數學小升初專項訓練 小升初數學專項訓練+典型例題分析-數論篇（教師版）

1、專業(yè)學習資料平臺網資源PAGE PAGE 9網資源名校真題 測試卷 數論篇一時間：15分鐘 滿分5分 姓名_ 測試成績_1 （13年人大附中考題）有_個四位數滿足下列條件：它的各位數字都是奇數；它的各位數字互不相同；它的每個數字都能整除它本身。 2 （13年101中學考題）如果在一個兩位數的兩個數字之間添寫一個零，那么所得的三位數是原來的數的9倍，問這個兩位數是。 3 （13年首師附中考題）+=。 4 （04年人大附中考題）甲、乙、丙代表互不相同的3個正整數，并且滿足：甲甲=乙+乙=丙135那么甲最小是_。(02年人大附中考題)下列數不是八進制數的是( )A、125 B、126 C、127 D

2、、128 【附答案】1 【解】：62 【解】：設原來數為ab，這樣后來的數為a0b,把數字展開我們可得：100a+b=9(10a+b),所以我們可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原來的兩位數為45。3 【解】：周期性數字，每個數約分后為+=14 【解】：題中要求丙與135的乘積為甲的平方數，而且是個偶數（乙+乙），這樣我們分解135=5333，所以丙最小應該是2253，所以甲最小是：2335=90。5 【解】：八進制數是由除以8的余數得來的，不可能出現8，所以答案是D。希望考入重點中學？奧數網是我們成就夢想的地方！ 小升初專項訓練 數論篇（一）一、小升初考試熱點及命題方向數論是歷年小

3、升初的考試難點，各學校都把數論當壓軸題處理。由于行程題的類型較多，題型多樣，變化眾多，所以對學生來說處理起來很頭疼。數論內容包括：整數的整除性，同余,奇數與偶數,質數與合數,約數與倍數,整數的分解與分拆等。作為一個理論性比較強的專題，數論在各種杯賽中都會占不小的比重，而且數論還和數字謎,不定方程等內容有著密切的聯系,其重要性是不言而喻的。二、考點預測的小升初考試將繼續(xù)以填空和大題形式考查數論，命題的方向可能偏向小題考察單方面的知識點，大題則需綜合運用數的整除，質數與合數，約數倍數以及整數的分拆等方法，希望同學們全面掌握數論的幾大知識點，能否在考試中取得高分解出數論的壓軸大題是關鍵。三、基本公式

4、1）已知b|c,a|c,則a,b|c,特別地，若(a,b)=1,則有ab|c。講解練習：若3a75b能被72整除，問a=,b=.（迎春杯試題）2）已知c|ab，(b,c)=1,則c|a。3）唯一分解定理：任何一個大于1的自然數n都可以寫成質數的連乘積，即n= p1 p2.pk（#)其中p1p2.bcd那么從小到大的第5個就是dacb,它是5的倍數，因此b=0或5，注意到bcd,所以b=5;從大到小排列的第2個是abdc,它是不能被4整除的偶數；所以c是偶數，cb=5，c=4或2從小到大的第二十個是adbc,第五個是dacb,它們的差在3000-4000之間，所以a=d+4；因為ab,所以a至少

5、是6，那么d最小是2，所以c就只能是4。而如果d=2，那么abdc的末2位是24，它是4的倍數，和條件矛盾。因此d=3,從而a=d+4=3+4=7。這24個四位數中最大的一個顯然是abcd,我們求得了a=7,b=5,c=4,d=3所以這24個四位數中最大的一個是7543?！纠?】（）一個5位數，它的各個位數字和為43，且能被11整除，求所有滿足條件的5位數？思路：現在我們有兩個入手的選擇，可以選擇數字和，也可以選擇被11整除，但我們發(fā)現被11整除性質的運用要具體的數字，而現在沒有，所以我們選擇先從數字和入手【解】：5位數數字和最大的為95=45，這樣43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，

6、9，8，8。這樣我們接著用11的整除特征，發(fā)現符合條件的有99979，97999，98989符合條件?！纠?】（）由1，3，4，5，7，8這六個數字所組成的六位數中，能被11整除的最大的數是多少？【解】：各位數字和為1+3+4+5+7+8=28所以偶數位和奇數位上數字和均為14為了使得該數最大，首位必須是8，第2位是7，14-8=6那么第3位一定是5，第5位為1該數最大為875413。拓展：一個三位數，它由0，1，2，7，8組成，且它能被9整除，問滿足條件的總共有幾個？ 【例4】（）一個學校參加興趣活動的學生不到100人，其中男同學人數超過總數的4/7 ，女同學的人數超過總數的2/5 。問男女

7、生各多少人？ 【來源】：12年理工附入學測試題【解】：男生超過總數的4/7就是說女生少個總數的3/7，這樣女生的范圍在2/53/7之間，同理可得男生在4/73/5之間，這樣把分數擴大，我們可得女生人數在28/7030/70之間，所以只能是29人，這樣男生為41人。2 質數與合數（分解質因數） 【例5】（）2005684375最后4位都是0,請問里最小是幾?【解】：先分析123410的積的末尾共有多少個0。由于分解出2的個數比5多，這樣我們可以得出就看所有數字中能分解出多少個5這個質因數。而能分解出5的一定是5的倍數。注意：5的倍數能分解一個5，25的倍數分解出2個5，125的倍數能分解出3個5

8、最終轉化成計數問題，如5的倍數有10/5=2個。2005=5401 684=22171 375=3555前三個數里有2個質因子2，4個質因子5，要使得乘積的最后4位都是0應該有4個質因子2和4個質因子5，還差2個質因子。因此里最小是4。拓展：2005684375最后4位都是0，且是7的倍數，問里最小是_【例6】（）03 年101中學招生人數是一個平方數，04年由于信息發(fā)布及時，04年的招生人數比03年多了101人，也是一個平方數，問04年的招生人數？【解】：看見兩個平方數，發(fā)現跟平方差相關，這樣我們大膽的設03年的為A，04年的為B，從中我們發(fā)現04年的比03年多101人，這樣我們可以列式子B

9、- A=101此后思路要很順，因為看見平方差只有一種方法那就是按公式展開，所以B- A=（A+B）（A-B）=101，可見右邊的數也要分成2個數的積，還得考慮同奇偶性，但101是個質數，所以101只能分成1011，這樣A+B=101，A-B=1，所以A=50，B=51，所以04年的招生人數為5151=2601。拓展：一個數加上10，減去10都是平方數，問這個數為多少？（清華附中測試題） 約數和倍數【例7】（）從一張長2002毫米，寬847毫米的長方形紙片上，剪下一個邊長盡可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的紙片上再剪下一個邊長盡可能大的正方形。按照上面的過程不斷的重復，最后剪

10、得的正方形的邊長是多少毫米？【解】：邊長是2002和847的最大公約數，可用輾轉相除法求得 （2002,847）=77所以最后剪得的正方形的邊長是77毫米。輾轉相除示例：2002847=2308 求2個數的最大公約數，就用大數除以小數847308=2231 用上一個式子的除數除以余數一直除到除盡為止308231=177 用上一個式子的除數除以余數一直除到除盡為止23177=3 最后一個除盡的式子的除數就是兩個數的最大公約數【例8】（）一根木棍長100米，現從左往右每6米畫一根標記線，從右往左每5米作一根標記線，請問所有的標記線中有多少根距離相差4米？【解】：100能被5整除，所以每5米作標記線

11、從左往右還是從右往左都是一樣的。這樣我們都以從左往右作，可見轉化成討論5，6的最小公倍數中的情況，畫圖可得有2根距離為4米，所以30，60，90里各有2條，但發(fā)現最后96和100也是距離4米，所以總共23+1=7。拓展：在一根長木棍上，有三種刻度線.第一種刻度線將木棍分成十等份；第二種將木棍分成十二等份；第三種將木棍分成十五等份.如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，那么木棍總共被鋸成多少段？【例9】（）1、2、3、42008這2008個數的最小公倍數等與多少個2與一個奇數的積？ 【解】：最小公倍數就是分解質因數中共有的最多因數，這樣我們發(fā)現除2以外都是奇數質因數，可見我們只要找需要多少個2，所以只要看

12、12008中2n誰最大，可見210=1024，所以為10 個2?！纠?0】（）有15位同學，每位同學都有編號，它們是1號到15號。1號同學寫了一個自然數，2號說：“這個數能被2整除”，3號說“這個數能被3整除”，依次下去，每位同學都說，這個數能被他的編號數整除，1號作了一一驗證，只有編號相鄰的兩位同學說得不對，其余同學都對，問：（1）說得不對的兩位同學，他們的編號是哪兩個連續(xù)自然數？（2）如果告訴你，1號寫的數是五位數，請求出這個數。（寫出解題過程）【解】：1）首先可以斷定編號是2，3，4，5，6，7號的同學說的一定都對。不然，其中說的不對的編號乘以2后所有編號也將說得不對，這樣就與“只有編號

13、相鄰的兩位同學說的不對”不符合。因此，這個數能被2，3，4，5，6，7都整除。其次利用整除性質可知，這個數也能被25，34，27都整除，即編號為10，12，14的同學說的也對。從而可以斷定說的不對的編號只能是8和9。2）這個數是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍數由于上述十二個數的最小公倍數是60060因為60060是一個五位數，而十二個數的其他公倍數均不是五位數，所以1號同學寫的數就是60060。 數論的綜合題型【例11】（）某住宅區(qū)有12家住戶，他們的門牌號分別是1，2，,12.他們的電話號碼依次是12個連續(xù)的六位自然數，并且每家的電話號碼都能被這家的門牌號整

14、除，已知這些電話號碼的首位數字都小于6，并且門牌號是9的這一家的電話號碼也能被13整除，問：這一家的電話號碼是什么數？【解】：設第一戶電話號是x+1,第二戶x+2,.第12戶電話號x+12根據條件得x+i是i的倍數(i=1,2,12)因此x是1，2，.12的公倍數1,2,.12=27720所以x=27720m27720m+9是13的倍數，27720除以13余數為4所以4m+9是13的倍數m=1,14,27.第一家電話號碼是27720m+1 m取14合適；因此第一家電話號碼是27720*14+1=388081拓展：寫出連續(xù)的11個自然數，要求第1個是2的倍數，第二個是3的倍數第11個是12的倍數

15、？【例12】（）有15位同學，每位同學都有編號，它們是1號到15號。1號同學寫了一個自然數，2號說：“這個數能被2整除”，3號說“這個數能被3整除”，依次下去，每位同學都說，這個數能被他的編號數整除，1號作了一一驗證，只有編號相鄰的兩位同學說得不對，其余同學都對，問：（1）說得不對的兩位同學，他們的編號是哪兩個連續(xù)自然數？（2）如果告訴你，1號寫的數是五位數，請求出這個數。（寫出解題過程）【解】：1）首先可以斷定編號是2，3，4，5，6，7號的同學說的一定都對。不然，其中說的不對的編號乘以2后所有編號也將說得不對，這樣就與“只有編號相鄰的兩位同學說的不對”不符合。因此，這個數能被2，3，4，5

16、，6，7都整除。其次利用整除性質可知，這個數也能被25，34，27都整除，即編號為10，12，14的同學說的也對。從而可以斷定說的不對的編號只能是8和9。2）這個數是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍數由于上述十二個數的最小公倍數是60060因為60060是一個五位數，而十二個數的其他公倍數均不是五位數，所以1號同學寫的數就是60060。小結本講主要接觸到以下幾種典型題型：1）數的整除。 參見例1，2，3，42）質數與合數（分解質因數）。參見例5，63）約數和倍數。 參見例7，8，9，104）數論的綜合題型。 參見例11，12【課外知識】打開另一扇心窗很久以前，在

17、意大利的龐貝古城里，一個普通人家出生了一個叫莉蒂雅的女孩。 莉蒂雅自小雙目失明，但她并不怨天怨地，也沒有垂頭喪氣，反而熱愛生活，對生活充滿信心和希望。稍稍長大后，她像常人一樣勞動，靠賣花自食其力。不久，維蘇威火山爆發(fā)，龐貝城面臨一次大的災難，整座城市被籠罩在濃煙塵埃之中。濃密的火山灰，遮掩了太陽、月亮和星星，大地一片漆黑。黑暗中，驚慌失措的居民跌跌撞撞地根本找不到出路，人們好像生活在人間的地獄中。莉蒂雅雖然看不見，但這些年來，她走街串巷在城里賣花，對城市的各條道路了如指掌。她就靠自己的觸覺和聽覺找到了生路，不但救了自己的家人，還救了許多市民。 后來，莉蒂雅的事跡一直被后人所傳頌，并出現在很多的

18、文學作品中。 啟迪：莉蒂雅的不幸反而成了她的大幸，她的殘疾反而成了她的財富。不要總以為自己是最倒霉的。其實，上蒼很公平。有時候，命運向你關閉這一心窗的同時，又為你開啟了另一心窗，同樣可以享受人生的快樂作業(yè)題 （注：作業(yè)題-例題類型對照表，供參考）題1，4類型1；題2，6類型3；題3，5，8類型2；題7類型21（）在1100這100個自然數中，所有不能被9整除的數的和是多少？解：1+2+100=5050 9+18+27+99=9(1+2+11)=495隨意1-100中所有不能被9整除的數的和是5050-495=45552（）某班學生不超過60人，在一次數學測驗中，分數不低于90分的人數占，得80

19、89分的人數占，得7079分得人數占，那么得70分以下的有_人。解：有、，說明總人數一定為7的倍數、2的倍數、3的倍數，故為7、2、342的倍數；又由于人數不超過60人，故這班的人數只能為42人。從而70分以下的有：421人。3（）自然數N是一個兩位數，它是一個質數，而且N的個位數字與十位數字都是質數，這樣的自然數有_個。解：枚舉法：23，37，53，73，有4個4. （）三個自然數，其中每一個數都不能被另外兩個數整除，而其中任意兩個數的乘積卻能被第三個數整除，那么這樣的三個自然數的和的最小值是多少？解：這三個自然數最小是6，10，15（分別是23,25,35）和的最小值為31。5、（）五個連續(xù)偶數之和是完全平方數，中間三個偶數之和是立方數（即一個整數的三次方），這樣一組數中的最大數的最小值是多少？解：設中間一個數為2x那么5個數的和為10 x=m2中間3個數的和為6x=n3設x=2p 3q 5r再根據一個數是完全平方數等價于它的各個質因子的冪都是偶數，一個數是立方數等價于他的各個質因子的冪都是3的倍數可