有限元分析理論基礎(chǔ)

1、有限元分析概念有限元法：把求解區(qū)域看作由許多小的在節(jié)點(diǎn)處相互連接的單元（子域）所構(gòu)成，其模型給出基本方程的分片（子域）近似解，由于單元（子域）可以被分割成各種形狀和大小不同的尺寸，所以它能很好地適應(yīng)復(fù)雜的幾何形狀、復(fù)雜的材料特性和復(fù)雜的邊界條件有限元模型：它是真實(shí)系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)抽象。由一些簡單形狀的單元組成，單元之間通過節(jié)點(diǎn)連接，并承受一定載荷。有限元分析：是利用數(shù)學(xué)近似的方法對真實(shí)物理系統(tǒng)（幾何和載荷工況）進(jìn)行模擬。并利用簡單而又相互作用的元素，即單元，就可以用有限數(shù)量的未知量去逼近無限未知量的真實(shí)系統(tǒng)。線彈性有限元是以理想彈性體為研究對象的，所考慮的變形建立在小變形假設(shè)的基礎(chǔ)上。在這類問

2、題中，材料的應(yīng)力與應(yīng)變呈線性關(guān)系，滿足廣義胡克定律；應(yīng)力與應(yīng)變也是線性關(guān)系，線彈性問題可歸結(jié)為求解線性方程問題，所以只需要較少的計(jì)算時(shí)間。如果采用高效的代數(shù)方程組求解方法，也有助于降低有限元分析的時(shí)間。線彈性有限元一般包括線彈性靜力學(xué)分析與線彈性動(dòng)力學(xué)分析兩方面。非線性問題與線彈性問題的區(qū)別：1）非線性問題的方程是非線性的，一般需要迭代求解；2）非線性問題不能采用疊加原理；3）非線性問題不總有一致解，有時(shí)甚至沒有解。有限元求解非線性問題可分為以下三類：1）材料非線性問題材料的應(yīng)力和應(yīng)變是非線性的，但應(yīng)力與應(yīng)變卻很微小，此時(shí)應(yīng)變與位移呈線性關(guān)系，這類問題屬于材料的非線性問題。由于從理論上還不能提

3、供能普遍接受的本構(gòu)關(guān)系，所以，一般材料的應(yīng)力與應(yīng)變之間的非線性關(guān)系要基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)，有時(shí)非線性材料特性可用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行模擬，盡管這些模型總有他們的局限性。在工程實(shí)際中較為重要的材料非線性問題有：非線性彈性（包括分段線彈性）、彈塑性、粘塑性及蠕變等。2）幾何非線性問題幾何非線性問題是由于位移之間存在非線性關(guān)系引起的。當(dāng)物體的位移較大時(shí)，應(yīng)變與位移的關(guān)系是非線性關(guān)系。研究這類問題一般都是假定材料的應(yīng)力和應(yīng)變呈線性關(guān)系。它包括大位移大應(yīng)變及大位移小應(yīng)變問題。如結(jié)構(gòu)的彈性屈曲問題屬于大位移小應(yīng)變問題，橡膠部件形成過程為大應(yīng)變問題。3）非線性邊界問題在加工、密封、撞擊等問題中，接觸和摩擦的作用不可忽視，接

4、觸邊界屬于高度非線性邊界。平時(shí)遇到的一些接觸問題，如齒輪傳動(dòng)、沖壓成型、軋制成型、橡膠減振器、緊配合裝配等，當(dāng)一個(gè)結(jié)構(gòu)與另一個(gè)結(jié)構(gòu)或外部邊界相接觸時(shí)通常要考慮非線性邊界條件。實(shí)際的非線性可能同時(shí)出現(xiàn)上述兩種或三種非線性問題。有限元理論基礎(chǔ)有限元方法的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其基本求解思想是把計(jì)算域劃分為有限個(gè)互不重疊的單元，在每個(gè)單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn)，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式，便構(gòu)成不同的有限元方法。1.加權(quán)余量法：是指采用使余

5、量的加權(quán)函數(shù)為零求得微分方程近似解的方法稱為加權(quán)余量法。（Weighted residual method WRM）是一種直接從所需求解的微分方程及邊界條件出發(fā)，尋求邊值問題近似解的數(shù)學(xué)方法。加權(quán)余量法是求解微分方程近似解的一種有效的方法。設(shè)問題的控制微分方程為: 在V域內(nèi) 在S邊界上 式中 : L、B分別為微分方程和邊界條件中的微分算子； f、g 為與未知函數(shù)u無關(guān)的已知函數(shù)域值；u為問題待求的未知函數(shù)混合法對于試函數(shù)的選取最方便，但在相同精度條件下，工作量最大。對內(nèi)部法和邊界法必須使基函數(shù)事先滿足一定條件，這對復(fù)雜結(jié)構(gòu)分析往往有一定困難，但試函數(shù)一經(jīng)建立，其工作量較小。無論采用何種方法，在

6、建立試函數(shù)時(shí)均應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)試函數(shù)應(yīng)由完備函數(shù)集的子集構(gòu)成。已被采用過的試函數(shù)有冪級數(shù)、三角級數(shù)、樣條函數(shù)、貝賽爾函數(shù)、切比雪夫和勒讓德多項(xiàng)式等等。 (2)試函數(shù)應(yīng)具有直到比消除余量的加權(quán)積分表達(dá)式中最高階導(dǎo)數(shù)低一階的導(dǎo)數(shù)連續(xù)性。 (3)試函數(shù)應(yīng)與問題的解析解或問題的特解相關(guān)聯(lián)。若計(jì)算問題具有對稱性，應(yīng)充分利用它。顯然，任何獨(dú)立的完全函數(shù)集都可以作為權(quán)函數(shù)。按照對權(quán)函數(shù)的不同選擇得到不同的加權(quán)余量計(jì)算方法，主要有：配點(diǎn)法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽遼金法。其中伽遼金法的精度最高。2、虛功原理 平衡方程和幾何方程的等效積分“弱”形式虛功原理包含虛位移原理和虛應(yīng)力原理，是虛位移原理和虛

7、應(yīng)力原理的總稱。他們都可以認(rèn)為是與某些控制方程相等效的積分“弱”形式。虛功原理：變形體中任意滿足平衡的力系在任意滿足協(xié)調(diào)條件的變形狀態(tài)上作的虛功等于零，即體系外力的虛功與內(nèi)力的虛功之和等于零。虛位移原理是平衡方程和力的邊界條件的等效積分的“弱”形式；虛應(yīng)力原理是幾何方程和位移邊界條件的等效積分“弱”形式。虛位移原理的力學(xué)意義：如果力系是平衡的，則它們在虛位移和虛應(yīng)變上所作的功的總和為零。反之，如果力系在虛位移（及虛應(yīng)變）上所作的功的和等于零，則它們一定滿足平衡方程。所以，虛位移原理表述了力系平衡的必要而充分條件。一般而言，虛位移原理不僅可以適用于線彈性問題，而且可以用于非線性彈性及彈塑性等非線

8、性問題。虛應(yīng)力原理的力學(xué)意義：如果位移是協(xié)調(diào)的，則虛應(yīng)力和虛邊界約束反力在他們上面所作的功的總和為零。反之，如果上述虛力系在他們上面所作的功的和為零，則它們一定是滿足協(xié)調(diào)的。所以，虛應(yīng)力原理表述了位移協(xié)調(diào)的必要而充分條件。虛應(yīng)力原理可以應(yīng)用于線彈性以及非線性彈性等不同的力學(xué)問題。但是必須指出，無論是虛位移原理還是虛應(yīng)力原理，他們所依賴的幾何方程和平衡方程都是基于小變形理論的，他們不能直接應(yīng)用于基于大變形理論的力學(xué)問題。3、最小總勢能法應(yīng)變能：作用在物體上的外載荷會(huì)引起物體變形，變形期間外力所做的功以彈性能的形式儲(chǔ)存在物體中，即為應(yīng)變能。由n個(gè)單元和m個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的物體的總勢能為總應(yīng)變能和外力所做

9、功的差：最小勢能原理：對于一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)，相對于平衡位置發(fā)生的位移總會(huì)使系統(tǒng)的總勢能最小，即：，i=1,2,3,n有限元法的收斂性有限元法是一種數(shù)值分析方法，因此應(yīng)考慮收斂性問題。有限元法的收斂性是指：當(dāng)網(wǎng)格逐漸加密時(shí)，有限元解答的序列收斂到精確解；或者當(dāng)單元尺寸固定時(shí)，每個(gè)單元的自由度數(shù)越多，有限元的解答就越趨近于精確解。有限元的收斂條件包括如下四個(gè)方面：1）單元內(nèi)，位移函數(shù)必須連續(xù)。多項(xiàng)式是單值連續(xù)函數(shù)，因此選擇多項(xiàng)式作為位移函數(shù)，在單元內(nèi)的連續(xù)性能夠保證。2）在單元內(nèi)，位移函數(shù)必須包括常應(yīng)變項(xiàng)。每個(gè)單元的應(yīng)變狀態(tài)總可以分解為不依賴于單元內(nèi)各點(diǎn)位置的常應(yīng)變和由各點(diǎn)位置決定的變量應(yīng)變。當(dāng)單元

10、的尺寸足夠小時(shí)，單元中各點(diǎn)的應(yīng)變趨于相等，單元的變形比較均勻，因而常應(yīng)變就成為應(yīng)變的主要部分。為反映單元的應(yīng)變狀態(tài)，單元位移函數(shù)必須包括常應(yīng)變項(xiàng)。3）在單元內(nèi)，位移函數(shù)必須包括剛體位移項(xiàng)。一般情況下，單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移包括形變位移和剛體位移兩部分。形變位移與物體形狀及體積的改變相聯(lián)系，因而產(chǎn)生應(yīng)變；剛體位移只改變物體位置，不改變物體的形狀和體積，即剛體位移是不產(chǎn)生變形的位移?？臻g一個(gè)物體包括三個(gè)平動(dòng)位移和三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)位移，共有六個(gè)剛體位移分量。由于一個(gè)單元牽連在另一些單元上，其他單元發(fā)生變形時(shí)必將帶動(dòng)單元做剛體位移，由此可見，為模擬一個(gè)單元的真實(shí)位移，假定的單元位移函數(shù)必須包括剛體位移項(xiàng)。4）位移

11、函數(shù)在相鄰單元的公共邊界上必須協(xié)調(diào)。對一般單元而言，協(xié)調(diào)性是指相鄰單元在公共節(jié)點(diǎn)處有相同的位移，而且沿單元邊界也有相同的位移，也就是說，要保證不發(fā)生單元的相互脫離開裂和相互侵入重疊。要做到這一點(diǎn)，就要求函數(shù)在公共邊界上能由公共節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值唯一確定。對一般單元，協(xié)調(diào)性保證了相鄰單元邊界位移的連續(xù)性。但是，在板殼的相鄰單元之間，還要求位移的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，只有這樣，才能保證結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能是有界量?？偟恼f來，協(xié)調(diào)性是指在相鄰單元的公共邊界上滿足連續(xù)性條件。前三條又叫完備性條件，滿足完備條件的單元叫完備單元；第四條是協(xié)調(diào)性要求，滿足協(xié)調(diào)性的單元叫協(xié)調(diào)單元；否則稱為非協(xié)調(diào)單元。完備性要求是收斂的必要條件，四

12、條全部滿足，構(gòu)成收斂的充分必要條件。在實(shí)際應(yīng)用中，要使選擇的位移函數(shù)全部滿足完備性和協(xié)調(diào)性要求是比較困難的，在某些情況下可以放松對協(xié)調(diào)性的要求。需要指出的是，有時(shí)非協(xié)調(diào)單元比與它對應(yīng)的協(xié)調(diào)單元還要好，其原因在于近似解的性質(zhì)。假定位移函數(shù)就相當(dāng)于給單元施加了約束條件，使單元變形服從所加約束，這樣的替代結(jié)構(gòu)比真實(shí)結(jié)構(gòu)更剛一些。但是，這種近似結(jié)構(gòu)由于允許單元分離、重疊，使單元的剛度變軟了，或者形成了（例如板單元在單元之間的繞度連續(xù)，而轉(zhuǎn)角不連續(xù)時(shí)，剛節(jié)點(diǎn)變?yōu)殂q接點(diǎn)）對于非協(xié)調(diào)單元，上述兩種影響有誤差相消的可能，因此利用非協(xié)調(diào)單元有時(shí)也會(huì)得到很好的結(jié)果。在工程實(shí)踐中，非協(xié)調(diào)元必須通過“小片試驗(yàn)后”才能

13、使用。應(yīng)力的單元平均或節(jié)點(diǎn)平均處理方法最簡單的處理應(yīng)力結(jié)果的方法是取相鄰單元或圍繞節(jié)點(diǎn)各單元應(yīng)力的平均值。 1.取相鄰單元應(yīng)力的平均值這種方法最常用于3節(jié)點(diǎn)三角形單元中。這種最簡單而又相當(dāng)實(shí)用的單元得到的應(yīng)力解在單元內(nèi)是常數(shù)?？梢詫⑵淇醋魇菃卧獌?nèi)應(yīng)力的平均值，或是單元形心處的應(yīng)力。由于應(yīng)力近似解總是在精確解上下振蕩，可以取相鄰單元應(yīng)力的平均值作為此兩個(gè)單元合成的較大四邊形單元形心處的應(yīng)力。如2單元的情況下，取平均應(yīng)力可以采用算術(shù)平均，即平均應(yīng)力=（單元1的應(yīng)力+單元2的應(yīng)力）/2。也可以采用精確一些的面積加權(quán)平均，即平均應(yīng)力=單元1應(yīng)力 單元1的面積+單元2應(yīng)力 單元2面積/（單元1面積+單元

14、2面積）當(dāng)相鄰兩單元面積相差不大時(shí)，兩者的結(jié)果基本相同。在單元?jiǎng)澐謺r(shí)應(yīng)避免相鄰兩單元的面積相差太多，從而使求解的誤差相近。一般而言，3節(jié)點(diǎn)三角形單元的最佳應(yīng)力點(diǎn)是單元的中心點(diǎn)，此點(diǎn)的應(yīng)力具有1階的精度。 2.取圍繞節(jié)點(diǎn)各單元應(yīng)力的平均值首先計(jì)算圍繞該節(jié)點(diǎn)（i）周圍的相關(guān)單元在該節(jié)點(diǎn)出的應(yīng)力值 ，然后以他們的平均值作為該節(jié)點(diǎn)的最后應(yīng)力值 ，即其中，1m是圍繞在i節(jié)點(diǎn)周圍的全部單元。取平均值時(shí)也可進(jìn)行面積加權(quán)。有限元法求解問題的基本步驟1.結(jié)構(gòu)離散化對整個(gè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散化，將其分割成若干個(gè)單元，單元間彼此通過節(jié)點(diǎn)相連； 2.求出各單元的剛度矩陣K(e)K(e)是由單元節(jié)點(diǎn)位移量(e)求單元節(jié)點(diǎn)力向量

15、F(e)的轉(zhuǎn)移矩陣，其關(guān)系式為:F(e)= K(e) (e)3.集成總體剛度矩陣K并寫出總體平衡方程：總體剛度矩陣K是由整體節(jié)點(diǎn)位移向量求整體節(jié)點(diǎn)力向量 的轉(zhuǎn)移矩陣，其關(guān)系式為F= K ，此即為總體平衡方程。 4.引入支撐條件，求出各節(jié)點(diǎn)的位移節(jié)點(diǎn)的支撐條件有兩種：一種是節(jié)點(diǎn)n沿某個(gè)方向的位移為零，另一種是節(jié)點(diǎn)n沿某個(gè)方向的位移為一給定值。5.求出各單元內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng)變。 對于有限元方法，其基本思路和解題步驟可歸納為:(1)建立積分方程，根據(jù)變分原理或方程余量與權(quán)函數(shù)正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價(jià)的積分表達(dá)式，這是有限元法的出發(fā)點(diǎn)。(2)區(qū)域單元剖分，根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實(shí)際問題的物理

16、特點(diǎn)，將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元?jiǎng)澐质遣捎糜邢拊椒ǖ那捌跍?zhǔn)備工作，這部分工作量比較大，除了給計(jì)算單元和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號和確定相互之間的關(guān)系之外，還要表示節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，同時(shí)還需要列出自然邊界和本質(zhì)邊界的節(jié)點(diǎn)序號和相應(yīng)的邊界值。(3)確定單元基函數(shù)，根據(jù)單元中節(jié)點(diǎn)數(shù)目及對近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。有限元方法中的基函數(shù)是在單元中選取的，由于各單元具有規(guī)則的幾何形狀，在選取基函數(shù)時(shí)可遵循一定的法則。(4)單元分析：將各個(gè)單元中的求解函數(shù)用單元基函數(shù)的線性組合表達(dá)式進(jìn)行逼近；再將 近似函數(shù)代入積分方程，并對單元區(qū)域進(jìn)行積分，可獲得含有待定系數(shù)(

17、即單元中各節(jié)點(diǎn)的參數(shù)值)的代數(shù)方程組，稱為單元有限元方程。(5)總體合成：在得出單元有限元方程之后，將區(qū)域中所有單元有限元方程按一定法則進(jìn)行累加，形成總體有限元方程。(6)邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質(zhì)邊界條件(狄里克雷邊界條件)、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對于自然邊界條件， 一般在積分表達(dá)式中可自動(dòng)得到滿足。對于本質(zhì)邊界條件和混合邊界條件，需按一定法則對總體有限元方程進(jìn)行修正滿足。(7)解有限元方程：根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉 方程組，采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值計(jì)算方法求解，可求得各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值。單元?jiǎng)偠染仃嚨奶匦?單

18、元?jiǎng)偠染仃嚐o論在局部坐標(biāo)系中還是在整體坐標(biāo)系中都具有相同的三個(gè)特性：1）對稱性由材料力學(xué)中的位移互等定理可知，對一個(gè)構(gòu)件，作用在點(diǎn)j的力引起點(diǎn)i的繞度等于有同樣大小而作用于點(diǎn)i的力引起的點(diǎn)j的繞度，即kij(e) = kji(e)，表明單元?jiǎng)偠染仃囀且粋€(gè)對稱矩陣。 2） 奇異性無逆陣的矩陣就叫做奇異矩陣，其行列式的值為0，即|k(e)|=0，這一點(diǎn)可以從例題直接得到驗(yàn)證。其物理意義是引入支撐條件之前，單元可平移。 3） 分塊性有前面所講的內(nèi)容可以看出，矩陣k(e)可以用虛線分成四塊，因此可寫成如下的分塊形式，式中kmn(e)局部坐標(biāo)系中單元(e)按局部碼標(biāo)記的節(jié)點(diǎn)m、n之間的剛度子矩陣剛架結(jié)構(gòu)

19、中非節(jié)點(diǎn)載荷的處理的方法 在剛架結(jié)構(gòu)以及其他較復(fù)雜的結(jié)構(gòu)上，他們所受的載荷可以直接作用在節(jié)點(diǎn)上，又可以不直接作用在節(jié)點(diǎn)上而作用于單元節(jié)點(diǎn)間的其他位置上。后一種情況下的載荷稱為非節(jié)點(diǎn)載荷。有限元分析時(shí)，總體剛度方程中所用到的力向量 是節(jié)點(diǎn)力向量。因此在進(jìn)行整體分析前應(yīng)當(dāng)進(jìn)行載荷的移植，將作用于單元上的力移植到節(jié)點(diǎn)上。移植時(shí)按靜力等效的原則進(jìn)行。 處理非節(jié)點(diǎn)載荷一般可直接在整體坐標(biāo)系內(nèi)進(jìn)行，其過程為：1）將各桿單元看成一根兩端固定的梁，分別求出兩個(gè)固定端的約束反力。其結(jié)果可直接利用材料力學(xué)的公式求得；2）將各固定端的約束反力變號，按節(jié)點(diǎn)進(jìn)行集成，獲得各節(jié)點(diǎn)的等效載荷 總體剛度矩陣的集成法 使用剛度

20、矩陣獲得的方法獲得總體剛度矩陣。在此將其擴(kuò)展到由整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚨淖泳仃嚰煽傮w剛度矩陣。步驟如下：1）對一個(gè)有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)，將總體剛度矩陣K劃分為nn各子區(qū)間，然后按節(jié)點(diǎn)總碼的順序進(jìn)行編號； 2）將整體坐標(biāo)系中單元?jiǎng)偠染仃嚨母髯泳仃嚫鶕?jù)其下標(biāo)的兩個(gè)總碼對號入座，寫在總體剛度矩陣相應(yīng)的子區(qū)間；3）同一子區(qū)間內(nèi)的子矩陣相加，成為總體剛度矩陣中的相應(yīng)的子矩陣。 總體剛度矩陣的特性 1）對稱性：因?yàn)橛纱颂匦?，在?jì)算機(jī)中只需存儲(chǔ)其上三角部分；2）奇異性：物理意義仍為在無約束的情況下，整個(gè)結(jié)構(gòu)可做剛體運(yùn)動(dòng)；3）稀疏性：K中有許多零子矩陣，而且在非零子矩陣中還有大量的零元素，這種矩陣稱為稀疏矩

21、陣。大型結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣一般都是稀疏矩陣；4）分塊性：平面問題離散化時(shí)的規(guī)定1）單元之間只在節(jié)點(diǎn)處相連；2）所有的節(jié)點(diǎn)都為鉸接點(diǎn)；3）單元之間的力通過節(jié)點(diǎn)傳遞；4）外載荷都要移植到節(jié)點(diǎn)上；5）在節(jié)點(diǎn)位移或某一分量可以不計(jì)之處，就必須在該節(jié)點(diǎn)安置一個(gè)鉸支座或相應(yīng)的連桿支座。通過以上的規(guī)定來建立平面有限元分析模型。結(jié)構(gòu)對稱性的利用規(guī)律一般來說，作用在對稱結(jié)構(gòu)上的載荷系統(tǒng)分為對稱的、反對稱的和一般的三種情況。1.結(jié)構(gòu)對稱，載荷對稱或反對稱這種情況下，對稱面上的邊界條件可按以下規(guī)則確定：A.在不同的對稱面上，將位移分量區(qū)分為對稱分量和反對稱分量；B.將載荷也按不同的對稱面分別區(qū)分為對稱分量和反對稱分

22、量；C.對于同一個(gè)對稱面，如載荷是對稱的，則對稱面上位移的反對稱分量為零，如載荷是反對稱的，則對稱面上位移的對稱分量為零。如果所分析的結(jié)構(gòu)對稱，但載荷是不對稱的，也不是反對稱的，這時(shí)可以將這種結(jié)構(gòu)系統(tǒng)簡化成載荷為對稱和/或反對稱情況的組合，仍可以簡化分析過程，提高分析的綜合效率。如圖a所示，結(jié)構(gòu)對稱，載荷一般，可將其載荷分解為圖b和圖c的組合。圖b為對稱結(jié)構(gòu)，載荷對x、y軸均為對稱，圖c為結(jié)構(gòu)對稱，載荷對x軸反對稱、對y軸對稱，此時(shí)可取相同的四分之一進(jìn)行研究，分別施加對稱面上節(jié)點(diǎn)的邊界條件，進(jìn)行兩次分析計(jì)算，并將計(jì)算結(jié)果迭加起來，即可得到原結(jié)構(gòu)四分之一的解答，進(jìn)而得出整個(gè)結(jié)構(gòu)的解答。利用結(jié)構(gòu)的

23、對稱性取某一部分建立有限元模型時(shí)，往往會(huì)產(chǎn)生約束不足現(xiàn)象。例如，若取上例中圖c的四分之一建立有限元時(shí)，根據(jù)上述分析，在兩對稱面上應(yīng)加水平放置的滾動(dòng)鉸支座，因此模型在垂直方向存在剛體位移。對這種約束不足問題，利用有限元分析時(shí)，必須增加附加約束，以消除模型的剛體位移。在本例中，垂直方向可以用剛度很小的桿單元或邊界彈簧單元連接到模型某節(jié)點(diǎn)上，使得既消除了模型的剛體位移，又不致于因附加的桿單元或邊界彈簧單元?jiǎng)偠忍蠖绊懡Y(jié)構(gòu)原有的變形狀態(tài)。單元形態(tài)的選擇原則單元形態(tài)包括單元形狀、邊中節(jié)點(diǎn)的位置、細(xì)長比等，在結(jié)構(gòu)離散化過程中必須合理選擇。一般來說，為了保證有限元分析的精度，必須是單元的形態(tài)盡可能的規(guī)則。

24、對于三角形單元，三條邊長盡量接近，不應(yīng)出現(xiàn)大的鈍角、大的邊長。這是因?yàn)楦鶕?jù)誤差分析，應(yīng)力和位移的誤差都和單元的最小內(nèi)角的正弦成反比。因而，等邊三角形單元的形態(tài)最好，它與等腰直角三角形單元的誤差之比為sin45:sin60=1:1.23。但是為了適應(yīng)彈性體邊界，以及單元由小到大逐漸過渡，不可能是所有的三角形單元都接近等邊三角形。實(shí)際上，常常使用等腰直角三角形。對于矩形單元來說，細(xì)長比不宜過大。細(xì)長比是指單元最大尺寸和最小尺寸之比。最優(yōu)細(xì)長比在很大程度上取決于不同方向上位移梯度的差別。梯度較大的方向，單元尺寸要小些，梯度小的方向，單元尺寸可以大一些；如果各方向上位移梯度大致相同，則細(xì)長比越接近1，

25、精度越高。有文獻(xiàn)推薦，一般情況下，為了得到較好的位移結(jié)果，細(xì)長比不應(yīng)超過7；為了獲得較好的應(yīng)力結(jié)果，細(xì)長比不應(yīng)超過3。一般情況下，正方形單元的形態(tài)最好。對于一般的四邊形單元應(yīng)避免過大的邊長比，過大的邊長比會(huì)導(dǎo)致病態(tài)的方程組。邊界條件的確定確定邊界條件是建立有限元模型的重要一環(huán)，合理確定有限元模型的邊界條件是成功地進(jìn)行結(jié)構(gòu)有限元分析的基本要求。一般情況下，建模對象的邊界條件是明確的。根據(jù)力學(xué)模型的邊界條件可以很容易確定其有限元模型的邊界條件。例如電線桿插入地基的一端為固定端，橋梁一端為固定鉸支座，另一端為滾動(dòng)較支座。但是，在機(jī)械工程中，建模對象往往是整個(gè)結(jié)構(gòu)中的一部分，在建立有限元模型，確定其邊

26、界條件時(shí)，必須考慮其余部分的影響。這方面主要考慮如下兩類問題。1.邊界位置的確定在建立連續(xù)彈性體局部區(qū)域的有限元模型時(shí)，往往取該局部區(qū)域?yàn)楦綦x體，取其隔離邊界條件為零位移約束，并通過試探校正確定零位移邊界條件的位置。例如，進(jìn)行齒輪齒有限元分析時(shí)，取一個(gè)輪齒的局部區(qū)域?yàn)楦綦x體，如圖所示，設(shè)定PQRS的邊界條件為零位移約束，通過改變邊界深度PQ和邊界寬度PS研究邊界位置對齒根最大拉應(yīng)力的影響，最后確定合理的邊界條件。2.邊界條件的確定有些分析對象的邊界位置是零部件的連接部位。在建立有限元模型時(shí)，必須研究如何給定邊界位置上的邊界條件，以反映相連接結(jié)構(gòu)的影響。確定這種問題的邊界條件是用簡單支撐連桿替代