第1章 離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析

1、12本章主要學(xué)習(xí)本章主要學(xué)習(xí)p時(shí)域離散信號(hào)的表示方法；時(shí)域離散信號(hào)的表示方法；p典型信號(hào)、線性時(shí)不變系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性典型信號(hào)、線性時(shí)不變系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性; ;p系統(tǒng)的輸入輸出描述法，線性常系數(shù)差分方程的解法系統(tǒng)的輸入輸出描述法，線性常系數(shù)差分方程的解法; ;p模擬信號(hào)數(shù)字處理方法。模擬信號(hào)數(shù)字處理方法。1. 2 離散時(shí)間信號(hào)離散時(shí)間信號(hào) 離散時(shí)間信號(hào)是指一個(gè)實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)的數(shù)字序列，它是整離散時(shí)間信號(hào)是指一個(gè)實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)的數(shù)字序列，它是整數(shù)自變量數(shù)自變量n的函數(shù)，表示為的函數(shù)，表示為x(n)。離散時(shí)間信號(hào)也常用圖形離散時(shí)間信號(hào)也常用圖形描述。描述。),.3(),2(),1(),0(),1()

2、,2(.)(xxxxxxnx 4一、常用的典型序列一、常用的典型序列1 1單位脈沖單位脈沖( (采樣，沖激采樣，沖激) )序列序列（a）單位脈沖序列；）單位脈沖序列； （b）單位沖激信號(hào)）單位沖激信號(hào) 0001)(nnn 101231n (n) (t)t0( a )( b )3矩形序列矩形序列52 2單位階躍序列單位階躍序列u(n) 0001)(nnnuu(n)01231n 為其它0101)(nNnnRNR4(n)01231n矩形序列矩形序列(N=4)64 4實(shí)指數(shù)序列實(shí)指數(shù)序列為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)anuanxn)()( 75 5正弦型序列正弦型序列 式中式中是正弦序列數(shù)字域的頻率。它反映了序列變化快

3、是正弦序列數(shù)字域的頻率。它反映了序列變化快慢的速率，或相鄰兩個(gè)樣點(diǎn)的弧度數(shù)。慢的速率，或相鄰兩個(gè)樣點(diǎn)的弧度數(shù)。 )sin()(nnx 對(duì)連續(xù)信號(hào)中的正弦信號(hào)進(jìn)行采樣，可得正弦序列。對(duì)連續(xù)信號(hào)中的正弦信號(hào)進(jìn)行采樣，可得正弦序列。模擬正弦信號(hào)：模擬正弦信號(hào)： 數(shù)字頻率數(shù)字頻率與模擬角頻率與模擬角頻率之間的關(guān)系為之間的關(guān)系為 ：數(shù)字域頻率；：數(shù)字域頻率；：模擬域頻率：模擬域頻率 T：采樣周期；：采樣周期； fs：采樣頻率：采樣頻率 數(shù)字域頻率相當(dāng)于模擬域頻率對(duì)采樣頻率的歸一化值。數(shù)字域頻率相當(dāng)于模擬域頻率對(duì)采樣頻率的歸一化值。8)sin()(ttxa )()sin()sin()(nxnnTtxnTt

4、a sfT 式中，式中，為數(shù)字域頻率。若為數(shù)字域頻率。若=0=0，可得，可得96 6復(fù)指數(shù)序列復(fù)指數(shù)序列njenx)()( )sin()cos()(njnenxnj 歐拉公式歐拉公式 復(fù)正弦序列復(fù)正弦序列 如果對(duì)所有如果對(duì)所有n存在一個(gè)最小整數(shù)存在一個(gè)最小整數(shù)N，滿足，滿足則稱則稱x(n)為周期序列，記為周期序列，記 ，最小周期為，最小周期為N。 例：例：因此，因此，x(n)是周期為是周期為8的周期序列。的周期序列。107.7.周期序列周期序列 nNnxnx)()()(nx)8(4sin)4sin()( nnnx 要使要使x(n+N)=x(n)，即，即 N，k為整數(shù)，且為整數(shù)，且k的取值保證的

5、取值保證N是最小的正整數(shù)。是最小的正整數(shù)。11下面討論一般正弦序列的周期性下面討論一般正弦序列的周期性)sin()( nAnx)sin()(sin()( NnANnANnx kN2 kN 2 （1）當(dāng)當(dāng) 為整數(shù)為整數(shù)時(shí)，取時(shí)，取k=1，x(n)即是周期為即是周期為 的周的周期序列。期序列。 （2）當(dāng)當(dāng) 為有理數(shù)為有理數(shù)時(shí)（時(shí)（P、Q為互素的整數(shù)），為互素的整數(shù)），則正弦序列是以則正弦序列是以P為周期的周期序列。為周期的周期序列。 （3）當(dāng)當(dāng) 為無理數(shù)為無理數(shù)時(shí)，任何整數(shù)時(shí)，任何整數(shù)k 都不能使都不能使N為正整為正整數(shù)，因此，此時(shí)的正弦序列不是周期序列。數(shù)，因此，此時(shí)的正弦序列不是周期序列。分三

6、種情況討論分三種情況討論kN 2 2 2QP 2 2 （1）當(dāng)當(dāng) 為整數(shù)為整數(shù)時(shí)，取時(shí)，取k=1，x(n)即是周期為即是周期為 的周的周期序列。期序列。 （2）當(dāng)當(dāng) 為有理數(shù)為有理數(shù)時(shí)（時(shí)（P、Q為互素的整數(shù)），為互素的整數(shù)），則正弦序列是以則正弦序列是以P為周期的周期序列。為周期的周期序列。 （3）當(dāng)當(dāng) 為無理數(shù)為無理數(shù)時(shí)，任何整數(shù)時(shí)，任何整數(shù)k 都不能使都不能使N為正整為正整數(shù)，因此，此時(shí)的正弦序列不是周期序列。數(shù)，因此，此時(shí)的正弦序列不是周期序列。 2 2 （1）當(dāng)當(dāng) 為整數(shù)為整數(shù)時(shí)，取時(shí)，取k=1，x(n)即是周期為即是周期為 的周的周期序列。期序列。 （2）當(dāng)當(dāng) 為有理數(shù)為有理數(shù)時(shí)（

7、時(shí)（P、Q為互素的整數(shù)），為互素的整數(shù)），則正弦序列是以則正弦序列是以P為周期的周期序列。為周期的周期序列。 （3）當(dāng)當(dāng) 為無理數(shù)為無理數(shù)時(shí)，任何整數(shù)時(shí)，任何整數(shù)k 都不能使都不能使N為正整為正整數(shù)，因此，此時(shí)的正弦序列不是周期序列。數(shù)，因此，此時(shí)的正弦序列不是周期序列。 2例例1-2 判斷下列函數(shù)的周期性，并畫出相應(yīng)的波形。判斷下列函數(shù)的周期性，并畫出相應(yīng)的波形。 )8cos(2)(nnx )114cos(2)(nnx )41sin(2)(nnx 05101520-2-1012正弦序列（周期為16）05101520-2-1012正弦序列（周期為11）14二、序列運(yùn)算二、序列運(yùn)算1.1.乘法和

8、加法乘法和加法152 2移位及翻轉(zhuǎn)移位及翻轉(zhuǎn) 表示序列右移（延時(shí)）；表示序列右移（延時(shí)）； 表示序列左移（超前）。表示序列左移（超前）。 是以是以n=0的縱軸為對(duì)稱軸左右翻轉(zhuǎn)得到。的縱軸為對(duì)稱軸左右翻轉(zhuǎn)得到。 序列的移位圖序列的移位圖 序列的翻轉(zhuǎn)序列的翻轉(zhuǎn) )(mnx )(mnx )()(nxny 163. 3. 尺度變換尺度變換 表示序列每表示序列每m點(diǎn)點(diǎn)( (或每隔或每隔m-1點(diǎn)點(diǎn)) )取一點(diǎn)，稱為取一點(diǎn)，稱為序序列的壓縮或抽取列的壓縮或抽取。 表示把原序列兩相鄰值之間插入零值，稱為表示把原序列兩相鄰值之間插入零值，稱為序列序列的伸展或內(nèi)插零值的伸展或內(nèi)插零值。 )(mnx)(mnx 任意

9、序列可表示成單位脈沖序列的移位加權(quán)和。任意序列可表示成單位脈沖序列的移位加權(quán)和。即即例如例如三、任意序列的單位脈沖序列表示三、任意序列的單位脈沖序列表示 mmnmxnx)()()( ) 4(2) 3() 2(5 . 1) 1(3)(2) 1(3) 2(2)( nnnnnnnnx ) 2( x) 4 ( x) 1( x181.3 1.3 離散時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng) 系統(tǒng)系統(tǒng)將輸入序列將輸入序列x(n)變換成輸出序列變換成輸出序列y(n)的一種運(yùn)的一種運(yùn)算，以算，以T 表示，則一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)可用下圖來表示表示，則一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)可用下圖來表示記為記為y(n)=Tx(n) T y(n)x(n) n1

10、91. Linear Systems 線性系統(tǒng)滿足線性系統(tǒng)滿足疊加性疊加性和和均勻性均勻性。 設(shè)設(shè)Tx1(n)=y1(n)，Tx2(n)=y2(n) 如果如果Tax1(n)+ bx2(n)=Tax1(n)+Tbx2(n) =aTx1(n)+bTx2(n) =ay1(n)+by2(n)成立，則此系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，否則為非線性系統(tǒng)。成立，則此系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，否則為非線性系統(tǒng)。20 例例1-31-3：判別系統(tǒng)：判別系統(tǒng)y(n) =Tx(n)=ax(n)+ b是否為線性系統(tǒng)？是否為線性系統(tǒng)？ 解解: :設(shè)設(shè)Tx1(n)= ax1(n)+ b Tx2(n)= ax2(n)+ b 因?yàn)橐驗(yàn)門cx1(n)+d

11、x2(n)=acx1(n)+dx2(n)+b而而 cy1(n)+dy2(n)=cax1(n)+dax2(n)+b(c+d)Tcx1(n)+dx2(n)故此系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。故此系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)z(n)x(n)y(n)y0(n)增量線性系統(tǒng) 212. Time-Invariant Systems 系統(tǒng)的響應(yīng)與輸入信號(hào)施加于系統(tǒng)的時(shí)刻無關(guān)。或者說，系統(tǒng)的響應(yīng)與輸入信號(hào)施加于系統(tǒng)的時(shí)刻無關(guān)?；蛘哒f，系統(tǒng)的參數(shù)不隨時(shí)間變化，即不管輸入信號(hào)作用的時(shí)間先后，系統(tǒng)的參數(shù)不隨時(shí)間變化，即不管輸入信號(hào)作用的時(shí)間先后，輸出信號(hào)的形狀均相同，僅是出現(xiàn)的時(shí)間不同。輸出信號(hào)的形狀均相同，僅是出現(xiàn)的時(shí)間不同。

12、設(shè)設(shè)y(n) =Tx(n)，則，則 y(n-k) =Tx(n-k)成立成立22系統(tǒng)時(shí)不變說明的示意圖系統(tǒng)時(shí)不變說明的示意圖23 例例1-5 判別判別y(n)=nx(n)所代表的系統(tǒng)是否是時(shí)不變系統(tǒng)。所代表的系統(tǒng)是否是時(shí)不變系統(tǒng)。 解：解：因?yàn)橐驗(yàn)橐虼嗽撓到y(tǒng)不是時(shí)不變系統(tǒng)。因此該系統(tǒng)不是時(shí)不變系統(tǒng)。)()()(knxknkny )()(knnxknxT )()(knxTkny 3.3.線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng) 同時(shí)具有線性和時(shí)不變性的離散時(shí)間系統(tǒng)稱為線性時(shí)不同時(shí)具有線性和時(shí)不變性的離散時(shí)間系統(tǒng)稱為線性時(shí)不變系統(tǒng)。變系統(tǒng)。 （1 1）輸入與輸出之間的關(guān)系）輸入與輸出之間的關(guān)系 輸入為單位脈沖序

13、列時(shí)系統(tǒng)的輸出稱為單位脈沖響應(yīng)。輸入為單位脈沖序列時(shí)系統(tǒng)的輸出稱為單位脈沖響應(yīng)。 由由h(n)可以確定任意輸入時(shí)的系統(tǒng)輸出，從而推出線性可以確定任意輸入時(shí)的系統(tǒng)輸出，從而推出線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)一個(gè)非常重要的描述關(guān)系式。時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)一個(gè)非常重要的描述關(guān)系式。 )()(nTnh T )(n )(nh25對(duì)對(duì)LTI系統(tǒng)，討論對(duì)任意輸入的系統(tǒng)輸出系統(tǒng)，討論對(duì)任意輸入的系統(tǒng)輸出任意輸入序列：任意輸入序列：系統(tǒng)輸出：系統(tǒng)輸出：T )(nx)(ny)(*)()()( )()( )()( )()()()(nhnxmnhmxmnTmxmnmxTmnmxTnxTnymmmm mmnmxnx)()()(

14、任意序列都可以表示成單位脈沖序列的移位加權(quán)和 )()()()()(nhnxmnhmxnym 離散卷積或線性卷積離散卷積或線性卷積26線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng) 卷積運(yùn)算有明確的物理意義，就是在一般意義上描述了卷積運(yùn)算有明確的物理意義，就是在一般意義上描述了線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)對(duì)輸入序列的作用或處理作用。線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)對(duì)輸入序列的作用或處理作用。 一個(gè)一個(gè)LTI系統(tǒng)可以用單位脈沖響應(yīng)系統(tǒng)可以用單位脈沖響應(yīng)h(n)來表征，任意輸來表征，任意輸入的系統(tǒng)輸出等于輸入序列和該系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)入的系統(tǒng)輸出等于輸入序列和該系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)h(n)的卷的卷積。積。 )(nh)()()(nhnxny

15、 )(nx27（2 2）線性卷積的計(jì)算）線性卷積的計(jì)算計(jì)算它們的卷積的步驟如下：計(jì)算它們的卷積的步驟如下： （1）換元換元：x(m)和和h(m) （2）翻轉(zhuǎn)翻轉(zhuǎn)（折疊）折疊）：先在啞變量坐標(biāo)軸：先在啞變量坐標(biāo)軸m上畫出上畫出x(m)和和h(m)，將，將h(m)以縱坐標(biāo)為對(duì)稱軸折疊成以縱坐標(biāo)為對(duì)稱軸折疊成 h(-m)。 （3）移位移位：將：將h(-m)移位移位n，得，得h(n-m)。當(dāng)。當(dāng)m為正數(shù)時(shí)，為正數(shù)時(shí)，右移右移m；當(dāng)；當(dāng)m為負(fù)數(shù)時(shí)，左移為負(fù)數(shù)時(shí)，左移m。 （4）相乘相乘：將將h(n-m)和和x(m)的對(duì)應(yīng)取樣值相乘的對(duì)應(yīng)取樣值相乘。 （5）相加相加：把：把所有的乘積累加起來，即得所有的乘

16、積累加起來，即得y(n)。 )()()()()(nhnxmnhmxnym 例例1-6 設(shè)設(shè)x(n)=R4(n)， h(n)=R4(n)，求，求y(n)=x(n)*h(n)。解：采用圖解法。解：采用圖解法。)()(4nRnx )()(4nRnh )()()(nhnxny 例例1-7 設(shè)設(shè)x(n)=3(n)+2(n-1)+(n-2)， h(n)=2(n)+(n-1)+(n-2)，求求y(n)=x(n)*h(n)。 解：采用列表法。解：采用列表法。 n=? 3 2 1 1 1 2 6 1 1 2 7 1 1 2 7 1 1 2 3 1 1 2 1)4()3(3)2(7)1(7)(6)( nnnnnn

17、y30在在Matlab中，卷積可通過調(diào)用函數(shù)中，卷積可通過調(diào)用函數(shù)y=conv(x,h)來實(shí)現(xiàn)。來實(shí)現(xiàn)。卷積的性質(zhì)：卷積的性質(zhì)： 1）兩個(gè)長(zhǎng)度分別為）兩個(gè)長(zhǎng)度分別為N和和M的序列，線性卷積后的序列長(zhǎng)的序列，線性卷積后的序列長(zhǎng)度為度為N+M-1。 證明：證明： 設(shè)設(shè)x1(n)是長(zhǎng)度為是長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列（的有限長(zhǎng)序列（0nN-1），），x2(n)是長(zhǎng)度為是長(zhǎng)度為M的有限長(zhǎng)序列（的有限長(zhǎng)序列（0nM-1）。）。 x1(m)的非零區(qū)間為的非零區(qū)間為0mN-1，x2(n-m)的非零區(qū)間為的非零區(qū)間為0n-mM-1，兩個(gè)不等式相加有，兩個(gè)不等式相加有0nN+M-2，所以，所以，y(n)是一個(gè)長(zhǎng)度為是一

18、個(gè)長(zhǎng)度為N+M-1的有限長(zhǎng)序列。的有限長(zhǎng)序列。 102121)()()()()(Nmmmnxmxmnxmxny312 2）線性卷積服從交換律、結(jié)合律和分配律）線性卷積服從交換律、結(jié)合律和分配律)()()()()()(2121nhnhnxnhnhnx )()()()()()()(2121nhnxnhnxnhnhnx 324.因果系統(tǒng)因果系統(tǒng) 如果系統(tǒng)如果系統(tǒng)n0時(shí)刻的輸出，只取決于時(shí)刻的輸出，只取決于n0時(shí)刻以及時(shí)刻以及n0時(shí)刻以時(shí)刻以前的輸入序列，而和前的輸入序列，而和n0時(shí)刻以后的輸入序列無關(guān)，則稱為因時(shí)刻以后的輸入序列無關(guān)，則稱為因果系統(tǒng)。果系統(tǒng)。 在數(shù)學(xué)上因果系統(tǒng)滿足方程：在數(shù)學(xué)上因果系

19、統(tǒng)滿足方程：y(n)=fx(n)，x(n-1)，x(n-2)， 一個(gè)一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng)為為因果系統(tǒng)的充分必要條件因果系統(tǒng)的充分必要條件是是: : 因果系統(tǒng)的因果性是指系統(tǒng)物理上的可實(shí)現(xiàn)性。因果系統(tǒng)的因果性是指系統(tǒng)物理上的可實(shí)現(xiàn)性。0,0)( nnh33非因果系統(tǒng)的延時(shí)實(shí)現(xiàn)非因果系統(tǒng)的延時(shí)實(shí)現(xiàn)345.穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng) 穩(wěn)定系統(tǒng)是指穩(wěn)定系統(tǒng)是指有界輸入產(chǎn)生有界輸出的系統(tǒng)有界輸入產(chǎn)生有界輸出的系統(tǒng)。即即 如果如果|x(n)|M（M為正常數(shù)），有為正常數(shù)），有|y(n)|+，則該系統(tǒng)被，則該系統(tǒng)被稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。 一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件穩(wěn)定的

20、充分和必要條件是其單位取樣是其單位取樣響應(yīng)響應(yīng)h(n)絕對(duì)可和，即絕對(duì)可和，即 nnh| )(|35例例1-8 設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)h(n)=anu(n)，式中式中a是實(shí)常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。是實(shí)常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。 解：（解：（1 1）因果性）因果性 由于由于n0時(shí)，時(shí)，h(n)=0，系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。，系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。（2）穩(wěn)定性）穩(wěn)定性因此系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是因此系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是: : aanhnnn 11)(01 a1 a36例例1-9 判別系統(tǒng)判別系統(tǒng)y(n) =Tx(n)=x(n)cos(n+)的因果穩(wěn)定性。的因果穩(wěn)定性。 解

21、：（解：（1）因果性）因果性 因?yàn)橐驗(yàn)閥(n) =Tx(n)=x(n)cos(n+)只與只與x(n)的當(dāng)前值有的當(dāng)前值有關(guān)，而與關(guān)，而與x(n+1)，x(n+2)等未來值無關(guān)，故系統(tǒng)是因果的。等未來值無關(guān)，故系統(tǒng)是因果的。 （2）穩(wěn)定性）穩(wěn)定性 當(dāng)當(dāng)|x(n)|M時(shí)有時(shí)有Tx(n)|M|cos(n+ )|，由于，由于|cos(n+)|1是有界的，所以是有界的，所以y(n) =Tx(n)也是有界的，故系也是有界的，故系統(tǒng)是穩(wěn)定的。統(tǒng)是穩(wěn)定的。37 系統(tǒng)的系統(tǒng)的線性線性、時(shí)不變性時(shí)不變性、因果性因果性和和穩(wěn)定性穩(wěn)定性是系是系統(tǒng)的四個(gè)統(tǒng)的四個(gè)互不相關(guān)互不相關(guān)的性質(zhì)。的性質(zhì)。381.4 離散時(shí)間系統(tǒng)的

22、時(shí)域描述離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域描述差分方程差分方程一、常系數(shù)線性差分方程的一般表達(dá)式一、常系數(shù)線性差分方程的一般表達(dá)式或或其中其中ak，br都是常數(shù)都是常數(shù)。 MrNkkrknyarnxbny01)()()(1, )()(000 arnxbknyaMrrNkk39說明：說明： 1）差分方程的階數(shù)是用方程差分方程的階數(shù)是用方程y(n-k)項(xiàng)中的項(xiàng)中的k取值最大與取值最大與最小之差確定的。最小之差確定的。 2） 該式說明，系統(tǒng)在該式說明，系統(tǒng)在某時(shí)刻某時(shí)刻n的輸出值的輸出值y(n)不僅與不僅與該時(shí)刻該時(shí)刻的的輸入輸入x(n)、過去時(shí)刻的輸入過去時(shí)刻的輸入x(n-1)，x(n-2)等有關(guān)，還與等有關(guān)，還

23、與該時(shí)該時(shí)刻以前刻以前的輸出值的輸出值y(n-1)，y(n-2)等有關(guān)。等有關(guān)。 MrNkkrknyarnxbny01)()()(40差分方程的特點(diǎn)差分方程的特點(diǎn) 采用差分方程描述系統(tǒng)簡(jiǎn)便、直觀、易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)采用差分方程描述系統(tǒng)簡(jiǎn)便、直觀、易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn) 容易得到系統(tǒng)的運(yùn)算結(jié)構(gòu)容易得到系統(tǒng)的運(yùn)算結(jié)構(gòu) 便于求解系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)便于求解系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng) 但差分方程不能直接反應(yīng)系統(tǒng)的頻率特性和穩(wěn)定性等。但差分方程不能直接反應(yīng)系統(tǒng)的頻率特性和穩(wěn)定性等。實(shí)際上用來描述系統(tǒng)多數(shù)還是由實(shí)際上用來描述系統(tǒng)多數(shù)還是由系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)。41二、差分方程的求解二、差分方程的求解 常系數(shù)差分方程的求解方法有迭代法，時(shí)域

24、經(jīng)典法，卷常系數(shù)差分方程的求解方法有迭代法，時(shí)域經(jīng)典法，卷積法和變換域法。積法和變換域法。 時(shí)域經(jīng)典法時(shí)域經(jīng)典法類似于解微分方程，過程繁瑣，應(yīng)用很少，類似于解微分方程，過程繁瑣，應(yīng)用很少，但物理概念比較清楚。但物理概念比較清楚。 迭代法迭代法( (遞推法遞推法) )比較簡(jiǎn)單，且適合于計(jì)算機(jī)求解，但不比較簡(jiǎn)單，且適合于計(jì)算機(jī)求解，但不能直接給出一個(gè)完整的解析式作為解答（也稱閉合形式解能直接給出一個(gè)完整的解析式作為解答（也稱閉合形式解答）。答）。 卷積法卷積法適用于系統(tǒng)起始狀態(tài)為零時(shí)的求解。適用于系統(tǒng)起始狀態(tài)為零時(shí)的求解。 變換域方法變換域方法類似于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的拉普拉斯變換，這里類似于連續(xù)時(shí)間系

25、統(tǒng)的拉普拉斯變換，這里采用采用Z變換法變換法來求解差分方程，這在實(shí)際使用上是最簡(jiǎn)單有來求解差分方程，這在實(shí)際使用上是最簡(jiǎn)單有效的方法。效的方法。 例例1-10：若系統(tǒng)用差分方程若系統(tǒng)用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，輸描述，輸入序列入序列x(n)=(n)，求初始條件分別為，求初始條件分別為h(n)=0，n0時(shí)的單位脈沖響應(yīng)時(shí)的單位脈沖響應(yīng)h(n)。 解：解：（1）令）令x(n)=(n)，根據(jù)初始條件可遞推如下，根據(jù)初始條件可遞推如下 y(0)=ay(-1)+(0)=1 y(1)=ay(0)+(1)=a y(2)=ay(1)+(2)=a2 y(n)=ay(n-1)=an因此，因此

26、，h(n)=y(n)=anu(n)43 例例1-10：若系統(tǒng)用差分方程若系統(tǒng)用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，輸描述，輸入序列入序列x(n)=(n)，求初始條件分別為，求初始條件分別為h(n)=0，n0時(shí)的單位脈沖響應(yīng)時(shí)的單位脈沖響應(yīng)h(n)。 解：解：將差分方程改寫成將差分方程改寫成y(n-1)= a-1y(n)-x(n)根據(jù)初始條件可遞推如下根據(jù)初始條件可遞推如下 y(0)=a-1y(1)-(1)=0 y(-1)= a-1y(0)-(0)=- a-1 y(n)=ay(n-1)=-an因此，因此，h(n)=y(n)=-anu(-n-1)44以上結(jié)果說明：以上結(jié)果說明：（1 1

27、）一個(gè)常系數(shù)線性差分方程不一定代表一個(gè)因果系統(tǒng)一個(gè)常系數(shù)線性差分方程不一定代表一個(gè)因果系統(tǒng)（2 2）一個(gè)常系數(shù)線性差分方程，如果沒有附加的起始條）一個(gè)常系數(shù)線性差分方程，如果沒有附加的起始條 件，不能唯一的確定一個(gè)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，并且件，不能唯一的確定一個(gè)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，并且 只有當(dāng)起始條件選擇合適時(shí)，才相當(dāng)于一個(gè)線性時(shí)不只有當(dāng)起始條件選擇合適時(shí)，才相當(dāng)于一個(gè)線性時(shí)不 變系統(tǒng)。變系統(tǒng)。 在以下的討論中，除非另外聲明，我們都假設(shè)常系數(shù)線在以下的討論中，除非另外聲明，我們都假設(shè)常系數(shù)線性差分方程所表示的系統(tǒng)都是指線性時(shí)不變系統(tǒng)，并且多數(shù)性差分方程所表示的系統(tǒng)都是指線性時(shí)不變系統(tǒng)，并且多數(shù)是

28、指因果系統(tǒng)。是指因果系統(tǒng)。三、三、MatlabMatlab實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)y=filter(b,a,x)例例1-11解：解：MATLAB程序程序a=1,-1,0.9; b=1;x=impseq(0,-20,120); % 輸入輸入n=-20:120;h=filter(b,a,x); % 系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸出stem(n,h,.);nnxnynyny );()2(9 . 0)1()(1.5 1.5 模擬信號(hào)數(shù)字處理方法（采樣）模擬信號(hào)數(shù)字處理方法（采樣）前置預(yù)前置預(yù)濾波器濾波器A/D變換器變換器數(shù)字信號(hào)數(shù)字信號(hào)處理器處理器D/A變換器變換器模擬模擬濾波器濾波器模擬模擬xa(t)PrFADCDSPDACPoF

29、模擬模擬ya(t)采樣采樣采樣恢復(fù)采樣恢復(fù) 所謂所謂“采樣采樣”，就是利用采樣脈沖序列從連續(xù)時(shí)間信號(hào)，就是利用采樣脈沖序列從連續(xù)時(shí)間信號(hào)中抽取一系列的離散樣值，由此得到的離散時(shí)間信號(hào)通常稱中抽取一系列的離散樣值，由此得到的離散時(shí)間信號(hào)通常稱為采樣信號(hào)，以為采樣信號(hào)，以 表示。表示。 采樣的原理框圖采樣的原理框圖47一、采樣的基本概念一、采樣的基本概念)(txa采樣器采樣器連續(xù)信號(hào)連續(xù)信號(hào)采樣脈沖采樣脈沖采樣信號(hào)采樣信號(hào)48 （a）實(shí)際采樣）實(shí)際采樣 （b） 理想采樣理想采樣圖圖1-22 兩種采樣方式兩種采樣方式49二、理想采樣及其頻譜二、理想采樣及其頻譜 1.時(shí)域分析時(shí)域分析 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型

30、 采樣脈沖：采樣脈沖： 理想采樣輸出理想采樣輸出: : nTnTtttp)()()( naTaanTtnTxttxtx)()()()()()()(21)(aa PXX 50 2. 2.頻域分析頻域分析 映射 時(shí)域相乘時(shí)域相乘 頻域卷積頻域卷積 （模擬系統(tǒng)）（模擬系統(tǒng)） 1)1)沖激函數(shù)序列沖激函數(shù)序列T(t)的頻譜的頻譜 考慮到周期信號(hào)可以用傅里葉級(jí)數(shù)展開，因此，沖激函考慮到周期信號(hào)可以用傅里葉級(jí)數(shù)展開，因此，沖激函數(shù)序列數(shù)序列T(t)可用傅里葉級(jí)數(shù)表示為可用傅里葉級(jí)數(shù)表示為: :其中其中ntjnnTseFt)()()(21)(aa PXX )()()(aatptxtx T/2s 2/2/)(

31、1TTtjnndtetTFsTdttTTT1)(12/2/ 51因此，因此， 上式表明沖激函數(shù)序列具有梳狀譜的結(jié)構(gòu)，即它的各次上式表明沖激函數(shù)序列具有梳狀譜的結(jié)構(gòu)，即它的各次諧波都具有相等的幅度諧波都具有相等的幅度1/T。 因?yàn)橐驗(yàn)?，所以，所以2, 1, 0,1)( neTtntjnTs )(2ss tje nnjnnTeTFP)(21)(ss 幅度譜頻譜52 2 2）理想采樣信號(hào)）理想采樣信號(hào) 的頻譜的頻譜上式表明：上式表明： （1）頻譜產(chǎn)生周期延拓頻譜產(chǎn)生周期延拓。即采樣信號(hào)的頻譜是頻率的周即采樣信號(hào)的頻譜是頻率的周期函數(shù)，其周期為期函數(shù)，其周期為s。 （2）頻譜的幅度是）頻譜的幅度是X

32、a(j)的的1/T倍。倍。)(*)(21)( PXjXaa )(2*)(21 nsanTX nsanXT)(1)(txa53三、時(shí)域采樣定理三、時(shí)域采樣定理 如果信號(hào)如果信號(hào)xa(t)是帶是帶限信號(hào)，且最高頻率不超過限信號(hào)，且最高頻率不超過s/2，即，即那么采樣頻譜中，那么采樣頻譜中，基帶頻譜基帶頻譜以及以及各次諧波頻譜各次諧波頻譜彼此是不重疊彼此是不重疊的。的。 用一個(gè)帶寬為用一個(gè)帶寬為s/2的理想低通濾波器，可以不失真的還的理想低通濾波器，可以不失真的還原出原來的連續(xù)信號(hào)。原出原來的連續(xù)信號(hào)。 但是，如果信號(hào)最高頻譜超過但是，如果信號(hào)最高頻譜超過s/2，那么在采樣頻譜，那么在采樣頻譜中，各

33、次調(diào)制頻譜就會(huì)相互交疊起來，這就是中，各次調(diào)制頻譜就會(huì)相互交疊起來，這就是頻譜混疊現(xiàn)頻譜混疊現(xiàn)象象。其中，。其中，s/2 或或 fs/2，稱作，稱作折疊頻率折疊頻率 。 2/|02/|)()(ssaajXjX54圖圖1-24 1-24 采樣信號(hào)的頻譜圖采樣信號(hào)的頻譜圖55圖圖1-26 1-26 單音（余弦）信號(hào)采樣中的頻譜混疊情況示意圖單音（余弦）信號(hào)采樣中的頻譜混疊情況示意圖 56 設(shè)設(shè) 沒有混疊時(shí)，恢復(fù)出的輸出為沒有混疊時(shí)，恢復(fù)出的輸出為 有混疊時(shí)，則是有混疊時(shí)，則是 結(jié)論：結(jié)論：為使采樣后能不失真的還原出原信號(hào)，采樣頻率為使采樣后能不失真的還原出原信號(hào)，采樣頻率必須大于兩倍信號(hào)最高頻率，

34、這就是必須大于兩倍信號(hào)最高頻率，這就是奈奎斯特采樣定理奈奎斯特采樣定理。ttxa0cos)( ttya0cos)( ttysa)cos()(0 57 許多人在在看電影或電視時(shí)，汽車輪子細(xì)節(jié)會(huì)模糊看不許多人在在看電影或電視時(shí)，汽車輪子細(xì)節(jié)會(huì)模糊看不清楚，這就是混疊的直接結(jié)果。也就是拍攝時(shí)掃描的速度清楚，這就是混疊的直接結(jié)果。也就是拍攝時(shí)掃描的速度（幀頻）不夠快，沒有正確記錄輪子的旋轉(zhuǎn)情況。（幀頻）不夠快，沒有正確記錄輪子的旋轉(zhuǎn)情況。 作業(yè)作業(yè)：設(shè)：設(shè)一般電影拍攝的幀頻為一般電影拍攝的幀頻為 16 張張/秒，對(duì)直徑為秒，對(duì)直徑為 0.6m 的普通輪子，在此記錄速度下，為了清楚的記錄輪子的普通輪子，

35、在此記錄速度下，為了清楚的記錄輪子的旋轉(zhuǎn)情況，車速不能大于的旋轉(zhuǎn)情況，車速不能大于km/h？應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例59關(guān)于帶通信號(hào)的采樣關(guān)于帶通信號(hào)的采樣 對(duì)于帶通信號(hào)，信號(hào)的頻率范圍為對(duì)于帶通信號(hào)，信號(hào)的頻率范圍為 f1 f f2，而不是，而不是 0 f f1，則沒有必要以兩倍的最高頻率或，則沒有必要以兩倍的最高頻率或 2f2 進(jìn)行采樣。此進(jìn)行采樣。此時(shí)，最小采樣極限取決于信號(hào)的帶寬時(shí)，最小采樣極限取決于信號(hào)的帶寬 f2f1 以及帶寬在頻譜以及帶寬在頻譜中的位置，取樣頻率至少必須是帶寬的兩倍，但可以更高中的位置，取樣頻率至少必須是帶寬的兩倍，但可以更高些，關(guān)鍵是要保證沒有頻譜混疊。些，關(guān)鍵是要保證

36、沒有頻譜混疊。 這種對(duì)帶限信號(hào)的取樣并未遵循奈奎斯特條件，稱為欠這種對(duì)帶限信號(hào)的取樣并未遵循奈奎斯特條件，稱為欠采樣（采樣（Undersampling）。）。 例如，一個(gè)例如，一個(gè)GSM 蜂窩電話在蜂窩電話在900MHZ 頻段上占頻段上占 30kHz 帶寬，通過欠取樣，只用比帶寬，通過欠取樣，只用比 60kHz 略高一點(diǎn)的采樣頻率，而略高一點(diǎn)的采樣頻率，而非非1.8GHz，就可以恢復(fù)信號(hào)。，就可以恢復(fù)信號(hào)。60 相對(duì)應(yīng)的有過采樣（相對(duì)應(yīng)的有過采樣（Oversampling） 用遠(yuǎn)高于奈用遠(yuǎn)高于奈奎斯特取樣頻率的頻率去取樣，降低對(duì)抗混疊濾波器的要奎斯特取樣頻率的頻率去取樣，降低對(duì)抗混疊濾波器的要

37、求。經(jīng)過粗略的模擬濾波和取樣后，使離散數(shù)字信號(hào)經(jīng)過一求。經(jīng)過粗略的模擬濾波和取樣后，使離散數(shù)字信號(hào)經(jīng)過一個(gè)具有良好滾降特性的數(shù)字抗混疊濾波器，使之在個(gè)具有良好滾降特性的數(shù)字抗混疊濾波器，使之在 f1Hz 處處銳利截止，然后再通過甩點(diǎn)（銳利截止，然后再通過甩點(diǎn)（Decimation）降低碼率。）降低碼率。 過采樣的倍數(shù)有過采樣的倍數(shù)有 4、8、16、32 倍，甚至高達(dá)倍，甚至高達(dá) 256。 例如高質(zhì)量的聲音帶寬為例如高質(zhì)量的聲音帶寬為 20kHz，但現(xiàn)在的許多，但現(xiàn)在的許多 ADC 變換器的采樣頻率為變換器的采樣頻率為 256kHz，甚至更高，提高，甚至更高，提高 ADC 轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換后的信噪比。后

38、的信噪比。61四、采樣的恢復(fù)（內(nèi)插）四、采樣的恢復(fù)（內(nèi)插） 1.1.頻域分析頻域分析 2/,02/,)(ssTjG)()()(1)()()( jXjGjXTjGjXjYaaa)()(txtya 622.2.時(shí)域分析時(shí)域分析 把輸出看成是把輸出看成是 與理想低通單位沖激響應(yīng)與理想低通單位沖激響應(yīng)g(t)的卷積的卷積 理想低通理想低通G(j)的沖激響應(yīng)為的沖激響應(yīng)為)(txa 2/2/2)(21)(ssdeTdejGtgtjtj tTtTttss sin22sin 63 根據(jù)卷積公式，低通濾波器的輸出為：根據(jù)卷積公式，低通濾波器的輸出為： dtgxtxtyaa)()()()( dtgnTxna)(

39、 )()( nadnTtgx )()()( nananTtTnTtTnTxnTtgnTx)()(sin)()()( 64其中：其中： naanTtTnTtTnTxtx)()(sin)()( )()(sin)(nTtTnTtTnTtg 采樣內(nèi)插公式采樣內(nèi)插公式 內(nèi)插函數(shù)內(nèi)插函數(shù) 內(nèi)插函數(shù)內(nèi)插函數(shù)權(quán)內(nèi)插公式 內(nèi)插結(jié)果使得被恢復(fù)的信號(hào)在內(nèi)插結(jié)果使得被恢復(fù)的信號(hào)在采樣點(diǎn)的值就等于采樣點(diǎn)的值就等于xa(nT)，采樣點(diǎn)之間的信號(hào)則是由采樣點(diǎn)之間的信號(hào)則是由各采樣值內(nèi)插函數(shù)的波形延伸各采樣值內(nèi)插函數(shù)的波形延伸疊加疊加而成的。而成的。 65 要完全恢復(fù)原來的連續(xù)信號(hào)要完全恢復(fù)原來的連續(xù)信號(hào)xa(t)，需要以下條件：需要以下條件： 限帶信號(hào)限帶信號(hào)； 無限次的理想取樣無限次的理想取樣（函數(shù)）；（函數(shù)）；（N） 理想低通濾波器，即理想低通濾波器，即Sinc內(nèi)插函數(shù)內(nèi)插函數(shù)（其截止頻率滿（其截止頻率滿足足fc f fs/2）