2021-2022學(xué)年廣東省深圳市重點(diǎn)中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題解析

1、試卷第 =page 2 2頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 15 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 15 頁2021-2022學(xué)年廣東省深圳市重點(diǎn)中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1下列數(shù)列中成等差數(shù)列的是（）ABCD【答案】C【分析】利用等差數(shù)列定義，逐一驗(yàn)證各個(gè)選項(xiàng)即可判斷作答.【詳解】對(duì)于A，A不是等差數(shù)列；對(duì)于B，B不是等差數(shù)列；對(duì)于C，C是等差數(shù)列；對(duì)于D，D不是等差數(shù)列.故選：C2已知橢圓，則它的短軸長為（）A2B4C6D8【答案】B【分析】根據(jù)橢圓短軸長的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：，所

2、以該橢圓的短軸長為，故選：B3已知向量是兩兩垂直的單位向量，且，則（）A5B1C-1D7【答案】B【分析】根據(jù)單位向量的定義和向量的乘法運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)橄蛄渴莾蓛纱怪钡膯挝幌蛄?，且所?故選：B4將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使點(diǎn)與重合，求折痕所在直線是（）ABCD【答案】D【分析】設(shè)，則折痕所在直線是線段AB的垂直平分線，故求出AB中點(diǎn)坐標(biāo)，折痕與直線AB垂直，進(jìn)而求出斜率，用點(diǎn)斜式求出折痕所在直線方程.【詳解】，所以與的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又，所以折痕所在直線的斜率為1，故折痕所在直線是，即.故選：D5已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S，若，且，則S3等于（）A28B26C28或-12D26或-10

3、【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程求解，直接計(jì)算S3即可.【詳解】由可得，即，所以，又，解得，所以，即，當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，所以，故選：C6如圖，空間四邊形OABC中，點(diǎn)M在上，且滿足，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，則（）ABCD【答案】B【分析】由空間向量的線性運(yùn)算求解【詳解】由題意，又，,故選：B7雙曲線的左右焦點(diǎn)分別是，直線與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，在軸上的投影恰好是，則雙曲線的離心率是（）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)題意的到，代入到雙曲線方程，解得，即，則，即，即，求解方程即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)原點(diǎn)為，直線與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)在軸上的投影恰好是，且，將代入到雙曲線方程，可得，

4、解得，即，則，即，即，解得（舍負(fù)），故.故選:D.8楊輝三角是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的詳解九章算法一書中就有出現(xiàn).在歐洲，帕斯卡（16231662）在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要遲了393年.如圖所示，在“楊輝三角”中，從1開始箭頭所指的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形數(shù)列：1，2，3，3，6，4，10，5，則在該數(shù)列中，第37項(xiàng)是A153B171C190D210【答案】C【解析】根據(jù)“楊輝三角”找出數(shù)列1，2，3，3，6，4，10，5，之間的關(guān)系即可?！驹斀狻坑深}意可得從第3行起的每行第三個(gè)數(shù)：，所以第行的第三個(gè)數(shù)為在該數(shù)列中，第37項(xiàng)為第21行第三個(gè)數(shù)，

5、所以該數(shù)列的第37項(xiàng)為故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了歸納、推理的能力，屬于中等題。二、多選題9點(diǎn)P在圓上，點(diǎn)Q在圓上，則（）A兩個(gè)圓心所在的直線斜率為B兩個(gè)圓相交弦所在直線的方程為C兩圓公切線有兩條D|PQ|的最小值為0【答案】AD【分析】根據(jù)直線斜率公式，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為.兩個(gè)圓心所在的直線斜率為，所以本選項(xiàng)正確；因?yàn)?，所以兩圓相外切，故沒有相交弦，兩圓的公切線有三條，當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到切點(diǎn)時(shí)，|PQ|的最小值為0，因此選項(xiàng)BC不正確，選項(xiàng)D正確，故選：AD10已知正方體的棱長為1，下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）A直線BC1與直線所

6、成的角為90BB1D平面ACD1C點(diǎn)B1到平面ACD1的距離為D直線B1C與平面所成角的余弦值為【答案】BD【分析】根據(jù)空間向量夾角公式，結(jié)合空間點(diǎn)到面的距離公式逐一判斷即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：.A：，因?yàn)?，所以，因此本選項(xiàng)不正確；B：，因?yàn)?，所以，而平面ACD1，因此平面ACD1，所以本選項(xiàng)正確；C：因?yàn)槠矫鍭CD1，所以是平面ACD1的法向量，所以點(diǎn)B1到平面ACD1的距離為，因此本選項(xiàng)不正確；D：由上可知：，所以直線B1C與平面所成角的余弦值，因此本選項(xiàng)正確，故選：BD11數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則有（）ASn為等比數(shù)列BCDnSn的前n項(xiàng)和為【答案】ACD【分析】

7、根據(jù)數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式、錯(cuò)位相減法進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)椋許n為等比數(shù)列，因此選項(xiàng)A正確；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，不適合上式，所以選項(xiàng)B不正確，選項(xiàng)C正確；設(shè)nSn的前n項(xiàng)和為，得，所以選項(xiàng)D正確，故選：ACD12已知曲線C的方程為，集合，若對(duì)于任意的，都存在，使得成立，則稱曲線C為曲線.下列方程所表示的曲線中，是曲線的有（）ABCD【答案】AC【分析】問題轉(zhuǎn)化為，存在，使得，根據(jù)這一條件逐一判斷即可.【詳解】A：的圖象既關(guān)于x軸對(duì)稱，也關(guān)于y軸對(duì)稱，且圖象是封閉圖形.所以對(duì)于任意的點(diǎn)，存在著點(diǎn)Q（x2，y2）使得，所以滿足；B：的圖象是雙曲線，且雙曲線的

8、漸近線斜率為1，所以漸近線將平面分為四個(gè)夾角為90的區(qū)域，當(dāng)P，Q在雙曲線同一支上，此時(shí)，當(dāng)P，Q不在雙曲線同一支上，此時(shí)，所以不滿足；C：的圖象是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)P為拋物線上一點(diǎn)，過O點(diǎn)作OP的垂線，則垂線一定與拋物線交于Q點(diǎn)，所以，所以D：取P（0，1），若，則有顯然不成立，所以此時(shí)不成立，故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用圓錐曲線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.三、填空題13直線的傾斜角為_.【答案】【分析】由直線的斜率為，得到，即可求解.【詳解】由題意，可知直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，解得，即換線的傾斜角為.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的傾斜角的求解問題，其中解答中熟記直

9、線的傾斜角與斜率的關(guān)系，合理準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14已知等差數(shù)列的公差不為零，若，成等比數(shù)列，則_.【答案】0【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)，成等比數(shù)列，得到，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋傻缺葦?shù)列，所以，所以，整理得，因?yàn)?，所以，所?故答案為：0.【點(diǎn)睛】本題考查了等比中項(xiàng)，考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.15在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)M是雙曲線右支上一點(diǎn)，則雙曲線的漸近線方程為_.【答案】【分析】首先根據(jù)已知條件得到，再結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)求解即可.【詳解】如圖所示：，

10、所以，即.設(shè)，則，.即，所以，漸近線方程為.故答案為：四、雙空題16希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值（1）的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(-2，1)，B(-2，4)，點(diǎn)P是滿足的阿氏圓上的任一點(diǎn)，則該阿氏圓的方程為_；若點(diǎn)Q為拋物線E：y2=4x上的動(dòng)點(diǎn)，Q在直線x=-1上的射影為H，則的最小值為_.【答案】 【分析】（1）利用直譯法直接求出P點(diǎn)的軌跡（2）先利用阿氏圓的定義將轉(zhuǎn)化為P點(diǎn)到另一個(gè)定點(diǎn)的距離，然后結(jié)合拋物線的定義容易求得的最小值【詳

11、解】設(shè)P（x，y），由阿氏圓的定義可得即化簡得則設(shè)則由拋物線的定義可得當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義及幾何性質(zhì)，同時(shí)考查了阿氏圓定義的應(yīng)用還考查了學(xué)生利用轉(zhuǎn)化思想、方程思想等思想方法解題的能力難度較大五、解答題17已知圓D經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），C（1，2）.(1)求圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l：與圓D交于M、N兩點(diǎn)，求線段MN的長度.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用待定系數(shù)法即可得出答案；（2）利用圓的弦長公式即可得出答案.【詳解】(1)解：設(shè)圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程，由題意可得，解得，所以圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)解：

12、由（1）可知圓心，半徑，所以圓心D（1，0）到直線l：的距離，所以.18已知拋物線上的點(diǎn)M（5，m）到焦點(diǎn)F的距離為6.(1)求拋物線C的方程；(2)過點(diǎn)作直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，求直線l方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）由拋物線定義有求參數(shù)，即可寫出拋物線方程.（2）由題意設(shè)，聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)求參數(shù)k，即可得直線l方程【詳解】(1)由題設(shè)，拋物線準(zhǔn)線方程為，拋物線定義知：可得，故(2)由題設(shè)，直線l的斜率存在且不為0，設(shè)聯(lián)立方程，得，整理得，則.又P是線段AB的中點(diǎn)，即故l19王同學(xué)入讀某大學(xué)金融專業(yè)，過完年剛好得到紅包6000元，她

13、計(jì)劃以此作為啟動(dòng)資金進(jìn)行理投資，每月月底獲得的投資收益是該月月初投入資金的20%，并從中拿出1000元作為自己的生活費(fèi)，余款作為資金全部投入下個(gè)月，如此繼續(xù).設(shè)第n個(gè)月月底的投資市值為an.(1)求證：數(shù)列-5000為等比數(shù)列；(2)如果王同學(xué)想在第二年過年的時(shí)候給奶奶買一臺(tái)全身按摩椅（商場(chǎng)標(biāo)價(jià)為12899元），將一年后投資市值全部取出來是否足夠？【答案】(1)證明見解析(2)足夠【分析】（1）由題意可得出遞推關(guān)系，變形后利用等比數(shù)列的定義求證即可；（2） 由（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，再求出，再計(jì)算即可得出結(jié)論.【詳解】(1)依題意，第1個(gè)月底股票市值為 則 又?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)為1200，公

14、比為1.2的等比數(shù)列.(2)由（1）知，所以王同學(xué)將一年理財(cái)投資所得全部取出來是足夠的.20如圖，直三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，D為棱AC中點(diǎn).(1)證明：AB1/平面；(2)若面B1BC1與面BC1D的夾角余弦值為，求.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，使，連接，即可得到，從而得證；（2）設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解面與面的夾角余弦值為，從而得到方程，解得即可【詳解】(1)證明：如圖，連，使，連，由直三棱柱，所以四邊形為矩形，所以為中點(diǎn)，在中，、分別為和中點(diǎn)，又因平面平面，面，面，平面 (2)解：設(shè)，以

15、為坐標(biāo)原點(diǎn)如圖建系， 則，所以、，設(shè)平面的法向量則，故可取 設(shè)平面的法向量，則，故可取，因?yàn)槊媾c面的夾角余弦值為，所以，即，解得，21已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和，求使不等式成立的最大整數(shù)m的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定的遞推公式變形，再構(gòu)造常數(shù)列求解作答.（2）利用（1）的結(jié)論求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和，由單調(diào)性求出最大整數(shù)m值作答.【詳解】(1)依題意，當(dāng)時(shí)，兩式相減得：，即，整理得：，于是得，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式是.(2)由（1）得，數(shù)列是遞增數(shù)列，因此，于是有，則，不等式成立，則，于是得，所以使不等式成立的最大整數(shù)m的值是505.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的22已知點(diǎn)，圓，點(diǎn)Q在圓上運(yùn)動(dòng)，的垂直平分線交于點(diǎn)P.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的方程；(2)過點(diǎn)的動(dòng)直線l交曲線C于A、B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)T，使以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)；(