第11章1-5周期非正弦電路

1、 本章介紹周期非正弦電路的計算。主要內(nèi)容有：本章介紹周期非正弦電路的計算。主要內(nèi)容有：周期非正弦信號展開為傅立葉級數(shù)，信號的頻譜，周周期非正弦信號展開為傅立葉級數(shù)，信號的頻譜，周期信號的有效值、平均值，周期非正弦電路的平均功期信號的有效值、平均值，周期非正弦電路的平均功率，周期非正弦電路響應(yīng)分析的疊加法，以及三相電率，周期非正弦電路響應(yīng)分析的疊加法，以及三相電路的高次諧波等。路的高次諧波等。主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容111 周期非正弦信號周期非正弦信號112 周期非正弦信號的傅立葉級數(shù)周期非正弦信號的傅立葉級數(shù) 113 周期非正弦信號的頻譜周期非正弦信號的頻譜114 傅立葉系數(shù)與波形對稱性的關(guān)系傅

2、立葉系數(shù)與波形對稱性的關(guān)系 115 周期非正弦信號的有效值、平均值和電周期非正弦信號的有效值、平均值和電路的功率路的功率 116 周期非正弦信號激勵時電路的響應(yīng)周期非正弦信號激勵時電路的響應(yīng)主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容 117 不同頻率正弦電源共同作用下電路的分析不同頻率正弦電源共同作用下電路的分析118 對稱三相電路中的高次諧波對稱三相電路中的高次諧波111 周期非正弦信號周期非正弦信號 電工、電子技術(shù)中常遇到周期非正弦信號，下圖示出了幾種常電工、電子技術(shù)中常遇到周期非正弦信號，下圖示出了幾種常見的周期非正弦電壓和電流。見的周期非正弦電壓和電流。 周期非正弦電路的形成：周期非正弦電路的形成： （1

3、）線性電路中激勵為周期非正弦信號；）線性電路中激勵為周期非正弦信號； （2）線性電路中，激勵為若干個不同頻率的正弦信號；）線性電路中，激勵為若干個不同頻率的正弦信號； （3）激勵為正弦信號，但電路中有非線性元件（如鐵心線圈、）激勵為正弦信號，但電路中有非線性元件（如鐵心線圈、鐵心變壓器等）或時變元件；鐵心變壓器等）或時變元件； （4）前兩種激勵作用于非線性元件。）前兩種激勵作用于非線性元件。 本章僅討論第（本章僅討論第（1）、（）、（2）兩種情況。）兩種情況。 說明：全波整流電壓和單相可控硅整流電壓的周期是按整流電說明：全波整流電壓和單相可控硅整流電壓的周期是按整流電路輸入正弦電壓的周期計，所

4、以路輸入正弦電壓的周期計，所以T為兩個半波對應(yīng)的時間。為兩個半波對應(yīng)的時間。112 周期非正弦信號的傅立葉級數(shù)周期非正弦信號的傅立葉級數(shù) 任何周期非正弦函數(shù)當(dāng)滿足狄里赫利條件時，都可展開成傅立任何周期非正弦函數(shù)當(dāng)滿足狄里赫利條件時，都可展開成傅立葉級數(shù)。電工、電子技術(shù)中的周期非正弦信號，通常都滿足狄里赫葉級數(shù)。電工、電子技術(shù)中的周期非正弦信號，通常都滿足狄里赫利條件。利條件。 一一. 周期非正弦信號周期非正弦信號 f(t) 展成傅氏級數(shù)展成傅氏級數(shù)f(t)周期：周期：T頻率：頻率：f 1 / T角頻率：角頻率： 2/ T 傅氏級數(shù)形式一：傅氏級數(shù)形式一：1110121211110)sincos

5、()2sin2cos()sincos()(kkktkbtkaatbtatbtaatf 傅氏級數(shù)形式二：傅氏級數(shù)形式二：式可寫成如下形式式可寫成如下形式1102121110)cos()2cos()cos()(kkkmmmtkAAtAtAAtf 二二. 傅氏級數(shù)各參數(shù)之計算傅氏級數(shù)各參數(shù)之計算 由數(shù)據(jù)分析有由數(shù)據(jù)分析有dttfTdttfTaTTT )( 1 )( 12/2/0022kkkmbaAkkkab arctan對應(yīng)對應(yīng)kakkbkmA式：式： 三三 . 說明說明 1 . 式中式中 f (t)的恒定分量或直流分量的恒定分量或直流分量 f (t)的基波（分量）或的基波（分量）或1次諧波（分量）

6、次諧波（分量） f (t)的的2次諧波（分量）次諧波（分量） f (t)的的3次諧波（分量）次諧波（分量） 0A)cos(111tAm)2cos(212tAm)3cos(313tAm.2次及次及2次以上的諧波統(tǒng)稱為高次諧波；次以上的諧波統(tǒng)稱為高次諧波； 2 . 傅氏級數(shù)具有收斂性，即隨著頻率的增加，諧波幅值總的趨傅氏級數(shù)具有收斂性，即隨著頻率的增加，諧波幅值總的趨勢越來越小；勢越來越??； 3 . f (t) 波形越平滑，越接近正弦，其高次諧波分量越小，級數(shù)波形越平滑，越接近正弦，其高次諧波分量越小，級數(shù)收斂越快；收斂越快； f (t) 波形越不平滑或有跳躍其高次諧波分量大，級數(shù)收波形越不平滑或

7、有跳躍其高次諧波分量大，級數(shù)收斂慢。斂慢。 例例111 求下圖所示周期方波信號求下圖所示周期方波信號 f (t) 的傅立葉級數(shù)。的傅立葉級數(shù)。f (t)tt022/2/2ET/ 4TT/4T 解解 （1）傅立葉系數(shù)）傅立葉系數(shù)a0、 ak、 bk：由公式得由公式得 2 1 )( 14/4/2/2/0EdtETdttfTaTTTTkEkEkkEtdtkEtdtktfa2 2 0 2sin2)( cos 1)( cos)( 112/2/1110, 6 , 4 , 2k, 9 , 5 , 1k,11, 7 , 3k0)( sin 1)( sin)( 112/2/111tdtkEtdtktfbk （2

8、） f (t) 的傅立葉級數(shù)展開式：將求得的傅立葉系數(shù)帶入式的傅立葉級數(shù)展開式：將求得的傅立葉系數(shù)帶入式，得，得ttttEEtf11117cos715cos513cos31cos22)( 周期非正弦信號的傅立葉級數(shù)有無窮多項，由于它具有收斂性，周期非正弦信號的傅立葉級數(shù)有無窮多項，由于它具有收斂性，因此，一般可只取前若干項近似表示。項數(shù)取得越多，近似效果越因此，一般可只取前若干項近似表示。項數(shù)取得越多，近似效果越好。上例方波信號的傅立葉級數(shù)展開式，若取前四項、即取到好。上例方波信號的傅立葉級數(shù)展開式，若取前四項、即取到5次次諧波，其合成波形如下圖（諧波，其合成波形如下圖（a）所示。若取前所示。

9、若取前7項、即取到項、即取到11次諧波，次諧波，則合成波形如圖（則合成波形如圖（b）所示?？梢娝≈C波項數(shù)越多。合成的波形所示。可見所取諧波項數(shù)越多。合成的波形越接近原信號波形。越接近原信號波形。 幾種常見的周期非正弦信號的傅立葉級數(shù)見本章最后一頁。幾種常見的周期非正弦信號的傅立葉級數(shù)見本章最后一頁。本節(jié)完本節(jié)完 113 周期非正弦信號的頻譜周期非正弦信號的頻譜 為了直觀、清晰地看出各諧波幅值為了直觀、清晰地看出各諧波幅值A(chǔ)km、初相位初相位k與頻率與頻率k之之關(guān)系，可以畫出關(guān)系，可以畫出Akm k1和和k k1的譜線圖，它們分別稱為幅的譜線圖，它們分別稱為幅度頻譜圖和相位頻譜圖（見下面的例）

10、度頻譜圖和相位頻譜圖（見下面的例） 例例ttttEEtf11117cos715cos513cos31cos22)(其對應(yīng)的頻譜圖如下：其對應(yīng)的頻譜圖如下：AkE232E52E72E92Ek1（a）幅度頻譜幅度頻譜031517191111k1k（b）相位頻譜相位頻譜 頻譜圖中的豎線稱為譜線，譜線只可能在離散點頻譜圖中的豎線稱為譜線，譜線只可能在離散點k1的位置上的位置上出現(xiàn)，因此是離散頻譜。譜線的間距取決于信號出現(xiàn)，因此是離散頻譜。譜線的間距取決于信號 f (t) 的周期的周期T，T越大，越大， 1越小，譜線間距越窄，譜線越密。越小，譜線間距越窄，譜線越密。 信號的幅度

11、頻譜和相位頻譜的重要性在不同場合有所不同，如信號的幅度頻譜和相位頻譜的重要性在不同場合有所不同，如傳送語音信號時，重要的是使各頻率分量的幅值相對不變，以保持傳送語音信號時，重要的是使各頻率分量的幅值相對不變，以保持原來的音調(diào)，即不失真，因此幅度頻譜很重要，而相位頻譜并不重原來的音調(diào)，即不失真，因此幅度頻譜很重要，而相位頻譜并不重要，因為人的聽覺對各頻率分量的相位關(guān)系不敏感。但是在傳送圖要，因為人的聽覺對各頻率分量的相位關(guān)系不敏感。但是在傳送圖像信號時，保持各頻率分量間的相位關(guān)系則對圖像的不失真具有重像信號時，保持各頻率分量間的相位關(guān)系則對圖像的不失真具有重要意義。要意義。114 傅立葉系數(shù)與波

12、形對稱性的關(guān)系傅立葉系數(shù)與波形對稱性的關(guān)系 對一個周期非正弦函數(shù)進(jìn)行分解時，應(yīng)先分析它是否具有對對一個周期非正弦函數(shù)進(jìn)行分解時，應(yīng)先分析它是否具有對稱性。如果波形具有對稱性，則它的某些傅立葉系數(shù)將為零，利稱性。如果波形具有對稱性，則它的某些傅立葉系數(shù)將為零，利用這一特點，計算將大為簡化。下面分析傅立葉系數(shù)波形對稱性用這一特點，計算將大為簡化。下面分析傅立葉系數(shù)波形對稱性的關(guān)系。的關(guān)系。 一一 . f (t) 波形在一個周期內(nèi)，在波形在一個周期內(nèi)，在 t 軸上、下的面積相等軸上、下的面積相等 下面所示波形屬于此情況，此時有下面所示波形屬于此情況，此時有f (t)t0ET/2TE（a）f (t)t

13、0T/2T（b）0 )( 100dttfTaT 二二 . f (t) 為偶函數(shù)為偶函數(shù) f (t) f (t) 波形特點波形特點：對稱于縱軸對稱于縱軸，例如上圖（，例如上圖（a）。）。 傅氏級數(shù)特點傅氏級數(shù)特點：不含奇函數(shù)，即傅氏級數(shù)形式一中無正弦分量，不含奇函數(shù)，即傅氏級數(shù)形式一中無正弦分量，0kb110cos)(kktkaatf式中式中a0可能為零，也可能不為零。上圖（可能為零，也可能不為零。上圖（a）的的a00，若圖（若圖（a）的的t 軸下移，則軸下移，則 。00a 三三 . f (t) 為奇函數(shù)為奇函數(shù) f (t) f (t) 波形特點波形特點：對稱于原點對稱于原點，例如上圖（，例如上

14、圖（b）。）。 傅氏級數(shù)特點傅氏級數(shù)特點：不含偶函數(shù)和直流分量，即不含偶函數(shù)和直流分量，即0 , 00kaa11sin)(kktkbtf 四四 . 奇諧波函數(shù)奇諧波函數(shù))2()(Ttftf 波形特點波形特點：前半周波形平移半個周期后與后半周波形對前半周波形平移半個周期后與后半周波形對 t 軸呈軸呈鏡像對稱，例如下圖：鏡像對稱，例如下圖：f (t)t0T/2T-T/2 傅氏級數(shù)特點傅氏級數(shù)特點：不含恒定分量和偶次諧波分量，即不含恒定分量和偶次諧波分量，即), 3 , 2 , 1( 0 , 0220nbaann), 2 , 1( )cos()3cos()cos()(121313111ntkAtAt

15、Atfnkkkmmm )cos()(, 5 , 3 , 11kkkmtkAtf或或 五五 . 偶諧波函數(shù)偶諧波函數(shù))2()(Ttftf 波形特點波形特點：后半周為前半周的重復(fù)。后半周為前半周的重復(fù)。f (t)T/2T0t 傅氏級數(shù)特點傅氏級數(shù)特點：不含奇次諧波分量，即不含奇次諧波分量，即), 3 , 2 , 1( 01212nbann), 3 , 2 , 1( )cos()4cos()2cos()(2104142120ntkAAtAtAAtfnkkkmmm或或, 6, 4, 210)cos()(kkkmtkAAtf 六六 . 說明說明 1 . 周期信號是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，除與波形有關(guān)外，還與計

16、周期信號是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，除與波形有關(guān)外，還與計時起點有關(guān)，例如下圖所示時起點有關(guān)，例如下圖所示 f (t) ，當(dāng)當(dāng)f (t)to1o2 坐標(biāo)原點為坐標(biāo)原點為 o1 f (t) 是奇函數(shù)是奇函數(shù) 坐標(biāo)原點為坐標(biāo)原點為 o2 f (t) 是偶函數(shù)是偶函數(shù) 2 . 周期信號是奇諧波函數(shù)還是偶諧波函數(shù)，僅與波形有關(guān)，周期信號是奇諧波函數(shù)還是偶諧波函數(shù)，僅與波形有關(guān)，而與計時起點無關(guān)。而與計時起點無關(guān)。本節(jié)完本節(jié)完 115 周期非正弦信號的周期非正弦信號的有效值、平均值和電路的功率有效值、平均值和電路的功率 一一 . 周期非正弦信號的有效值和平均值周期非正弦信號的有效值和平均值 1 . 有效值有效值

17、 任何周期信號的有效值等于其瞬時量的方均根值（見第六章第任何周期信號的有效值等于其瞬時量的方均根值（見第六章第一節(jié)）。周期電流一節(jié)）。周期電流 i(t)的有效值為的有效值為TdtiTI021 將將i(t)分解為傅氏級數(shù)分解為傅氏級數(shù)110)cos(kkkmtkIIi 式代入式，經(jīng)計算（見參考書）得式代入式，經(jīng)計算（見參考書）得1220222120kkIIIIII式中式中 I0 i(t)的直流分量的直流分量式中式中 Ik i(t)的的k次諧波有效值，次諧波有效值， 。2/kmkII 周期非正弦信號的有效值，等于不同頻率的各諧波有周期非正弦信號的有效值，等于不同頻率的各諧波有效值平方和的開方（直流

18、分量可視為信號的零次諧波），即效值平方和的開方（直流分量可視為信號的零次諧波），即TdtuTU0211220222120kkUUUUUU 結(jié)論：結(jié)論： 同理，周期非正弦電壓同理，周期非正弦電壓u(t)的有效值為的有效值為02值）（不同頻率正弦量有效有效值 例例112 試求試求20.1VV 404V28212220102222UV 3sin8)602cos(12cos2010111tttu的有效值的有效值U。解解思考思考 （答案見例（答案見例113后）：上例后）：上例 （1）若）若 ，有，有效值效值U變否？變否？V 3sin8)60cos(12cos2010111tttu （2）若）若 ，U變否

19、？變否？ u(t)的波形變否？的波形變否？V 3sin82cos12sin2010111tttu 例例113 求下圖所示鋸齒波電壓求下圖所示鋸齒波電壓u的有效值。的有效值。ut0T 解解 圖示鋸齒波電壓可寫成圖示鋸齒波電壓可寫成)(0 TttTUumUm用方均根求有效值有用方均根求有效值有3311033202320202mTmTmTmTUtTUdttTUdttTUTdtuTU 此題若用鋸齒波的各諧波分量有效值平方和的平方根計算，只此題若用鋸齒波的各諧波分量有效值平方和的平方根計算，只能取有限項，顯然會出現(xiàn)誤差，項數(shù)取得越多，誤差越小。周期信能取有限項，顯然會出現(xiàn)誤差，項數(shù)取得越多，誤差越小。周

20、期信號可用解析式表達(dá)時，有效值應(yīng)直接用方均根值計算。號可用解析式表達(dá)時，有效值應(yīng)直接用方均根值計算。思考題答案思考題答案 （1）U變。變。V 3sin8)60cos(12cos2010111tttu 中，第二、中，第二、三項是同次諧波（基波），而有效值是等于不同頻率的各諧波有效三項是同次諧波（基波），而有效值是等于不同頻率的各諧波有效值平方和開方，因此要先求出同次諧波合成后的有效值（用相量值平方和開方，因此要先求出同次諧波合成后的有效值（用相量法），然后再進(jìn)行計算。法），然后再進(jìn)行計算。60 120 20 )60cos(12cos2011tt對應(yīng)對應(yīng) 6 .36 43.1739.1014)39

21、.106(2060 120 20 jj)6 .36cos(43.17)60cos(12cos20 111tttV 3sin8)6 .362cos(43.171011ttuV 85.1628243.1710222U （2）U不變，波形要變。不變，波形要變。結(jié)論：結(jié)論： 有效值與不同頻率的各諧波的相位無關(guān)；有效值與不同頻率的各諧波的相位無關(guān)； 有效值相等的非正弦信號的波形一般都不相同。有效值相等的非正弦信號的波形一般都不相同。 2 . 平均值平均值 電工、電子技術(shù)中，有時要用到電壓、電流的平均值。平均值電工、電子技術(shù)中，有時要用到電壓、電流的平均值。平均值的定義是：信號的絕對值在一個周期內(nèi)的平均值

22、。以電流的定義是：信號的絕對值在一個周期內(nèi)的平均值。以電流i為例，其為例，其平均值為平均值為TadtiTI0v1正弦電流正弦電流 的絕對值的絕對值 i 的波形是全波整流波形，根據(jù)上的波形是全波整流波形，根據(jù)上式，正弦電流的平均值為式，正弦電流的平均值為tIimcosIIItTIdttTIdttITImTmTmTma9 . 0898. 0637. 0sin4cos 4cos14/04/00v此式表明，正弦信號的平均值約為有效值的此式表明，正弦信號的平均值約為有效值的0.9倍，或有效值約為平倍，或有效值約為平均值的均值的1.11倍。倍。 二二 . 周期非正弦電流電路的平均功率（有功功率）周期非正弦

23、電流電路的平均功率（有功功率）P 右圖所示二端網(wǎng)絡(luò)右圖所示二端網(wǎng)絡(luò)N的的u 、i為為。uiN110)cos(kukkmtkUUu110)cos(kikkmtkIIi 網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò)N吸收的平均功率為吸收的平均功率為TuidtTP01將式、將式、 代入上式，經(jīng)計算（見參考書）后得代入上式，經(jīng)計算（見參考書）后得10022211100coscoscoskkkkIUIUIUIUIUP式中式中Uk、 Ik為為k次諧波電壓、電流的有效值，次諧波電壓、電流的有效值， 為為k諧波電壓與諧波電壓與k次次諧波電流的相位差角，即諧波電流的相位差角，即k, 2 , 1 kikukk上式亦可寫成上式亦可寫成0k210 kPPPPP 結(jié)論：結(jié)論： 周期非正弦電流電路的平均功率等于直流分量產(chǎn)生的周期非正弦電流電路的平均功率等于直流分量產(chǎn)生的功率和各次諧波產(chǎn)生的平均功率之和，即功率和各次諧波產(chǎn)生的平均功率之和，即0kkPP的功率不同頻率正弦信號產(chǎn)生功率這稱為功率疊加。這稱為