數(shù)列極限和無窮大函數(shù)的極限連續(xù)函數(shù)無窮小PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1數(shù)列極限和無窮大函數(shù)的極限連續(xù)函數(shù)數(shù)列極限和無窮大函數(shù)的極限連續(xù)函數(shù)無窮小無窮小1. 數(shù)列的極限和無窮大量數(shù)列的極限和無窮大量一、數(shù)列極限的定義一、數(shù)列極限的定義二、數(shù)列極限的性質(zhì)二、數(shù)列極限的性質(zhì)三、數(shù)列極限的運算三、數(shù)列極限的運算四、單調(diào)有界數(shù)列四、單調(diào)有界數(shù)列五、無窮大量的定義五、無窮大量的定義六、無窮大量的性質(zhì)和運算六、無窮大量的性質(zhì)和運算七、小結(jié)七、小結(jié) 思考題思考題第1頁/共84頁“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣則與圓周合體而無所失矣” 劉徽劉徽1 1、割圓求周、割圓求周播放播放三國時期，數(shù)學(xué)三

2、國時期，數(shù)學(xué)家劉徽應(yīng)用極限家劉徽應(yīng)用極限方法訂正、計算方法訂正、計算圓周率圓周率 圓周長圓周長 割圓術(shù)！割圓術(shù)！ 第2頁/共84頁R討論圓內(nèi)接正多邊形與該圓周的關(guān)系討論圓內(nèi)接正多邊形與該圓周的關(guān)系nl已知已知圓內(nèi)接正多邊形的周長圓內(nèi)接正多邊形的周長未知未知的圓周長的圓周長 l（1）在任何有限的過程中，）在任何有限的過程中，即對任何確定的即對任何確定的n， 皆為皆為 的的近似近似值；（值；（2）在無限的過）在無限的過程中，即當(dāng)程中，即當(dāng)n無限增大時，無限增大時， 無限接近于常數(shù)無限接近于常數(shù) 的的精確精確值值。nllnll 是是 當(dāng)當(dāng)n無限增大時的極限無限增大時的極限nll第3頁/共84頁 圓面

3、積亦如此。圓面積亦如此。啟示：啟示： 已知與未知已知與未知 有限與無限有限與無限 近似與精確近似與精確 直線與曲線直線與曲線R第4頁/共84頁2 2、截丈問題、截丈問題“一尺之棰，日截其半，萬世不竭一尺之棰，日截其半，萬世不竭”;211 X第一天截下后的杖長為第一天截下后的杖長為;2122 X第二天截下后的杖長為第二天截下后的杖長為;21nnXn 天天截截下下后后的的杖杖長長為為第第nnX21 0第5頁/共84頁1.1.數(shù)列數(shù)列: : 是是按次序排列的一列無窮多個數(shù)按次序排列的一列無窮多個數(shù) ,21nxxx 數(shù)列是定義在自然數(shù)集數(shù)列是定義在自然數(shù)集N上的函數(shù)。即以上的函數(shù)。即以N為定義域由小為

4、定義域由小到大取值所對應(yīng)的一列函數(shù)值。到大取值所對應(yīng)的一列函數(shù)值。對對 ，設(shè)，設(shè) ，則，則 Nnnxnf)(函數(shù)值：函數(shù)值：,200621nxxxx自變量：自變量：,2006,2,1nnx，表示為數(shù)列表示為數(shù)列nx為第為第n項或通項。項或通項。第6頁/共84頁例如：例如：,)1(,51,41,31,21, 1:)1(nnnn ,25,16,9,4,1:22nn,) 1(1 ,511 ,411 ,311 ,211 , 2:) 1(111nnnn ,0,2,0,2:)1(11n01擺動！擺動！無限增大無限增大!考慮數(shù)列考慮數(shù)列 nn 1)1(1第7頁/共84頁播放播放定性分析：定性分析：當(dāng)當(dāng)n無限

5、增大時，無限增大時， 無限趨近于無限趨近于1，數(shù)，數(shù)1即所謂即所謂 的的“極限極限”。 nn 1)1(1 nn 1)1(1第8頁/共84頁定量分析：定量分析： 無限趨近于無限趨近于1是指：是指：當(dāng)當(dāng) n 充分大時充分大時, 能任意小，并保持任意小。能任意小，并保持任意小。1)1(11 nn nn1)1(1例如：例如：,101對對.10 n只只須須,1011)1(11 nn要要使使即即 自然數(shù)自然數(shù)10，當(dāng)，當(dāng)n10時，有時，有.1011)1(11 nn ,10001對對.1000 n只只須須,100011)1(11 nn要要使使,10000001對對.1000000 n只只須須,1000000

6、11)1(11 nn要要使使 第9頁/共84頁由不等式有由不等式有 ，故只須，故只須 即可。即可。 以上還不能說明以上還不能說明 任意小，并保持任意小，任意小，并保持任意小，畢竟它們都還是確定的數(shù)。畢竟它們都還是確定的數(shù)。1)1(11 nn,0 對對.1)1(11才才行行要要使使 nn n1 1 n 自然數(shù)自然數(shù) ，當(dāng)，當(dāng) 時，便時，便有有 , 0 即即對對1 1 n.1)1(11 nn 定量定義：定量定義：則稱數(shù)則稱數(shù)1是是 的極限。的極限。有有時時當(dāng)當(dāng)總總?cè)羧魧Γ琋n，N 1, 0 .1)1(11 nn nn1)1(1第10頁/共84頁2數(shù)列極限定義：數(shù)列極限定義： 設(shè)數(shù)設(shè)數(shù)列列nx，a

7、是實數(shù)。若對是實數(shù)。若對0 , , 總總 正 整 數(shù)正 整 數(shù)N, , 當(dāng)當(dāng)Nn 時時 , , 便 有便 有 axn，則稱則稱nx存在極限存在極限a，或者收斂于或者收斂于a 記為記為 ,limaxnn 或或 ).( naxn 法法”“N 若數(shù)列不存在極限若數(shù)列不存在極限, 則稱數(shù)列是發(fā)散的則稱數(shù)列是發(fā)散的.如如 是發(fā)散數(shù)列是發(fā)散數(shù)列.) 1(11 n第11頁/共84頁x1x2x2 Nx1 Nx3x、數(shù)列極限的幾何解釋、數(shù)列極限的幾何解釋: a aa.)(;, ),(),(,21落在其外落在其外個個至多只有至多只有只有有限個只有有限個全位于這個鄰域內(nèi)全位于這個鄰域內(nèi)項以后的所有項項以后的所有項第

8、第總存在項總存在項鄰域鄰域?qū)θ我饨o定的對任意給定的NxxN，xaaaONNN . axa，axnn得得由由定定義義3 Nx第12頁/共84頁.),(, 0).,(,),(lim之之外外位位于于鄰鄰域域只只有有有有限限項項對對有有時時當(dāng)當(dāng)總總鄰鄰域域?qū)?aOxaOxNnNaOaxnnnn 鄰域法鄰域法 可見：數(shù)列是否有極限，只與它從某一項以可見：數(shù)列是否有極限，只與它從某一項以后有關(guān)，而與它前面的有限個項無關(guān)。因之，后有關(guān)，而與它前面的有限個項無關(guān)。因之，在討論數(shù)列極限時，可添加、去掉或改變其有在討論數(shù)列極限時，可添加、去掉或改變其有限個項的數(shù)值，對收斂性和極限都無影響。限個項的數(shù)值，對收斂性

9、和極限都無影響。.),(, 0lim之之內(nèi)內(nèi)位位于于鄰鄰域域總總有有無無限限多多項項對對 aOxaxnnn ？第13頁/共84頁（2）N的存在性與非唯一性，且的存在性與非唯一性，且N僅與僅與 有關(guān)有關(guān)而而 與與n無關(guān)。無關(guān)。（1）正數(shù)）正數(shù) 的任意性和相對固定性。的任意性和相對固定性。 是是無無窮窮小小量量有有時時使使對對是是無無窮窮小小量量0)(limlim., 0axaxaxxNnNxnnnnnnn 4、關(guān)于數(shù)列極限定義的幾點理解、關(guān)于數(shù)列極限定義的幾點理解 （3）當(dāng)）當(dāng) 時，即以零為極限的數(shù)列時，即以零為極限的數(shù)列稱為無窮小量。稱為無窮小量。0 a無窮小量不是很小的量。無窮小量不是很小的

10、量。第14頁/共84頁.,)(,2 , 0)4(2起著同樣的作用起著同樣的作用但在本質(zhì)上都與但在本質(zhì)上都與形式上有差異形式上有差異在在雖與雖與等等正常數(shù)正常數(shù)對對 ，MM ., 0lim MaxNnNaxnnn 有有時時當(dāng)當(dāng)?shù)谋容^的比較與與axaxnnnn limlim)5(., 0lim axNnNaxnnn有有時時當(dāng)當(dāng)., 0lim0000axNnNaxnnn有有某某個個對對某某個個., 0,0000axNnNRaxnn有有對對對對發(fā)發(fā)散散第15頁/共84頁例例1).1( ,0lim qqnn證證明明證證:, 0 對對, nq由由,lnln qn即即.lnlnqN 取取, 0 q若若; 0

11、0limlim nnnq則則, 10 q若若,lnlnqn 方法方法1：直接解不等式直接解不等式 ，求求N. axn.為為無無窮窮小小量量即即nq數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.注意：注意：(不妨設(shè)不妨設(shè) )q 第16頁/共84頁例例2.318232lim22 nnnnn證明證明證：證：. 0145 , 0823, 42 nnnn有有先先限限定定!)823(3145318232:222相相當(dāng)當(dāng)困困難難直直接接解解分分析析 nnnnnnn)823(3145318232, 0222 nnnnnnn由由對對 ,32962 nnn.32 , 4max.32 Nn取取得

12、得第17頁/共84頁小結(jié)小結(jié):用定義證數(shù)列極限存在時用定義證數(shù)列極限存在時,關(guān)鍵是任意給關(guān)鍵是任意給定定 尋找尋找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 方法方法2：若若 不易求解，可設(shè)法不易求解，可設(shè)法先把先把 適當(dāng)?shù)胤糯筮m當(dāng)?shù)胤糯?，再再由由 求解求解N. axnaxn nnax n第18頁/共84頁)0(1lim.3aann例例證明：分三種情況證明證明：分三種情況證明.由由對對則則時時當(dāng)當(dāng),0.1,1)1( naa 111nnaaor,11 na),1ln(ln1 an即即.)1ln(ln an解解得得.)1ln(ln aN取取此法一。此法一。第19頁/共84頁（法二）（法二）則

13、則令令),0(1 nnna.1,1)1 (nanannnn 得得由由, 0 ,11 naann.1 an解解得得.11 aN取取第20頁/共84頁有有令令時時）當(dāng)當(dāng)（, 11,102 baa）得得證證。由由（已已知知1, 1 nb. 11111 nnnnnbbbba故故對對時時）當(dāng)當(dāng)（, 1,13 nana1lim nna.1）（ a有一般地，cxn.limcxnn第21頁/共84頁.1lim.4nnn例例即即則則令令證證明明,1,1:nnnnhnhn nnnnnnhhnnnhhn 2! 2) 1(1)1 ()2( ,2) 1(12 nhnnn)2( ,20 nnhn，解得，解得由由 nhnn

14、n21, 0.2, 2max.222 Nn取取第22頁/共84頁.1lim.522nann例例nnannan 22221, 0:由由證明證明,2222 nananna）（.2an 解解得得.2 aN取取.)2.(,. 1例例有有時時先先采采取取部部分分放放大大”為為辦辦法法將將其其“適適當(dāng)當(dāng)?shù)氐胤欧糯蟠蠓址肿幼臃欧糯蟠螅址帜改缚s縮小小的的是是一一個個有有理理式式，則則采采取取若若注注nnax第23頁/共84頁.)5.(. 2例例將將其其“適適當(dāng)當(dāng)?shù)氐胤欧糯蟠蟆睘闉槟改富蚧蚍址肿幼佑杏欣砝砘牡姆椒椒ǚㄖ兄谐龀霈F(xiàn)現(xiàn)根根號號，則則采采取取分分若若注注nnax.)4 , 3 , 1.(. 3例例

15、為為法法將將其其“適適當(dāng)當(dāng)?shù)氐胤欧糯蟠蟆比∪《楉検绞蕉ǘɡ砝碚拐归_開的的辦辦中中出出現(xiàn)現(xiàn)指指數(shù)數(shù)形形式式，則則采采若若注注nnax)35 ,6max(22.163153lim.1Nnnnnnex.11lim.2nnnexn).1(0lim. 3aanexnkn第24頁/共84頁.1.6發(fā)發(fā)散散）（數(shù)數(shù)列列例例n .1的的極極限限）（都都不不是是證證明明：只只須須證證，任任何何數(shù)數(shù)na .1,0 Ra有有偶偶數(shù)數(shù)時時，對對當(dāng)當(dāng),00NnNa .11110即即證證）（ aaan有有奇奇數(shù)數(shù)時時，對對當(dāng)當(dāng),00NnNa ; 11110 aaan）（第25頁/共84頁.11:發(fā)發(fā)散散）（數(shù)數(shù)列列n

16、nexn.,0證明：證明： Ra有有奇奇數(shù)數(shù)時時，對對當(dāng)當(dāng),00NnNa ;21)1(21111000akannn）（有有偶偶數(shù)數(shù)時時，對對當(dāng)當(dāng),00NnNa .21121111000即證）（akannn.2,2321!; !:2 nnnnnnnn注注第26頁/共84頁，則則且且若若NbabyaxThnnnn,lim,lim. 1.,nnyxNn 有有時時當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)，則則由由證證明明：取取定定正正數(shù)數(shù),21Naxban 當(dāng)當(dāng)由由時時，有有,21,;232NbybaxbaNnnn .223bayabNnn 時時，有有.,max21得證得證時時取取NNN()23ab2ba2babax2ba23ba(

17、)二、列極限的性質(zhì)二、列極限的性質(zhì)第27頁/共84頁，當(dāng)且若NbyaxCorollarynnnn,lim,lim.1.,bayxNnnn ，則則有有時時bxNnNaxnnn有時，當(dāng)且特別,lim,).(.，取則nbyban矛盾！由設(shè)證明：反證法nnyxThba1,如，可能有中在注.,1:bayxCorollarrynn)(nnnnn與，與第28頁/共84頁，當(dāng)則或且若NbabaaxCorollarynn),(,lim.,）（或（或有有時時bxbxNnnn .lim), 2 , 1(,1:bynbyThnnn有取中在證明).(類證類證ba ),0(0lim0,aaxbnn或或時時，即即若若當(dāng)當(dāng)特

18、特別別地地.).0(0,稱稱為為極極限限保保號號性性或或有有充充分分大大時時則則當(dāng)當(dāng)nnxxn.,:nNnNn時的一切當(dāng)充分大的注第29頁/共84頁Th2.（唯一性）收斂數(shù)列的極限是唯一的。（唯一性）收斂數(shù)列的極限是唯一的。 .,baxn 妨設(shè)妨設(shè)有兩個相異的極限，不有兩個相異的極限，不設(shè)設(shè)證明：反證法證明：反證法nTharbrba，當(dāng)，當(dāng)之推論之推論則由則由即即之間一數(shù)之間一數(shù)令任取令任取21, 矛盾！矛盾！及及同時有同時有充分大時充分大時.,rxrxnn 時，有時，有當(dāng)當(dāng)則則與與另證：設(shè)另證：設(shè)NnNbxaxnn , 0,.2 baaabann.2ba 的的任任意意性性，有有由由第30頁/

19、共84頁且時，有當(dāng)若,. 3nnnzyxNnNTh.lim,limlimayazxnnnnnn則則時時，有有當(dāng)當(dāng)證證明明：NnNNNN,max, 021.)()()(21NnNnnNazyxa 稱稱“兩邊夾兩邊夾”法則法則第31頁/共84頁),(,:ayzzyaNnNCorollarynnnn 或或時時，有有當(dāng)當(dāng)若若.lim,limayaznnnn 則則且且 而且可用極限存在的一種方法，不僅是判斷注nyTh3:此方法求極限。第32頁/共84頁, ),max(lim. 7212121aaaaaaaaAknnknnn設(shè)設(shè)例例個個正正數(shù)數(shù)。是是 kak且且證證明明：,1nnnnnknnnkAkAaa

20、AA ).( 1 nkn).10(0) 1(lim. 8nnn例例 1)11 (1)11 () 1(0nnnnnn證證明明：.01lim,111 nnn且且第33頁/共84頁. 2) 1(12111(lim. 9222nnnn例例, 2112) 1(12112222nnxnnnnn解：解：.12項項）共共有有（nxn第34頁/共84頁Def:Def: 有有對對設(shè)設(shè)數(shù)數(shù)為為有有界界數(shù)數(shù)列列稱稱nBABAxn ),(,.,.上上界界分分別別為為其其下下界界BABxAnBBBB, 2, 1,. 1如如上上界界上上、下下界界不不是是唯唯一一的的。注注).0(, 1,);0( AAA下下界界第35頁/共

21、84頁 ), 3 , 2 , 1(.0. 3nMxtsMxnn是有界數(shù)列是有界數(shù)列注注), 0(MO鄰域鄰域 0, 0nMxn 無無界界ts.0Mxn )., 0(MOxnn 有有ts. 則稱則稱時，有時，有當(dāng)當(dāng)若若對于數(shù)列對于數(shù)列注注,. 2BxANnNxnn 項之前只有有項之前只有有有界，故在有界，故在往后有界。往后有界必往后有界。往后有界必Nxn設(shè)設(shè)限限,21Nxxx,max,min11NNxxxx , 3 , 2 , 1),max(),min(nBxAn則則第36頁/共84頁 Th4. 有極限的數(shù)列是有界的。有極限的數(shù)列是有界的。當(dāng)，則據(jù)定義，取證明：設(shè),1.lim0Naxnn.2,

22、111得證得證由注由注，即，即時，有時，有axaaxNnnn）得得證證注注由由注注或或.3, 2, 11(axaxaxnnn1,max21axxxMN令令反反之之有有界界數(shù)數(shù)列列不不表表明明收收斂斂數(shù)數(shù)列列必必有有界界，注注：4Th.2011.1）是是發(fā)發(fā)散散的的（如如一一定定收收斂斂nnx第37頁/共84頁 且且有有也也收收斂斂則則都都收收斂斂若若,. 1nnnnyxyx.limlimlimnnnnnnnyxyx ）（.代代數(shù)數(shù)和和仍仍是是無無窮窮小小量量特特別別，兩兩個個無無窮窮小小量量的的 且且有有也也收收斂斂則則都都收收斂斂若若,.2nnnnyxyx.limlimlimnnnnnnny

23、xyx .,limlimconstcxccxnnnn 特特別別，與與積積仍仍是是無無窮窮小小量量。兩兩個個無無窮窮小小量量的的代代數(shù)數(shù)和和第38頁/共84頁 .,. 3是無窮小量是無窮小量為無窮小量，則為無窮小量，則有界有界若若nnnnyxyx 也收斂，且也收斂，且則則都收斂，且都收斂，且若若nnnnnnyxyyx, 0lim,. 4.limlimlimnnnnnnnyxyx.lim11lim1:nnnnnyyy收斂且有收斂且有先證先證證明證明證證法法！比比較較40P時時，有有當(dāng)當(dāng)對對設(shè)設(shè)11, 0. 0limNnNbynn .2,2.220bbyNnNbbynn 時，有時，有當(dāng)當(dāng)又取又取第3

24、9頁/共84頁時，有時，有當(dāng)當(dāng)由由2,Nnbybbbyynnn .212bybbynn或時，有時，有則當(dāng)則當(dāng)取取NnNNN ),max(21.2112bybbybynnn .lim111limnnnnyby 故故.1limlim1limlim2得證得證，有，有于是，據(jù)于是，據(jù)nnnnnnnnnnyxyxyx 第40頁/共84頁收收斂斂。都都發(fā)發(fā)散散，但但它它們們的的和和與與 nnnnn2) 1(1) 1(1注注1. 兩數(shù)列收斂僅是極限運算成立的充分條件，而非必要兩數(shù)列收斂僅是極限運算成立的充分條件，而非必要條件。條件。例如：例如： 收收）（都都發(fā)發(fā)散散，但但它它們們的的積積與與nnn211)

25、1(1) 1(1 收收斂斂。斂斂于于零零，它它們們的的和和2 都都收收斂斂或或都都發(fā)發(fā)散散。收收斂斂nnnnyxyx, 不不一一定定。與與收收斂斂，則則結(jié)結(jié)論論如如何何？,1nnyxnn第41頁/共84頁, 01limnn例例：.01lim1lim1lim111limnnnnnnnnnnn 個個.)11lim1lim(nnnn0lim knnp., ）自然數(shù)自然數(shù)（kp 第42頁/共84頁是是正正整整數(shù)數(shù)，這這里里求求例例lkbnbnbananalllkkkn,lim. 9110110.0, 0,00banbaii無無關(guān)關(guān)的的數(shù)數(shù)且且都都是是與與llkklknnbnbbnanaan 1010l

26、im解：原式解：原式 .,000時時時時，lkbalk. 04265lim,21827154lim42322nnnnnnnnnnn如如：第43頁/共84頁)121sin1(lim.1022nnnnn例例 )(0sin1sin1nnnnn有有界界是是無無窮窮小小量量，.21210第44頁/共84頁)1(limlim.11nnnxnnn求求例例.11111 nnnnxn解解：111111 nn而而).( n于于是是）（故故.111 nn.211111limlim nxnnn第45頁/共84頁322221lim.12nnn例例.312616) 12)(1(lim3 nnnnn解：原式解：原式第46頁

27、/共84頁DefDef : 的的是是單單調(diào)調(diào)增增加加（或或減減少少）稱稱nx.121 nnxxxx.121）（或（或 nnxxxx若等號都不成立，則稱它是嚴(yán)格單調(diào)增加（或減少）的。若等號都不成立，則稱它是嚴(yán)格單調(diào)增加（或減少）的。 n1例例如如：Th（實數(shù)連續(xù)性）（實數(shù)連續(xù)性） 單調(diào)有界數(shù)列必有極限。單調(diào)有界數(shù)列必有極限。第47頁/共84頁,.1321aaaayaayayn例例收收斂斂并并求求其其極極限限。證證明明nya).0( .) 1 (是單調(diào)增加的證明：ny . 121.(2)nnnnnyayyayy有由有界. 12 nnnnyayyay即即有有，于于是是則則又又對對nayaaynnn

28、,. 1 ayan!之之歸歸納納法法證證可可用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué) .收斂故ny12lim) 3(nnnnyayly，則則由由設(shè)設(shè))0.(2141,2lallal得得兩兩邊邊取取極極限限，有有第48頁/共84頁.11.14收收斂斂求求證證：例例nn .) 1 (:1（二項式定理）（二項式定理）是單調(diào)增加：是單調(diào)增加：證明證明nnnyyy!1! 31! 21110)2(nyn有有界界性性nn）（1132121111 . 31111 n.11lim)3(ennn第49頁/共84頁 能能任任意意大大，并并保保充充分分大大時時，無無限限地地增增大大：當(dāng)當(dāng)nnn持持任任意意大大，即即,., 022GNGnGnG取

29、取得得由由.,GnNn有有時時則當(dāng)則當(dāng) , 0NGxn是是無無窮窮大大量量稱稱數(shù)數(shù)列列記記為為時時，有有當(dāng)當(dāng).GxNnn nnxlimor. ）（ nxnDefDef :第50頁/共84頁事事。，與與很很大大的的量量不不是是一一回回）無無窮窮大大量量是是一一個個變變量量（2：）無無窮窮大大量量的的幾幾何何解解釋釋（3Gxn 由由定定義義，Gxn 得得.Gxn or ，與與上上一一節(jié)節(jié)中中的的的的極極限限是是，）注注意意記記號號（nnnxxlim1極限含義的差別。注注 在在及及個個開開區(qū)區(qū)間間即即：對對于于任任意意給給定定的的兩兩),(,(GG 全全位位項項以以后后的的一一切切項項第第一一項項中

30、中總總,21 NNnnxxNxx).3(Fig于于這這兩兩個個開開區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)).O-GGx2Nx1Nx第51頁/共84頁不不唯唯一一，對對固固定定性性。既既具具有有任任意意性性，又又有有相相正正數(shù)數(shù)NG)4(無無關(guān)關(guān)。有有關(guān)關(guān)而而與與僅僅與與且且nGN無窮大量包含)5( 當(dāng)是無窮大量，且正無窮大量：,lim)(Nxxinnn. 0 nxNn時時，有有., 0GxNnNGn 時時，有有當(dāng)當(dāng)有時當(dāng)負(fù)無窮大量：, 0lim)(NnNGxiinn.Gxn第52頁/共84頁 .1.15為為無無窮窮大大量量證證例例qqn,lnln, 0GqnGqGn ，即即由由證證明明：.lnln.lnln qGNqG

31、qGn取?。ú徊环练猎O(shè)設(shè)得得) 1.(lim qqnn故故. 1NGxn，求求直直接接解解不不等等式式方方法法 第53頁/共84頁.445152lim.1623nnnnn證證例例由由，證證明明：先先限限定定, 0100 Gn,664451522323Gnnnnnnn ).6,100max(.6GNGn 取取得得適適當(dāng)當(dāng)縮縮小?。翰徊灰滓浊笄蠼饨?，可可先先將將若若方方法法nnxGx. 2要要求求適適當(dāng)當(dāng)縮縮小小的的求求再再由由.,NGxnnn 必必須須仍仍是是無無窮窮大大量量。n第54頁/共84頁關(guān)關(guān)系系無無窮窮大大量量和和無無窮窮小小量量的的. 1 .1為為無無窮窮小小量量為為無無窮窮大大量

32、量 nnxx ), 2 , 1(0nxxnn為為無無窮窮小小量量，且且反反之之，.1為為無無窮窮大大量量 nxTh.第55頁/共84頁無無窮窮大大量量的的運運算算法法則則. 2 也也量量都都是是正正（或或負(fù)負(fù)）無無窮窮大大和和nnnnyxyx) 1 (.是是正正（或或負(fù)負(fù)）無無窮窮大大量量與與差差的的極極限限如如何何？注注：兩兩個個無無窮窮大大量量的的和和大大量量，大大量量之之和和可可能能不不是是無無窮窮任任何何兩兩個個非非同同號號的的無無窮窮 .大大量量，但但它它們們的的差差必必是是無無窮窮和和如如nn. 0111nnnn第56頁/共84頁 是無窮大量。是有界的是無窮大量nnnnyxyx,)

33、2(., 0GxNnNGn 時時，有有當(dāng)當(dāng)證證明明：,., 0時時于于是是當(dāng)當(dāng)，有有對對又又NnMynMn . ）（不不妨妨設(shè)設(shè)有有MGMGyxyxnnnn .1sinlim23nnnn如如：.limarctgnnn NnNyxnn當(dāng)當(dāng)具具有有如如下下特特性性是是無無窮窮大大量量，,:)3( .0是是無無窮窮大大量量時時，有有nnnyxy 第57頁/共84頁 0lim,lim:ayxCorollarynnnn.lim nnnyx時時，有有，當(dāng)當(dāng)故故由由證證明明11,lim, 0:NnNxGnn 知知又又由由, 0lim. ayGxnnn. 02lim aaynn）知知：之之）（據(jù)據(jù)極極限限的的

34、保保號號性性（推推廣廣21CorollaryTh),max(. 02,2122NNNayNnNn 取取有有時時當(dāng)當(dāng).2GayxyxNnnnnn 時時，有有則則當(dāng)當(dāng)?shù)?8頁/共84頁極極限限量量的的和和、差差、積積、商商的的注注：無無窮窮大大量量和和無無窮窮小小和和、差差無無窮窮大大量量和和無無窮窮小小量量的的）如如何何？由由（,2.仍仍是是無無窮窮大大量量 ;12 nnn之之積積和和. 0112 nnn之積之積和和.11122nnnn和和，之之商商之之積積和和第59頁/共84頁., 0, 0,lim.1700110110lkbabnbnbananalllkkkn求求例例001010limbal

35、llkklknnbbnbbnanaan解解：原原式式. 可可見見 .,0lim00110110klklbaklbnbnbananalllkkkn，)0, 0(00 ba第60頁/共84頁數(shù)列數(shù)列: :研究其變化規(guī)律研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限數(shù)列極限: :極限思想、定義、幾何意義極限思想、定義、幾何意義;收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì): :保號性、唯一性、保號性、唯一性、“兩邊夾法則兩邊夾法則”、有界、有界性性;數(shù)列極限的運算數(shù)列極限的運算: :代數(shù)和、積與商代數(shù)和、積與商;單調(diào)有界數(shù)列必有極限。單調(diào)有界數(shù)列必有極限。無窮大量、定義、性質(zhì)和運算無窮大量、定義、性質(zhì)和運算第61頁/共84頁“割之彌細(xì)，

36、所失彌少，割之又割，以至于不可割，割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣則與圓周合體而無所失矣” 劉徽劉徽1 1、割圓求周、割圓求周三國時期，數(shù)學(xué)三國時期，數(shù)學(xué)家劉徽應(yīng)用極限家劉徽應(yīng)用極限方法訂正、計算方法訂正、計算圓周率圓周率 圓周長圓周長 割圓術(shù)！割圓術(shù)！ 極限思想：極限思想：第62頁/共84頁“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣則與圓周合體而無所失矣” 劉徽劉徽1 1、割圓求周、割圓求周三國時期，數(shù)學(xué)三國時期，數(shù)學(xué)家劉徽應(yīng)用極限家劉徽應(yīng)用極限方法訂正、計算方法訂正、計算圓周率圓周率 圓

37、周長圓周長 割圓術(shù)！割圓術(shù)！ 極限思想：極限思想：第63頁/共84頁“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣則與圓周合體而無所失矣” 劉徽劉徽1 1、割圓求周、割圓求周三國時期，數(shù)學(xué)三國時期，數(shù)學(xué)家劉徽應(yīng)用極限家劉徽應(yīng)用極限方法訂正、計算方法訂正、計算圓周率圓周率 圓周長圓周長 割圓術(shù)！割圓術(shù)！ 極限思想：極限思想：第64頁/共84頁“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣則與圓周合體而無所失矣” 劉徽劉徽1 1、割圓求周、割圓求周三國時期，數(shù)學(xué)三國時

38、期，數(shù)學(xué)家劉徽應(yīng)用極限家劉徽應(yīng)用極限方法訂正、計算方法訂正、計算圓周率圓周率 圓周長圓周長 割圓術(shù)！割圓術(shù)！ 極限思想：極限思想：第65頁/共84頁“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣則與圓周合體而無所失矣” 劉徽劉徽1 1、割圓求周、割圓求周三國時期，數(shù)學(xué)三國時期，數(shù)學(xué)家劉徽應(yīng)用極限家劉徽應(yīng)用極限方法訂正、計算方法訂正、計算圓周率圓周率 圓周長圓周長 割圓術(shù)！割圓術(shù)！ 極限思想：極限思想：第66頁/共84頁“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣

39、則與圓周合體而無所失矣” 劉徽劉徽1 1、割圓求周、割圓求周三國時期，數(shù)學(xué)三國時期，數(shù)學(xué)家劉徽應(yīng)用極限家劉徽應(yīng)用極限方法訂正、計算方法訂正、計算圓周率圓周率 圓周長圓周長 割圓術(shù)！割圓術(shù)！ 極限思想：極限思想：第67頁/共84頁“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣則與圓周合體而無所失矣” 劉徽劉徽1 1、割圓求周、割圓求周三國時期，數(shù)學(xué)三國時期，數(shù)學(xué)家劉徽應(yīng)用極限家劉徽應(yīng)用極限方法訂正、計算方法訂正、計算圓周率圓周率 圓周長圓周長 割圓術(shù)！割圓術(shù)！ 極限思想：極限思想：第68頁/共84頁“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣則與圓周合體而無所失矣” 劉徽劉徽1 1、割圓求周、割圓求周三國時期，數(shù)學(xué)三國時期，數(shù)學(xué)家劉徽應(yīng)用極限家劉徽應(yīng)用極限方法訂正、計算方法訂正、計算圓周率圓周