計算機控制系統(tǒng)分析

1、3.1 脈沖傳遞函數(shù)3.1.1 脈沖傳遞函數(shù)的定義對右圖所示的采樣控制系統(tǒng)，如果系統(tǒng)的初始條件為零，則脈沖傳遞函數(shù)定義為輸出采樣信號的z變換與輸入采樣信號z變換之比，用G(z)表示)()()(zRzCzG)()()()(11*zRzGZzCZtc對于大多數(shù)的實際系統(tǒng)而言，其輸出往往是連續(xù)信號而不是采樣信號，我們可以在輸出端虛設一個采樣開關(guān)，兩采樣開關(guān)同步工作。G(s)r(t)r*(t)c(t)c*(t)G(z)3.1.2 開環(huán)系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的脈沖傳遞函數(shù)例3-1 具有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)如右圖所示，求其脈沖傳遞函數(shù)。解：零階保持器的傳遞函數(shù)為sesGTsh1)()()()()()()()()(

2、)()()()()()()()()(212*2*1*2*222221*12*zRzGzzCztcztctcTetcsGesGZzGzRzGzCztcsGtcsGTsTsp變換為得變換的滯后定理，根據(jù)延遲了一個采樣周期，比，所以采樣周期延時環(huán)節(jié)，延遲了一個是一個，由于所產(chǎn)生的響應信號經(jīng)過另一個分量是輸入采樣。其中變換為，其得響應后產(chǎn)生過分量是輸入采樣信號經(jīng)中包含兩個分量，一個的形式。因為，將上圖等效成下圖傳遞函數(shù)。為分析方便為系統(tǒng)其他連續(xù)部分的圖中seTs1Gp(s)r(t)c(t)c*(t)r*(t)ssGp)(1-e-Tsc(t)c*(t)r*(t)r(t)(a)(b)()()( 2111)

3、2)(1(1)()()( 21)(11)( 23)(1)()()( )()(1)()()1 ()()()( 2222121222121TTTTTTezezeezezzezzzGsssssGsGsGssGssGzGzzzRzCzGzRzGzzzRzGzzCzCzC解：。，脈沖傳遞函數(shù)。其中器兩個連續(xù)環(huán)節(jié)的開環(huán)求下圖所示中間無采樣例故開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為所以G1(s)c(t)c*(t)r*(t)r(t)G2(s)傳遞函數(shù)的乘積。等于各個串聯(lián)環(huán)節(jié)脈沖器，總的脈沖傳遞函數(shù)若串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣。求，然后根據(jù)一個整體器，需將這些環(huán)節(jié)看成若串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣所以。因此作用于成為，經(jīng)第二個采樣器的輸出量為之間有

4、采樣器，設和解：。，脈沖傳遞函數(shù)。其中器兩個連續(xù)環(huán)節(jié)的開環(huán)求下圖所示中間有采樣例)2()()()()()()() 1 ()()()( )()()()( )()()( )()()( )()()()()( )( 21)(11)( 232122121212*12121zGsGsGsGsGsGezzezzzGzGzGzRzGzGzCzMzGzCzRzGzMsGtmtmsGsGsGssGssGnTTG1(s)c(t)c*(t)r*(t)r(t)G2(s)m(t)m*(t)的典型結(jié)構(gòu)。形式，所以也沒有唯一不同，可以有多種結(jié)構(gòu)位置的，由于采樣開關(guān)設置的。但在采樣控制系統(tǒng)中圖來描述一個閉環(huán)系統(tǒng)用一種典型的結(jié)構(gòu)

5、確定的關(guān)系，所以可以傳遞函數(shù)之間有著傳遞函數(shù)與相應的開環(huán)控制系統(tǒng)中，閉環(huán)需要注意的是，在連續(xù)由以上三式得，根據(jù)定義作用于脈沖序列經(jīng)采樣器后成為離散的誤差信號之差和反饋信號為輸入信號系統(tǒng)，其誤差信號如上圖所示的采樣控制數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函)(1)()()( )()()( )()()( )()()( )()()()()()( )()()(3 . 1 . 3*zGHzGzRzCzBzRzEzEzGHzBzEzGzCsGtetetbtrtetbtrteG(s)H(s)r(t)+-b(t)e(t)e*(t)c(t)類型類型系系 統(tǒng)統(tǒng) 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu)閉閉 環(huán)環(huán) 脈脈 沖沖 傳傳 遞遞 函函 數(shù)數(shù)1 12 2

6、3 34 45 5G(s)r(t)+-c(t)H(s)G1(s)r(t)+-c(t)H(s)G2(s)G(s)r(t)+-c(t)H(s)G(s)r(t)+-c(t)H(s)G1(s)r(t)+-c(t)H(s)G2(s)(1)()()(zGHzGzRzC)()(1)()()()(2121zHGzGzGzGzRzC)()(1)()()(zHzGzGzRzC)()(1)()()(zHzGzGzRzC)()()(1)()()()(2121zHzGzGzGzGzRzC301. 0052. 1074. 02 . 0)(1)()()( )368. 0)(819. 0(135. 03 . 03 . 0)(

7、 2)(126 . 01103122 . 11102)()(819. 02 . 0)( 2)(1102)(43225 . 01 . 0zzzzzGHzGzRzYzzzezzezzzGHsTzGHsssssHsGzzzGsTzGssGTT函數(shù)為則系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞，得并代入求由得，并代入求得解：由脈沖傳遞函數(shù)求右圖所示系統(tǒng)的閉環(huán)例1102s122 . 1sr(t)+-c(t)T=2s121110653321222031. 1079. 1075. 1894. 0147. 14 . 14 . 1368. 0) 1)(632. 0()264. 0368. 0()(1)( 632. 0264. 0368

8、. 0)(1)()()()368. 0)(1(264. 0368. 0)(1) 1(1)(153zzzzzzzzzzzzzzzCzzzRzzzzGzGzRzCzzzzGsTzssesGsTTs則可得對單位階躍函數(shù)有數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函得變換，并代入對其作解：。其中采樣周期階躍響應。求右圖所示系統(tǒng)的單位例0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1.00.2c(kT)kTXXXXXXXXXXXXXseTs1) 1(1ssr(t)+-c(t)3.2 計算機控制系統(tǒng)的性能分析3.2.1 系統(tǒng)的穩(wěn)定性設一個單輸入、單輸出線性定常系統(tǒng)的閉

9、環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為)(1)()()(zGHzGzRzC該系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以由特征方程 的根在Z平面中的位置來確定。為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，特征方程的全部根必須位于Z平面中單位圓的內(nèi)部。如果系統(tǒng)的閉環(huán)極點或特征方程的根中有位于單位圓外的情況，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。如果有一個根恰好位于Z平面中單位圓上，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定，臨界穩(wěn)定在實際系統(tǒng)中屬于不穩(wěn)定。 分析離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定性：雙線性變換(稱為z-w變換)的勞斯判據(jù)。)(1)(zGHzD的穩(wěn)定性了。據(jù)來判斷離散控制系統(tǒng)這樣，就可以用勞斯判平面單位圓圓周平面的虛軸對應于，即時，則平面單位圓內(nèi)平面的左半平面對應于，即時，則平面單位圓外平面的右半平面對應于，即時，則

10、可以看出或者zwzwzwzwzwzwzzwzzwwwzwwz10Re10Re10Re1111 1111 35. 40063. 0063. 074. 2 063. 026. 1)63. 074. 2()( )(11037. 0)37. 163. 0()1 ()(1()(1)(1()1 ()(111) 1()(6322KKKKwwKwDzDwwzwzzKzeKzezzzDsTezzeKzzGssKssKsGkTTTT圍為則使系統(tǒng)穩(wěn)定的取值范和使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須有應用勞斯判據(jù)可知，要，并整理得代入變換，即將進行時為在則閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程所以有解：由于的取值范圍。統(tǒng)穩(wěn)定時求右圖所示采樣控制系例) 1(

11、ssKr(t)+-c(t)T=1s 如果系統(tǒng)中沒有采樣器，則對該二階連續(xù)系統(tǒng)可以直接用勞斯判據(jù)證明，只要K大于零，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的；但經(jīng)過采樣后，就不一定了。一般來說，引入采樣器會降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而且采樣周期越大，系統(tǒng)穩(wěn)定性越差。 可以自己改變上述系統(tǒng)的采樣周期，將其變小一些，再檢驗系統(tǒng)穩(wěn)定時K的取值范圍。 不過，實踐證明，對于帶有很大時間延遲對象的系統(tǒng)則例外。3.2.2 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的重要指標。在單位反饋的離散控制系統(tǒng)中，即令H(s)=1，系統(tǒng)在輸入信號作用下誤差的z變換式為穩(wěn)態(tài)誤差。統(tǒng)的下，對應不同結(jié)構(gòu)的系下在典型輸入信號作用等系統(tǒng)。下面，討論一型型、型、的極點的

12、個數(shù)分為中含有數(shù)以按其開環(huán)脈沖傳遞函散控制系統(tǒng)可的極點相對應，因此離平面上的極點與平面上由于。開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)有關(guān)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)號及制系統(tǒng)一樣，與輸入信統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與連續(xù)控由此可見，離散控制系系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差變換的終值定理，求出，則利用假定閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的IIIzzGsszzzGzRzkeeezzGzRzEzkssss01)(01)(1)() 1(lim)(lim )(1)()( 100) 1 (11) 1 (0)(lim)(lim 11)(11lim1)(11) 1(lim 1)( )( 1)( ) 10111sspsspsspspzppzzsseKIIeKIGeGKsGKzGKKzGzzzGzez

13、zzRttr，型系統(tǒng)，型系統(tǒng)，為有限值，型系統(tǒng)，對于定義為位置誤差系數(shù)。其中時單位階躍（位置）輸入0) 1 () 1 (00)(lim)() 1(lim1 1)() 1(1lim) 1()(11) 1(lim ) 1()( )( )211011212ssvssvssvsvzvvzzsseKIIGTeTGKIeKssGKzGzTKKzGzTzTzzGzezTzzRttr，型系統(tǒng)，型系統(tǒng)，型系統(tǒng)，對于定義為速度誤差系數(shù)。其中時單位斜坡（速度）輸入) 1 ()(000)(lim)() 1(lim1 1)() 1(1lim) 1(2) 1()(11) 1(lim ) 1(2) 1()( 2)( )32

14、22220212212321322GTeTzGKIIeKIeKsGsKzGzTKKzGzTzzzTzGzezzzTzRttrssassassasazaazzss，型系統(tǒng)，型系統(tǒng)，型系統(tǒng)，。對于定義為加速度誤差系數(shù)其中輸入時單位拋物線（加速度）部分誤差會很大。引起的誤差。有時，這頻譜信號產(chǎn)生的紋波所時刻還將附加由高頻的穩(wěn)態(tài)誤差，在非采樣上述結(jié)論只是采樣時刻小穩(wěn)態(tài)誤差。，減小采樣周期可以減與采樣周期的大小有關(guān)有差系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差還離散控制系統(tǒng)中：在的。但需要注意的是，系統(tǒng)的相應結(jié)論是相同穩(wěn)態(tài)誤差的結(jié)論和連續(xù)于號和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不同時關(guān)系統(tǒng)中，當?shù)湫洼斎胄庞纱丝梢姡陔x散控制遞函數(shù)值；時的脈沖傳的極點后，在

15、在消去了型系統(tǒng)的為遞函數(shù)值；時的脈沖傳的極點后，在在消去了型系統(tǒng)的為時的脈沖傳遞函數(shù)值；在型系統(tǒng)的為上述各式中，)2() 1 (11)() 1 (11)() 1 (1)(0) 1 (210zzzGIIGzzzGIGzzGG1 . 0110) 1(8 . 02 . 1) 1(lim1)() 1(lim1,1111211)(,) 1(8 . 02 . 1)( 2 . 05101) 15 . 0(101)(,211)(2 . 0732212212222332asszzavpavpssKezzzTzGzTKKKIIKKKetttrzIIzzzGsTssZzzssZzzzGtttrsT型系統(tǒng)，由于對：的

16、作用下，穩(wěn)態(tài)誤差為入信號為變換的終值定理，在輸。利用采樣控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的型系統(tǒng)?？梢宰C明，該這是一個上式說明代入上式并整理將遞函數(shù)為解：系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳求該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。試用靜態(tài)誤差系數(shù)法，為，輸入信號周期的結(jié)構(gòu)如圖所示，采樣已知采樣離散控制系統(tǒng)例seTs12) 15 . 0(10ss r(t)+-c(t)1)()()()()(zzzDzNzRzzC3.2.4 動態(tài)響應分析 如果已知離散控制系統(tǒng)的數(shù)學模型，通過遞推法或者z變換法不難求出典型輸入作用下的輸出響應。離散控制系統(tǒng)的動態(tài)響應取決于系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)零、極點在z平面中的分布情況。這里我們僅就單位階躍輸入函數(shù)作用下的輸出響應。設系統(tǒng)的閉環(huán)

17、脈沖傳遞函數(shù)為(z)，則系統(tǒng)輸出量的z變換為jpzjjnjjjzDzzNpzAGDNApzAzAzDzzNzzCz)() 1()()( ) 1 () 1 () 1 ( 1)() 1()()( )(010其中中無重極點。于是為分析方便，假設那么的瞬態(tài)響應為，對應于極點系統(tǒng)的動態(tài)性能。顯然瞬態(tài)響應，就足以說明同極點分布時的為其瞬態(tài)響應。研究不為階躍響應的穩(wěn)態(tài)值，其中，所以)sin(cos )sin(cos )()(11)( 1010101jjkjjjjjjjjnjkjjnjkjjknjjjkjkrAjrerppAApAApzzAzzAZkcjTrrrkrAereAereAAAerAerAerper

18、prrrTkrAprrrrApjjjjjjjjkjjjkkjjjjkkjjjjjjkkjjjkkjjjjjjjjjjjjkjjjjjjjkjjjjjjjjjjjj/1)cos(2 1800 ,)3(111/cos180)2(1110) 1 ( 可以證明越大，振蕩頻率越高，有關(guān)，越快；振蕩頻率與越小，衰減的大小，決于時，振蕩的衰減速率取是振蕩的。當為也共軛，因此瞬態(tài)響應和其中，瞬態(tài)響應為復數(shù)極點時必為共軛，時，為發(fā)散振蕩。振蕩，當時，為等幅時，為衰減振蕩；。振蕩頻率可以證明為是振蕩的，最高，瞬態(tài)響應為負實數(shù)極點時，當時，為發(fā)散序列。時，為等幅序列，當衰減序列，時，為是單調(diào)的。，瞬態(tài)響應為正實數(shù)極點時，當 關(guān)于閉環(huán)極點在z平面中的分布情況所對應的輸出響應如右圖所示。 由上述分析可知，只要閉環(huán)極點在z平面的單位圓內(nèi)，離散控制系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。穩(wěn)