線性代數(shù)湖南大學版(PPT)第一章

1、電電子子 教教 案案線性代數(shù)是什么：線性問題線性問題廣泛存在于科學技術(shù)的各個領(lǐng)域，而某些廣泛存在于科學技術(shù)的各個領(lǐng)域，而某些非線性問題在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為線性問題，因非線性問題在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為線性問題，因此此線性代數(shù)線性代數(shù)課程所介紹的方法廣泛地應用于各課程所介紹的方法廣泛地應用于各個學科。隨著計算機技術(shù)的快速發(fā)展和普及，該課個學科。隨著計算機技術(shù)的快速發(fā)展和普及，該課程的地位與作用更顯得重要。同時，該課程對于培程的地位與作用更顯得重要。同時，該課程對于培養(yǎng)學生的邏輯推理和抽象思維能力、空間直觀和想養(yǎng)學生的邏輯推理和抽象思維能力、空間直觀和想象能力具有重要的作用。象能力具有重要的作用。

2、 歷史上線性代數(shù)的第一個問題是關(guān)于歷史上線性代數(shù)的第一個問題是關(guān)于解線性方程解線性方程組組的問題，而線性方程組理論的發(fā)展又促成了作的問題，而線性方程組理論的發(fā)展又促成了作為工具的行列式和矩陣理論的創(chuàng)立與發(fā)展，這些為工具的行列式和矩陣理論的創(chuàng)立與發(fā)展，這些內(nèi)容已成為我們線性代數(shù)教材的主要部分。內(nèi)容已成為我們線性代數(shù)教材的主要部分。行列式行列式出現(xiàn)于線性方程組的求解，它最早是出現(xiàn)于線性方程組的求解，它最早是一種速記的表達式，現(xiàn)在已經(jīng)是數(shù)學中一種一種速記的表達式，現(xiàn)在已經(jīng)是數(shù)學中一種非常有用的工具。非常有用的工具。 第一節(jié)第一節(jié) 行列式行列式 12a11221221a aa a 22a21a11a=

3、 =22a21a12a11a11a12a21a22a-為實數(shù)，22211211,aaaa11a12a22a21a主對角線主對角線副對角線副對角線2211aa= =1221.a a 二階行列式的計算二階行列式的計算若記若記 = = = = .,22221211212111bxaxabxaxa對于二元線性方程組對于二元線性方程組,22211211aaaaD = =系數(shù)行列式系數(shù)行列式 將行列式的概念用于表達線性方程組的解，將會使其形將行列式的概念用于表達線性方程組的解，將會使其形式簡化，便于記憶我們已經(jīng)知道用消元法解二元線性方式簡化，便于記憶我們已經(jīng)知道用消元法解二元線性方程組。程組。得得(1.1

4、)11112212112222,a xa xba xa xb = = = = 22(1.1)a 11(1.2)a 12(1.2)a 21(1.1)a 得得(1.2)11221221112212 2a aa axbaa b = = （）11 2212 21211 21 21a aa axa bba = = （）11112212112222,.axaxbaxaxb = = = =1D = =2D = =1112112212212122aaDa aa aaa= = = =122ba2 12ba 2 11ba11 222 2baba= =1 21ba 111212abab= =112222111112

5、2122,babaDxaaDaa= = =注意注意 ：分母都為原方程組的系數(shù)行列式。分母都為原方程組的系數(shù)行列式。1112122211122122.ababDxaaDaa= = =則則 ：在：在 的條件下，二元線性方程組的解為：的條件下，二元線性方程組的解為：0D 二、三階行列式二、三階行列式111213212223313233aaaaaaaaa111213212223313233aaaaaaaaa= =定義定義2 2記號記號稱為三階行列式，稱為三階行列式，即即11 22 3312 23 3113 21 32a a aa a aa a a 13223111 23321221 33a a aa

6、a aa a a 它表示代數(shù)和它表示代數(shù)和：11 22 3312 23 3113 21 32a a aa a aa a a 13223111 23321221 33a a aa a aa a a 333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa= =.322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa 沙路法沙路法322113312312332211aaaaaaaaa = =D333231232221131211aaaaaaaa

7、aD= =類似于二元線性方程組的討論，對于三元線性方程組類似于二元線性方程組的討論，對于三元線性方程組1 111 221 3312 112 222 3323 113 223 333,axaxaxbaxaxaxbaxaxaxb=111213212223313233aaaDaaaaaa= =1D = =1111322122331333abaDabaaba=1112121222313233.aabaabaabD=112132222333233baabaabaa112233,.D xDD xDD xD= = = = = = 用消元法求解方程組得用消元法求解方程組得11DxD= =22DxD= =33D

8、xD= =系數(shù)行列式系數(shù)行列式0D 時方程組有唯一解：時方程組有唯一解：121235435xxxx = = = = 133( 3) 41543D = = = = =1533053D = = = 21515,45D = 因因 ，故方程組有唯一解：，故方程組有唯一解： 0D 1130215DxD = = = = 2215115DxD= = = =231412 .513 2 1 3= = 115 75= =141 325 221 34 3 231412 .513 解線性方程組解線性方程組123123123326,249,216.xxxxxxxxx = = = = = = 解解系數(shù)行列式系數(shù)行列式31

9、124150121D = = = = 1261194155,1621D = = = =2326129120,1161D =3312624915,1216D = = = = 方程組的解為方程組的解為: :1155115DxD= = = =222045DxD= = = =331535DxD = = = = 把自然數(shù)把自然數(shù)1 1，2 2，n n 按一定的順序排成一按一定的順序排成一12ni ii三、排列及其逆序數(shù)三、排列及其逆序數(shù)定義定義3 3個數(shù)組，稱為一個個數(shù)組，稱為一個n n級排列，簡稱為排列，并把這個級排列，簡稱為排列，并把這個排列記為排列記為1 2tsni iiii titsii si

10、siti 12ni ii 定義定義5 5逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列奇排列；逆序數(shù)為；逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶數(shù)的排列稱為偶排列偶排列。解解 212053 2 5 1 4 = = = =求排列求排列1 2 3 n1 2 3 n和和n(n-1)2 1n(n-1)2 1的逆序數(shù)，并的逆序數(shù)，并121211212nnnnnn=又因為易見：當易見：當n=4kn=4k，4 4k k+1+1時，該排列為偶排列，當時，該排列為偶排列，當n n=4=4k k+2+2，4 4k k+3+3時，該時，該排列為奇排列，當排列為奇排列，當n n=4=4k k+2+2，4 4k k+3+3時，該排

11、列為奇排列。時，該排列為奇排列。我們也稱我們也稱1 2 1 2 n n為自然序排列為自然序排列指出其奇偶性指出其奇偶性. .解解 因為因為 .123, 0)123(為偶排列所以nn=首先考慮對換兩個相鄰的數(shù)的情形設(shè)某一首先考慮對換兩個相鄰的數(shù)的情形設(shè)某一n n級級經(jīng)過對換經(jīng)過對換(i,j)(i,j)得到另一個排列得到另一個排列i jj i 在這兩個排列中，其一，除在這兩個排列中，其一，除i i，j j以外的其他任何兩個數(shù)以外的其他任何兩個數(shù)的相對順序均未改變，其二，的相對順序均未改變，其二，i i，j j以外的任何一個數(shù)字與以外的任何一個數(shù)字與i i（或（或j j）的相對順序也未改變，而改變的

12、只有）的相對順序也未改變，而改變的只有i i與與j j的相對順的相對順序，因此，新排列比原排列或增加了一個逆序（當序，因此，新排列比原排列或增加了一個逆序（當i i jij時），無論是哪一種情形，原排列時），無論是哪一種情形，原排列與新排列的奇偶性都相反即對換相鄰的兩個數(shù)，一定會改與新排列的奇偶性都相反即對換相鄰的兩個數(shù)，一定會改變排列的奇偶性。對作不相鄰對換的情形，請讀者自己思考。變排列的奇偶性。對作不相鄰對換的情形，請讀者自己思考。證明證明排列為排列為定理定理1 1每一個對換都改變排列的奇偶性每一個對換都改變排列的奇偶性. .設(shè)設(shè)n n級排列中有級排列中有p p個偶排列，個偶排列，q q個

13、奇排列個奇排列, ,!2nqp= 證明證明對這對這p p個偶排列施行同一個對換個偶排列施行同一個對換那么由定理那么由定理1 1我們得到我們得到p p個奇排列個奇排列，同理，對同理，對q q個奇排列施行同一個對換（個奇排列施行同一個對換（i,j),i,j),由定理由定理1 1我們得到我們得到q q個偶排列，且個偶排列，且qpqp，故故定理定理2 2n2n2時，在時，在 n! n! 個個n n級排列中，奇排列與級排列中，奇排列與!2n偶排列的個數(shù)相等，各為偶排列的個數(shù)相等，各為 個個. .（i，j），），且且pq則則p+q=n!四、四、n n 階行列式的定義階行列式的定義易見：易見：1112132

14、12223313233aaaaaaaaa11 22 3312 23 3113 21 32a a aa a aa a a 13223111 23 321221 33a a aa a aa a a = =111213212223313233aaaaaaaaa= =123jjj 123jjj 其中其中為對所有三級排列為對所有三級排列 求和求和 1 2 31231 2 3123.1j j jjjjj j ja a a 故三階行列式可定義為：故三階行列式可定義為： ,1, 2,ijaijn= =由由 n n2 2 個元素個元素組成的記號組成的記號111212122212nnnnnnaaaaaaaaa稱為

15、n 階行列式，它表示所有取自不11njn jaa同行、不同列的n個元素乘積的代數(shù)和.若對應的列標構(gòu)成的排列是偶排列則取正號，是奇排列若對應的列標構(gòu)成的排列是偶排列則取正號，是奇排列各項的符號是：當該項各元素的行標按自然序排列后,則取負號則取負號111212122212nnnnnnaaaaaaaaa 12nj jj 表示對所有的表示對所有的 n n 級排列求和級排列求和其中其中即：即： 1 2121 212,1nnnj jjjjnjj jjaaa = = 注注：（1）由于所有由于所有n級排列的總數(shù)有級排列的總數(shù)有n!個，故個，故n階行列式階行列式是是n!項的代數(shù)和項的代數(shù)和（2）由于在所有的由于

16、在所有的n級排列中，奇排列和偶排列的個數(shù)級排列中，奇排列和偶排列的個數(shù)相同，故在代數(shù)和相同，故在代數(shù)和 21 2211121nnnjjjj jj jnjja aa中正負項各占一半中正負項各占一半1212njjnja aa1212niii na aa（3）由于乘積由于乘積中各因子的相對順序可以改變，中各因子的相對順序可以改變，這樣的乘積項仍然是行列式，這樣的乘積項仍然是行列式|aij|nn展開式展開式 因此當乘積中各因子列標按自然序排列時，一般表示為因此當乘積中各因子列標按自然序排列時，一般表示為中的一項，中的一項，而且可以證明，項前的符號為而且可以證明，項前的符號為 1 21nj jj于是于是

17、n階行列式又可以定義為階行列式又可以定義為121 21 212.1nnniii iiiii nijn nia aaaD=1212njjnja aa1 12 2n ni ji ji jaaaijn na我們還可以證明，當乘積我們還可以證明，當乘積中各因子的相對順序中各因子的相對順序，這樣的乘，這樣的乘的展開式中的一項，而且項前的展開式中的一項，而且項前隨意改變時，一般表示為隨意改變時，一般表示為積仍然是行列式積仍然是行列式的符號為的符號為1 21 21nni ij jij，于是于是n階行列式又可以階行列式又可以定義為定義為1 12 21 21 21 21 2.1nnn nnniji ji ji

18、ji ij jiijn niijjjaDaaa=或例例6 6計算行列式計算行列式 0000.0000abcdDefgh= = 根據(jù)定義，根據(jù)定義，D D是是4!=244!=24項的代數(shù)和，然而在這個代項的代數(shù)和，然而在這個代數(shù)和里，除了數(shù)和里，除了adfhadfh，adehadeh，bdegbdeg，bcfgbcfg這這4 4項外，項外，其余項都至少含有一個因子其余項都至少含有一個因子0 0，因而等于，因而等于0 0；當上述；當上述4 4項中各因子的行標按自然序排列后，其對應的列標項中各因子的行標按自然序排列后，其對應的列標依次是依次是1 2 3 41 2 3 4，1 3 2 41 3 2 4

19、，4 3 2 14 3 2 1，4 2 3 14 2 3 1，因，因此：此： 12341324432142311111.Dacfhadehbdegbcfgacfhadejbdegbcfg = = = = 解解例例7 7計算計算n n階行列式階行列式 1122121nnjjjnjj jaaa 一般項為一般項為現(xiàn)考察不為零的項現(xiàn)考察不為零的項解解取自第一行，但第一行中只有取自第一行，但第一行中只有 ，11 ja110a故只可能取故只可能取（其中（其中j1=1j1=1）又又 取自第二行，而該行只有取自第二行，而該行只有 及及 不為零。不為零。 22 ja21a22a4444jaa= =,nn nn

20、jaa= =同理可得同理可得 3333jaa= =11212212000.nnnnaaaDaaa= =因因 取自第一列，故取自第一列，故 不能取自第一列，從而不能取自第一列，從而 （j j2 2=2=2）1111jaa=22 ja2222jaa=因此因此 11212211221122121 2000.1nnnnnnnnnaaaa aaa aaaaa = = = 11121222000nnnnaaaaaDa= = 11 22nna aa= =(2) 11212211 2211 221212000.1nnnnnnnnnaaaa aaa aaaaa = = = (1)幾種特殊行列式的值幾種特殊行列式

21、的值下三角形行列式下三角形行列式上三角形行列式上三角形行列式112211220000.00nnnnaaa aaa=(3) 對角形行列式對角形行列式211211211112111210000100.1nnnnnnnnnnnnnaaa aaaa aa=(4)1 1 、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而定義個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的的. .2、n 階行列式共有階行列式共有 n! ! 項，每項都是位于不同行、項，每項都是位于不同行、不同列的各元素的乘積不同列的各元素的乘積, ,正負號由下標排列的

22、逆序數(shù)正負號由下標排列的逆序數(shù)決定決定. . 小結(jié)小結(jié)作業(yè)作業(yè) 1（2）（）（3），），2,3,4（1）s思考1.確定i和j的值，使排列1274i56j9為偶排列.654411265332665144322315,aaaaaaaaaaaa思考：127485639_2.在六階行列式中，乘積項 前應取什么符號？.127485639, 3, 8127435689, 8, 3為偶排列從而故取為奇排列，則若取解=jiji第二節(jié)行列式的性質(zhì)第二節(jié)行列式的性質(zhì)將行列式將行列式D D的行與列互換后所得到的行列式，的行與列互換后所得到的行列式，一、行列式的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì)定義定義7 7稱為稱為D D的轉(zhuǎn)置行

23、列式的轉(zhuǎn)置行列式，記為，記為D DT T或或 DD，即若，即若111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa= = , ,則則nnnnnnTaaaaaaaaaD212221212111=行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即D=DD=DT T交換行列式的兩行（列），行列式變號。交換行列式的兩行（列），行列式變號。性質(zhì)性質(zhì)1 1性質(zhì)性質(zhì)2 2若行列式有兩行（列）完全相同，則行列式為零若行列式有兩行（列）完全相同，則行列式為零推論推論1 1性質(zhì)性質(zhì)3 3等等于用數(shù)于用數(shù)k k乘以此行列式乘以此行列式. .即即nnnniniinnnnniniinaaaaaaaaaka

24、aakakakaaaa212111211212111211=行列式某一行（列）的所有元素都乘以數(shù)行列式某一行（列）的所有元素都乘以數(shù)k，推論推論1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式的外面。以提到行列式的外面。推論推論2 行列式中若有兩行（列）對應元素成比例，則行列式中若有兩行（列）對應元素成比例，則此行列式為零。此行列式為零。若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，例如若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，例如則則11121112212niiiiininnnnnaaabcbcbcDaaa = =111211112112121212

25、12.nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaabbbcccDDDaaaaaa= = = = 性質(zhì)性質(zhì)4 4將行列式某一行（列）的所有元素都乘以數(shù)將行列式某一行（列）的所有元素都乘以數(shù)性質(zhì)性質(zhì)5 5k k后加到另一行（列）對應位置的元素上，行列式的后加到另一行（列）對應位置的元素上，行列式的值不變值不變二、利用行列式的性質(zhì)計算行列式二、利用行列式的性質(zhì)計算行列式 如果第一列第一個元素為如果第一列第一個元素為0 0，則先將第一行與其，則先將第一行與其他行交換得第一列第一個元素不為他行交換得第一列第一個元素不為0 0；然后把第一；然后把第一行分別乘以適當?shù)臄?shù)加到其他各行，使得第一列除行分別乘

26、以適當?shù)臄?shù)加到其他各行，使得第一列除第一個元素外其余元素全為零；第一個元素外其余元素全為零；再用同樣的方法處理除去第一個行和第一列后余下的低再用同樣的方法處理除去第一個行和第一列后余下的低一階的行列式，如此下去，直至使它成為上三角形行一階的行列式，如此下去，直至使它成為上三角形行列式這時主對角線上元素的乘積就是行列式的值。列式這時主對角線上元素的乘積就是行列式的值。 計算行列式時，常利用行列式的性質(zhì)，把它化為上計算行列式時，常利用行列式的性質(zhì)，把它化為上（下）三角形行列式來計算計算步驟是：（下）三角形行列式來計算計算步驟是：例例1123133795204213571464410102D = =

27、 計算0010202104112313571464410102 1123120421357100102464410102 2 3 312rr 4 24rr0215302041003102022211021 0010202041021530022311212 514rr 413rr 0215300112002011000221231 43rr 0215300112001020022211312 32rr 2 0215300112002011000001631 216= = 544rr 1 2= =1123102153001120001000046 532rr 4 1123133795204213

28、571464410102D = = 3 解解2111231320421357146441002021010rr 例例2 計算計算3111131111311113D= =解解 12346111631161316113Dcccc= = 11111311611311113= =111102006002000021ir r =48例例3 計算行列式計算行列式4000308070009000605020001=aaaaaaaaaD1000308070009000605010001=aaaaaaaD1000308070009000605000002=aaaaaa解解10003010700090001050

29、00002=aaaa1000301070009000002000002=aaa)9(4=a計算行列式計算行列式.nxaaaaaxaaaDaaxaaaaaxa = = 注意到行列式中各行（列）所有元素之和都相注意到行列式中各行（列）所有元素之和都相同故可把第同故可把第2 2，3 3，n n列同時加到第一列并提出列同時加到第一列并提出公因子，然后第一行乘以公因子，然后第一行乘以-1-1加到其余各行化為上三角加到其余各行化為上三角形行列式：形行列式：例例4 4解解 11112110200002020002.22nnaaaxaaaDaxaaxanaaxaaaaxaxaxanxaxaxan = = =

30、= = = 設(shè)設(shè)例例5 51111111111110000kkkkknnnknnnaaaaDccbbccbb= = 11111kkkkaaDaa= = 11121nnnnbbDbb= =12DD D=證明 證明證明( (略）略）對對D D1 1作運算，把作運算，把D D1 1化為下三角形行列式，記為化為下三角形行列式，記為O O表示所有元素均為零的矩陣（見第二章第一節(jié)）表示所有元素均為零的矩陣（見第二章第一節(jié)）. .11111221.kkkkkpODp pppp= = = 11211221.nnnnnqODq qqqq=對對D D 作運算，把作運算，把D D 化為下三角形行列式，記為化為下三角

31、形行列式，記為22這樣，對這樣，對D D的前的前k k行作運算，再對后行作運算，再對后n n列作運算，就列作運算，就故故112211 2212kknnDp pp q qqDD= = =把把D D化成了下三角形行列式。化成了下三角形行列式。1111111111kkkknnknnnpOppDccqccqq= = ijn naD=,1,2,ijjiaai jn=,1,2,ijjiaai jn= =定義定義8 在在n階行列式階行列式中，若有中，若有，則稱則稱D為對稱行列式；若有為對稱行列式；若有，則稱則稱D為反對稱行列式為反對稱行列式 試證奇數(shù)階反對稱行列式的值等于零試證奇數(shù)階反對稱行列式的值等于零設(shè)

32、反對稱行列式為設(shè)反對稱行列式為例例6 6證明證明其階數(shù)其階數(shù)n n是奇數(shù)，根據(jù)性質(zhì)是奇數(shù)，根據(jù)性質(zhì)1 1及性質(zhì)及性質(zhì)3 3有有12112212000nnnnaaaaDaa = = 121122T12000nnnnaaaaD Daa = = = 121122120010nnnnnaaaaaa = = ,1nDD= = = 所以所以=1. ( (行列式中行與列具有同等的行列式中行與列具有同等的地位地位, ,行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立). ).小結(jié)小結(jié)行列式的行列式的5 5個性質(zhì)個性質(zhì) (2) (2) 利用性質(zhì)把行列式化為三角形行列式，從而算利用

33、性質(zhì)把行列式化為三角形行列式，從而算得行列式的值得行列式的值(1) 利用定義利用定義; ;2.計算行列式常用方法：計算行列式常用方法：思考思考2324323631063abcdaa ba b ca b c dDaa bab cabc daa bab cabc d = = 111 2324321 3631063bcda ba b ca b c dD aa bab cabc da bab cabc d = = 解解計算計算21 0001 11 2 324321 3 631063a ba b caababcababc = = 21 0001 11 2 3431 3 6106aa baaabaab =

34、 = 3100011112343136106abaabab = = 410001111123413610a= =41000110012121337a= =441000110012101331aa= = =習題一6(1),(2),(5) 習題一 6(1),(2),(5) 第三節(jié)第三節(jié) 行列式按行（列）展開行列式按行（列）展開引例引例 對于三階行列式來說，我們不難驗證對于三階行列式來說，我們不難驗證: :一、行列式按一行（列）展開一、行列式按一行（列）展開 這就表明，我們可將三階行列式的計算轉(zhuǎn)化成為二這就表明，我們可將三階行列式的計算轉(zhuǎn)化成為二階行列式來計算階行列式來計算. .aaaaaaaaa1

35、11213212223313233aaaaaaaaaaaaaaa222321232122111213323331333132=為此，先引入余子式和代數(shù)余子式的概念。為此，先引入余子式和代數(shù)余子式的概念。第第j j列后列后, ,余下的余下的n-1n-1階行列式，稱為階行列式，稱為D D中元素中元素 的余的余ijaijaija在在n n階行列式階行列式D D中，去掉元素中，去掉元素 所在的第所在的第i i行和行和定義定義9 9為元素為元素 ijM( 1)ijijijNM = = ijN子式子式, ,記為記為 , ,再記再記 ，稱，稱引理引理n n階行列式階行列式D D，如果其中第，如果其中第i i

36、行元素除行元素除 外全部為零，外全部為零，ija那么行列式等于那么行列式等于 與它的代數(shù)余子式的乘積，與它的代數(shù)余子式的乘積，ijijD a N= =的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式 。 ija即：即：行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對1122iiiiininDa Na Na N= = (1,2,),in=1122jjjjnjnjDa Na Na N=(1,2, ).jn=定理定理3 3應的代數(shù)余子式乘積之和，即應的代數(shù)余子式乘積之和，即: :或或推論推論 行列式某一行（列）的各元素與另一行行列式某一行（列）的各元素與另一行( (列列) )對對應元素的代數(shù)

37、余子式乘積之和等于零應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零. .11220ijijinjna NaNaN = =或或11220ijijnijna NaNaN = =(ij)(ij)1122,0;ijijinjnDija Na Na Nij=1122,0.ijijninjDija Na Na Nij=綜上所述，有 1 11 21 313131 ( 1)0 ( 1)312111( 2) ( 1)231 ( 8)0( 2) 518D= = = 102113231D=解解: (1)按第一行展開按第一行展開例例1. 分別按第一行與第二列展開行列式分別按第一行與第二列展開行列式(2)按第二列展開按第二列展開10

38、2113231D=1 22 23 213120 ( 1)1 ( 1)2121123 ( 1)1301 ( 3)3 ( 1) 53 1518D= = = = 計算行列式計算行列式例例2 2解解1234101231101205D = = 413112341222( 2)1012100031103146( 1)12051217ccDcc = = 2 12221( 1)146217 = = 3121111100( 1)22146135( 1)217239cccc = = 113521(1)39 = = 2( 2715)24= = = = 3351110243152113 = =D40= =計算行列式計

39、算行列式例例3 3解解( (加邊法加邊法) )當當x=0 x=0或或y=0y=0時，顯然時，顯然D=0D=0，現(xiàn)假設(shè)，現(xiàn)假設(shè)x0,x0,且且y0,y0,1111111111111111xxDyy = = 514131211111111111( 1)0 11111000( 1)011111 000( 1)011111 000( 1)011111 000rrxxrrDxxrryyrryy = =)1111110000.000010000()00001()ccyxccyx yxyccxyccx = = 例例4 計算行列式計算行列式00010001000000001nxxyx

40、yxyxyDxyxyxy = = 21121nnnnxDx DxDx =解解00010001000000001nxxyxyxyxyDxyxyxy = = yxxyyxxyyxyxDn=1000000000010001yxxyyxxyxyx=1000000000000001例例5 計算行列式12211000000000100001axaaaaxxxxDnnnn= 解解 按第一列展開，得1123211000100001001000000( 1),0000001001nnnnnnxxxxDxaxxxaaaaxa= 這里的第一個這里的第一個n-1階行列式和階行列式和有相同的形式，有相同的形式，1nD1

41、) 1(n第二個第二個n-1階行列式階行列式 等于 . 把它記作把它記作 .因此有因此有nnnaxDD=1nD12212112121(),nnnnnnnnnnnnnDxDax xDaax DaxaxDa xaxa=111Dxaxa=而而所以 11nnnnDxa xa=計算行列式計算行列式這個行列式叫做這個行列式叫做n n階范得蒙（階范得蒙（VandermondeVandermonde）行列式）行列式. .從最后一行開始，每一行減去它的相鄰的前一行乘從最后一行開始，每一行減去它的相鄰的前一行乘以以 ，得，得例例6 6解解122221211112111nnnnnnnaaaaaaDaaa = =1a

42、提出每一列的公因子后，得提出每一列的公因子后，得2131122133112222213311111100()()()0()()()nnnnnnnnnaaaaaaa aaa aaa aaDaaaaaaaaa = = 23222232131122223111()()()nnnnnnnnaaaaaaDaaaaaaaaa = = 最后的因子是一個最后的因子是一個n n-1-1階范德蒙行列式，階范德蒙行列式，則有則有213111()()()nnnDaaaaaaD = = 同樣得同樣得1324222()()()nnnDaaaaaaD = = 此處此處 是一個是一個n-2n-2階范德蒙行列式，如此繼續(xù)階范德

43、蒙行列式，如此繼續(xù)2nD 下去，最后得下去，最后得21311()()()nnDaaaaaa=1()nnaa )(1jinijaa =)().(223aaaan習題一8(2)(4),10(1)思考1111-000-000-. 1332211aaaaaaD =計算321321332133221443210000000001321-000000001121-000-0000aaaaaaaaaaaaaaaD=解3-47-53-445-35-42-33-33-22-21-22-23-2-1-2-. 2xxxxxxxxxxxxxxxxD =計算) 1-(56-7-01-2-01-01-3-7-3-2-2-

44、11-01(-1)3-7-3-3-42-2-13-30001-012-3-7-3-42-2-13-31-012-21-012-3-47-53-445-35-42-33-33-22-21-22-23-2-1-2-12xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxD=解引入行列式概念后，求解二、三元線性方程組，引入行列式概念后，求解二、三元線性方程組，0D 時時，方程組有唯一解，方程組有唯一解， (1, 2, 3)iiDxiD= = = 含有含有n個未知數(shù)，個未知數(shù)， n個方程的線性方程組，與二、三元線個方程的線性方程組，與二、三元線性方程組類似，它的解也可以用性方程組類

45、似，它的解也可以用n階行列式表示階行列式表示。第四節(jié)第四節(jié) 克萊姆法則克萊姆法則當系數(shù)行列式當系數(shù)行列式一一 、 定理定理1 1（ Cramer法則）法則）：若若n元線性方程組元線性方程組11112211211222221122(1)nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxaxb = = = = = = 的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式D不等于零不等于零，111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa= = 0 即即nnDDDDx, x, x,x.DDDD= = = = =312123則線性方程組則線性方程組(1)(1)有唯一解有唯一解，例例1 1 用用Crame

46、r法則解線性方程組。法則解線性方程組。123412423412342583692254760 xxxxxxxxxxxxxx = = = = = = = = 解：解：2151130602121476D = = 122rr 42rr 075131306021207712 75132127712 = = 122cc 322cc 353010772 3372 = = 27= =18151930652120476D = = 81= =22851190605121076D = = 108= = 32181139602521406D = = 27= = 42158130902151470D = = 27=

47、=1181 327Dx,D= = = =所 以24x,= = 31x,= = 41x.= =注意注意1. Cramer法則僅適用于方程個數(shù)與未知量個數(shù)相等的情形。法則僅適用于方程個數(shù)與未知量個數(shù)相等的情形。2.法則的理論意義：給出了方程組的解和系數(shù)及常數(shù)項之間的明顯關(guān)系法則的理論意義：給出了方程組的解和系數(shù)及常數(shù)項之間的明顯關(guān)系,但用此法則求解線性方程組計算量大，一般不可取。但用此法則求解線性方程組計算量大，一般不可取。它主要適用于理論推導。它主要適用于理論推導。定理定理1 1定理定理20D 3.3.撇開求解公式撇開求解公式jjDx,D= =Cramer法則可敘述為下面定理：法則可敘述為下面定

48、理：如果線性方程組如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式 則方程組一定有解則方程組一定有解,且解是唯一的且解是唯一的 .如果線性方程組無解或有兩個不同的解，如果線性方程組無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零則它的系數(shù)行列式必為零.11112211211222221122nnnnnnnnnna xa xaxbaxaxaxbaxaxaxb = = = = = = 線性方程組線性方程組則稱此方程組為則稱此方程組為非齊次線性方程組非齊次線性方程組。二二 非齊次與齊次線性方程組的概念非齊次與齊次線性方程組的概念: :12,nb bb若常數(shù)項若常數(shù)項 不全為零不全為零若若常常數(shù)數(shù)項項此時稱方

49、程組為此時稱方程組為齊次線性方程組齊次線性方程組。12,nbbb,全全為為零零 11112212112222112200 20nnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa x = = = = = = 易知，易知，120nxxx= = = = =一定是方程組一定是方程組(2)的解，的解， 稱為稱為零解零解。若有一組不全為零的數(shù)是若有一組不全為零的數(shù)是(2)的解，則稱為的解，則稱為非零解非零解。推論推論1 1如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式0D, 則齊次線性方程組（則齊次線性方程組（2）只有零解（沒有非零解）。）只有零解（沒有非零解）。由克萊姆法

50、則得出以下推論由克萊姆法則得出以下推論推論推論2注注 (1) (1) 推論推論2 2表明，表明，D= =0 是齊次線性方程組有非零是齊次線性方程組有非零解的必要條件，解的必要條件， 如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式D0，則它必，則它必有非零解，從而得知，齊次線性方程組有非零解有非零解，從而得知，齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式的充分必要條件是系數(shù)行列式D0.如果齊次線性方程組（如果齊次線性方程組（2）有非零解，則它）有非零解，則它的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式D必為零必為零.在第四章中還將進一步證明在第四章中還將進一步證明:(2) 如果齊次線性方程組中未知量的個數(shù)大于方程的如果齊次線性方程組中未知量的個數(shù)大于方程的個數(shù)，則方程組必有非零解個數(shù)，則方程組必有非零解. 12312