cos(5/6)isin(5/6)z的指數(shù)表示式是：的指數(shù)表示式是：z=4e -5i/6例例1-2-15cos5sin)2( iz 52cos5sin,103cos 52sin5cos,103sin 故三角表示式為故三角表示式為,103sin103cos iz指數(shù)表示式為指數(shù)表示式為.103iez 練習(xí)練習(xí)練習(xí)：練習(xí)：寫出寫出 的輻角和它的指數(shù)形式。的輻角和它的指數(shù)形式。132iz解：解：3 22argarctanarctan3,1 233z 2arg22,3ArgzzkkkZ1,rz23.ize計算舉例計算舉例例例1-2-2 設(shè)設(shè)z1，z2為兩個任意復(fù)數(shù)，證明：為兩個任意復(fù)數(shù)，

10、證明： （1） ； （2）|z1+z2|z1|+|z2|（三角不等式）。（三角不等式）。證證21(1)zz)( )(2121zzzz )(2121zzzz )(2211zzzz .21zz 例例1-2-2證證221(2)zz )( )(2121zzzz )(2121zzzz 21212211zzzzzzzz 21212221zzzzzz 例例1-2-2 221zz 2221zz )Re(221zz2122212zzzz 2122212zzzz ,)(221zz , )Re(2 212121zzzzzz 因為因為兩邊同時開方得兩邊同時開方得.2121zzzz 計算舉例計算舉例例例1-2-3 將直

11、線方程將直線方程x+3y=2化為復(fù)數(shù)表示式?；癁閺?fù)數(shù)表示式。解解 由共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)（由共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)（4），有），有代入所給的方程，可得：代入所給的方程，可得：這就是所給直線方程的復(fù)數(shù)表示式。這就是所給直線方程的復(fù)數(shù)表示式。 計算舉例計算舉例例例1-2-4 求下列方程所表示的曲線。求下列方程所表示的曲線。 （1）|z+i|=2 （2）|z2i|=|z+2| （3）解解.2 2 )1(的的點點的的軌軌跡跡為為距距離離表表示示所所有有與與點點方方程程iiz .2 ,的圓的圓半徑為半徑為即表示中心為即表示中心為i , iyxz 設(shè)設(shè), 2)1( iyx, 2)1(22 yx. 4)1( 22 yx圓

12、方程圓方程例例1-2-422)2( ziz.22距離相等的點的軌跡距離相等的點的軌跡和和表示所有與點表示所有與點 i. 22段的垂直平分線段的垂直平分線的線的線和和連接點連接點故方程表示的曲線就是故方程表示的曲線就是 i , iyxz 設(shè)設(shè),22 yixiyix化簡后得化簡后得.xy 例例1-2-44)Im()3( zi , iyxz 設(shè)設(shè),)1(iyxzi , 41)Im( yzi.3 y所所求求曲曲線線方方程程為為是一條平行于是一條平行于x軸的直線，如軸的直線，如圖所示。圖所示。二、復(fù)球面二、復(fù)球面除了用平面內(nèi)的點或向量來表示復(fù)數(shù)外，還可以除了用平面內(nèi)的點或向量來表示復(fù)數(shù)外，還可以用球面上

13、的點來表示復(fù)數(shù)。用球面上的點來表示復(fù)數(shù)。1、南極、北極的定義、南極、北極的定義取一個與復(fù)平面切于坐標(biāo)原點的球，球取一個與復(fù)平面切于坐標(biāo)原點的球，球上的一點上的一點S與原點與原點O重合重合(如圖如圖)。通過點通過點S作垂直于復(fù)平面的直線與球面作垂直于復(fù)平面的直線與球面相交于相交于N點。點。稱稱N為北極，為北極，S為南極。為南極。xyPNOS南極、北極南極、北極復(fù)平面內(nèi)任一點復(fù)平面內(nèi)任一點z，如果用一條直線把點，如果用一條直線把點z與北極與北極N連接起來，那么這條直線一定與球面相交于異于連接起來，那么這條直線一定與球面相交于異于N的一點的一點P。反過來，對于球面上任一異于反過來，對于球面上任一異于

14、N的點的點P，用一條直，用一條直線把線把P與與N連結(jié)起來，這條直線就與復(fù)平面相交于連結(jié)起來，這條直線就與復(fù)平面相交于一點一點z。這就說明：球面上的點，除去北極這就說明：球面上的點，除去北極N外，與復(fù)平面內(nèi)的點之間存在著外，與復(fù)平面內(nèi)的點之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系。一一對應(yīng)的關(guān)系。南極、北極南極、北極球面上的點（除北極球面上的點（除北極N外），與復(fù)平面內(nèi)的點之間存在外），與復(fù)平面內(nèi)的點之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系。著一一對應(yīng)的關(guān)系。復(fù)數(shù)可以看作是復(fù)平面內(nèi)的一點，因此球面上的點，除復(fù)數(shù)可以看作是復(fù)平面內(nèi)的一點，因此球面上的點，除去北極去北極N外，與復(fù)數(shù)一一對應(yīng)。所以就可以用球面上的外，與復(fù)數(shù)一一對應(yīng)。所

15、以就可以用球面上的點來表示復(fù)數(shù)。點來表示復(fù)數(shù)。此時須注意，球面上的北極此時須注意，球面上的北極N，還沒有，還沒有復(fù)平面內(nèi)的一個點與它對應(yīng)。復(fù)平面內(nèi)的一個點與它對應(yīng)。但當(dāng)?shù)?dāng)z點無限地遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點時，或者點無限地遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點時，或者說，當(dāng)復(fù)數(shù)說，當(dāng)復(fù)數(shù)z的模的模|z|無限地變大時，點無限地變大時，點P就無限地接近于就無限地接近于N。2、復(fù)球面的定義、復(fù)球面的定義相應(yīng)地相應(yīng)地規(guī)定：規(guī)定：復(fù)數(shù)有一個唯一的復(fù)數(shù)有一個唯一的“無窮大無窮大”與復(fù)平面上的與復(fù)平面上的無窮遠(yuǎn)點相對應(yīng)，并把它記作無窮遠(yuǎn)點相對應(yīng)，并把它記作，因而球面上的北極，因而球面上的北極N就是就是無窮大無窮大的幾何表示。的幾何表示。定義：定

16、義：球面上的每一個點，都有唯一的一個復(fù)數(shù)與它對應(yīng)，球面上的每一個點，都有唯一的一個復(fù)數(shù)與它對應(yīng)，這樣的球面稱為復(fù)球面。這樣的球面稱為復(fù)球面。為使復(fù)平面與球面上的點都能一為使復(fù)平面與球面上的點都能一一對應(yīng)起來，一對應(yīng)起來，規(guī)定：規(guī)定：復(fù)平面上有復(fù)平面上有一個唯一的一個唯一的“無窮遠(yuǎn)點無窮遠(yuǎn)點”，它與，它與球面上的北極球面上的北極N相對應(yīng)相對應(yīng)。3、擴充復(fù)球面的定義、擴充復(fù)球面的定義把包括無窮遠(yuǎn)點在內(nèi)的復(fù)平面稱為把包括無窮遠(yuǎn)點在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴充復(fù)平面擴充復(fù)平面。不包括無窮遠(yuǎn)點在內(nèi)的復(fù)平面稱為不包括無窮遠(yuǎn)點在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面有限復(fù)平面，或，或簡稱為復(fù)平面。簡稱為復(fù)平面。對于復(fù)數(shù)對于復(fù)數(shù)來說

17、，實部、虛部和幅角的概念均無意來說，實部、虛部和幅角的概念均無意義，但它的模則規(guī)定為正無窮大，即義，但它的模則規(guī)定為正無窮大，即|=+。對于。對于其他每一個復(fù)數(shù)其他每一個復(fù)數(shù)z則有則有|z|+。復(fù)球面的優(yōu)點：復(fù)球面的優(yōu)點：能把擴充復(fù)平面的無窮遠(yuǎn)點明顯地能把擴充復(fù)平面的無窮遠(yuǎn)點明顯地表示出來。表示出來。關(guān)于關(guān)于的四則運算的四則運算 （1）加法：）加法：+=+= （） （2）減法：）減法：= （） （3）乘法：）乘法：= （） （4）除法：）除法：/=0，/= （）/0= （0）關(guān)于關(guān)于的四則運算的四則運算其他運算：其他運算：，0，/，不規(guī)定其意義；，不規(guī)定其意義；0/0和實函數(shù)一樣不確定。和實函數(shù)一樣不確定。注意：注意：以后如無特殊聲明，所謂以后如無特殊聲明，所謂“平面平面”一般仍指一般仍指有限平面，所謂有限平面，所謂“點點”仍指有限平面上的點。仍指有限平面上的點。小結(jié)小結(jié)本節(jié)主要內(nèi)容：復(fù)數(shù)的模、輻角；復(fù)數(shù)