線性時(shí)間序列分析及其應(yīng)用

1、1.11.21.3Tsay第一章金融時(shí)間序列及其特征資產(chǎn)收益率收益率的分布性質(zhì)其他過程 略 ttttt-1tt-1ttt-1tt-1t-1ttt-1tt-kt-1t-21.1tt-1t+R =+R-R =-1=t-ktkk-+Rk =PPP PPPP PPPPPPPPP資產(chǎn)收益率是資產(chǎn)在 時(shí)刻的價(jià)格單期簡(jiǎn)單收益率：若從第填到第 天 一個(gè)周期 持有某種資產(chǎn)，則簡(jiǎn)單毛收益率為：1或1對(duì)應(yīng)的單期簡(jiǎn)單凈收益率或稱簡(jiǎn)單收益率為：。多期簡(jiǎn)單收益率：若從第天到第 天這 個(gè)周期內(nèi)持續(xù)持有某種資產(chǎn)，則 期簡(jiǎn)單毛收益率為：1 k-1t-k+1tt-1t-k+1t-jj=0t-kttt-kt-k.=+R+R.+R=

2、+R.k-kk-Rk =-PPP PP1111這樣 期簡(jiǎn)單毛收益率就是其所包含的這 個(gè)單期簡(jiǎn)單毛收益率的乘積，稱為復(fù)合收益率。 期簡(jiǎn)單凈收益率是 tt1t-1ttt-1t-k+11rexp,expln+Rlnln+Rln+R+R.+R.tttttttA CrnCArnPrppPr kkrrr 連續(xù)復(fù)合：連續(xù)復(fù)合年利率為 ，則資產(chǎn)的現(xiàn)值與其未來價(jià)值的關(guān)系為： =。連續(xù)復(fù)合收益率：資產(chǎn)的簡(jiǎn)單毛收益率的自然對(duì)數(shù)稱為連續(xù)復(fù)合收益率或?qū)?shù)收益率，1。連續(xù)復(fù)合多期收益率是它所包含的連續(xù)復(fù)合單期收益率之和：11111,1tttttttt-1tt-1tt0t0,it-1ttt+Dln+D-lnR =-1.-k

3、Np tiitiitittttwR wRDPPPrPPPR Rzrr資產(chǎn)組合收益率：R為權(quán)重，是 的簡(jiǎn)單收益率。分紅支付：設(shè)是一個(gè)資產(chǎn)在第天和第 天之間的分紅, 是第 個(gè)周期末的價(jià)格.這樣分紅并沒有包含在 中,因此 時(shí)刻連續(xù)復(fù)合收益率和簡(jiǎn)單凈收益率分別變?yōu)?，超額收益率:簡(jiǎn)單超額收益率Z,對(duì)數(shù)超額收益率 22t221.2x -3x =3.=exp1,2exp 2exp1tKKRVar r收益率的分布性質(zhì)叫做超額峰度，因?yàn)檎龖B(tài)分布的峰度若一個(gè)分布有正的超額峰度，則稱此分布具有厚尾性。對(duì)數(shù)正態(tài)分布:一個(gè)常用的假定是:資產(chǎn)的對(duì)數(shù)收益率是獨(dú)立同分布的且都服從均值為 、方差為的正態(tài)分布.那么在此假定下,

4、簡(jiǎn)單收益率是獨(dú)立同分布的對(duì)數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)變量,均值和方差分別為:E穩(wěn)定tr分布：是正態(tài)分布的自然推廣它們?cè)诩臃ㄟ\(yùn)算下是穩(wěn)定的，這一點(diǎn)符合連續(xù)復(fù)合收益率 的要求。穩(wěn)定分布能刻畫股票的歷史收益率所顯示出來的超額峰度，然而非正態(tài)分布沒有有限方差。這一點(diǎn)與大部分金融理論相矛盾。柯西分布是其一個(gè)例子。22221221222222 1,1,01,01,ttrrX NXNXXP XN 正態(tài)分布的尺度混合：在正態(tài)分布尺度混合的假定下，對(duì)數(shù)收益率 服從均值為 、方差為的正態(tài)分布。但是是一個(gè)隨機(jī)變量，它服從一個(gè)正的分布。正態(tài)分布的有限混合的一個(gè)例子是：，其中 是服從伯努利分布的隨機(jī)變量，即P且，較小而相對(duì)較大。

5、的較大值使混合把更多的“質(zhì)量”放在其分布的尾部，來自于的收益率的百分比較低，表明大多數(shù)收益率服從一個(gè)簡(jiǎn)單的正態(tài)分布。正態(tài)分布有限混合的優(yōu)點(diǎn)包括：保持了正態(tài)分布的易處理性、具有有限高階矩和能刻畫超額峰度。然而，我們很難估計(jì)混合參數(shù)。11t22ttt21122t1221tt|,., ,1,.,;=;exp,;221ln,.,;=ln;ln 2ln2ttTtttTtttttTf r rrrf rrf rf rrrf rrf r收益率的似然函數(shù)：若條件分布是均值為 、方差為的正態(tài)分布，則 由參數(shù)和組成，數(shù)據(jù)的似然函數(shù)為：其中是第一個(gè)觀測(cè) 的邊際密度函數(shù)，其對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：22Tt。書中圖標(biāo)表明簡(jiǎn)單收益

6、率和對(duì)數(shù)收益率的基本模式相似。2.12.22.32.42.52.62.72.82.92.102.11TsayARMA第二章線性時(shí)間序列分析及其特征平穩(wěn)性相關(guān)系數(shù)和自相關(guān)函數(shù)白噪聲和線性時(shí)間序列簡(jiǎn)單的自回歸模型簡(jiǎn)單滑動(dòng)平均模型簡(jiǎn)單的模型單位根非平穩(wěn)性季節(jié)模型帶時(shí)間序列誤差的回歸模型協(xié)方差矩陣的相合估計(jì)長(zhǎng)記憶模型 1111+-tkk,.,.,.,.,kkktktttttttttttt ltrttrrrrrrrrrrr2.1平穩(wěn)性平穩(wěn)性是時(shí)間序列分析的基礎(chǔ)。時(shí)間序列稱為嚴(yán)平穩(wěn)的，如果對(duì)所有的 任意正整數(shù) 和任意 個(gè)正整數(shù)的聯(lián)合分布與的聯(lián)合分布是相同的，換言之，嚴(yán)平穩(wěn)性要求的聯(lián)合分布在時(shí)間的平移變換下

7、保持不變。時(shí)間序列稱為弱平穩(wěn)的，如果 的均值與 和的協(xié)方差不隨時(shí)間而改變。更具體的說，是弱平穩(wěn)的，若 -l-l0-a=b cov=|t=1,.,=cova=b=tttlltlttttllErrrlrTrrrlVar r；，只依賴于 。在實(shí)際中，假定我們有T個(gè)數(shù)據(jù)觀測(cè)點(diǎn)，弱平穩(wěn)性意味著數(shù)據(jù)的時(shí)間圖顯示出T個(gè)值在一個(gè)常數(shù)水平上下以相同幅度波動(dòng)。在應(yīng)用中,弱平穩(wěn)性可以對(duì)未來觀測(cè)進(jìn)行預(yù)測(cè)。協(xié)方差，稱為 的間隔為 的自協(xié)方差，它又兩個(gè)重要性質(zhì)：； -l-l0-0-2.2covcov=1=-11.0=0. =tt ltlttttllttt llllltlACFrrrlrrrrlVar rVar r Var

8、 rlrl相關(guān)系數(shù)和自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)：與的相關(guān)系數(shù)稱為 的間隔為 的自相關(guān)系數(shù),記為,在弱平穩(wěn)，性的假定下它只是 的函數(shù):。我們有：，和另外，一個(gè)弱平穩(wěn)序列是序列不相關(guān)的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有都有的間隔為 的樣本自相關(guān)系數(shù)定義為： 1212-,-0-101Ttt lt lTttttlr trrr tlTrE rlT ，若是一個(gè)獨(dú)立同分布序列，滿足，則對(duì)任意固定的正整數(shù) ， 漸近地服從均值為 、方差為的正態(tài)分布。 01121202t:=0;:0;12=0t-|t-|ZZ100 1-2llltliijtHHttatiorTjlHrLjungBoxQ m檢驗(yàn)單個(gè)ACF：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量通常是 比,，如果是一個(gè)

9、平穩(wěn)高斯序列并且滿足當(dāng)時(shí)，則該 比漸近地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。決策規(guī)則是：當(dāng) 比時(shí)拒絕，其中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位點(diǎn)?；斐蓹z驗(yàn)：金融應(yīng)用中常需要檢驗(yàn) 的幾個(gè)自相關(guān)系數(shù)是否同時(shí)為零。統(tǒng)計(jì)量為： 210122021:.=0;:1,.,0.mllmaitT TTHHimrQ mmQ mH。對(duì)某在為滿足一定矩條件的獨(dú)立同分布序列的假定下，漸近地服從自由度為 的分布。當(dāng)時(shí)拒絕。 200= +,tttttttit ittitrrrrraaaa2.3白噪聲和線性時(shí)間序列時(shí)間序列稱為一個(gè)白噪聲序列，如果是一個(gè)具有有限均值和有限方差的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列。特別地，若 還服從均值為 、方差為的正態(tài)分布，則稱這個(gè)序列為

10、高斯白噪聲。對(duì)白噪聲序列，所有自相關(guān)函數(shù)為零。線性時(shí)間序列：時(shí)間序列稱為線性序列，如果它能寫成：是白噪聲序列， 表示時(shí)間序列在 時(shí)刻出現(xiàn)了新的信息，因此將 稱為時(shí)刻 的 222022-i-,+,0.itttttttaiatitiittrrrarE rVar raVar riar 新息或擾動(dòng)。據(jù)定了 的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)，稱為 的權(quán)重。若 是弱平穩(wěn)的，利用的獨(dú)立性可得 的均值和方差其中是 的方差。因，所有必須是收斂序列,即i相應(yīng)地，隨著的增大，遠(yuǎn)處的擾動(dòng)對(duì) 的影響會(huì)逐漸消失。 -101-121=+tttttttarrrrraa2.4簡(jiǎn)單的自回歸模型CRSP價(jià)值加權(quán)指數(shù)的月收益率 具有統(tǒng)計(jì)顯著的間隔為的自相

11、關(guān)系數(shù)，這個(gè)事實(shí)說明延遲的收益率在預(yù)測(cè) 時(shí)可能會(huì)有用。利用這樣的預(yù)測(cè)公用的一個(gè)簡(jiǎn)單模型是：，是均值為0、方差為的白噪聲序列。 00111000221212.4.11=+= =1-1120=01=0=0=11-tttttatARrrrARrrVar r 模型假定序列是弱平穩(wěn)的，則可得或E，這個(gè)結(jié)果有兩個(gè)含義： 、若則 的均值存在； 、 的均值為 當(dāng)且僅當(dāng)，因此，對(duì)平穩(wěn)過程，常數(shù)項(xiàng) 與 的均值有關(guān)，意味著E。，在時(shí)成立，因?yàn)榉讲钍欠秦?fù)有限的。 21 11-12t1121t1111100,=012,0,011.801Var(111lllalllllllARlARrrARlRlA 由后一當(dāng)時(shí)，模型的自

12、相關(guān)函數(shù)：對(duì)式定義，當(dāng)時(shí)，的弱平穩(wěn)模型，有)=且：的自相關(guān)函數(shù)滿足：。這個(gè)性質(zhì)表明弱平穩(wěn)序列的自相關(guān)函數(shù)從的指數(shù)速度衰減。對(duì)正的方程，因?yàn)?，故有開，模型始以比率為的自相關(guān) 1211ARACF函數(shù)圖像呈現(xiàn)指數(shù)衰減，對(duì)負(fù)的 ，模型的有上下兩個(gè)都以比率指數(shù)衰減的圖像組成。 01122t1122212122-=0=p,p,p0ttttlllllllARrrrrACFARACFBBBBARARAR 模型：的的性質(zhì)：序列的滿足二階差分方程 1， 是向后推移算子，即。2.4.2在實(shí)際中怎樣識(shí)別模型：在實(shí)際應(yīng)用中，一個(gè)序列的階 是未知的，必須根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)來決定，求解階 的問題叫做模型的定階。一般有兩種決此定

13、的方式說明：平穩(wěn)法：1、利2PACF用偏相關(guān)函數(shù)、用某個(gè)信息準(zhǔn)則函數(shù)t0,11,1 t-11t0,21,2 t-12,2 t-22t0,31,3 t-12,3 t-23,3 t-332=+e ,=+e ,=+e.tttPACFrrrrrrrrr、用某個(gè)信息準(zhǔn)則函數(shù)偏相關(guān)函數(shù)：平穩(wěn)時(shí)間序列的PACF是它的ACF的一個(gè)函數(shù)：，第一個(gè)式子中的估計(jì)量 稱為 間隔為1的樣本偏自相關(guān)函數(shù)，第二個(gè)式子中的估計(jì) 稱為 的間隔為2的偏自相關(guān)函數(shù)，以此類推，它表示在AR（1）模型基礎(chǔ)上添加的 對(duì) 的貢獻(xiàn)，以此類推。因此，對(duì)一個(gè)AR（p）模型，間隔為p的樣本偏自相關(guān)函數(shù)不應(yīng)為零，而對(duì)所有jp, 應(yīng)接近于零。利用這一

14、性質(zhì)來決定階p。1,1tr2,2trtrt-2r2,2AkaikeAICAIC信息準(zhǔn)則：常用信息準(zhǔn)則選擇規(guī)則：使達(dá)到最小值參數(shù)估計(jì)：普通二乘法模型的檢驗(yàn)：1、殘差序列是白噪聲 2、Ljung-Box統(tǒng)計(jì)量（混成檢驗(yàn)）2.4.3 擬合優(yōu)度衡量平穩(wěn)模型擬合優(yōu)度的一個(gè)常用的統(tǒng)計(jì)量是 統(tǒng)計(jì)量，其定義為：對(duì)于平穩(wěn)AR（p）模型,假設(shè)有t個(gè)觀測(cè)： 越大，表示模型對(duì)數(shù)據(jù)擬合得越好。21R 殘差平方和總的平方和212221|1,1()TttptTttpar tTRRrr ,則變?yōu)?R2R2.4.4 預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)是時(shí)間序列分析中一個(gè)重要應(yīng)用，假定我們?cè)跁r(shí)間指標(biāo)為h的點(diǎn)上，要預(yù)測(cè) ，則時(shí)間指標(biāo)h為預(yù)測(cè)原點(diǎn)，l為預(yù)測(cè)步

15、長(zhǎng)。,1h lrl 10111121101111, 1|,11hhp hphhhhhhphhhi hiihhhhARrrrar rrrrE rrrra 由模型有在均方損失函數(shù)下,給定F，的點(diǎn)預(yù)測(cè)為條件期望:F對(duì)應(yīng)的誤差為e可以證明：對(duì)平穩(wěn)AR（p）序列，具有均值回轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即當(dāng) +htlr lE r 時(shí)，收斂于。01122t230111213t112.5MA ,=-tttittttiiARrrrarrrra簡(jiǎn)單滑動(dòng)平均模型引進(jìn)模型有幾種方式:一種是把它當(dāng)做白噪聲序列的簡(jiǎn)單推廣,另一種方式是把它當(dāng)成參數(shù)受限制的無窮階的自回歸模型.我們考慮無窮階的模型:這樣一個(gè)模型是沒有實(shí)際意義的,但我們可以假定

16、系數(shù) 滿足某種限制:其中系數(shù)只依賴單個(gè)參數(shù) ，i1。要使1i01101|1irr1tttttttrrcacB a上式中的模型是平穩(wěn)的，必須，從而對(duì) 的貢獻(xiàn)隨 的增加以指數(shù)速度衰減。由上式變形可得:和式2.5.1 MA模型的性質(zhì)1MA模型總是弱平穩(wěn)的，23. 自相關(guān)函數(shù) 12220t12=,Var(1.tqE rcr期望為：方差為：)01121110120.,.10,10,11MA(1),1ACF01AFC0MA(1)ACF1t lt l tt ltt ltllcrr rrrll 假定對(duì)兩端乘以有取期望，得到，且時(shí)， 于是有，其中 即，對(duì)間隔為 的不為 ，但所有間隔大于 的都是 ，即模型的在間隔

17、為以后是截尾的。MA（q）序列只與前q個(gè)延遲值線性相關(guān)，是一個(gè)有限記憶模型。4可逆性 112111211,| 1ttttttttMAaraarrra將模型改為重復(fù)迭代可得： 說明 是現(xiàn)在和過去收益率的線性組合。要使模型合理 要求|。 tt110220112.5.20=02.5.3,.,lqltMArlqrMA qrcrc識(shí)別的階自相關(guān)函數(shù)如果時(shí)間序列 具有自相關(guān)函數(shù) ，若，但對(duì)有，則 服從一個(gè)模型。估計(jì)最大似然法 有兩種方法：1、假設(shè)初始的“擾動(dòng)”都是0，這樣由aaa可遞推得到計(jì)算似然函數(shù)所需要的“擾動(dòng)”，這種方法稱為條件似然法。2、把初始“擾動(dòng)”a當(dāng)做模型的附加參數(shù)與其他參數(shù)一起估計(jì)出來，這

18、種方法稱為精確似然法。 101110111121102021|122222.5.4hhhhhhhhhhhhhhhhhhhMArcaar lE rFcarr larraaMMAMArcar lclA對(duì)于模型, 取條件期望有 e向用預(yù)測(cè)由于模型是有限記憶的，它前兩步預(yù)測(cè)的誤差為e對(duì)于模型, 的點(diǎn)預(yù)測(cè)很快會(huì)達(dá) =序列 到的均值。 ARMAMAACFMA qACFqARPACFAR pPACFpMAAR對(duì)和模型總結(jié)，其具有以下性質(zhì)：對(duì)模型，是定階的有力工具，因?yàn)閷?duì)序列，是 步截尾的；對(duì)模型，是定階的有力工具，因?yàn)檫^程，是 步截尾的；序列總是平穩(wěn)的，而對(duì)序列，當(dāng)其特征根的模都小于1時(shí)，它是平穩(wěn)的；對(duì)一個(gè)

19、平穩(wěn)序列，向前多不預(yù)測(cè)收斂到序列的均值，預(yù)測(cè)誤差的方差收斂于序列的方差。 111112211211011021110112.61,1,2.6.11,11-2+1=11-111,ttttattallARMAARMArraaARMAARMAE rrlACFARACF 簡(jiǎn)單的模型模型：左邊是模型的部分，右邊是部分。要使該模型有意義，要求。模型的性質(zhì) 與AR一樣，Var 因此,ARMA模型的很像的 不同之 11,ACFAACF處在于它的指數(shù)衰減是從間隔2開始的，且不能在有限間隔后截尾。ARMA模型的P很像M的P不同之處在于它的指數(shù)衰減是從間隔2開始的，也不能在有限間隔后截尾。 111110101,1-

20、.-1-.-1- -.2.6.2,=.-1pqi itit iiipqpqpttttARMAARMA p qrrARMAE rraaBBBBa利用向一般的模型一般的模型的形式為：。如果特征方程所有根的絕對(duì)值小于 ，則該模型是弱后推算因子,以上模型可以寫成：平穩(wěn)的。這時(shí)，模型的無條件均值為：2.6.3 識(shí)別ARMA模型可用推廣的自相關(guān)函數(shù)(EACF)來確定ARMA過程的階.思路是:如果能得到ARMA模型AR部分的相合估計(jì),則能導(dǎo)出MA部分,對(duì)于導(dǎo)出的MA序列,用ACF決定其階. +0111+102.6.4|,0=;00;0=a2.6.521hh lhhhh l ih l ihhpqlhiihii

21、hhpqi t itit iiitARMAlr lE rFr lililir liraaarlilililielrr lARMaarRAA 用模型進(jìn)行預(yù)測(cè)向前 步預(yù)測(cè)：時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。預(yù)測(cè)誤差為：。模型的當(dāng)三種表、示、0112011112131tpttttqtaMAaarrr表示 、表示 i1112.72.7.1,=1tthhthh lhttttitpplplpMAplaaaaaaip單位根非平穩(wěn)性隨機(jī)游動(dòng)：步預(yù)測(cè)：，隨機(jī)游動(dòng)模型的點(diǎn)預(yù)測(cè)都是序列在預(yù)測(cè)原點(diǎn)的值，從而，該過程不是均值回轉(zhuǎn)的。上式 向的表示為:這時(shí)e可知對(duì)所有 有，的影響不隨時(shí)間衰減前，任何，從而序過去的“列有強(qiáng)擾動(dòng)”對(duì)記憶性。

22、110112.7.2,ttttttttppE ppptaapaa帶漂移的隨機(jī)游動(dòng)從而：，其中考慮AR，MA，ARMA及帶漂移的隨機(jī)游動(dòng)模型中的常數(shù)項(xiàng)，有如下結(jié)論：1、MA（q）中的常數(shù)項(xiàng)，就是序列的均值。2、平穩(wěn)的AR（p）模型或平穩(wěn)的ARMA（p,q）模型,常數(shù)項(xiàng)與均值有關(guān)：3、帶漂移的隨機(jī)游動(dòng)模型，常數(shù)項(xiàng)是時(shí)間斜率。012=1p01,2.7.3ttptr與帶漂移的隨機(jī)游動(dòng)序列相比,期望依賴于時(shí)間，方差不隨時(shí)間變化。它可以通過簡(jiǎn)單的回歸分析移除掉時(shí)間趨勢(shì)而轉(zhuǎn)換帶趨為平勢(shì)向的時(shí)間序列穩(wěn)時(shí)間序列。2.7.4 一般的單位根非平穩(wěn)性自回歸求和滑動(dòng)平均（ARIMA）模型因?yàn)槠銩R多項(xiàng)式有單位根1，故A

23、RIMA模型稱為是單位根非平穩(wěn)的。像隨機(jī)游動(dòng)模型一樣,ARIMA模型有強(qiáng)記憶性。處理單位根非平穩(wěn)性的一般方法是差分化的方法，可用一階差分和二階差分。如果一階差分服從一個(gè)平穩(wěn)可逆的ARMA（p,q）模型，則稱其符合ARIMA（p,1,q）過程。2.7.5單位根檢驗(yàn)28季節(jié)模型有些金融時(shí)間序列，呈現(xiàn)出一定的循環(huán)或周期性，這樣的時(shí)間序列叫做季節(jié)性時(shí)間序列。絕大部分與環(huán)境有關(guān)的時(shí)間序列都會(huì)顯示出很強(qiáng)的季節(jié)性。有些應(yīng)用中，季節(jié)性是次要的，可以把它從數(shù)據(jù)中消除，這個(gè)過程叫做季節(jié)性調(diào)整。11=12.8.1-1ssssttt ststtttyyyByByyyB y，算子叫做季節(jié)性差分化。正規(guī)差分化指季節(jié)性差分化對(duì)于一個(gè)周期為 的季節(jié)性時(shí)間序列，季節(jié)性差分指：2.8.2 多重季節(jié)模型我們引入下面特殊的季節(jié)性時(shí)間序列模型： ，在文獻(xiàn)中稱為航空模型。其中 s 是序列的周期， 是白噪聲序列， 。它被廣泛地應(yīng)用于季節(jié)性時(shí)間序列的建模。1111ssttBB xBBa1,1 ta1112211122(1)(1)(1)(1)-=1+1+,1+1+01,1, ,1=0sstttttt st stsssslMAwBB xBB aaaaawACFllss s 多重季節(jié)性模型：的為：，對(duì)，但有。2.9 帶時(shí)間序列誤差的回歸模型在許多應(yīng)用