概率論的定義以及公式

1、 §2 隨機(jī)事件的概率，古典概型與概率的加法公式 2000/7/31一 概率的統(tǒng)計(jì)定義：頻率：隨機(jī)事件在一次具體的試驗(yàn)是否發(fā)生，盡管不能預(yù)先明白，然而，當(dāng)大量重復(fù)同一試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)現(xiàn)象卻呈現(xiàn)出某種規(guī)律, 即所謂統(tǒng)計(jì)規(guī)律性如：歷史上有人作過(guò)成千上萬(wàn)次投擲硬幣，下表列出他們的試驗(yàn)記錄：隨機(jī)事件 1。隨機(jī)事件及其概率 2。古典概型容易看出，投擲次數(shù)越多正面向上的頻率越接近，其中事件發(fā)生的次數(shù)頻數(shù)事件發(fā)生的頻率試驗(yàn)總次數(shù)試驗(yàn)總次數(shù)我們將事件發(fā)生的可能性大小只停留在定性了解不夠的，下面給出事件發(fā)生的可能性大小的客觀的定量的描述，稱(chēng)為事件發(fā)生的概率隨機(jī)事件的概率：（） 定義：在不變的一組條件下，重

2、復(fù)作次試驗(yàn)，記是次試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)專(zhuān)門(mén)大時(shí)，假如頻率穩(wěn)定在某一數(shù)值的附近擺動(dòng)，而且一來(lái)隨著試驗(yàn)次數(shù)增多，這種擺動(dòng)的幅度越變?cè)叫?，則稱(chēng)數(shù)值為事件在條件下發(fā)生的概率，記作 那個(gè)地點(diǎn)，頻率的穩(wěn)定性是概率一個(gè)直觀樸素的描述，通常稱(chēng)為概率的統(tǒng)計(jì)定義但必須指出，事件的頻率是帶有隨機(jī)性的，這是由事件本身的隨機(jī)性所決定。而事件的概率，卻是一個(gè)客觀存在的實(shí)數(shù)，是不變的。二古典概型：定義：假如隨機(jī)現(xiàn)象滿足下列三個(gè)條件：(1) 一次試驗(yàn)可能結(jié)果只有有限個(gè)，即所有差不多事件只有有限個(gè)： ，(2) 每一個(gè)差不多事件發(fā)生的可能性是相等的(3) 差不多事件是兩兩互不相容 滿足以上三個(gè)條件的隨機(jī)現(xiàn)象模型，稱(chēng)為

3、古典概型 在古典概型中，假如n為差不多事件總數(shù)， m為事件A包含的差不多事件數(shù), 那么事件A的概率 法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯(Laplace)在1812年把上式作為概率的一般定義現(xiàn)在通常稱(chēng)它為概率的古典概型的定義，因?yàn)樗贿m用于古典概型場(chǎng)合 古典概型公式的運(yùn)用舉例：【例1】 袋里有2個(gè)白球和3個(gè)黑球從袋任取出一球，求它是白球的概率 解 ： 容易看出，“從袋里任取一球”這一試驗(yàn)是古典概型的，且差不多事件總數(shù)n5，取到白球的差不多事件數(shù)m2，故 把白球換為合格產(chǎn)品，黑球換為廢品，則那個(gè)摸球模型就能夠描述產(chǎn)品抽樣檢驗(yàn)問(wèn)題這種模型化的方法把表面上不同的問(wèn)題歸類(lèi)于相同的模型之小中，能使問(wèn)題更消楚，更易于計(jì)算。

4、【例2】把a(bǔ), b兩個(gè)球隨機(jī)地放到編號(hào)為I, 的三只盒子里，求盒子I中沒(méi)有球的概率。解：這是一個(gè)古典概型問(wèn)題，把a(bǔ), b兩個(gè)球隨機(jī)地放到編號(hào)為I, 的三只盒子里，差不多事件總數(shù)設(shè)“盒子I中沒(méi)有球”，則事件A包含的差不多事件數(shù) 【例3】有一個(gè)口袋，內(nèi)裝a只白球，b只黑球，它們除顏色不同外，外形完全一樣, 從袋了中任不同外，外形完全一樣. 現(xiàn)任意模出2個(gè)球時(shí)，求：（）模出2個(gè)球差不多上白球的概率；（）模出一個(gè)白球一個(gè)黑球的概率解:這口袋共有a+b只球，從袋了中任意模出2個(gè)球的差不多事件總數(shù)，（） 模出2個(gè)球差不多上白球差不多事件數(shù)，模出2個(gè)球差不多上白球的概率；（） 模出一個(gè)白球一個(gè)黑球的差不多事

5、件數(shù)，模出一個(gè)白球一個(gè)黑球的概率 若把黑球作為廢品，白球作為好品，則那個(gè)摸球模型就能夠描述產(chǎn)品抽樣按如產(chǎn)品分為更多等級(jí)，例如：一等品，二等品，二等品，等外品等等則可用裝有多種顏色的球的口袋的摸球模型來(lái)描述【例3】 列 【例4】1無(wú)放回抽樣：2有放回抽樣：，【例5】 有一個(gè)口袋內(nèi)裝可分辨4個(gè)黑球，6個(gè)白球, 它們除顏色不同外，外形完全一樣. 現(xiàn)按兩種取法；（）無(wú)放回；（）有放回連續(xù)從袋中取出個(gè)球，分不求下面事件的概率：（） “取出個(gè)球差不多上白的”；（） “取出個(gè)黑球，個(gè)白球”解：（）無(wú)放回：連續(xù)從袋中取出個(gè)球的差不多事件總數(shù)，（）取出個(gè)球差不多上白的差不多事件數(shù)， ；（）取出個(gè)黑球，個(gè)白球，注

6、意到取出黑球的次序，事件的差不多事件數(shù)，因而（）有放回：連續(xù)從袋中取出個(gè)球的差不多事件總數(shù)，（） 取出個(gè)球差不多上白的差不多事件數(shù)， ；（） 取出個(gè)黑球，個(gè)白球，注意到黑球黑球的次序，事件的差不多事件數(shù)，因而【例】設(shè)有k個(gè)球，每個(gè)球都能以同樣的概率落到N個(gè)格子(Nk)的每個(gè)格子中，試求：下列事件的概率 (1) A=”某指定的k個(gè)格子中各有一個(gè)球”；(1) B=”任何k個(gè)格子中各有一個(gè)球”；(3) C=“k個(gè)球落到同一個(gè)格子中”.解: 這是一個(gè)古典概型問(wèn)題，由于每個(gè)球可落入N個(gè)格子中的任一個(gè)，因此n個(gè)球在N個(gè)格子差不多事件總數(shù) (1) k個(gè)球在那指定的k個(gè)格子中全排列，總數(shù)為n!，因而所求概率

7、（2）n個(gè)格子能夠任意，即能夠從N個(gè)格子中任意選出n個(gè)來(lái)，這種選法共有 又關(guān)于每種選定的n個(gè)格子，共有n! 排列，因而所求概率 【例】【例】 三。概率的性質(zhì)：四概率加法公式： 概率加法公式：（） 假如事件A， B是互不相容，則 P（A+B）=P（A）+P（B），特不地，； （）特不地，（1）假如A與B是兩個(gè)互斤事件，則 ， （2） (3) 若 B A ，則 P（AB）P（A）P（B） 2 逆事件概率：【例7】在浴池的鞋柜中亂放著10雙號(hào)碼不同的托鞋今隨意取來(lái)三只，求有一雙配對(duì)的概率 解法I： 設(shè)10雙鞋的號(hào)碼為t號(hào)至10號(hào)鞋我們有下列事件等式，“三只鞋中有一雙配對(duì)”“三只中1號(hào)鞋配對(duì)” +“三只中2號(hào)鞋配對(duì)” + +“三支中10號(hào)鞋配對(duì)”相應(yīng)地可設(shè)事件為 把1號(hào)鞋看成廢品，其他鞋看成合格品，由超幾何分布的概率公式，有解法1的特點(diǎn)是把較復(fù)雜的事件分解成較簡(jiǎn)單的事件和【例8】 【例9】一個(gè)聞名問(wèn)題匹配問(wèn)題： 張卡門(mén)分不標(biāo)著1，2，3，4，面朝下放在桌子上 一個(gè)自稱(chēng)有透視能力的人將用他超感受能力講出卡片上的號(hào)數(shù)，假如他是冒