有限元分析—溫度場與熱變形問題專題

1、 第九章 溫度場與熱變形問題 9-1 溫度場與熱變形問題 9-2 溫度場問題的基本方程 9-3 平面穩(wěn)態(tài)溫度場的有限元法 9-4 熱變形的計算2.1 直梁直梁 2.1.1梁有限元模型梁有限元模型 2.1.2節(jié)點位移與節(jié)點載荷節(jié)點位移與節(jié)點載荷 2.1.3單元剛度矩陣單元剛度矩陣 2.1.4單元剛度矩陣的疊加單元剛度矩陣的疊加 2.1.5邊界條件邊界條件 2.1.6工程實例工程實例2.2 平面剛架平面剛架 2.2.1有限元法基本思想節(jié)點位移與節(jié)點載荷有限元法基本思想節(jié)點位移與節(jié)點載荷 2.2.2單元剛度矩陣單元剛度矩陣 2.2.3單元剛度矩陣的坐標變換單元剛度矩陣的坐標變換 2.2.4總的剛度矩

2、陣疊加總的剛度矩陣疊加 2.2.5位移法基本方程位移法基本方程2.3工程實例工程實例 2.2.1有限元法基本思想節(jié)點位移與節(jié)點載荷有限元法基本思想節(jié)點位移與節(jié)點載荷 2.2.2單元剛度矩陣單元剛度矩陣 2.2.3單元剛度矩陣的坐標變換單元剛度矩陣的坐標變換 2.2.4總的剛度矩陣疊加總的剛度矩陣疊加 2.2.5位移位移9-1 溫度場與熱變形問題 工程中的許多結(jié)構(gòu)在高溫條件下工作或由于工作過程中運動工程中的許多結(jié)構(gòu)在高溫條件下工作或由于工作過程中運動副的摩擦發(fā)熱，都會導致結(jié)構(gòu)產(chǎn)生溫度升高，產(chǎn)生熱變形或溫副的摩擦發(fā)熱，都會導致結(jié)構(gòu)產(chǎn)生溫度升高，產(chǎn)生熱變形或溫度應(yīng)力，因此，減少或控制熱變形度應(yīng)力，因

3、此，減少或控制熱變形/ /溫度應(yīng)力是設(shè)計中不可忽溫度應(yīng)力是設(shè)計中不可忽視的問題。視的問題。 工程設(shè)計中，常期望準確地計算出結(jié)構(gòu)各個部位的溫升工程設(shè)計中，常期望準確地計算出結(jié)構(gòu)各個部位的溫升或熱變形量，分析結(jié)構(gòu)的熱平衡狀況，從而達到改進結(jié)構(gòu)設(shè)計或熱變形量，分析結(jié)構(gòu)的熱平衡狀況，從而達到改進結(jié)構(gòu)設(shè)計或環(huán)境設(shè)計，減少熱變形對工作精度的影響。或環(huán)境設(shè)計，減少熱變形對工作精度的影響。 本章介紹：本章介紹： 1 1、溫度場問題的基本方程、溫度場問題的基本方程 2 2、平面穩(wěn)態(tài)溫度場的有限元法、平面穩(wěn)態(tài)溫度場的有限元法 3 3、熱變形的計算、熱變形的計算9-2 溫度場問題的基本方程 一般三維問題，物體各點的

4、一般三維問題，物體各點的溫度是坐標和時間變化的，溫度是坐標和時間變化的，即即 熱平衡原理：任一熱平衡原理：任一dt時間內(nèi)，時間內(nèi)，物體內(nèi)任一微元體所積蓄的物體內(nèi)任一微元體所積蓄的熱量（即溫度升高所需的熱熱量（即溫度升高所需的熱量）等于傳入該微元體的熱量）等于傳入該微元體的熱量與微元體內(nèi)熱源所產(chǎn)生的量與微元體內(nèi)熱源所產(chǎn)生的熱量之和。即熱量之和。即xxqqdxxxyzdxdzdyy Qzzqqdzzyyqqdyyzqyqxq( , , , )TT x y z t 微元溫度微元溫度 傳入微元傳入微元 微元內(nèi)微元內(nèi) 升高升高 = 的的 + 產(chǎn)生產(chǎn)生 所需熱量所需熱量 凈熱量凈熱量 的熱量的熱量 設(shè)微元

5、在設(shè)微元在dt內(nèi)，溫度升高為：內(nèi)，溫度升高為： 相應(yīng)所積蓄的熱量為：相應(yīng)所積蓄的熱量為： 同一時間內(nèi)，微元體沿同一時間內(nèi)，微元體沿x方向方向傳入和傳出的熱量之差，即凈傳入和傳出的熱量之差，即凈熱量為：熱量為： 類似，類似，y，z方向的凈熱量：方向的凈熱量： 即傳入微元體的凈熱量為：即傳入微元體的凈熱量為： 由熱傳導定律：熱流密度與溫由熱傳導定律：熱流密度與溫度梯度成正比，而方向相反，度梯度成正比，而方向相反，即：即： 代入上式得傳入微元體凈熱量代入上式得傳入微元體凈熱量為：為：TTTdttTc dxdydzdtt ()xxxxqqq dydzdtqdx dydzdtdxdydzdtxx , y

6、zqqdxdydzdtdxdydzdtyz()yxzqqqdxdydzdtxyz, , xxyyzzTTTqkqkqkxyz ()()()xyzTTTkkkdxdydzdtxxyyzz 設(shè)微元體內(nèi)有熱源，其熱源密度為設(shè)微元體內(nèi)有熱源，其熱源密度為Q(x,y,z,t)，則該熱源在，則該熱源在dt內(nèi)所共給的熱量為：內(nèi)所共給的熱量為： 據(jù)熱平衡得一般熱傳導微分方程：據(jù)熱平衡得一般熱傳導微分方程：()()()xyzTTTTc dxdydzdtkkkdxdydzdtQdxdydzdttxxyyzzQdxdydzdt微元體溫度升微元體溫度升高所需的熱量高所需的熱量三個方向傳入微三個方向傳入微元體的凈熱量元

7、體的凈熱量微元體內(nèi)熱源微元體內(nèi)熱源產(chǎn)生的熱量產(chǎn)生的熱量 物體密度物體密度 c 比熱，單位質(zhì)量物體溫度升高比熱，單位質(zhì)量物體溫度升高一度所需的熱量一度所需的熱量 熱傳導系數(shù)熱傳導系數(shù),xyzk kk 整理得：整理得： 滿足上述熱傳導方程的解有無限多個，為了確定真滿足上述熱傳導方程的解有無限多個，為了確定真實的溫度場，必須知道物體初始瞬態(tài)的溫度分布，實的溫度場，必須知道物體初始瞬態(tài)的溫度分布，即初始條件，稱為第一類邊界條件即初始條件，稱為第一類邊界條件 同時，還需知道物體表面與周圍介質(zhì)間進行熱交換同時，還需知道物體表面與周圍介質(zhì)間進行熱交換的規(guī)律，即邊界條件，稱為第二類邊界條件。的規(guī)律，即邊界條件

8、，稱為第二類邊界條件。()()()0 xyzTTTTckkkQtxxyyzz0( , , , )( , , )tT x y z tT x y z111( , , , )|(, ) T x y z tTt在邊界上()aTkTTn 1、三維瞬態(tài)熱傳導方程及邊界條件、三維瞬態(tài)熱傳導方程及邊界條件 2、二維穩(wěn)態(tài)熱傳導方程及邊界條件、二維穩(wěn)態(tài)熱傳導方程及邊界條件112()()()0 ( , , , )(, ) () xyzaTTTTckkkQtxxyyzzT x y z tTtTkTTn在 內(nèi)在 上在上112()()0 ( , , )(, ) () xyaTTkkQxxyyT x y tTtTkTTn在

9、 內(nèi)在上在上若物體內(nèi)無熱源，則方程退化為二維無熱源穩(wěn)態(tài)熱傳導方程9-3 平面穩(wěn)態(tài)溫度場的有限元法 1、泛函與變分、泛函與變分 函數(shù)函數(shù) y=f(x) 求求y 的極值，即求微分，由的極值，即求微分，由dy=0 可得?？傻?。 泛函泛函J=J y(x) 函數(shù)函數(shù)y(x)為自變量，為自變量，J為函數(shù)為函數(shù)y的函數(shù)，稱的函數(shù)，稱J為為y的泛函，求泛函的極值，即求變分，的泛函，求泛函的極值，即求變分， 由由 可得?？傻?。 例：平面上例：平面上AB兩點，連接兩點，連接AB的曲線很多，要求一條曲線使重的曲線很多，要求一條曲線使重物靠自重由物靠自重由A沿此曲線滑到沿此曲線滑到B所需的時間最短，即求最速下降所需的

10、時間最短，即求最速下降曲線。曲線。 顯然，顯然，AB間直線路徑最短，但重物運動的速度增長并不是最間直線路徑最短，但重物運動的速度增長并不是最大，即下滑的時間并非最短。大，即下滑的時間并非最短。0JxyvpBA( ) 1,2,.iy xin 1,2,.iT in 2、平面穩(wěn)態(tài)溫度場的泛函、平面穩(wěn)態(tài)溫度場的泛函 求滿足平面溫度場方程及邊界條件的溫度場求滿足平面溫度場方程及邊界條件的溫度場T(x,y),設(shè)設(shè)k為為常數(shù)常數(shù) 據(jù)變分原理，此問題等價于求泛函據(jù)變分原理，此問題等價于求泛函JT(x,y)的極值函數(shù)，的極值函數(shù)，參考相關(guān)教材，可得上述熱傳導作為歐拉方程的相應(yīng)泛參考相關(guān)教材，可得上述熱傳導作為歐

11、拉方程的相應(yīng)泛函：函：222210 () aTTxyTkTTn在 內(nèi)在 上12221 ( , )()() ()22akTTJ T x ydxdyTTT dsxy求解域內(nèi)部溫度場相應(yīng)的泛函求解域邊界部分溫度場相應(yīng)的泛函 3、溫度場單元分析、溫度場單元分析 圖示求解域離散為若干三角形單元，圖示求解域離散為若干三角形單元，含有邊界的單元，稱為邊界單元，含有邊界的單元，稱為邊界單元，任取一個單元任取一個單元i,j,k,如圖。如圖。 A、溫度插值函數(shù)、溫度插值函數(shù) 在邊界線在邊界線(如如ij)上的任一點的溫度上的任一點的溫度T，可用兩個端點的節(jié)點溫度線性插值可用兩個端點的節(jié)點溫度線性插值表示：表示：xy

12、o123( , )T x yxy ( , )eiijjkkT x yNTN TN TN T1() i,j,k2iiiiNab xc yA輪換(1)ijKKSSTTTSSxy o T(x,y)j ik s B、單元溫度剛度矩陣、單元溫度剛度矩陣 從溫度場插值函數(shù)可知，溫度場已離散到全部節(jié)點上，從溫度場插值函數(shù)可知，溫度場已離散到全部節(jié)點上，即求溫度場實際是求節(jié)點的溫度值。因而，泛函式實際即求溫度場實際是求節(jié)點的溫度值。因而，泛函式實際已成為描述未知節(jié)點溫度的多元函數(shù)，而不是溫度場已成為描述未知節(jié)點溫度的多元函數(shù)，而不是溫度場T(x,y)的函數(shù)，即問題轉(zhuǎn)化為求多元函數(shù)的極值的函數(shù)，即問題轉(zhuǎn)化為求多

13、元函數(shù)的極值 設(shè)求解域有設(shè)求解域有n個節(jié)點溫度未知量，則泛函個節(jié)點溫度未知量，則泛函JT(x,y)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為為 的形式，極值條件為：的形式，極值條件為： 設(shè)單元只有三節(jié)點溫度，設(shè)單元只有三節(jié)點溫度，jk為邊界，將溫度插值函數(shù)代為邊界，將溫度插值函數(shù)代入前述的泛函，并求導得極值條件：入前述的泛函，并求導得極值條件：0 1,2,.eemmJJmnTT12 ,. nJ T TT()() () 0eiiieajjkJTTTTkdxdyTxTxyTyTTTT上式第一部分為內(nèi)部單元的溫度剛陣：上式第一部分為內(nèi)部單元的溫度剛陣：對于內(nèi)部單元的溫度剛陣，對于內(nèi)部單元的溫度剛陣，i,j,k三點輪換，記為矩陣形式

14、：三點輪換，記為矩陣形式：第二部分：第二部分：記為矩陣形式：記為矩陣形式：兩部分相加可得邊界單元的溫度剛陣：兩部分相加可得邊界單元的溫度剛陣：22()()()4eiiiijijjikikkiJkbc Tbbcc Tbbcc TTA 22222204eiiiijiji ki kieeejjj kj kjjkkkekJTbcbbccbbccTJkbcb bc cTHTTAbcTJT()362iiiajkajjksssTTTTTTT 1000036223ieeeiiijakiiaTsssTTHTpTssT 1()0 eeeeeeeHHTpHTp即3、整體溫度場方程、整體溫度場方程為為n個線性方程組，

15、對于每個方程而言，是對繞節(jié)個線性方程組，對于每個方程而言，是對繞節(jié)點點m的所有單元求和，如圖，節(jié)點的所有單元求和，如圖，節(jié)點5，則繞節(jié)點，則繞節(jié)點5的單元為的單元為1，2，3，而其它單元不含節(jié)點，而其它單元不含節(jié)點5，即它，即它們的泛函對們的泛函對 的偏導為的偏導為0，可不考慮，即，可不考慮，即如單元如單元1，3為邊界單元，則按邊界單元剛陣計算；為邊界單元，則按邊界單元剛陣計算；如單元如單元2為內(nèi)部單元，則按內(nèi)部單元剛陣計算。為內(nèi)部單元，則按內(nèi)部單元剛陣計算。如此整理可得整體代數(shù)方程組：如此整理可得整體代數(shù)方程組：對于其他帶熱源的穩(wěn)態(tài)溫度場或三維溫度場計算對于其他帶熱源的穩(wěn)態(tài)溫度場或三維溫度場

16、計算其方法相似。其方法相似。0 1,2,.eemmJJmnTTxyo123154612355550JJJJTTTT111211122222nnnnnnhhhTphhTphTp HTp5T9-4 熱變形的計算 當彈性體的溫度改變時，體內(nèi)各部分將隨溫度變化而產(chǎn)當彈性體的溫度改變時，體內(nèi)各部分將隨溫度變化而產(chǎn)生變形，這種變形常稱為熱變形。考慮到彈性體實際工生變形，這種變形常稱為熱變形?？紤]到彈性體實際工作中都受到外界和體內(nèi)各個部分間的約束，故熱變形往作中都受到外界和體內(nèi)各個部分間的約束，故熱變形往往不能自由發(fā)生，從而將導致體內(nèi)產(chǎn)生應(yīng)力，這種應(yīng)力往不能自由發(fā)生，從而將導致體內(nèi)產(chǎn)生應(yīng)力，這種應(yīng)力常稱為熱

17、應(yīng)力。與之對應(yīng)的溫度的改變常稱為熱載荷。常稱為熱應(yīng)力。與之對應(yīng)的溫度的改變常稱為熱載荷。 設(shè)二維平面問題的彈性體兩個瞬時的溫度變化設(shè)二維平面問題的彈性體兩個瞬時的溫度變化為為 ，材料的線膨脹系數(shù)為，材料的線膨脹系數(shù)為 ，對各向，對各向同性材料，熱膨脹只產(chǎn)生正應(yīng)變，不伴隨產(chǎn)生剪應(yīng)變。同性材料，熱膨脹只產(chǎn)生正應(yīng)變，不伴隨產(chǎn)生剪應(yīng)變。即即 若將物體由熱變形產(chǎn)生的應(yīng)變可視為物體的若將物體由熱變形產(chǎn)生的應(yīng)變可視為物體的初應(yīng)變初應(yīng)變，則，則計算熱應(yīng)力只需算出計算熱應(yīng)力只需算出熱變形熱變形引起的初應(yīng)變，求得相應(yīng)初引起的初應(yīng)變，求得相應(yīng)初應(yīng)變引起的等效節(jié)點載荷（溫度等效節(jié)點載荷），然后應(yīng)變引起的等效節(jié)點載荷（溫度等效節(jié)點載荷），然后按通常求解剛度方程計算出節(jié)點位移即可。按通常求解剛度方程計算出節(jié)點位移即可。000 0 x