土力學與數值方法：土的強度理論

1、第三章：土的強度理論 在土體上施加剪切荷載，會在土體內部形成不連續(xù)在土體上施加剪切荷載，會在土體內部形成不連續(xù)面（或破裂面），或者由于剪切荷載的增大導致土體變面（或破裂面），或者由于剪切荷載的增大導致土體變形增大，最終的結果是使土體達到破壞或塑性化。為此，形增大，最終的結果是使土體達到破壞或塑性化。為此，在以土強度控制的巖土工程領域，就有必要掌握判別土在以土強度控制的巖土工程領域，就有必要掌握判別土體是否達到破壞或塑性屈服的基準。針對某種土體，如體是否達到破壞或塑性屈服的基準。針對某種土體，如果根據實驗建立土體的破壞條件，則可以根據土體實際果根據實驗建立土體的破壞條件，則可以根據土體實際的受力

2、狀態(tài)判定土體的破壞程度。因此，將判別土體發(fā)的受力狀態(tài)判定土體的破壞程度。因此，將判別土體發(fā)生破壞的條件或滿足這種條件的數學表達式稱為土的破生破壞的條件或滿足這種條件的數學表達式稱為土的破壞準則。壞準則。 通常，在簡單應力條件下，可以通過試驗的方法確通常，在簡單應力條件下，可以通過試驗的方法確定土的強度，但在復雜應力條件下試驗就比較困難，因定土的強度，但在復雜應力條件下試驗就比較困難，因此，常用的方法是根據簡單應力條件下得到的結果，結此，常用的方法是根據簡單應力條件下得到的結果，結合理論分析的方法建立復雜應力條件下的破壞條件，即合理論分析的方法建立復雜應力條件下的破壞條件，即破壞時應力狀態(tài)數學表

3、達式，通稱為強度理論或土的破破壞時應力狀態(tài)數學表達式，通稱為強度理論或土的破壞準則。常見的強度主要有：壞準則。常見的強度主要有： 經典強度理論經典強度理論 廣義強度理論廣義強度理論 表現(xiàn)土的破壞準則的物理量一般可以用應力量或應表現(xiàn)土的破壞準則的物理量一般可以用應力量或應變量，但考慮到材料的塑性理論通常是采用應力量，為變量，但考慮到材料的塑性理論通常是采用應力量，為此，在土的破壞準則里，通常采用以應力量表示的不變此，在土的破壞準則里，通常采用以應力量表示的不變量的函數作為土的破壞準則的數學表達式。量的函數作為土的破壞準則的數學表達式。0)(321,J,JJf 另外，應力不變量通常是用主應力表示的

4、，所以土另外，應力不變量通常是用主應力表示的，所以土的破壞準則也可以表示成主應力的形式：的破壞準則也可以表示成主應力的形式： 以上破壞準則的主應力表達式，在數學上即為以三以上破壞準則的主應力表達式，在數學上即為以三個主應力為坐標軸的主應力空間的曲面方程，一般將該個主應力為坐標軸的主應力空間的曲面方程，一般將該曲面稱為破壞曲面。如果建立以三個主應力為坐標軸的曲面稱為破壞曲面。如果建立以三個主應力為坐標軸的坐標體系，則表示當作用在土體上的三個主應力所代表坐標體系，則表示當作用在土體上的三個主應力所代表的點位于該破壞面上時，該點處于極限狀態(tài)或臨界狀態(tài)。的點位于該破壞面上時，該點處于極限狀態(tài)或臨界狀態(tài)

5、。 對于物體的破壞，一般對于各向同性的物質在靜水對于物體的破壞，一般對于各向同性的物質在靜水壓力作用下不會發(fā)生破壞，但是，對于各向異性的物體壓力作用下不會發(fā)生破壞，但是，對于各向異性的物體即使在靜水壓力作用下也會發(fā)生破壞。另外，如果施加即使在靜水壓力作用下也會發(fā)生破壞。另外，如果施加等方拉力，那么不管是各向同性還是各向異性都將導致等方拉力，那么不管是各向同性還是各向異性都將導致破壞。破壞。0)(321,F3.1 3.1 強度條件的形式強度條件的形式 強度理論或破壞準則的主要內容涉及材料破壞機理強度理論或破壞準則的主要內容涉及材料破壞機理的說明，數學模型的建立、模型參數規(guī)律的研究等。其的說明，數

6、學模型的建立、模型參數規(guī)律的研究等。其中數學模型常稱為強度條件或破壞條件。中數學模型常稱為強度條件或破壞條件。 建立強度理論的基本思路如下：建立強度理論的基本思路如下：通過簡單試驗，得到在簡單應力條件下的強度條件；通過簡單試驗，得到在簡單應力條件下的強度條件；通過理論將這些結果進一步推廣到復雜應力狀態(tài)上去，通過理論將這些結果進一步推廣到復雜應力狀態(tài)上去，得到普遍形式的強度條件。得到普遍形式的強度條件。l 第一種形式第一種形式主應力空間主應力空間以主應力為坐標軸形成的應力空間；以主應力為坐標軸形成的應力空間；屈服面屈服面主應力空間某曲面，某點主應力位于曲面上主應力空間某曲面，某點主應力位于曲面上

7、時，表示材料已發(fā)生或將要發(fā)生塑性變形，時，表示材料已發(fā)生或將要發(fā)生塑性變形，當當位于它所位于它所包圍的區(qū)域內時，該點處于彈性狀態(tài)；包圍的區(qū)域內時，該點處于彈性狀態(tài)；破壞面破壞面對于應變硬化材料，屈服面隨塑性變形的增對于應變硬化材料，屈服面隨塑性變形的增大而逐漸擴大，到達一定程度時材料發(fā)生破壞，此時的大而逐漸擴大，到達一定程度時材料發(fā)生破壞，此時的應力狀態(tài)構成破壞面。應力狀態(tài)構成破壞面。破壞面的數學表達式就是強度條件：破壞面的數學表達式就是強度條件：0)(0)(321fffijf,k,f,kf應變應變應力應力應變應變應力應力 關于屈服與破壞的概念，可以根據以上兩個圖形作進一步的說關于屈服與破壞的

8、概念，可以根據以上兩個圖形作進一步的說明，假如某物體的應力明，假如某物體的應力- -應變曲線如作圖示，此時，當應力小于屈服應變曲線如作圖示，此時，當應力小于屈服值時，應力值時，應力- -應變滿足線性關系，一旦應力大于屈服值，只有應變繼應變滿足線性關系，一旦應力大于屈服值，只有應變繼續(xù)增大而應力不再增加，也即是向破壞或屈服遷移；但土體的應力續(xù)增大而應力不再增加，也即是向破壞或屈服遷移；但土體的應力- -應變曲線常呈現(xiàn)右圖示形式，應力應變曲線常呈現(xiàn)右圖示形式，應力- -應變超過比例界限后，隨著塑性應變超過比例界限后，隨著塑性應變的增加應力會繼續(xù)增大，即應變硬化過程。應變的增加應力會繼續(xù)增大，即應變

9、硬化過程。l 第二種形式第二種形式應力不變量：應力不變量：32122231332212222321123IIIxyzzxyyzzzxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxmzyxii應力張量應力張量ij可以分解為應力球張量可以分解為應力球張量mij和應力偏量和應力偏量sij= ij- mij之和，定義應力偏量之和，定義應力偏量sij的不變量：的不變量：3212223213232221222222232112)()()(61)6()()()(61210sssssssssJssJsssssssJxyzzxyyzzzxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxijijzyxii主應力（主應力（ 1， 2

10、， 3），主應力不變量（），主應力不變量（ I1， I2， I3），偏應力不變量（），偏應力不變量（ J1， J2， J3）是可以互相確定的，）是可以互相確定的，都可以表示一點的應力狀態(tài)，強度條件也可以寫成以下都可以表示一點的應力狀態(tài)，強度條件也可以寫成以下用應力不變量表示的形式：用應力不變量表示的形式：0)(0)(321321ffff,k,J,JJf,k,I,IIfl 第三種形式第三種形式等傾線（等壓線）等傾線（等壓線）L L在主應力空間里，在主應力空間里，L L線與三個坐線與三個坐標軸等傾，其方向余弦均為標軸等傾，其方向余弦均為 ，在等傾線上的三個主，在等傾線上的三個主應力相等。應力相等。

11、偏平面偏平面與等壓線正交的平面：與等壓線正交的平面：平面平面通過坐標原點通過坐標原點的偏平面的偏平面31/r33210321設主應力空間三個坐標軸的單位基向量為設主應力空間三個坐標軸的單位基向量為e1、e2、e3，則，則空間任一點空間任一點P（1，2，3）的應力向量可以表示為：）的應力向量可以表示為：等傾線的單位向量：等傾線的單位向量：OP在等傾線上的分量在等傾線上的分量OP”為靜水應力分量：為靜水應力分量：OP在在平面上的分量平面上的分量OP為應力偏量分量：為應力偏量分量：332211eeeOP321313131eeenmnOPOP3)(313212222JOPOPOP將坐標軸將坐標軸1，2

12、，3向向平面上投影，可以得到三根夾角平面上投影，可以得到三根夾角互為互為120的軸的軸1，2，3，它們與相應的原坐標軸之，它們與相應的原坐標軸之間的夾角余弦為間的夾角余弦為 。在在平面上取平面上取xy坐標系統(tǒng)，其中坐標系統(tǒng)，其中y軸與軸與2軸重合。軸重合。為確定為確定P（1，2，3）在）在平面上投影點平面上投影點P的坐標（的坐標（x，y），可以先考慮（），可以先考慮（1，0，0）、）、 （0，2，0）、）、 （0，0，3）三點在）三點在平面上的坐標（平面上的坐標（x1，y1），（），（x2，y2），），（x3，y3），則有：），則有：2/3321321yyyyxxxx將點（將點（1，0，0）向

13、）向平面投影，投影點必然落在平面投影，投影點必然落在1軸上，軸上，且距離原點距離為且距離原點距離為 ，再將它向，再將它向x，y軸投影，得到：軸投影，得到：同樣原理，可以得到：同樣原理，可以得到：則則P點在點在平面上的投影點平面上的投影點P的坐標為：的坐標為：2/316cos1203222cos3032111111/yx2/30222/yx6223333/yx62)(2231231yx31312231xytan且有且有：Lode角角Lode參數參數根據以上的坐標體系，空間任一點根據以上的坐標體系，空間任一點P的應力狀態(tài)的靜水壓的應力狀態(tài)的靜水壓力分量和應力偏量分量的大小分別由力分量和應力偏量分量

14、的大小分別由m，J2確定，應力確定，應力偏量分量的方向由偏量分量的方向由確定，即由組合（確定，即由組合（I1，J2， ）或組）或組合（合（ m， J2， ）也能表示一點的應力狀態(tài)，相應的破）也能表示一點的應力狀態(tài)，相應的破壞條件可以寫成：壞條件可以寫成：在土力學中，常用廣義剪應力和廣義剪應變反映復雜應在土力學中，常用廣義剪應力和廣義剪應變反映復雜應力條件下的受剪狀態(tài)：力條件下的受剪狀態(tài)：0)(21ff,k,JIf21323222122132322212)-()-()-(3232)-()-()-(213sJJq定義廣義正應力定義廣義正應力p= m應力組合（應力組合（p，q， ）也可以表示一點的應

15、力狀態(tài)，破）也可以表示一點的應力狀態(tài)，破壞條件可以寫成以下形式：壞條件可以寫成以下形式：mp)(313210)(ff,kp,q,fl 破壞曲線破壞曲線破壞面與偏平面或破壞面與偏平面或平面構成的交線稱偏平面或平面構成的交線稱偏平面或平面上平面上的破壞曲線。的破壞曲線。當采用常規(guī)三軸試驗時，當采用常規(guī)三軸試驗時， 2= 3，此時，此時，=-1，即不考，即不考慮中間主應力慮中間主應力2的影響，破壞條件為：的影響，破壞條件為：0)(ffp,q,kf可以在可以在p、q平面上研究平面上研究破壞曲線破壞曲線3.2 3.2 經典強度理論經典強度理論經典強度理論一般是建立在無內部摩擦，且抗拉強度等經典強度理論一

16、般是建立在無內部摩擦，且抗拉強度等于抗壓強度的基礎上的，不能直接用于土，但它是建立于抗壓強度的基礎上的，不能直接用于土，但它是建立土的強度理論的基礎。土的強度理論的基礎。l Tresca破壞準則破壞準則Tresca提出的最大剪應力理論，認為材料破壞取決于最提出的最大剪應力理論，認為材料破壞取決于最大剪應力。大剪應力。當材料的單軸抗拉強度等于單軸抗壓強度且強度值為當材料的單軸抗拉強度等于單軸抗壓強度且強度值為R時，時，kf=R/2，即：，即：fk231maxfkR231當主應力大小次序不確定的情況下，可用以下形式：當主應力大小次序不確定的情況下，可用以下形式：以以 為例，說明破壞與為例，說明破壞

17、與m，和，和3無關，在應無關，在應力空間中，表現(xiàn)為力空間中，表現(xiàn)為2個平行于個平行于3軸和等傾線的平面，按照軸和等傾線的平面，按照同樣的原理，其余兩個式子分別表示為平行于同樣的原理，其余兩個式子分別表示為平行于1軸和軸和L線、線、平行于平行于2軸和軸和L線的平面，這樣，由線的平面，這樣，由6個平面構成一個以個平面構成一個以L線為軸線的正六棱柱面，破壞面與線為軸線的正六棱柱面，破壞面與平面的交線（破壞平面的交線（破壞曲線）是一個正六邊形。曲線）是一個正六邊形。對于土，參數對于土，參數kf可以通過無側限壓縮試驗得到，因可以通過無側限壓縮試驗得到，因1=qu，2= 3=0， kf= qu/2，用不排

18、水三軸試驗時，用不排水三軸試驗時， kf= f=cu。0-)(-)(-)(221222232231133221RRRRRR或或或R21321321因為破壞曲面是柱體，所反映因為破壞曲面是柱體，所反映的結果即表示抗壓強度與抗拉的結果即表示抗壓強度與抗拉強度相等。強度相等。l Mises破壞準則破壞準則 因因Tresca準則在不知道主應力大小次序的情況下應準則在不知道主應力大小次序的情況下應用不便，且沒有反映中間主應力的影響，因此，用不便，且沒有反映中間主應力的影響，因此，Mises提提出了用外接圓柱面代替六棱柱面。出了用外接圓柱面代替六棱柱面。因為圓的半徑為因為圓的半徑為 ，所以圓方程為：，所以

19、圓方程為：式中式中r為應力偏量的大小：為應力偏量的大?。簞t則Mises準則可以寫成：準則可以寫成：或或破壞面與破壞面與平面的交線（破壞曲線）是一個圓（平面的交線（破壞曲線）是一個圓（Mises圓）圓）2/3R3222/Rr223212322212)(31Jr2223fk/RJ22132322212)()()(R 在平面應變條件下，例如假定中間應力在平面應變條件下，例如假定中間應力2=0，則，則Mises準則可以寫成以下形式：準則可以寫成以下形式：上式即下圖所示的長軸為上式即下圖所示的長軸為 ，短軸為，短軸為 的橢圓，同的橢圓，同時，在這種情況下時，在這種情況下Tresca準則的破壞曲線為圖示內

20、接六準則的破壞曲線為圖示內接六角形。角形。22331212RR2R3/2133.3 3.3 廣義強度理論廣義強度理論l Mohr-Coulomb破壞準則（破壞準則（M-C準則）準則）過一點的某個平面上剪應力達到該面的抗剪強度，則該過一點的某個平面上剪應力達到該面的抗剪強度，則該點發(fā)生破壞。點發(fā)生破壞。當參數當參數c、不變時，一點的破壞取決于該點的最大、最不變時，一點的破壞取決于該點的最大、最小主應力小主應力1、3，利用應力圓可以得到一點的極限平衡，利用應力圓可以得到一點的極限平衡條件：條件：tancf03312222131313131cossinsincossinsincoscotsincJI

21、fccf上式中的上式中的Lode角：角：在在平面上取平面上取xy坐標系，空間坐標系，空間P（1，2，3）在）在平面上平面上的投影點的投影點P的坐標：的坐標：根據定義：根據定義：3233231233sin323331JJJJ或sin62)(2231231yx0321sss,smii6)s3(s-6ss2s)s(s223131231yx上式是普遍成立的，對于上式是普遍成立的，對于平面平面m=0的應力點應仍然成的應力點應仍然成立。立。在在平面，平面， m=0，強度條件成為：，強度條件成為：上式即為破壞面與上式即為破壞面與平面的交線，即平面的交線，即平面上的破壞曲線，平面上的破壞曲線，如果投影點如果投

22、影點P(x，y)在破壞曲線上，則該點坐標應滿足上在破壞曲線上，則該點坐標應滿足上式，將坐標表達式代入上式，得到：式，將坐標表達式代入上式，得到：該方程在該方程在xy坐標平面上顯示為不等邊六邊形，即坐標平面上顯示為不等邊六邊形，即M-C準準則在則在平面上的破壞曲線為不等邊六邊形，因土的強度隨平面上的破壞曲線為不等邊六邊形，因土的強度隨靜水壓力靜水壓力m的增大而提高，因此的增大而提高，因此M-C準則的破壞面為不準則的破壞面為不等角的六棱錐面，中心線與等角的六棱錐面，中心線與L線重合。線重合。sincos223131sscssycx62sincos平面破壞曲線平面破壞曲線破壞面破壞面M-C強度理論考

23、慮了靜水壓力對強度的影響以及強度理論考慮了靜水壓力對強度的影響以及SD效應效應（抗壓強度不等于抗拉強度），但沒有考慮中間應力的（抗壓強度不等于抗拉強度），但沒有考慮中間應力的影響。（在解決平面應變問題或不等壓固結問題時與實影響。（在解決平面應變問題或不等壓固結問題時與實際不符，際不符，參見前面破壞曲線方式的形式，僅與參見前面破壞曲線方式的形式，僅與 s1 及及 s3 有關有關）l 廣義廣義Mises破壞準則破壞準則M-C準則是比較可靠的，但作為屈服面其錐尖和棱角使準則是比較可靠的，但作為屈服面其錐尖和棱角使計算復雜，為此，提出了很多改進方法，廣義計算復雜，為此，提出了很多改進方法，廣義Mise

24、s準則準則就是在就是在Mises準則的基礎上考慮靜水壓力的影響，即準則的基礎上考慮靜水壓力的影響，即Mises準則的推廣形式：準則的推廣形式：2221333330sincossinsinckkJIff平面應變條件平面應變條件M-C破壞條件破壞條件廣義廣義Mises準則在主應力空間為準則在主應力空間為M-C六邊形錐體的內切圓六邊形錐體的內切圓錐，因此該強度條件是錐，因此該強度條件是M-C強度條件的下限。強度條件的下限。通常也將取通常也將取、k參數的廣義參數的廣義Mises準則稱為準則稱為Drucker-Prager準則（準則（D-P準則），因此，準則），因此，D-P準則可以看成是對準則可以看成是

25、對M-C準則的擬合，而擬合可以采用多種方式：準則的擬合，而擬合可以采用多種方式：在在M-C準則中令準則中令=/6，等于采用，等于采用M-C錐體的內角圓錐，錐體的內角圓錐，相應的參數為：相應的參數為：在在M-C準則中令準則中令=-/6，等于，等于采用采用M-C錐體的外角圓錐，相應錐體的外角圓錐，相應的參數為：的參數為：sincossinsin336332ck，sincossinsin336332ck，D-P準則考慮了靜水準則考慮了靜水壓力和中間應力對強壓力和中間應力對強度的影響，但沒有考度的影響，但沒有考慮抗拉與抗壓強度的慮抗拉與抗壓強度的不同（不同（SD效應）。效應）。l Lade-Dunca

26、n破壞準則破壞準則D-P準則沒有考慮準則沒有考慮Lode角角的影響，的影響，Lade-Duncan提出了提出了適于砂土的適于砂土的Lade-Duncan破壞準則（破壞準則（L-D準則）：準則）：L-D準則的破壞曲線為準則的破壞曲線為外接外接M-C準則六角形的準則六角形的曲邊三角形。曲邊三角形。0127131333203121232331IkJIJfk/IIff/fffsin或破壞曲線破壞曲線3.4 3.4 強度理論的實驗驗證強度理論的實驗驗證 對于以上所討論的破壞準則，是否適合于土體則需對于以上所討論的破壞準則，是否適合于土體則需要通過必要的試驗進行驗證。實驗時，通過實測土體破要通過必要的試驗

27、進行驗證。實驗時，通過實測土體破壞時的應力并繪制破壞曲線，并檢查該破壞曲線與破壞壞時的應力并繪制破壞曲線，并檢查該破壞曲線與破壞準則的擬合程度。但是，一般土的破壞曲線是定義在平準則的擬合程度。但是，一般土的破壞曲線是定義在平均主應力一定的平面上均主應力一定的平面上（平面或與此平行的平面平面或與此平行的平面），而實際的剪，而實際的剪切試驗并不一定能保證土體破壞的應力狀態(tài)保持一定的切試驗并不一定能保證土體破壞的應力狀態(tài)保持一定的條件。條件。 針對以上問題，通常的做法是根據破壞時的主應力針對以上問題，通常的做法是根據破壞時的主應力1f、2f、3f 在主應力空間的位置在主應力空間的位置F點與坐標原點點

28、與坐標原點O點連點連成直線，該連線與成直線，該連線與1+2+3=3的平面上的交點為的平面上的交點為F點，點，根據試驗結果繪制根據試驗結果繪制F點在點在1+2+3=3平面上的軌跡，并平面上的軌跡，并根據該軌跡來討論試驗結果與破壞曲線之間的關系。其根據該軌跡來討論試驗結果與破壞曲線之間的關系。其原理在于，原理在于，Mohr-Coulomb準則，廣義準則，廣義Tresca準則、廣義準則、廣義Mises準則所顯示的破壞曲面在主應力空間都是準則所顯示的破壞曲面在主應力空間都是靜水壓力軸為對稱軸的角錐或圓錐表面，這些破壞曲面靜水壓力軸為對稱軸的角錐或圓錐表面，這些破壞曲面與與1+2+3=一定平面的交線（破

29、壞曲線）的形狀與平均一定平面的交線（破壞曲線）的形狀與平均主應力無關都是相似的主應力無關都是相似的（即使改變平均主應力，仍應保持形狀的相似性，即使改變平均主應力，仍應保持形狀的相似性，即實際即實際F處破壞曲線與設定平面處破壞曲線與設定平面1+2+3=一定一定上的破壞曲線具有相似性上的破壞曲線具有相似性）。根據。根據下圖所示，主應力空間的原點下圖所示，主應力空間的原點O與破壞時的應力狀態(tài)與破壞時的應力狀態(tài)F點點連線連線OF的長度為：的長度為：其方向余弦分別為：其方向余弦分別為：由此可知直線由此可知直線OF的直線方程為：的直線方程為：根據上式，該直線方程也可寫成以下形式：根據上式，該直線方程也可寫成以下形式：232221fffRRRRfzfyfx/,/,/321fffRRR332211ffff3132121ABCOOFFABC平面的法線平面的法線1231+ 2+ 3=3xy破壞時的應力在正八面體面上的投影破壞時的應力在正八面體面上的投影該直線與平面該直線與平面1+2+3=3平面交點平面交點F的