有限元第八講三維實體單元和軸對稱實體

1、7 三維實體單元和軸對稱實體單元1、幾何方程zuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyzyx,應(yīng)變 位移關(guān)系：矩陣形式幾何方程： wvuxzyzxyzyxzxyzxyzyx0000000002、物理方程 線彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系： Dv 其中應(yīng)力分量： Tzxyzxyzyxv 各向同性彈性系數(shù)矩陣 為： D )1 (22100000)1 (2210000)1 (221000111111)21)(1 ()1 (ED（對稱）二、三維簡單四面體單元1、位移模式和形函數(shù)四面體是最簡單的三維單元，簡單四面體單元把四個頂點作為節(jié)點，節(jié)點編號i，j，m，l。每個節(jié)點3個自由度，單元共12個自由度。單元節(jié)點位

2、移和單元節(jié)點力分量共12個。簡單四面體單元因此，單元內(nèi)每個坐標軸方向的位移設(shè)為三個坐標的完全一次多項式，以滿足完備性條件：zyxu4321zyxv8765zyxw1211109llmmjjiiuNuNuNuNullmmjjiivNvNvNvNvllmmjjiiwNwNwNwNw用3節(jié)點三角形單元中同樣的插值過程，進行廣義坐標替換，得到用節(jié)點位移作廣義坐標的位移模式：用矩陣表示為： eNwvu其中形函數(shù)矩陣 表示為： N IIIIlmjiNNNNN 為三階單位矩陣。I各節(jié)點形函數(shù)計算公式如下：),()(61lmjizdycxbaVNiiiii由行列式性質(zhì)不難證明，該單元的形函數(shù)滿足形函數(shù)性質(zhì)！上

3、式中 V為四面體的體積，由幾何知識：lllmmmjjjiiizyxzyxzyxzyxV11116（節(jié)點坐標行列式）各元素的代數(shù)余子式。行第分別為系數(shù)矩陣行列式系數(shù)),(,lmjikkdcbakkkk由于該單元是線性位移模式，單元的任一三角形界面在變形后仍然保持為一平面，界面位移由其上的3個節(jié)點位移決定。因此相鄰兩單元在變形過程中，三角形交界面上位移能保持協(xié)調(diào)，因此是協(xié)調(diào)單元，從而單元的收斂性得到保證。2、應(yīng)變矩陣和單元剛度矩陣由幾何方程得到單元內(nèi)應(yīng)變節(jié)點位移關(guān)系： elmjieBBBBB應(yīng)變矩陣 的任一個子塊為： BkkkkkkkkkkbdcdbcdcbVB00000000061（k=i, j

4、, m, l)顯然，應(yīng)變矩陣是常數(shù)矩陣，該單元的應(yīng)變、應(yīng)力是常數(shù)，稱為常應(yīng)變單元，與平面三角形單元相似。由單元剛度矩陣的通式得到簡單四面體單元的剛度矩陣： eTTVeVBDBdVBDBKe ),(33lmjisrVBDBkesTrrs剛度矩陣按節(jié)點分塊后，任一個子塊為：3、單元等效節(jié)點力計算三維四節(jié)點四面體單元等效節(jié)點力計算公式導出原理和平面單元相同。1）體力 dVpNRTVeVe2）面力 dSpNRTSeSe如果體力或面力是均勻力，可以把單元上的體力合力或一個三角形面上面力合力均勻分配到單元或一個面的所有節(jié)點上，即體力合力每個節(jié)點1/4，面力合力每個節(jié)點1/3。4、單元評價四節(jié)點四邊形單元的

5、優(yōu)點是簡單，適應(yīng)性好。由于采用線性位移模式，單元上應(yīng)力、應(yīng)變是常數(shù)，精度低，收斂速度慢，一般的單元網(wǎng)格使結(jié)構(gòu)剛度明顯偏大 。要得到一定準確度的結(jié)果，需要的單元和節(jié)點特別多，效益低。結(jié)構(gòu)分析中應(yīng)盡量避免使用該單元。進行三維分析，一般采用高精度實體單元。三、空間軸對稱問題簡介工程中有大量的回轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)，幾何形狀對稱于中心軸。如果回轉(zhuǎn)體所受到的載荷也對稱于中心軸，則其變形和應(yīng)力也對稱于此軸，這類問題在力學上稱為空間軸對稱問題。典型的軸對稱問題的例子：高速旋轉(zhuǎn)的氣輪機轉(zhuǎn)子、輪盤，受均勻內(nèi)壓的旋轉(zhuǎn)體高壓厚壁容器（包括火炮身管），活塞，汽閥等各種密封件結(jié)構(gòu)。軸對稱問題用圓柱坐標系 描述。Z軸為對稱軸（回轉(zhuǎn)中

6、心軸），過中心軸的平截面（子午面）為r-z面。）（zr,所有力學量都與 無關(guān)，只是r和z的函數(shù)。因此軸對稱問題只需在（r-z面）內(nèi)描述，因為回轉(zhuǎn)體的任何一個子午面都是圓周方向的對稱面。因此，軸對稱問題在數(shù)學上是二維問題。 軸對稱問題的位移有2個分量：沿徑向r的位移u和沿軸向z的位移w。),(),(zrwwzruu軸對稱問題的回轉(zhuǎn)體上一點的集中力實際是沿過該點的圓周上的線分布力，表面（一段邊界）上的分布力也是繞對稱軸回轉(zhuǎn)面上的軸對稱分布力。軸對稱問題有4個應(yīng)變分量：三個子午面內(nèi)的應(yīng)變分量： ，一個圓周方向的應(yīng)變分量 。軸對稱問題的應(yīng)變位移關(guān)系幾何方程如下：rzzr,rurwzuzwrurzzr軸

7、對稱問題的應(yīng)力分量有4個： Trzzr四、軸對稱問題的簡單三角形單元1、軸對稱問題離散化的幾何意義回轉(zhuǎn)體在r-z平面內(nèi)用二維幾何圖形表示，圖形可以剖分為若干個簡單三角形單元。每個三角形單元代表一個截面為三角形的圓環(huán)體。2、位移模式和形函數(shù)單元位移多項式與簡單平面三角形單元相同，是完全一次多項式。通過插值得到節(jié)點位移表示的位移模式：與平面問題相似，單元有6個自由度，每個節(jié)點有r，z方向2個位移。單元的節(jié)點位移列陣為： Tmmjjiiewuwuwu eNwu形函數(shù)矩陣 與平面問題的簡單三角形單元完全相同。 N各形函數(shù)也完全相同，只是坐標不同：),()(21mjizcrbaNiiii3、應(yīng)變與應(yīng)力 rzcbrafmjifbccbBiiiiiiiiii),(00021 eB eBD4個應(yīng)力分量，剪應(yīng)力為常量，其它3個正應(yīng)力分量均隨位置變化。4個應(yīng)變分量中，面內(nèi)（子午面） 3個應(yīng)變分量為常量，環(huán)向應(yīng)變不是常應(yīng)變， 而是與單元中各點的位置有關(guān)。4、單元剛度矩陣軸對稱問題單元剛度矩陣導出的原理與其他單元相同，都是根據(jù)虛功方程。而外力虛功和應(yīng)力的虛功都是在單元代表的實際物理空間中進行積分計算。因此，下列從虛功方程導出的單元剛度矩陣通式對空間軸對稱問題同樣成立： dVBDBkTVee其中，積分域 是單元所代表的物理區(qū)域。對于軸對稱單元，就是一個完整的環(huán)狀體。 eV因此，軸對稱單元剛度矩陣的