第三章 矢量分析和場論 2011-03-15

1、l矢量分析l電源和電場矢量和標量矢量代數標量場的梯度矢量場的散度拉普拉斯算子矢量恒等式矢量和標量矢量和標量1.標量：標量：只有大小，沒有方向的物理量。矢量表示為：|AA a所以：一個矢量就表示成矢量的模與單位矢量的乘積。其中： 為矢量的模，表示該矢量的大小。 為單位矢量，表示矢量的方向，其大小為1。| A a2.矢量：矢量：不僅有大小，而且有方向的物理量。如:力 、速度 、電場 等FEv如：溫度 T、長度 L 等例：在直角坐標系中， x 方向的大小為 6 的矢量如何表示？6xa圖示法： 6xaGNFfFxy力的圖示法： FNfFFF矢量代數1.加法加法: : 矢量加法是矢量的幾何和,服從平行四

2、邊形規(guī)則。a.滿足交換律：ABBAb.滿足結合律：CABBACBAC()()()()ABCDACBDzoyx三個方向的單位矢量用 表示。,xyzaaa根據矢量加法運算：xyzAAAA,xxxyyyzzzAA aAA aAA a所以：xxyyzzAA aA aA a在直角坐標系下的矢量表示:AxAyAzA其中：矢量：xxyyzzAA aA aA a模的計算：222|xyzAAAA單位矢量：|yxzxyzAAAAaaaaAAAA方向角與方向余弦：,|cos,|cos,|cosAAAAAAzyxcoscoscosxyzaaa在直角坐標系中三個矢量加法運算： ()()()xxxxyyyyzzzzABC

3、ABC aABC aABC azoyxAxAyAzA2.減法：換成加法運算()DABAB ABCBAB逆矢量： 和 的模相等，方向相反，互為逆矢量。B()BDBADABC0在直角坐標系中兩矢量的減法運算： ()()()xxxyyyzzzABAB aAB aAB a推論：任意多個矢量首尾相連組成閉合多邊形，其矢量和必為零。3.3.乘法：乘法：（1）標量與矢量的乘積：0|00kkAk A akk方向不變，大小為|k|倍方向相反，大小為|k|倍（2）矢量與矢量乘積分兩種定義a. 標量積（點積）：| |cosA BABBA兩矢量的點積含義： 一矢量在另一矢量方向上的投影與另一矢量模的乘積，其結果是一標

4、量。在直角坐標系中，已知三個坐標軸是相互正交的，即0,0,01,1,1xyxzyzxxyyzzaaaaaaaaaaaa有兩矢量點積：() ()xxyyzzxxyyzzA BA aA aA aB aB aB a zzyyxxBABABA結論: 兩矢量點積等于對應分量的乘積之和。推論1：滿足交換律推論2：滿足分配律推論3：當兩個非零矢量點積為零,則這兩個矢量必正交。A BB A()ABCA BA C推論1：不服從交換律：,A BB AA BB A 推論2：服從分配律：()AB CA BA C推論3：不服從結合律：()()AB CA BC推論4：當兩個非零矢量叉積為零，則這兩個矢量必平行。b.矢量積

5、（叉積）：| |sincABABa含義： 兩矢量叉積，結果得一新矢量，其大小為這兩個矢量組成的平行四邊形的面積，方向為該面的法線方向，且三者符合右手螺旋法則。BAca在直角坐標系中，兩矢量的叉積運算如下：xyzxyzxyzaaaABAAABBB() ()x xy yz zx xy yz zA BAaAaAaBaBaBa ()()()yzzyxzxxzyxyyxzABAB aABAB aABAB a兩矢量的叉積又可表示為：xyzo（3）三重積：三個矢量相乘有以下幾種形式：()A B C矢量，標量與矢量相乘。()ABC標量，標量三重積。矢量，矢量三重積。a. 標量三重積法則：在矢量運算中,先算叉積

6、,后算點積。定義：|sincosA BCA B C()ABC含義： 標量三重積結果為三矢量構成的平行六面體的體積 。ABChB C 注意：先后輪換次序。推論：三個非零矢量共面的條件。在直角坐標系中：()0ABC()xyzxyzxyzAAAABCBBBCCC()()xyzxxyyzzxyzxyzaaaAB CA aA aA aBBBCCCb.矢量三重積：()()()ABCB A CC A B ()()()VABCCABBCAABChB C例2：12342,3223,325xyzxyzxyzxyzraaaraaaraaaraaa 求：4123rarbrcr中的標量 a、b、c。解：325(2)(3

7、2)( 23)xyzxyzxyzxyzaaaaaaab aaacaaa(22 )(3)(23 )xyzabc aabc aabc a 則：設213abc 22332235abcabcabc例3： 已知263xyzAaaa43xyzBaaa求：確定垂直于 、 所在平面的單位矢量。AB解：已知AB所得矢量垂直于 、 所在平面。ABnABaAB 263151030431xyzxyzaaaABaaa1(326)7nxyzaaaa 222|15( 10)3035AB 已知A點和B點對于原點的位置矢量為 和 ，求：通過A點和B點的直線方程。例4： ab()cak ba其中：k 為任意實數。(1)ck ak

8、bxyzCcABab解：在通過A點和B點的直線方程上， 任取一點C，對于原點的位置 矢量為 ，則c標量場的梯度標量場的梯度1. 標量場的等值面可以看出：標量場的函數是單值函數，各等值面是互不 相交的。以溫度場為例：熱源等溫面b.梯度定義：標量場中某點梯度的大小為該點最大的方向導數， 其方向為該點所在等值面的法線方向。數學表達式：dgraddnan2. 標量場的梯度a.方向導數：ddl空間變化率，稱為方向導數。ddn為最大的方向導數。標量場的場函數為),(tzyx00dP1P2Pdndl計算：dcosdndraddglddddddnlnlddnlaan在直角坐標系中：ddddxyzxyzdddd

9、xyzlxayaza所以：gradxyzaaaxyz梯度也可表示：grad 00dP1P2Pdndl在柱坐標系中：在球坐標系中：在任意正交曲線坐標系中：rzaaarrzsinRaaaRRR 123112233uuuaaah uh uh u在不同的坐標系中，梯度的計算公式：在直角坐標系中：xyzaaaxyz矢量場的散度矢量場的散度1. 1. 矢線（場線）：矢線（場線）： 在矢量場中，若一條曲線上每一點的切線方向與場矢量在該點的方向重合，則該曲線稱為矢線。2. 2. 通量：通量：定義：如果在該矢量場中取一曲面S， 通過該曲面的矢線量稱為通量。表達式：dSvS若曲面為閉合曲面：dSvS+- -討論：

10、討論：a. 如果閉合曲面上的總通量0 說明穿出閉合面的通量大于穿入曲面的通量，意味著閉合面內存在正的通量源。b. 如果閉合曲面上的總通量0 說明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢線在曲面內終止了，意味著閉合面內存在負源或稱溝。c. 如果閉合曲面上的總通量0說明穿入的通量等于穿出的通量。3. 3. 散度：散度：a.定義：矢量場中某點的通量密度稱為該點的散度。 b.表達式：0ddivlimSVFSFV c.散度的計算： 在直角坐標系中，如圖做一封閉曲面，該封閉曲面由六個平面組成。矢量場 表示為：FxxyyzzFF aF aF a1Szyx6S5S4S3S2S123123ddddSSSSFS

11、FSFSFS456456dddSSSFSFSFS111d( )()xxxSFSF x ay za zyxFx)(1222d()xxxSFSF x ay za 在 x方向上：計算穿過 和 面的通量為2S1S1()xF xxy z 11( )()()xxxF xF xxF xxx 因為：221( )d()xxSF xFSF xy zx y zx 則：在 x 方向上的總通量：1212ddxSSFFSFSx y zx 在 z 方向上,穿過 和 面的總通量：5S6S5656ddZSSFFSFSx y zz 整個封閉曲面的總通量：dyxzSFFFFSx y zxyz 3434ddySSFFSFSx y z

12、y 同理：在 y方向上,穿過 和 面的總通量：3S4S該閉合曲面所包圍的體積：zyxV0ddivlimSVFSFV zFyFxFzyx通常散度表示為：divFF4.4.散度定理：散度定理：ddSVFSF V物理含義：穿過一封閉曲面的總通量等于矢量散度的體積分。柱坐標系中：1 ()1rzFF rFFrrrz球坐標系中：22(sin )()111sinsinRFFR FFRRRR132231 21 31 23123()()1uuuF h hF hhF hhFhh huuu正交曲線坐標系中：直角坐標系中：yxzFFFFxyz常用坐標系中，散度的計算公式在圓柱坐標系中： 2222221)(1zrrrr

13、r在球坐標系中： 22222222111()(sin)sinsinRRRRRR在廣義正交曲線坐標系中： 2231 31 21 231112223331()()()h hhhhhhh huhuuhuuhu 拉普拉斯算子拉普拉斯算子 2() 在直角坐標系中：2222222zyx重要的場論公式重要的場論公式(1)()0 1. 1. 兩個零恒等式兩個零恒等式 任何標量場梯度的旋度恒為零。 (2)()0F 任何矢量場的旋度的散度恒為零。 )()AAA AAA)() ()()()()A BABBA ABBA ()A BBA AB ()()()A BAB BABAAB 常用的矢量恒等式常用的矢量恒等式 基本

14、關系單極場偶極場在生物電學中探討有關電源及其產生的電位和電流場間的基本數學關系，是極有意義的。在討論處于導電介質中的電源時首先要考慮這些關系。一般我們已熟悉在低頻電路中采用無損耗的導線把離散的(集中參數)元件連接起來。不過，在實際的生物體中是充滿著電位和電流連續(xù)體，而電位和電流是位置的連續(xù)函數。兩點之間的標量電位差可以用一個理想的電壓表測定。場強E可以由標量電位的負梯度求得按歐姆定律，電流密度J與場強E 之間的關系J = E式中為電流流過導電介質的電導率。這里假設為一標量，則由該式表明J 與E 同一方向。-E=設電源密度為Iv(x，y，z)散度作為由每單位體積流出量的一種度量等價于電源密度。一

15、個任意的區(qū)域，有這幾種可能：其一是根本沒有電一個任意的區(qū)域，有這幾種可能：其一是根本沒有電流，這時方程的兩邊均為零；其二是有電流流動，但流，這時方程的兩邊均為零；其二是有電流流動，但是在該區(qū)域的流出量與流入量相等，使得方程兩邊仍是在該區(qū)域的流出量與流入量相等，使得方程兩邊仍為零；第三種情況是某些電流起源于該區(qū)域內并有凈為零；第三種情況是某些電流起源于該區(qū)域內并有凈流出量，這時方程的兩邊均為正值；第四種情況是有流出量，這時方程的兩邊均為正值；第四種情況是有凈電流流入該區(qū)域，則式兩邊為負值。在實際研究生凈電流流入該區(qū)域，則式兩邊為負值。在實際研究生物標本時，后兩者是經常遇到的情況。這是由于人們物標

16、本時，后兩者是經常遇到的情況。這是由于人們把細胞內電流把細胞內電流( (細胞之中的電流細胞之中的電流) )和細胞外電流分開研和細胞外電流分開研究，因此當電流穿過細胞膜時，看上去似乎電流出現究，因此當電流穿過細胞膜時，看上去似乎電流出現或消失了?；蛳Я?。vIJ =導出直接將電位與產生它的電流源和阱間聯系起來的表達式。對于一個電導率均勻，但包含源密度Iv的區(qū)域，得出對于的泊松方程：-IJ2v=v2I- =泊松方程的一個重要特殊情況是各處源密度均為零。對這種無源的均一導電區(qū)域，電流守恒要求泊松方程中電位的解0=vIJ=rdVIv4100=-IJ22v式中r為源或阱Iv，到觀察位點的距離拉普拉斯方程

17、單極是單個極，在電流場的意義下，也就是導電介質中的單一電流源或阱。在生物電學中只涉及單極的問題十分罕見，因為所有的生物電源至少包括了源和阱組合。盡管如此，但由于單極是較復雜又較實際的構型的組成基元，故研究單極的電位與電流場間的關系還是相當重要的。況且對于人造源，在有限區(qū)域內可得到真正的單極場。設想某點流源(單極)置于電導率為且無限大的均一導電介質中。設其位置如圖所示為(x，y，z)，由于均一性，電流取徑向，穿過任意半徑球面的總電流必定為I0；因此電流密度J就等于I0除以半徑為r的球面積，即rIrI-drdarI-arIJmrr44440202020=“偶極”是由相互靠得很緊的電流源和阱組合成的。很多生物電源的最簡單表達形式就是偶極子。例如電流可從細胞膜的某一點流出，而在靠近的另一點流回。因此我們將從兩方面對偶極子的電性質進行研究，即既作為技術上的例子說明單極基元是怎