余弦定理課件.

1、CcBbAasinsinsin 正弦定理：正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦值的比相等，即它所對(duì)角的正弦值的比相等，即千島湖千島湖 ABC110.8 700m1338m222bacABCcba 已知三角形兩邊分別為已知三角形兩邊分別為a和和b,這兩邊的夾角為這兩邊的夾角為C，角，角C滿足滿足什么什么條件條件時(shí)較易求出第三邊時(shí)較易求出第三邊c？勾股定理勾股定理你能用你能用向量向量證明勾股定理嗎？證明勾股定理嗎？222CBACAB即證即證CBACABCBAbcaCBACAB22)(CBACAB222CBCBACAC22CBCcosCBAC2AC 22bCcosab

2、2a CBAbcaCBACAB22)(CBACAB222CBCBACAC22CB)C180cos(CBAC2AC 22bCcosab2a CBAbcaCBACAB22)(CBACAB222CBCBACAC22CB)C180cos(CBAC2AC 22bCcosab2a Cabbaccos2222Cabbaccos2222Bcaacbcos2222Abccbacos2222 余弦定理余弦定理 三角形任何三角形任何一邊一邊的平方等于其他兩邊的平方和的平方等于其他兩邊的平方和減去減去這兩邊與它們夾角的余弦的這兩邊與它們夾角的余弦的積積的兩倍。的兩倍。222bac勾股定理勾股定理令令C900勾股定理與

3、余弦定理有何關(guān)系？勾股定理與余弦定理有何關(guān)系？適用于任何適用于任何三角形三角形ACBbacxyDC ( bcosA , bsinA ) 2220AsinbcAcosba 222AsinbcAcosbc2Acosb 22cAcosbc2b 能不能用坐標(biāo)方法來(lái)證能不能用坐標(biāo)方法來(lái)證明余弦定理呢？明余弦定理呢？B ( c , 0 )ACBbacxyDC ( bcosA , bsinA ) 2220AsinbcAcosba 222AsinbcAcosbc2Acosb 22cAcosbc2b 能不能用坐標(biāo)方法來(lái)證能不能用坐標(biāo)方法來(lái)證明余弦定理呢？明余弦定理呢？B ( c , 0 )Cabbaccos22

4、22Bcaacbcos2222Abccbacos2222 余弦定理余弦定理 三角形任何三角形任何一邊一邊的平方等于其他兩邊的平方和的平方等于其他兩邊的平方和減去減去這兩邊與它們夾角的余弦的這兩邊與它們夾角的余弦的積積的兩倍。的兩倍。222bac勾股定理勾股定理令令C900勾股定理與余弦定理有何關(guān)系？勾股定理與余弦定理有何關(guān)系？這個(gè)定理有什么作用？這個(gè)定理有什么作用？若已知若已知b=8,c=3,A= ,能求能求a嗎？嗎？60適用于任何適用于任何三角形三角形它還有別的用途嗎它還有別的用途嗎？若已知若已知a,b,c,可以求什么？可以求什么？Cabbaccos2222Bcaacbcos2222Abcc

5、bacos2222abcbaC2cos222bcacbA2cos222acbcaB2cos222利用余弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問(wèn)題利用余弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問(wèn)題： （1）已知三邊，求三個(gè)角）已知三邊，求三個(gè)角 ; （2）已知兩邊和它們的）已知兩邊和它們的夾角夾角，求第三邊，進(jìn)而，求第三邊，進(jìn)而還可求其它兩個(gè)角。還可求其它兩個(gè)角。歸納：歸納：角邊角角邊角角角邊角角邊邊邊角邊邊角邊角邊邊角邊邊邊邊邊邊邊正弦定理正弦定理角邊角角邊角角角邊角角邊邊邊角邊邊角邊角邊邊角邊邊邊邊邊邊邊正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理千島湖千島湖 ABC110.8 700m1338m?CCBCACB

6、CAABcos22228 .110cos7001338270013382235511. 018732004900001790244665192228024429454361716AB答：答：A , B兩處的距離約為兩處的距離約為1716米。米。（精確到（精確到1米）米）例例3 3、在在ABCABC中，已知中，已知b=60cm,c=34cm, A=41b=60cm,c=34cm, A=41 ，解三角形解三角形（角度精確到（角度精確到1 1，邊長(zhǎng)精確到，邊長(zhǎng)精確到1 1cmcm）解：根據(jù)余弦定理解：根據(jù)余弦定理82.16767547. 040801156360041cos346023460Acos

7、bc2cba22222 所以所以 cm41a 5440. 0aAsincCsin 例例4 4、在在ABCABC中，已知中，已知a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm, a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm, 解三角形解三角形（角度精確到（角度精確到1 1 ）解：由余弦定理的推論得解：由余弦定理的推論得7 .1618 .8726 .1347 .1618 .87bc2acbAcos222222 ,5543. 0 0256A 7 .1616 .13428 .877 .1616 .134ac2bcaBcos222222 ,8398. 0 3532B 7490353

8、20256180BA180C 解：由余弦定理可知解：由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2ABACcosA =4+9 - 223 =7BC=在在ABCABC中，已知中，已知AB=2AB=2，AC=3AC=3，A= A= ，求，求BCBC的長(zhǎng)的長(zhǎng)3 它還有別的用途嗎它還有別的用途嗎？若已知若已知a,b,c,可以求什么？可以求什么？abcbaC2cos222bcacbA2cos222acbcaB2cos222Cabbaccos2222Bcaacbcos2222Abccbacos222222290Aacb22290Aacb22290Aacb例例5：一鈍角三角形的邊長(zhǎng)為連續(xù)自然數(shù)，則這三一鈍角三角形

9、的邊長(zhǎng)為連續(xù)自然數(shù)，則這三邊長(zhǎng)為（邊長(zhǎng)為（ ） 分析：分析： 要看哪一組符合要求，只需檢驗(yàn)?zāi)囊粋€(gè)選項(xiàng)中的最大要看哪一組符合要求，只需檢驗(yàn)?zāi)囊粋€(gè)選項(xiàng)中的最大角是鈍角，即該角的余弦值小于角是鈍角，即該角的余弦值小于0。B中：中： ，所以，所以C是鈍角是鈍角222132442 2 3cosC D中：中： ，所以，所以C是銳角，是銳角， 因此以因此以4，5，6為三邊長(zhǎng)的三角形是銳角三角形為三邊長(zhǎng)的三角形是銳角三角形222156482 4 5cosC A、C顯然不滿足顯然不滿足BA、1，2，3 B、2，3，4 C、3，4，5 D、4，5，6例例6 6：在在 ABC ABC中，已知中，已知a=7,b=8,cosC= ,a=7,b=8,cosC= ,求求最大角的余弦值最大角的余弦值1314分析：求最大角的余弦值，最主要的是判斷哪分析：求最大角的余弦值，最主要的是判斷哪個(gè)角是最大角。