動態(tài)電路方程及其解

1、第四章 動態(tài)電路的時域分析1. 電容元件電容元件 電容的電容的VARdtduCdtdqi tdiCtdu)(1)(電容元件的特點電容元件的特點*電壓有變化，才有電流。電電壓有變化，才有電流。電容具有隔直流作用。容具有隔直流作用。*電容電壓具有連續(xù)性，不能電容電壓具有連續(xù)性，不能 躍變。躍變。*電容有電容有“記憶記憶”電壓的作電壓的作用。電容是無源元件。用。電容是無源元件。上上 節(jié)節(jié) 回回 顧顧第四章 動態(tài)電路的時域分析2. 電感元件電感元件 電感的電感的VAR電感元件的特點電感元件的特點*電流有變化，才有電壓。電流有變化，才有電壓。*電感的電流具有連續(xù)性，不電感的電流具有連續(xù)性，不能躍變。能躍

2、變。*電感有電感有“記憶記憶”電流的作電流的作用。電感是無源元件。用。電感是無源元件。dttdiLtudtdtutLit)()()()()( duLtit )(1)(第四章 動態(tài)電路的時域分析包含包含至少一個動態(tài)元件至少一個動態(tài)元件（電容或電感）的（電容或電感）的電路為動態(tài)電路。電路為動態(tài)電路。 含有含有一個獨立的動態(tài)元件的電路一個獨立的動態(tài)元件的電路為一階電路。為一階電路。（電路方程為一階常系數微分方程）（電路方程為一階常系數微分方程）含有含有二個獨立的動態(tài)元件的電路二個獨立的動態(tài)元件的電路為二階電路。為二階電路。（電路方程為二階常系數微分方程）（電路方程為二階常系數微分方程）含有三個或三個

3、以上獨立的動態(tài)元件的含有三個或三個以上獨立的動態(tài)元件的電路電路為高階電路。（電路方程為高階常系數微分為高階電路。（電路方程為高階常系數微分方程）方程）3.2 動態(tài)電路方程及其解動態(tài)電路方程及其解 第四章 動態(tài)電路的時域分析換路、暫態(tài)與穩(wěn)態(tài)的概念換路、暫態(tài)與穩(wěn)態(tài)的概念ucUSRC(t=0)(t=t1)+-換路：電路換路：電路結構或參數結構或參數發(fā)生突然變化。發(fā)生突然變化。穩(wěn)態(tài)：在指定條件下電路中的電壓、電流已穩(wěn)態(tài)：在指定條件下電路中的電壓、電流已達到穩(wěn)定值。有兩類穩(wěn)態(tài)電路：達到穩(wěn)定值。有兩類穩(wěn)態(tài)電路：直流穩(wěn)態(tài)電路：電路中電流電壓均為直流穩(wěn)態(tài)電路：電路中電流電壓均為恒定量恒定量。正弦穩(wěn)態(tài)電路：電路

4、中電流電壓均為正弦穩(wěn)態(tài)電路：電路中電流電壓均為正弦交流量正弦交流量。第四章 動態(tài)電路的時域分析暫態(tài)：電路換路后從一種穩(wěn)態(tài)到另一種穩(wěn)態(tài)暫態(tài)：電路換路后從一種穩(wěn)態(tài)到另一種穩(wěn)態(tài)的過渡過程。的過渡過程。過渡過程產生的原因：過渡過程產生的原因：外因外因換路換路；內因；內因有儲能元件有儲能元件。uctt1US穩(wěn)態(tài)暫態(tài)暫態(tài)ucUSRC(t=0)(t=t1)+-第四章 動態(tài)電路的時域分析3.2.1 動態(tài)電路方程動態(tài)電路方程)()()(tututusCR dtduRCRiudtduCiCRC ,dtduRCRiudtduCiCRC ,sCCuRCuRCdtdu11 一階常系數微分方程一階常系數微分方程1. RC

5、電路電路 第四章 動態(tài)電路的時域分析)()()(tititisLR sLLiLRiLRdtdi dtdiLuRuCiLLL ,RuRuiLRR 一階常系數微分方程一階常系數微分方程2. RL電路電路 第四章 動態(tài)電路的時域分析)()()()(tutututusCRL ,dtduCiC sCCCuLCuLCdtduLRdtud1122 二階常系數微分方程二階常系數微分方程RiuR dtdiLuL ,dtduRCC 22dtudLCC 3. RLC電路電路 第四章 動態(tài)電路的時域分析 一般而言，若電路中含有一般而言，若電路中含有n個獨立的動態(tài)個獨立的動態(tài)元件，那么描述該電路的微分方程是元件，那么描

6、述該電路的微分方程是n階的，階的，稱為稱為n階電路。階電路。 第四章 動態(tài)電路的時域分析例：例：求解方程求解方程,05 xdtdx2)0( x05 s5 sttseKeKtx5)(22)0(Kx解：解： 特征方程特征方程特征根特征根通解通解代入初始條件，得代入初始條件，得原問題的解為原問題的解為tetx52)( 3.2.2 動態(tài)電路方程解動態(tài)電路方程解 1. 初始值的計算初始值的計算第四章 動態(tài)電路的時域分析討論初始值的原因討論初始值的原因: 初始值用來完全確定微分方程的解初始值用來完全確定微分方程的解。動態(tài)電。動態(tài)電路中，要得到待求量，就必須知道待求量的初始路中，要得到待求量，就必須知道待求

7、量的初始值。而相應的微分方程的初始條件為值。而相應的微分方程的初始條件為電流或電壓電流或電壓的初始值的初始值。第四章 動態(tài)電路的時域分析動態(tài)電路的初始狀態(tài)與初始值動態(tài)電路的初始狀態(tài)與初始值t0+ 和和 t0- t0 時刻換路，則時刻換路，則 t0- 為換路前的瞬間，為換路前的瞬間， t0+ 為換路后為換路后的瞬間（稱為換路后的初始時刻）。的瞬間（稱為換路后的初始時刻）。 獨立初始值獨立初始值uC(t)和和 iL(t)為電路的獨立狀態(tài)變量。為電路的獨立狀態(tài)變量。 T0+ 時刻的時刻的uC(0)和和 iL(0)為電路的原始狀態(tài)，它們反映了換路前電為電路的原始狀態(tài)，它們反映了換路前電路所儲存的能量。

8、路所儲存的能量。獨立初始值：獨立初始值： uC(0), iL(0)非獨立初始值：非獨立初始值：t0+ 時刻其它時刻其它u (0), i (0)值。值。第四章 動態(tài)電路的時域分析 t0時刻換路，換路前一瞬間記為時刻換路，換路前一瞬間記為t0-，換路后一瞬間記為，換路后一瞬間記為t0+。當。當t=t0+時，電容電壓時，電容電壓uC和電感電流和電感電流iL分別為分別為 0000)(1)()()(1)()(0000ttLLLttCCCduLtitidiCtutu )()()()(0000tititutuLLCC換路定律換路定律 注意注意：除：除uC(0)和和iL(0)外，其他各電流和電壓在換外，其他各

9、電流和電壓在換路前后可以躍變。路前后可以躍變。第四章 動態(tài)電路的時域分析求初始值的簡要步驟如下：求初始值的簡要步驟如下：(1) 0- 的獨立初始值。由的獨立初始值。由t0時的電路，時的電路， 求出求出uC(0-), iL(0-)； 畫出畫出0+等效電路；在等效電路；在t=0+時，時，用電壓等于用電壓等于uC( 0+) 的電壓源的電壓源替代電容元件，用電流等于替代電容元件，用電流等于iL(0+)的電流源替代電感元件，的電流源替代電感元件，獨立電源均取獨立電源均取t=0+時的值。時的值。(3) 由由0+等效電路，求出非獨立初始值（各電流、電壓的等效電路，求出非獨立初始值（各電流、電壓的初始值）。初

10、始值）。(2) 0+ 的獨立初始值。根據換路定律求出的獨立初始值。根據換路定律求出 uC( 0+)、iL ( 0+) 。第四章 動態(tài)電路的時域分析初始值的確定初始值的確定例例1解：解：(1)由換路前電路求由換路前電路求)0(),0( LCiu由已知條件知由已知條件知0000)(,)(LCiu(2)根據換路定律得：根據換路定律得：0)0()0( CCuu0)0 ()0 (LL已知：換路前電路處穩(wěn)態(tài)，已知：換路前電路處穩(wěn)態(tài)，C、L 均未儲能。均未儲能。試求：電路中各電壓和電試求：電路中各電壓和電流的初始值。流的初始值。S(a)CU R2R1t=0+-L第四章 動態(tài)電路的時域分析11)0()0(RU

11、C 0)0(2 uUuuL )0()0(1iC 、uL 產生突變產生突變 (3)由由t=0+電路，求其余各電流、電壓的初始值電路，求其余各電流、電壓的初始值SCU R2R1t=0+-L(a) 電路電路iL(0+ )U iC (0+ )uC (0+)uL(0+)_u2(0+)u1(0+)i1(0+ )R2R1+_+-(b) t = 0+等效電路等效電路, 0)0(Cu電容元件可視為短路電容元件可視為短路, 0)0(Li電感元件可視為開路電感元件可視為開路第四章 動態(tài)電路的時域分析例例2 電路如圖所示。在開關閉合前，電路如圖所示。在開關閉合前， 電路已處于穩(wěn)定。當電路已處于穩(wěn)定。當t=0時開關閉合

12、，求初始值時開關閉合，求初始值i1(0+)，i2(0+)和和iC(0+)。 第四章 動態(tài)電路的時域分析解：解： (1) 求求uC(0-)。由于開關閉合。由于開關閉合前電路穩(wěn)定，前電路穩(wěn)定，duC/dt=0，故，故iC=0，電容可看作開路。電容可看作開路。t=0-時電路如時電路如圖，圖，VuC12)0( (2) 根據換路定律有根據換路定律有 VuuCC12)0()0( 12V第四章 動態(tài)電路的時域分析(3) 由由0+等效電路，計算各電流的初始值。等效電路，計算各電流的初始值。 )0()0()0(21Ciii041212)0(1 RuUCsARuC5 . 1812)0(2 Aii5 . 1)0()

13、0(21 第四章 動態(tài)電路的時域分析例例3：已知換路前已達穩(wěn)態(tài)，求已知換路前已達穩(wěn)態(tài)，求 uL(0) 、i (0)、 i1(0) 和和iL(0)。 110V4(t=0)uL+-ii1iL解：解：)(24110)0(AiL AiiLL2)0()0( 110V4+-i1(0+)2Ai (0+)uL(0+)(3)由由0等效電路可求得等效電路可求得Ai10)0( Ai8)0(1 VuL8)0( (1)換路前換路前(2)根據換路定律根據換路定律第四章 動態(tài)電路的時域分析例例4 電路如圖所示，電路如圖所示，t=0時開關時開關S由由1扳向扳向2，在，在t0時電路已時電路已處于穩(wěn)定。求初始值處于穩(wěn)定。求初始值

14、i2(0+)，iC(0+)。 解：解： (1) 換路前換路前 )0()0(CLuiViRL2045)0(2 ARRUs4512421 第四章 動態(tài)電路的時域分析AiiVuuLLCC4)0()0(20)0()0( (3) 由由0+等效電路，計算其余初始值。等效電路，計算其余初始值。 044)0()0()0(4520)0()0(222 iiiARUiLCC044)0()0()0(4520)0()0(222 iiiARUiLCC(2) 根據換路定律有根據換路定律有 第四章 動態(tài)電路的時域分析uC (0 -) =U0sRU+_C+_i0tuc實質實質：RC電路的充電過程電路的充電過程2. 微分方程經典

15、解法微分方程經典解法0UU 第四章 動態(tài)電路的時域分析sCCUudtduRCsCRUuu(方程的通解方程的通解 =方程的特解方程的特解 + 對應齊次方程的通解對應齊次方程的通解)()()(tututuCCC 即1. uC的變化規(guī)律的變化規(guī)律(1) 列列 KVL方程方程uC (0 -) = U0sRUs+_C+_i0tuc(2) 解方程解方程求特解求特解 ：CusCCUudtduRCsCsUtuUK)( 即：解得：KdtdKRCUKusC, 代入方程設：第四章 動態(tài)電路的時域分析 求對應齊次微分方程的通解求對應齊次微分方程的通解Cu tAUtututusCCC e)()()(0ddCCutuRC

16、通解即：通解即： 的解的解微分方程的通解為微分方程的通解為）（令令RC RCtptAAtuC ee)(其解：確定積分常數確定積分常數A0)0(UuC根據換路定則在根據換路定則在 t=0+時，時，sUUA0則RCtCUsUut )esU-0()(第四章 動態(tài)電路的時域分析（3） uC的變化規(guī)律的變化規(guī)律)0()( e1(e0ttRCtRCtsUUuC穩(wěn)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量Cu僅存在僅存在于暫態(tài)于暫態(tài)過程中過程中)(tuCtU0+UsoRCtCUsUut )esU-0()(零輸入響應零輸入響應零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應第四章 動態(tài)電路的時域分析3. 、 變化曲線變化曲線CuCiCiCutCuCittUUusC

17、e)e1(02. 電流電流 iC 的變化規(guī)律的變化規(guī)律0 edd0tRUUtuCitsCCUsRUUs0U0第四章 動態(tài)電路的時域分析3. 直流電源作用一階動態(tài)電路的三要素法直流電源作用一階動態(tài)電路的三要素法sLLsCCuLiLRtiuCRuCRtu1dd11dd000第四章 動態(tài)電路的時域分析如果用f(t)表示激勵us, 用y(t)表示響應uC或iL )()(1d)(dtbftytty)(e)()()(tyAtytytyptph設全響應y(t)的初始值為y(0+)A=y(0+)-yp(0+) 電路全響應解為 0e)0()0()()(tyytytytpp第四章 動態(tài)電路的時域分析當激勵f(t)

18、為直流時，微分方程的特解是常數。令yp(t)=C, 顯然有yp(0+)=C, 得 tCyCtye )0()(通常情況下，電路時間常數0，稱這種電路為正電路。對于正電路，當t時，由上式可解得 )()(ytyIimCt0)()0()()(teyyytyt自由響應暫態(tài)響應強迫響應穩(wěn)態(tài)響應y()、 y(0)、 稱為三要素。稱為三要素。利用求三要素的方法求利用求三要素的方法求解暫態(tài)過程，稱為解暫態(tài)過程，稱為三要素法三要素法第四章 動態(tài)電路的時域分析V555510)( Cu6666)( LimA3 (1) 穩(wěn)態(tài)值的計算穩(wěn)態(tài)值的計算uC+-t=0C10V 1 FS例：例：5k +-Lit =03 6 6 6

19、mAS第四章 動態(tài)電路的時域分析1) 由由t=0- 電路求電路求)0()0( LCiu、2) 根據換路定律求出根據換路定律求出)0()0()0()0( LLCCiiuu3) 由由t=0+時時的電路，求所需其它各量的的電路，求所需其它各量的)0( i)0( u或或 注意：注意：(2) 初始值的計算初始值的計算 第四章 動態(tài)電路的時域分析CR0 0RL 注意：注意：第四章 動態(tài)電路的時域分析R03210)/(RRRR U0+-CR0CR0 R1U+-t=0CR2R3SR1R2R3第四章 動態(tài)電路的時域分析解：解： teuuuuCCCC )()0()(cuCi2i電路如圖，電路如圖，t=0時合上開關

20、時合上開關S，合，合S前電路已處于前電路已處于穩(wěn)態(tài)。試求電容電壓穩(wěn)態(tài)。試求電容電壓 和電流和電流 、 。)0( CuV54106109)0(33 CuV54)0()0( CCuut=0-等效電路等效電路)0( Cu9mA+-6k RS9mA6k 2 F3k t=0Ci2iCu+-C R第四章 動態(tài)電路的時域分析S9mA6k 2 F3k t=0Ci2iCu+-C R)( cu由換路后電路求穩(wěn)態(tài)值由換路后電路求穩(wěn)態(tài)值)( cu(33 Cus3630104102103636 CR )( Cut 電路電路9mA+-6k R 3k 第四章 動態(tài)電路的時域分析V54)0( CuV18)( Cus3104 )0V(3618)1854(182503104 tuttCeettuCiCC250e )250(36102dd6 )0A(018. 0t250 te18V54VtCuO第四章 動態(tài)電路的時域分析用三要素法求用三要素法求CiS9mA6k 2 F3k t=0Ci2iCu+-C R3k 6k )0( Ci54 V9mAt=0+等效電路等效電路 tCCCCiiii e)()0()(0)( CimAe126250t 32103)()( tutiCmAe18)(250ttiC mA18102