第五章抽樣分布

1、1內(nèi)容回顧內(nèi)容回顧2三個大數(shù)定律三個大數(shù)定律 切比雪夫大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律伯努利大數(shù)定律伯努利大數(shù)定律辛欽大數(shù)定律辛欽大數(shù)定律 伯努利大數(shù)定律伯努利大數(shù)定律以嚴(yán)密的數(shù)學(xué)形式論證了頻率以嚴(yán)密的數(shù)學(xué)形式論證了頻率的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性. . 辛欽大數(shù)定律為辛欽大數(shù)定律為用樣本均值近似代替理論均值提用樣本均值近似代替理論均值提供了理論依據(jù)供了理論依據(jù)。1 11 11 11 1 n nn np pi ii ii ii in nn n ( ( ) )p pA An nf f A Ap pn n 1 11 1 n np pi ii in n 3中心極限定理中心極限定理 林德伯格列維定理林德伯格列維定理棣莫佛

2、拉普拉斯定理棣莫佛拉普拉斯定理 中心極限定理表明中心極限定理表明, 在一定的條件下在一定的條件下, 當(dāng)獨(dú)當(dāng)獨(dú)立隨機(jī)變量的個數(shù)增加時立隨機(jī)變量的個數(shù)增加時, 其和的分布趨于正態(tài)其和的分布趨于正態(tài)分布分布. )(),(21近似近似 nnNnii ( ( , , ) ), ,B B n n p p : :若 )(),(近近似似npqnpN 4例例4: 保險業(yè)是最早使用概率論的部門之一，保險公司保險業(yè)是最早使用概率論的部門之一，保險公司為了估計企業(yè)的利潤，需要計算各種概率。為了估計企業(yè)的利潤，需要計算各種概率。假設(shè)現(xiàn)假設(shè)現(xiàn)要設(shè)置一項保險：一輛自行車年交保費(fèi)要設(shè)置一項保險：一輛自行車年交保費(fèi)2元，若自元

3、，若自行車丟失，保險公司賠償行車丟失，保險公司賠償200元，設(shè)在一年內(nèi)自行元，設(shè)在一年內(nèi)自行車丟失的概率為車丟失的概率為0.001,問至少要有多少輛自行車投問至少要有多少輛自行車投保才能以不小于保才能以不小于0.9的概率保證這一保險不虧本？的概率保證這一保險不虧本？ 解解: 設(shè)有設(shè)有n 輛自行車投保，輛自行車投保，Yn 表示一年內(nèi)表示一年內(nèi) n 輛自行車輛自行車中丟失的數(shù)量。則中丟失的數(shù)量。則 Yn B(n, 0.001)問題歸結(jié)為問題歸結(jié)為n至少為多少時至少為多少時， P2n-200 Yn 00.9 上式化為上式化為 PYn0.01n0.9 5化為化為 PYn0.01n0.9 nnnnnYP

4、nYPnn0009990001001000099900010010.9 . 0)000999. 0009. 0( nn查表查表29100099900090.nn解不等式得解不等式得n21.Yn B(n, 0.001),(0. 001 ,0. 000999 )()(0. 001 ,0. 000999 )()n nYNnnYNnn: :近似 ( ( ) )0 0. . 9 9x xF F 1 1. . 2 29 9( () )0 0. . 9 9F F6例例5 在一家保險公司里有在一家保險公司里有10000個人參加壽命保險，每個人參加壽命保險，每人每年付人每年付12元保險費(fèi)。在一年內(nèi)一個人死亡的概

5、率為元保險費(fèi)。在一年內(nèi)一個人死亡的概率為0.6%，死亡時其家屬可向保險公司領(lǐng)得，死亡時其家屬可向保險公司領(lǐng)得1000元，問：元，問：(1)保險公司虧本的概率有多大？保險公司虧本的概率有多大？解解 設(shè)設(shè)X表示一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則表示一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則XB(n,p)，其中，其中n= 10000，p=0.6%， np=60， npq=59.64于是由于是由中心極限定理中心極限定理XN(np,npq)XN(60, 59.64)設(shè)設(shè)Y表示保險公司一年的利潤，則表示保險公司一年的利潤，則 Y=10000 12- -1000X P(Y 0)=P(10000 12- -1000X 0) =P(X 120)

6、=1 P(X 120) 1 (7.769)=0;7P(Y40000)=P(10000 12- -1000X40000) =P(X80) 8060806059 6459 64.查表得查表得 ()0. 9952()0. 99522. 592. 59F F(2) 該保險公司一年的利潤不少于該保險公司一年的利潤不少于40000元的概率元的概率 2 2 5 59 9. 0 0 9 99 95 52 2.8 設(shè)賠償金為設(shè)賠償金為a元，則元，則 P(Y10000)=P(10000 12- -aX10000) =P(X110000/a)0.99 11000011000060600 990 9959 6459

7、64.a 1 14 41 10 0 4 44 4.a查表查表 ( ( ) )0 0. . 9 99 9x xF F ()()2 332 339 9. .0. 90. 9F F 1 11 10 00 00 00 06 60 02 2 3 33 35 59 9 6 64 4.a(3)其他條件不變，為使保險公司一年的利潤有其他條件不變，為使保險公司一年的利潤有99%的的概率不少于概率不少于10000元，賠償金至多可設(shè)為多少？元，賠償金至多可設(shè)為多少？9 某電廠供應(yīng)某電廠供應(yīng)10000戶人家用電，設(shè)每戶用電的概戶人家用電，設(shè)每戶用電的概率為率為0.8。（1）求同時用電戶數(shù)超過）求同時用電戶數(shù)超過810

8、0戶的概率。戶的概率。（2）若每戶用電）若每戶用電100瓦，問電廠至少需要多大的發(fā)瓦，問電廠至少需要多大的發(fā)電量才能以電量才能以0.975的概率保證供電？的概率保證供電？課堂練習(xí)課堂練習(xí)1011數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計是研究怎樣以是研究怎樣以有效的方式有效的方式收集、收集、 整整理和分析理和分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，以便對所考察的，以便對所考察的問題作出問題作出推斷和預(yù)測推斷和預(yù)測，從而為采取一定的決策，從而為采取一定的決策和行動提供依據(jù)和建議。和行動提供依據(jù)和建議。12數(shù)理統(tǒng)計不同于一般的資料統(tǒng)計，它更側(cè)重于應(yīng)數(shù)理統(tǒng)計不同于一般的資料統(tǒng)計，它更側(cè)重于應(yīng)用用隨機(jī)現(xiàn)象本身的規(guī)律性隨機(jī)現(xiàn)象本身

9、的規(guī)律性進(jìn)行資料的收集、整理進(jìn)行資料的收集、整理和分析。和分析。由于由于大量隨機(jī)現(xiàn)象必然呈現(xiàn)出它的規(guī)律性大量隨機(jī)現(xiàn)象必然呈現(xiàn)出它的規(guī)律性，因而，因而從理論上講從理論上講，只要對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行足夠多次觀察，只要對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行足夠多次觀察，被研究的隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性一定能清楚地呈現(xiàn)出被研究的隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性一定能清楚地呈現(xiàn)出來。來。 但客觀上只允許我們對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行但客觀上只允許我們對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行次數(shù)不多的觀察試驗，也就是說，我們獲得的只次數(shù)不多的觀察試驗，也就是說，我們獲得的只是局部觀察資料。是局部觀察資料。13現(xiàn)實世界中存在著各式各樣的數(shù)據(jù)，分析這些數(shù)據(jù)現(xiàn)實世界中存在著各式各樣的數(shù)據(jù)，分析這些數(shù)據(jù)

10、需要多種多樣的方法。需要多種多樣的方法。因此因此,數(shù)理統(tǒng)計中的方法和支持這些方法的相應(yīng)理數(shù)理統(tǒng)計中的方法和支持這些方法的相應(yīng)理論是相當(dāng)豐富的，概括起來可以歸納成兩大類論是相當(dāng)豐富的，概括起來可以歸納成兩大類: 參數(shù)估計參數(shù)估計根據(jù)數(shù)據(jù)，用一些方法對分布的未知根據(jù)數(shù)據(jù)，用一些方法對分布的未知參數(shù)進(jìn)行估計。參數(shù)進(jìn)行估計。 假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗根據(jù)數(shù)據(jù)，用一些方法對分布的未知根據(jù)數(shù)據(jù)，用一些方法對分布的未知參數(shù)進(jìn)行檢驗。參數(shù)進(jìn)行檢驗。它們構(gòu)成了它們構(gòu)成了統(tǒng)計推斷統(tǒng)計推斷的兩種基本形式。這兩種推斷的兩種基本形式。這兩種推斷滲透到了數(shù)理統(tǒng)計的每個分支滲透到了數(shù)理統(tǒng)計的每個分支。1415 一、總體與樣本一、總

11、體與樣本研究某批燈泡的質(zhì)量總體總體 一個統(tǒng)計問題總有它明確的研究對象。研一個統(tǒng)計問題總有它明確的研究對象。研究對象的全體稱為究對象的全體稱為總體總體(母體母體)，總體中每個成，總體中每個成員稱為員稱為個體個體. （有（有限總體限總體和和無限總體無限總體）定義定義5.116 然而在統(tǒng)計研究中，人們關(guān)心總體僅僅然而在統(tǒng)計研究中，人們關(guān)心總體僅僅是關(guān)心其每個個體的一項是關(guān)心其每個個體的一項(或幾項或幾項)數(shù)量指標(biāo)數(shù)量指標(biāo)和和該數(shù)量指標(biāo)在總體中的分布情況該數(shù)量指標(biāo)在總體中的分布情況. 這時，這時，每個個體具有的數(shù)量指標(biāo)的全體每個個體具有的數(shù)量指標(biāo)的全體就是就是總體總體.某批某批燈泡的壽命燈泡的壽命該批

12、燈泡壽命的該批燈泡壽命的全體全體就是總體總體 具有一定概率分布具有一定概率分布的總體的總體稱為稱為統(tǒng)計總體統(tǒng)計總體指數(shù)總體指數(shù)總體正態(tài)總體正態(tài)總體 .17 由于每個個體的出現(xiàn)是隨機(jī)的，所以相應(yīng)由于每個個體的出現(xiàn)是隨機(jī)的，所以相應(yīng)的的數(shù)量指標(biāo)的出現(xiàn)也帶有隨機(jī)性數(shù)量指標(biāo)的出現(xiàn)也帶有隨機(jī)性。從而可以把。從而可以把這種這種數(shù)量指標(biāo)看作一個隨機(jī)變量數(shù)量指標(biāo)看作一個隨機(jī)變量，因此，因此隨機(jī)變隨機(jī)變量的分布就是該數(shù)量指標(biāo)在總體中的分布量的分布就是該數(shù)量指標(biāo)在總體中的分布。 所以，總體就可以用一個隨機(jī)變量及其分所以，總體就可以用一個隨機(jī)變量及其分布來描述。布來描述。 例如：研究某批燈泡的壽命時，關(guān)心的數(shù)量例如

13、：研究某批燈泡的壽命時，關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)就是壽命，那么，此總體就可以用隨機(jī)變量指標(biāo)就是壽命，那么，此總體就可以用隨機(jī)變量 表示，或用其分布函數(shù)表示，或用其分布函數(shù) 表示表示.)(xF18 類似地，在研究某地區(qū)中學(xué)生的營養(yǎng)狀況時，類似地，在研究某地區(qū)中學(xué)生的營養(yǎng)狀況時，若關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)是身高和體重，我們用若關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)是身高和體重，我們用X和和Y分別表示身高和體重，那么此總體就可用二維隨分別表示身高和體重，那么此總體就可用二維隨機(jī)變量機(jī)變量(X,Y)或其聯(lián)合分布函數(shù)或其聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)來表示來表示.數(shù)理統(tǒng)計中，總體這個數(shù)理統(tǒng)計中，總體這個概念的要旨是概念的要旨是：總體就總體就是一個是一個

14、 概率分布概率分布.19被研究對象（被研究對象（總體總體）的概率分布）的概率分布F(x, ) (或或f(x, ), p(xi, ) 往往是未知的，往往是未知的， 或大體知其分布而參數(shù)或大體知其分布而參數(shù) 未知。未知。 為推斷總體分布及各種特征，按一定規(guī)則從總體為推斷總體分布及各種特征，按一定規(guī)則從總體中抽取若干個體進(jìn)行觀察試驗，以獲得有關(guān)總體的信中抽取若干個體進(jìn)行觀察試驗，以獲得有關(guān)總體的信息，這一抽取過程為息，這一抽取過程為 “抽樣抽樣”定義定義5. 2從總體中隨機(jī)抽取若干個體組成的集合稱為從總體中隨機(jī)抽取若干個體組成的集合稱為樣本樣本樣本樣本所包含的個體數(shù)稱為所包含的個體數(shù)稱為樣本容量樣本

15、容量抽樣抽樣分為分為有放回抽樣有放回抽樣與與無放回抽樣無放回抽樣20 抽樣的目的是為了對總體進(jìn)行統(tǒng)計推斷，為了抽樣的目的是為了對總體進(jìn)行統(tǒng)計推斷，為了使抽取的樣本能很好地反映總體的信息，必須考慮使抽取的樣本能很好地反映總體的信息，必須考慮抽樣方法抽樣方法. 最常用的一種抽樣方法叫作最常用的一種抽樣方法叫作“簡單隨機(jī)抽簡單隨機(jī)抽樣樣”.Xn由簡單隨機(jī)抽樣得到的樣本稱為由簡單隨機(jī)抽樣得到的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本簡單隨機(jī)樣本，它，它可以用與總體獨(dú)立同分布的可以用與總體獨(dú)立同分布的n個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 表示表示. 一旦取定一組樣本，得到的是一旦取定一組樣本，得到的是n個具體的數(shù)個具

16、體的數(shù) x1,x2,xn，稱為稱為樣本的一次觀察值樣本的一次觀察值，簡稱，簡稱樣本值樣本值 .21980, 960, 1030, 1300, 850樣本也是隨機(jī)變量樣本也是隨機(jī)變量研究某批燈泡的壽命總體總體X抽到哪抽到哪5支是隨機(jī)的支是隨機(jī)的X1, X2, X3, X4, X512,nXXX12, , nxxxn22總體、樣本、樣本觀察值的關(guān)系總體、樣本、樣本觀察值的關(guān)系總體總體 樣本樣本 樣本觀察值樣本觀察值 理論分布理論分布 統(tǒng)計是從手中已有的資料統(tǒng)計是從手中已有的資料樣本觀察值，去樣本觀察值，去推斷總體的情況推斷總體的情況總體分布總體分布. 樣本是聯(lián)系兩者的樣本是聯(lián)系兩者的橋梁橋梁. 總

17、體分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就總體分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本觀察值的規(guī)律，因而可以用樣本是樣本取到樣本觀察值的規(guī)律，因而可以用樣本觀察值去推斷總體觀察值去推斷總體.23二、統(tǒng)計表與統(tǒng)計圖二、統(tǒng)計表與統(tǒng)計圖1. 離散型：對離散型：對pi 的初步估計的初步估計作條形圖作條形圖2. 連續(xù)型：對連續(xù)型：對f(x) 的初步估計的初步估計-作頻率直方圖作頻率直方圖三、樣本分布函數(shù)三、樣本分布函數(shù)（對對F(x)的初步估計的初步估計）稱為稱為樣本分布函數(shù)樣本分布函數(shù) 或或經(jīng)驗分布函數(shù)經(jīng)驗分布函數(shù)。nnn111頻頻率率：x定義定義5.3（P.119）設(shè)）設(shè) 是來自總體是來自總體X的樣

18、本值，的樣本值，nxxx,21重排：重排： nxxx21的的頻頻率率令令RxxX , )(xFn 1, 0 xx 21,1xxxn 1,kkxxxnk) 321xxx nxx, 124 , , ( ) 1 ( ), lim ( )( )1.nnnxnFxF xP FxF x 對對于于任任一一實實數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)時時以以概概率率一一致致收收斂斂于于分分布布函函數(shù)數(shù)即即 , ( ) ( ) , ( ) .nxnFxF xF x對對于于任任一一實實數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)充充分分大大 時時 經(jīng)經(jīng)驗驗分分布布函函數(shù)數(shù)的的任任一一個個觀觀察察值值與與總總體體分分布布函函數(shù)數(shù)只只有有微微小小的的差差別別 從從而而在在實實際際上上

19、可可當(dāng)當(dāng)作作意意義義來來使使用用：格林汶科定理（格林汶科定理（Glivenko Th）25例例（P.119）從成年人群中隨機(jī)抽）從成年人群中隨機(jī)抽10人，測得身高（單人，測得身高（單位：位：cm)為：為： 168 168 170 160 154 177 160 177 168 170 求樣本分布函數(shù)。求樣本分布函數(shù)。 )(10 xF154 x160154 x168160 x170168 x177170 x177 x, 0,10/1,10/3,10/6,10/8, 1解解 將樣本值重排，并求出其頻率將樣本值重排，并求出其頻率26圖形見圖形見P.120對連續(xù)型問題，可作一曲線以估計其分布函數(shù)。對連

20、續(xù)型問題，可作一曲線以估計其分布函數(shù)。27四、樣本的數(shù)字特征四、樣本的數(shù)字特征總體總體X有數(shù)字特征：有數(shù)字特征：EX均值均值. 1DX方差方差. 2kEXPk)20106.(.3題題階階原原點點矩矩)1(EXk為為 kEXXEk)(. 4 階中心矩階中心矩)2(DXk為為 )8 . 3(,()()7 . 3(,(1公公式式連連公公式式離離dxxfxpxEXkiikik28樣本數(shù)字特征樣本數(shù)字特征(隨機(jī)變量隨機(jī)變量)：的的樣樣本本為為來來自自XXXXn,21 niiXnX11. 1 樣樣本本均均值值 niiXXnS122)(11. 2 樣樣本本方方差差 nikikXnMk11.3階階原原點點矩矩

21、樣樣本本 nikikXXnCk1)(1.4階階中中心心矩矩樣樣本本為樣本值為樣本值nxxx,21樣本數(shù)字特征觀察值樣本數(shù)字特征觀察值(數(shù)數(shù))： niixnx11 niixxns122)(11 nikikxnm11 nikikxxnc1)(1Xk為為1 2912, , nXXX)(xFX12, , .nXXXn11niiXn1, maxiinX 1, minii nX 5 統(tǒng)計量統(tǒng)計量30 由樣本值去推斷總體情況，需要對樣本值進(jìn)行由樣本值去推斷總體情況，需要對樣本值進(jìn)行“加工加工”，這就要構(gòu)造一些，這就要構(gòu)造一些樣本的函數(shù)樣本的函數(shù)，它把樣，它把樣本中所含的（某一方面）的信息集中起來本中所含的（

22、某一方面）的信息集中起來.定義定義5.4不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù) 稱為稱為統(tǒng)計量統(tǒng)計量. 它是完全由樣本決定的量它是完全由樣本決定的量.g(X1,X2,Xn) 即如果即如果g(X1,X2,Xn)中中不含有未知參數(shù)不含有未知參數(shù)， 則則 稱稱g(X1,X2,Xn)為為統(tǒng)計量統(tǒng)計量。 構(gòu)造統(tǒng)計量的目的是用它來推斷總體構(gòu)造統(tǒng)計量的目的是用它來推斷總體.31),(2NX如如2,未知，未知，(X1,X2,Xn)為為X的一個的一個 樣本樣本niiXnX11niiX12均為統(tǒng)計量均為統(tǒng)計量X221iX不是統(tǒng)計量不是統(tǒng)計量若若已知，已知，2未知，未知， (X1,X2,X5)為為

23、X的一個樣本的一個樣本521,maxXXXX均為統(tǒng)計量均為統(tǒng)計量),min(211nXXXX ),max(21nnXXXX 1 1n nX XX X32?,),(,22321哪些不是哪些不是些是統(tǒng)計量些是統(tǒng)計量判斷下列各式哪判斷下列各式哪為未知為未知為已知為已知其中其中樣本樣本的一個的一個是來自總體是來自總體設(shè)設(shè) NXXX,11XT ,3212XeXXT ),(313213XXXT ),max(3214XXXT ,2215 XXT).(123222126XXXT 是是不是不是練習(xí)練習(xí)335.2 幾種常用的分布幾種常用的分布345.2 幾種常用的分布幾種常用的分布（統(tǒng)計三大分布）（統(tǒng)計三大分布）

24、一、一、 2 （卡方）分布（卡方）分布1. 定義定義 2 稱隨機(jī)變量稱隨機(jī)變量 2 服從服從自由度自由度為為n的的 2 分布分布，記為，記為 2 2(n).).0()(01時時收收斂斂其其中中， rdxexrxr.)21(, 1)1(),0)()1( rrrr有有358 n4 n)(2 指指數(shù)數(shù)分分布布 n 2 分布圖分布圖362. 性質(zhì)性質(zhì)1 若若 2 2(n) ，則，則 E 2 =n, D 2 =2n;且且 與與 相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則21 22 2 (可加性）：若可加性）：若),(),(22221221nn )(2122221nn 可推廣到可推廣到k個的情形。個的情形。3. 分位點分位

25、點)()(22給給定定 nP 2 分布的上分布的上 分位點分位點（表三表三）例如：例如：,14,01. 0 n 141.29)14()256.(201. 0 得得查查表表三三 P01. 0141.29),14(222 P則則即即若若01. 0)(141.29 dxxf即即37 2( )pn通通過過查查表表求求的的值值 20.025(8) 20.975(10) 20.1(25),535.17 ,247. 3 .382.34 例例1P256 附表三附表三 2分分布表布表 2 22 22 2( (2 24 4) ), , 0 0. . 0 05 5, ,P Pc cc c : :若求例例2 20.

26、950. 95PcPc Q Q2 20. 950. 95(24)(24)c c 1 13 3. . 8 84 48 82 20 0 0 05 55 50 0 .()2 21 11 1 6 64 45 59 99 92 2 ( .)6 67 7 2 21 11 1 .22221 121212 2 ( )()nun384. 與正態(tài)分布之間的關(guān)系與正態(tài)分布之間的關(guān)系定理定理5.1（P.123 ）設(shè)隨機(jī)變量）設(shè)隨機(jī)變量且且它它們們相相互互獨(dú)獨(dú)立立，則則), 2 , 1()1 , 0(niNXi )(2122nXnii 自由度自由度：構(gòu)成平方和的獨(dú)立項數(shù)。：構(gòu)成平方和的獨(dú)立項數(shù)。nXXXn,21個獨(dú)立項

27、：個獨(dú)立項：本平方和中，有本平方和中，有39例例),(2NX(X1,X2,X3)為為X的一個樣本的一個樣本 求求222222123123XXX的分布。的分布。解解 因為因為(X1,X2,X3)為為X的一個樣本的一個樣本則則0 0 1 1 ( , )iXNi=1,2,32 22 22 22 21 12 23 33 3 ( )XXX , i=1,2,32 2 ( ,)iXN40例例 總體總體XN(1,4),抽取樣本抽取樣本(X1,Xn)2 21 11 1 ()niiYXn最大可以取多少最大可以取多少?1 10 00 00 09 95 5 ().,P Y要要 解解:XiN(1,4),2 22 21

28、11 11 10 0 1 12 22 2 ( , )() ( )niiiXXNnY/4251000 95251000 954 4()().YPP Y2 22 25 50 0 0 05 5 ( ).Pn即即是是要要 2 22 20 0 0 05 52 25 5 .,( )?查分布表 使得的nn2 21 15 51 15 50 0 0 05 52 24 4 9 99 96 62 25 51 15 5 ,().nn查查表表知知時時 的的分分位位點點為為故故41二、二、t 分布分布定義定義5.6 隨機(jī)變量隨機(jī)變量t 的概率密度為的概率密度為稱稱t 服從服從自由度為自由度為n 的的t 分布分布，記為，記

29、為 t t(n).雙側(cè)分位點雙側(cè)分位點（表四）（表四）)()(|2給給定定 nttP例如：例如：,21,05. 0 n ,080. 2)21()257.(2 tP得得查查表表四四單側(cè)分位點單側(cè)分位點 也可由表四查得，也可由表四查得，)(nt )(nttPn45時時,用極限分布用極限分布(正態(tài)正態(tài))近似計算近似計算,即即tp(n)up42定理定理5.2 （P.124）設(shè)）設(shè) X N(0,1), Y 2(n), 且且 X與與Y 獨(dú)立，則獨(dú)立，則)(/ntnYXt #43三、三、F分布分布定義定義5.7 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 F 的概率密度的概率密度稱稱 F服從服從第一自由度為第一自由度為n1，第二自由

30、度為，第二自由度為 n2的的F分布，分布，記為記為 F F(n1, n2).)(),(21小小 nnFFPF 分布的分布的上分位點上分位點(由由表五表五給出給出)當(dāng)當(dāng) 較大時較大時, 利用后面的推論查分位點。利用后面的推論查分位點。 0, x0 xF 44定理定理5.3 （P.12）設(shè)）設(shè) ， 且且X與與Y相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則)(),(2212nYnX ),(/2121nnFnYnXF 推論推論 若若 F F(n1, n2) ，則，則),(1),(),(11221112nnFnnFnnFF 且且0.95(12,9).F例例，求求0.950.0511(12,9)0.357(9,12)2.80

31、FF 455.3 抽樣分布定理抽樣分布定理462( ,)XN 2, 12(,)ng XXX? ?12(,)ng XXX12, ,nX XX2, 47設(shè)設(shè) 是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體 的樣本，的樣本，nXXX,21),(2 N下面介紹幾個常用統(tǒng)計量的分布（下面介紹幾個常用統(tǒng)計量的分布（Th5.4, 5.6, 5.7）。）。1. 單個正態(tài)總體單個正態(tài)總體)1(/. 5 ntnSXt nNX2,. 1 )1 , 0(/. 2NnXu )1()(1)1(. 32122222 nXXSnnii )()(1. 421222nXnii 相相互互獨(dú)獨(dú)立立與與2SX48比較公式比較公式3和和4的自由度：的自由

32、度：)()()(21XXXXXXn 0 XnXXXn )(21所以只有所以只有n-1項是獨(dú)立的！項是獨(dú)立的！公式公式4中中n項均獨(dú)立：項均獨(dú)立： nXXX,21因為公式因為公式3構(gòu)成平方和構(gòu)成平方和 的的n項滿足：項滿足： niiXX12)(故自由度為故自由度為n-1。 ().()()niinSXnX 2 22 22 22 22 22 21 11 11 13 31 1 .()( )niiXn 2 22 22 22 21 11 14 449 nNX2,. 1 )1 , 0(/. 2NnXu 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)P.69(2.74)的推廣：的推廣：相相互互獨(dú)獨(dú)立立niiiniN ,), 2 , 1)(,(21

33、2 ),(12211 niiiniiiniiiaaNa 證證相相互互獨(dú)獨(dú)立立，niXXXNX,),(212 , XEnXD2 故得故得1。 標(biāo)準(zhǔn)化得標(biāo)準(zhǔn)化得2。證明證明 Th5.4).,(2nN 即即)1,1(112211 nininiinnNXnX 重要結(jié)果：重要結(jié)果：50)()(1. 421222nXnii )1(/. 5 ntnSXt 證明證明 Th5.7證證,2121相互獨(dú)立相互獨(dú)立相互獨(dú)立知，相互獨(dú)立知， nnXXXXXX),()123.( 1 . 5221nXPThnii 知知由由即公式即公式4得證。得證。).1 , 0(NXi 且且每每個個（P.62性質(zhì)）性質(zhì)）51)1 , 0(

34、/NnXu )1()1(2222 nSn 由定理由定理5.6（1）得）得u與與 相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，2 )1/()124.(2 . 52 nuP 得得由定理由定理 t(n-1)1/()1(/22 nSnnX nSX/ 即公式即公式5得證。得證。52例例（P.126 ，定理，定理5.4的應(yīng)用的應(yīng)用）.24. 0|21|)2()2 ,21(,22521 XPNXXX求求的的一一個個樣樣本本，為為來來自自總總體體解解 由由24 . 0)252,21(2NX)1 , 0(4 . 021NX 得得故故 6 . 04 . 02124. 0|21|XPXP1)6 . 0(2 4514. 0 53例例（ P.130 定理定理5.1，定理，定理5.6的應(yīng)用的應(yīng)用）.235)(65.36)2()3 , 0(,151221521 iiXXPNXXX求求的的一一個個樣樣本本，為為來來自自總總體體解解 由定理由定理5.6知知)14()(3121512222 iiXX 215122215123235)(31365.36235)(65.36iiiiXXPXXP11.2607. 422 P5411.2607. 42222 PP07.411.2611.2607. 422 P 對對n=1