函數(shù)單調(diào)性及其極值最值PPT學習教案

1、會計學1函數(shù)單調(diào)性及其極值最值函數(shù)單調(diào)性及其極值最值定理1 設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，在區(qū)間),(ba)(xfy ba,內(nèi)可導，（1）如果在 內(nèi) ，則 在),(ba0)( xf)(xfba,上單調(diào)增加；),(ba0)( xf)(xfba,上單調(diào)減少。（2）如果在 內(nèi) ,則 在一、函數(shù)單調(diào)性的充分條件一、函數(shù)單調(diào)性的充分條件第1頁/共27頁證證),(21xx存在使得0)()()(1212fxxxfxf又因為,21xx 即012 xx, 0)()(12xfxf故)()(12xfxf所以)(xf在ba,上單調(diào)增加。（1）設(shè)在區(qū)間 內(nèi) ),(ba0)( xf,在),(ba兩點21,xx21xx ,由拉格朗日

2、中值定理且內(nèi)任取即當21xx 同理可證（2）.第2頁/共27頁確定函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟：1、確定函數(shù)的定義域；2、求出使函數(shù) 并以這些點為分界點，將定義域分成若干個子區(qū)間；( )0( )fxfx 和不存在的點，3、確定 在各個子區(qū)間的符號，從而判斷出 的單調(diào)性。( )fx( )f x第3頁/共27頁例1 確定函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間。32352353)(xxxf解 的定義域是)(xf),(令 ，得 ，又 處導數(shù)不存在，0)( xf1x0 x1x， 這兩點將 分成三個區(qū)間，0 x),(列表分析 在各個區(qū)間的符號：)(xf x)0 ,()1 ,0(),( 1)(xf)(xf331321)(xxxxxf由

3、表可知， 的單調(diào)增加區(qū)間為 和)(xf)0 ,(，單調(diào)減少區(qū)間為 。), 1 ( )1 ,0(第4頁/共27頁31292)(23xxxxf的單調(diào)區(qū)間.12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)( xf得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故)(xf的單調(diào)增單調(diào)增區(qū)間為, ) 1,();,2()(xf的單調(diào)減單調(diào)減區(qū)間為).2,1 (12xoy12解 的定義域是)(xf),(第5頁/共27頁.23833238的單調(diào)性討論xxy. 1, 10 xxy得令.0不存在，時當yx32313135) 1)(1() 1(xxxxxxxy例3).,(所給函數(shù)的定義

4、域為 解這三個點x=1，0，1將y的定義域分為 四個子區(qū)間.),(), 1 (),1 , 0(),0 , 1(),1,(第6頁/共27頁x010+不存在0+yy) 1,()0 , 1() 1 , 0(), 1 ( 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 .), 1 (),0 , 1() 1 , 0(),1,(單調(diào)遞減區(qū)間為 .第7頁/共27頁如果F(x)滿足下面的條件：. 0)(,)2(0 xFxx有時當即，有時當，為單調(diào)增加函數(shù)可知則由0)(,)(0 xFxxxF. )()(xgxf設(shè) F(x)=f(x)g(x)其基本方法是：往往可以利用單調(diào)性證明不等式. )()(xgxf, 0)() 1 (0 xF第8

5、頁/共27頁.ee1xxx，時試證當ee)(xxF. 0) 1 ()( FxF即. 0) 1 ()( FxF即.ee 0)(1xxFxx，即，都有故對任意例4證明：，令xxFxee)(. 0) 1 (F且,),()(內(nèi)連續(xù)在易知xF, 0ee)(11xxFx時，）當（，遞減上的為可知函數(shù)單調(diào) 1 ,()(xF，上的為可知嚴格單調(diào)增加函數(shù)), 1 )(xF, 0ee)(12xxFx時，）當（第9頁/共27頁二、函數(shù)極值及其求法二、函數(shù)極值及其求法1、函數(shù)極值的定義定義設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義，如果對于該鄰域內(nèi)任何異于x0的x都有 )()(0 xfxf(1) 成立，則稱 為f(x)的極

6、大值，稱 為f(x)的極大值點；)(0 xf0 x(2) 成立，則稱 為f(x)的極小值，稱 為f(x)的極小值點.)()(0 xfxf)(0 xf0 x極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點.第10頁/共27頁注意：極值是局部性的。因而，函數(shù)可以有許多個極大值和極小值，并且極大值不一定大于極小值。3x1x4x2x5xxaboy41,xx為極大點52,xx為極小點3x不是極值點第11頁/共27頁定理2（極值的必要條件） 如果函數(shù) 在點)(xf 處可導，且在點 取得極值，則 。0 x0 x0)(0 xf0)(0 xf0 x)(xf使 的點 稱為函數(shù) 的駐點。注意：可導函數(shù)的極值

7、點必定是它的駐點.但是需要注意，函數(shù)的駐點并不一定是函數(shù)的極值點. 例如 為其駐點，但是x=0不是 的極值點.0,3xxy3xy 第12頁/共27頁定理定理 3 (極值第一判別法極值第一判別法),)(0的某鄰域內(nèi)連續(xù)在設(shè)函數(shù)xxf且在空心鄰域內(nèi)有導數(shù),0時由小到大通過當xx(1) )(xf “左正右左正右負負” ,;)(0取極小值在則xxf(2) )(xf “左左負負右右正正” ,.)(0取極大值在則xxf第13頁/共27頁(4)判定每個駐點和導數(shù)不存在的點 兩側(cè)(在xi較小的鄰域內(nèi)) 的符號，依定理3判定xi是否為f(x)的極值點.), 2 , 1(kixi )(xf 由定理3判定函數(shù)極值一

8、般步驟為：. )()()3(1kxxxfxf， 不存在的點的所有駐點和求出).()2(xf 求出(1)求函數(shù)的定義域第14頁/共27頁例5 求函數(shù) 的極值。123)(32xxxf 解 的定義域是)(xf),(333111)(xxxxf令 ，得駐點 ，而 時 不存在。0)( xf1x0 x)(xf 因此函數(shù)只可能在這兩點取得極值，列表討論如下：x)(xf )(xf)0 ,()1 ,0(01), 1 ( 不存在021極小值1極大值第15頁/共27頁由表可知， 在 處取得極大值 ， )(xf0 x1)0(f)(xf在 處取得極小值 。1x21)(xf函數(shù) 的圖形如圖123)(32xxxf01x121

9、y第16頁/共27頁32) 1()(xxxf的極值 .32)(xxf3132) 1(xx32531xx令,0)( xf得;52x,)(, 0無意義而xfx列表得x)(xf )(xf無意義05200極大值33. 0極小值)0,(),0(52),(520 x是極大點， 其極大值為0)0(f是極小點， 其極小值為52x33. 0)(52f解 的定義域是)(xf),(第17頁/共27頁，的極大值點為，時當)(0)() 1 (00 xfxxf 定理4(判定極值的第二充分條件) 設(shè)函數(shù)f(x)在點x0處具有二階導數(shù)，且 則, 0)(, 0)(00 xfxf的極小值點.為時，當)(0)()2(00 xfxx

10、f 由定理4判定函數(shù)極值一般步驟為：1、確定定義域，并求出所給函數(shù)的全部駐點；2、考察函數(shù)的二階導數(shù)在駐點處的符號，確定極值點；3、求出極值點處的函數(shù)值，得到極值。第18頁/共27頁.638234的極值與極值點求，分條件利用判定極值的第二充xxxy. 3010 321xxxy，得駐點令xxxy128423.1216122 xxy例7所給的函數(shù)定義域為 .),(解).3)(1(4xxx016121612|1 xy012|0 xy048|3 xy第19頁/共27頁,11為函數(shù)的極小值點可知x.37|1xy極小值為的相應(yīng)，為函數(shù)的極大值點02x. 0|0 xy相應(yīng)極小大值為.33為函數(shù)的極小值點x.

11、45|3xy相應(yīng)極小值為第20頁/共27頁 函數(shù)的極值是局部性概念，而最值是一個全局性概念。 可以由駐點及導數(shù)不存在的點與區(qū)間端點的函數(shù)值相比較，其中最大的就是函數(shù) 在 上的最大值，)(xfba,)(xfba,最小的就是函數(shù) 在 上的最小值。三、函數(shù)的最值三、函數(shù)的最值閉區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù) 最值求法：)(xf第21頁/共27頁例8、求函數(shù) 在區(qū)間41232)(23xxxxf4 , 3 上的最大值與最小值。解) 1)(2(61266)(2xxxxxf132413331242 )(,)(,)(,)(ffff比較可知， 在 上最大值為 ，最小值)(xf4 , 3132)4(f為3) 1 (f0)

12、( xf令 得駐點 : .,1221 xx第22頁/共27頁 若函數(shù)在所討論的區(qū)間內(nèi)只有一個可能的極值點，則該點處的函數(shù)值一定是最大值或最小值。例9 將邊長為a的一塊正方形鐵皮，四角各截去一各大小相同的小正方形，然后將四邊折起做成一個無蓋的方盒。問截去的小正方形邊長為多大時，所得方盒的容積最大？解 如圖設(shè)小正方形的邊長為x，則盒底的邊長為)2(xa第23頁/共27頁)2, 0(,)2(2axxaxv令 ，得 （舍去）。又0 v2,621axax04)6( aav所以函數(shù) 在 處取得唯一極大值，此極大值就是最大值。因此，當截去的正方形的邊長等于所給正方形鐵皮邊長的 時，所做的方盒容積最大。v6ax 61ax方盒的容積為：),6)(2(xaxav第24頁/共27頁例10 制作一個容積為 的圓柱形密閉容器，V怎樣