導(dǎo)數(shù)的基本公式與運(yùn)算法則.

1、 用定義只能求出一些較簡(jiǎn)單的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（常用定義只能求出一些較簡(jiǎn)單的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（常函數(shù)、冪函數(shù)、正、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、正、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)），對(duì)于比較復(fù)雜的函數(shù)則往往很困難。本函數(shù)），對(duì)于比較復(fù)雜的函數(shù)則往往很困難。本節(jié)我們就來(lái)建立求導(dǎo)數(shù)的基本公式和基本法則，節(jié)我們就來(lái)建立求導(dǎo)數(shù)的基本公式和基本法則，借助于這些公式和法則就能比較方便地求出常見(jiàn)借助于這些公式和法則就能比較方便地求出常見(jiàn)的函數(shù)的函數(shù)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而使得初等函數(shù)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而使得初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題系統(tǒng)化，簡(jiǎn)單化。的求導(dǎo)問(wèn)題系統(tǒng)化，簡(jiǎn)單化。第三節(jié)第三節(jié) 導(dǎo)數(shù)的基本公式導(dǎo)數(shù)的基本公式 與運(yùn)算法則

2、與運(yùn)算法則一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理定理并且并且可導(dǎo)可導(dǎo)處也處也在點(diǎn)在點(diǎn)分母不為零分母不為零們的和、差、積、商們的和、差、積、商則它則它處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù),)(,)(),(xxxvxu);()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu).0)()()()()()()()()3(2xvxvxvxuxvxuxvxu);()( )()() 1 (xvxuxvxu推論推論:; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfCxCf 12112(3)( )( )( )( )( )( )( ).nininf xfx fxfxf

3、x fxfx 二、例題分析二、例題分析例例1 1.sin223的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xxxy 解：解：23xy x4 .cos x 例例2y e x (sin x cos x)，求，求y . 2e x cos x. 解：解：y (e x ) (sin x cos x) e x (sin x cos x) e x (sin x cos x) e x (cos x sin x)xxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即同理可得同理可得.csc)(cot2xx 例例4 4.,secyxy求解解 xycos1xx

4、2cos)(cosxx2cossin同理可得同理可得xxxcotcsc)(csc 例例3 3.tan的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxx tansec 三、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理定理即即 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy 且且有有內(nèi)內(nèi)也也可可導(dǎo)導(dǎo)在在對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)區(qū)區(qū)間間那那末末它它的的反反函函數(shù)數(shù)且且內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)、可可導(dǎo)導(dǎo)在在某某區(qū)區(qū)間間如如果果函函數(shù)數(shù)么么例例5 5.arcsin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy 解解sin(,),2 2xy 在內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo), 0cos)

5、(sin yy且且( 1,1)在內(nèi)有)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x 同理可得同理可得.11)(arccos2xx ;11)(arctan2xx .11)cot(2xx arc常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccos

6、xxxx arc注注 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則是基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則是初等函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算的基礎(chǔ)，必須熟練掌握初等函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算的基礎(chǔ)，必須熟練掌握.四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 前面我們已經(jīng)會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)前面我們已經(jīng)會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)基本初等函數(shù)經(jīng)基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算的結(jié)果的導(dǎo)數(shù)，有限次四則運(yùn)算的結(jié)果的導(dǎo)數(shù)，12sin,tanln22 xxexx等函數(shù)（復(fù)合函數(shù)）是否可導(dǎo)，可導(dǎo)的話，如何求等函數(shù)（復(fù)合函數(shù)）是否可導(dǎo)，可導(dǎo)的話，如何求它們的導(dǎo)數(shù)。它們的導(dǎo)數(shù)。但是像但是像定理定理( ),( )( ), ( ),dddd( )( ).ddddug xxyf uug x

7、yf g xxyyyufug xxxux如果函數(shù)在點(diǎn) 可導(dǎo)而在點(diǎn)可導(dǎo)則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo) 且其導(dǎo)數(shù)為或即即 因變量對(duì)自變量求導(dǎo)因變量對(duì)自變量求導(dǎo), ,等于因變量對(duì)中間變量等于因變量對(duì)中間變量求導(dǎo)求導(dǎo), ,乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo)乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo).(.(鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t) )例例6 6.sinln的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy 解解.sin,lnxuuy ddddddyyuxuxxucos1 xxsincos xcot 注注1.鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t“由外向里，逐層求導(dǎo)由外向里，逐層求導(dǎo)”2.注意中間變量注意中間變量推廣推廣( ),vx設(shè)dddd.ddddyyuvxuvx ( )yfx 復(fù)合函數(shù)的

8、導(dǎo)數(shù)( ),uv( ),yf u例例7. 設(shè), )cos(elnxy 求.ddxy解解:xydd)cos(e1x)sin(e(xxe)tan(eexx練習(xí)練習(xí). 設(shè), )1(ln2xxy.y求解解:112xxy(11212xx2112x例例8. 求求解解:,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx先化簡(jiǎn)后求導(dǎo)先化簡(jiǎn)后求導(dǎo)例例9. 求解解:,1arctane2sin2xyx.y1arctan)(2xy ) (e2sin x2sinex2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sinex2cosx2sinex112xx關(guān)鍵關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函

9、數(shù)結(jié)構(gòu)搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu) 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)注注 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t是一元函數(shù)微分學(xué)的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t是一元函數(shù)微分學(xué)的理論基礎(chǔ)和精神支柱理論基礎(chǔ)和精神支柱. 要深刻理解要深刻理解, 熟練應(yīng)用熟練應(yīng)用注意不要漏層。注意不要漏層。顯函數(shù)：顯函數(shù)： 形如形如 y sin x ，y ln x的函數(shù)。的函數(shù)。這種由方程確定的函數(shù)稱為這種由方程確定的函數(shù)稱為隱函數(shù)隱函數(shù)。 方程 xy3 10 能確定一個(gè)函數(shù)31)(xxfy， 把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù)，叫做把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù)，叫做隱函數(shù)的顯化。隱函數(shù)的顯化。( ).yf x即形式的函數(shù)稱為顯函數(shù)五、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)五、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)0

10、xyxyee問(wèn)題問(wèn)題: 隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?如如, 如何求如何求?y求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法：求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法： 把方程兩邊分別對(duì)把方程兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù), ,方程中把隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解出方程中把隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解出. .然后從所得的新的然后從所得的新的 例例10. 求由方程求由方程ey xy e 0所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù) y 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解：解：方程兩邊分別對(duì)方程兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)得求導(dǎo)得e y y y xy 0 從而從而yexyy 解：解：把橢圓方程的兩邊分別對(duì)把橢圓方程的兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得所求的切線方程為所求的切線方程為 )2

11、(43323xy，即)2(43323xy，即03843yx。 將將x 2，323 y，代入上式得，代入上式得 所求切線的斜率所求切線的斜率 例例 11 求橢圓求橢圓191622 yx在在)323 , 2(處的切線方程。處的切線方程。 k43. 從而 yxy169. 0928yyx。 觀察函數(shù)觀察函數(shù).,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程兩邊取對(duì)數(shù)先在方程兩邊取對(duì)數(shù), 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)求出導(dǎo)數(shù).目的是利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)簡(jiǎn)化求導(dǎo)運(yùn)目的是利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)簡(jiǎn)化求導(dǎo)運(yùn)算。算。-對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用范圍適用范圍: :( )( ).v x

12、u x多個(gè)函數(shù)相乘、乘方、開(kāi)方和冪指函數(shù)的情形六、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法六、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 有時(shí)會(huì)遇到這樣的情形，雖然給出的是顯函數(shù)有時(shí)會(huì)遇到這樣的情形，雖然給出的是顯函數(shù)但直接求導(dǎo)有困難或很麻煩但直接求導(dǎo)有困難或很麻煩.例例1212.),0(sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)解解等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得xxylnsinln 求求導(dǎo)導(dǎo)得得上上式式兩兩邊邊對(duì)對(duì) xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxvln( )( ) ln ( )f xv xu x( )( ) ( )( ) ln ( )(

13、)( )fxv x u xv xu xf xu x)()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv 兩邊取對(duì)數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)得得 解：解：先在兩邊取對(duì)數(shù)，得先在兩邊取對(duì)數(shù)，得 y1y上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得于是 y2y(11x21x31x41x)。 y121(11x21x31x41x)， 例例13求求函數(shù)函數(shù))4)(3()2)(1( xxxxy的導(dǎo)數(shù)。的導(dǎo)數(shù)。 ln y21ln|x1|ln|x2|ln|x3|ln|x4|， 練習(xí)練習(xí).,)4(1)1(23yexxxyx 求求設(shè)設(shè)解解等式兩邊加絕對(duì)值后再取對(duì)數(shù)得等式兩邊加絕對(duì)值后再取對(duì)數(shù)得1lnln1ln12ln43

14、yxxxx求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì) x142)1(3111 xxxyy32(1)11121(4)13(1)4xxxyxexxx說(shuō)明說(shuō)明兩邊取對(duì)數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)yln兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo)yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb有些顯函數(shù)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便有些顯函數(shù)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便 .例如例如,(0,0,0,1)xababxayabxbxab 七、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)七、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).,)()(定定的的函函數(shù)數(shù)稱稱此此為為由由參參數(shù)數(shù)方方程程所所確確間間的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系與與確確定定若若參參數(shù)數(shù)方

15、方程程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 消去參數(shù)消去參數(shù)22)2(xty 42x xy21 問(wèn)題問(wèn)題: : 消參困難或無(wú)法消參如何求導(dǎo)消參困難或無(wú)法消參如何求導(dǎo)? ?,)()(中中在在方方程程 tytx),()(1xttx 具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù), 0)(,)(),( ttytx 且且都可導(dǎo)都可導(dǎo)再設(shè)函數(shù)再設(shè)函數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即例例1414(sin ).(1 cos )xa ttdyyatdx已知，求解解dtdxdtdydxdy taatacossin ttcos1sin ,0( ),( ).ln(1),0 xxf xfxxx1.設(shè)求解解, 1)( xf,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x( )fx,11x ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xhhfh)01ln()0(lim)0(0 , 1 hhfh)01ln()0(1lnlim)0(0 , 1 . 1)0( f.0,110, 1)( xxxxf思考與練習(xí)思考與練習(xí)2. 設(shè)設(shè), )()()(xaxxf其中其中)(x在在ax 因因)()()()(xaxxxf故故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxa