高中數(shù)學(xué)第四章定積分41定積分的概念分析“求汽車行駛的路程”感悟定積分概念的形成素材北師大版2-2

1、PAGE 4.1 分析“求汽車行駛的路程” 感悟定積分概念的形成定積分概念的理解對(duì)大多數(shù)同學(xué)來(lái)說(shuō)是比較抽象的.概念的形成不是以一段文字可以概括和說(shuō)明的.而是要通過(guò)一種數(shù)學(xué)運(yùn)算來(lái)體現(xiàn)定積分的內(nèi)涵與意義.所以對(duì)這種運(yùn)算如果不能有一種清晰的認(rèn)識(shí),就很難真正把握定積分的定義.下面我們就把這一運(yùn)算過(guò)程通過(guò)“求汽車行駛的路程”詳細(xì)地分解開,以助于同學(xué)們深刻理解其本質(zhì).一.提出問(wèn)題汽車以速度組勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)過(guò)時(shí)間所行駛的路程為如果汽車作變速直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻的速度為（單位：km/h），那么它在01(單位：h)這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程（單位：km）是多少？ 分析：與求曲邊梯形面積類似，采取“以不變代變”的方法，

2、把求勻變速直線運(yùn)動(dòng)的路程問(wèn)題，化歸為勻速直線運(yùn)動(dòng)的路程問(wèn)題把區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上，由于的變化很小，可以近似的看作汽車作于速直線運(yùn)動(dòng)，從而求得汽車在每個(gè)小區(qū)間上行駛路程的近似值，在求和得（單位：km）的近似值，最后讓趨緊于無(wú)窮大就得到（單位：km）的精確值（思想：用化歸為各個(gè)小區(qū)間上勻速直線運(yùn)動(dòng)路程和無(wú)限逼近的思想方法求出勻變速直線運(yùn)動(dòng)的路程）解：1分割在時(shí)間區(qū)間上等間隔地插入個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間：， 記第個(gè)區(qū)間為，其長(zhǎng)度為:.把汽車在時(shí)間段，上行駛的路程分別記作：，顯然，（2）近似代替當(dāng)很大，即很小時(shí)，在區(qū)間上，可以認(rèn)為函數(shù)的值變化很小，近似的等于一個(gè)常數(shù)，不妨認(rèn)為它近似的等

3、于左端點(diǎn)處的函數(shù)值，從物理意義上看，即使汽車在時(shí)間段上的速度變化很小，不妨認(rèn)為它近似地以時(shí)刻處的速度作勻速直線運(yùn)動(dòng)，即在局部小范圍內(nèi)“以勻速代變速”，于是的用小矩形的面積近似的代替，即在局部范圍內(nèi)“以直代取”，則有: （3）求和由， =從而得到的近似值 .（4）取極限當(dāng)趨向于無(wú)窮大時(shí)，即趨向于0時(shí)，趨向于，從而有:.思考：結(jié)合求曲邊梯形面積的過(guò)程，你認(rèn)為汽車行駛的路程與由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積有什么關(guān)系？結(jié)合上述求解過(guò)程可知，汽車行駛的路程在數(shù)據(jù)上等于由直線,和曲線所圍成的曲邊梯形的面積一般地，如果物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，速度函數(shù)為，那么我們也可以采用分割、近似代替、求和、取極限的方法，利用“以不變代變”的方法及無(wú)限逼近的思想，求出它在ab內(nèi)所作的位移二實(shí)例展示例彈簧在拉伸的過(guò)程中，力與伸長(zhǎng)量成正比，即力（為常數(shù)，是伸長(zhǎng)量），求彈簧從平衡位置拉長(zhǎng)所作的功 分析：利用“以不變代變”的思想，采用分割、近似代替、求和、取極限的方法求解解： 將物體用常力沿力的方向移動(dòng)距離，則所作的功為1分割在區(qū)間上等間隔地插入個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間：， 記第個(gè)區(qū)間為，其長(zhǎng)度為:.把在分段，上所作的功分別記