物理奧賽培訓(xùn)--光學(xué)091

1、Jianping Ding1物理奧賽培訓(xùn)光學(xué)Jianping Ding2南京大學(xué)物理系 丁劍平二、光在非均勻介質(zhì)中的傳播四、費(fèi)馬原理及其運(yùn)用五、光的干涉六、光的衍射三、幾何光學(xué)成像物理奧賽培訓(xùn)光學(xué)一、光的反射與折射Jianping Ding3例1、一等腰玻璃三棱鏡的折射率n=1.50，底部浸在水中，水折射率 n水1.33，入射的平行光與底面平行，問(wèn)：1）底角 q 多大時(shí)，光線才能在底面發(fā)生全反射？2）透過(guò)上述棱鏡觀看遠(yuǎn)處的物體，并使棱鏡以入射光線為軸以角速度 w 旋轉(zhuǎn)，將會(huì)看到什么現(xiàn)象？q90o-q解：水nn sinqq全反射條件：sin90sinqqn折射關(guān)系：qq水nnsincoscoss

2、inqqqqn水n1cos2222水水nnnn2q4 .25q q1）q一、光的反射與折射Jianping Ding42）透過(guò)上述棱鏡觀看遠(yuǎn)處的物體，并使棱鏡以入射光線為軸以角速度 w 旋轉(zhuǎn)，將會(huì)看到什么現(xiàn)象？ABBAwABBA解：棱鏡旋轉(zhuǎn)時(shí)，物體的像AB相應(yīng)旋轉(zhuǎn)相應(yīng)旋轉(zhuǎn)棱鏡旋轉(zhuǎn)180o時(shí)，物體的像AB 轉(zhuǎn)過(guò)轉(zhuǎn)過(guò)360o 像的轉(zhuǎn)速是棱鏡轉(zhuǎn)速的兩倍2wJianping Ding5例2、圖示一條光線射入空氣中的球狀水滴，在水滴內(nèi)表面反射后又穿出水滴。入射光線與出射光線之間的夾角 d 稱(chēng)為偏向角，已知水滴的折射率為 n，問(wèn)：1）光線在水滴內(nèi)表面反射時(shí)是全反射還是部分反射？2) 入射角i1多大時(shí)，偏向

3、角d 最??？i1OdnJianping Ding6i1i2i2Odn解：1）光在水滴內(nèi)表面反射時(shí)是全反射還是部分反射？21sinsinini 全反射臨界角：nic1arcsin2cinini212sin1sin1sin折射關(guān)系：cii22 總是部分反射Jianping Ding7解：2）入射角i1多大時(shí)，偏向角d 最?。縜i1i2i2Odnad1221222iiiiia三角幾何關(guān)系：2142ii dd 是入射角 i1 的函數(shù): d = d (i1) 極小值條件：121420didididd21sinsinini 1221coscosdidiini 21122121coscoscossindii

4、idinini211cos 3ni最小偏向角條件：Jianping Ding8例3、折射率n=1.5、半徑為R的透明半圓柱體軸線的橫截面如圖所示，O點(diǎn)為橫截面與軸線交點(diǎn)。一束平行光線以入射角i照射整個(gè)平面AB，其中一部分入射光束能通過(guò)半圓柱體從圓柱面射出，這部分光束入射到AB面上時(shí)沿y軸方向的長(zhǎng)度用d表示，不考慮光線在半圓柱體內(nèi)經(jīng)過(guò)反射再射出柱體的情形，求解：（1）當(dāng)平行入射光的入射角i從0o到90o變化時(shí)，求d的最大和最小值。（2）在圖示的平面內(nèi)，求出射光束與柱面相交的圓弧對(duì)O點(diǎn)的張角q與入射角i的關(guān)系，并求在掠入射時(shí)上述圓弧的位置。ORBiA1.5n y第25屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽決賽題（2

5、008年）Jianping Ding9求解：（1）當(dāng)平行入射光的入射角i從0o到90o變化時(shí)，求d的最大和最小值。解： 在后表面要考慮可能存在的全反射 光線發(fā)生兩次折射 分析1.5n iOAB全反射臨界角：1arcsin41.8ciniDDCyCiDaiDaOCD中:sinsin 90CDyRiasincosDCiyRasincosDCiyRaOC D中:sinsin 90CDyRiaJianping Ding101arcsin41.8cin1.5n iOABiDDCyCiDaiDasincosDCiyRasincosDCiyRa解：（1）當(dāng)平行入射光的入射角i從0o到90o變化時(shí)，求 d 的

6、最大和最小值。當(dāng)iD和iD達(dá)到最大值時(shí)，yC和yC的絕對(duì)值達(dá)到最大值，即有：maxmaxCCdyy已有min2sin1.33cddi RRa=0時(shí)sin2cosciRaa amax=時(shí)maxddmaxsin2coscciddRicia即 = 時(shí)1.79RJianping Ding111arcsin41.8ciniOABiDDCyCicaica解： （2）在圖示的平面內(nèi)，求出射光束與柱面相交的圓弧對(duì)O點(diǎn)的張角q與入射角i的關(guān)系，并求在掠入射時(shí)上述圓弧的位置。q對(duì)OD和OD 與水平線的夾角，ciacia有283.6ciqJianping Ding12二、光在非均勻介質(zhì)中的傳播 光線在非均勻介質(zhì)中的

7、傳播可以看成是連續(xù)折射的過(guò)程，逐點(diǎn)運(yùn)用折射定律可以追蹤光線的軌跡。n半徑光在光纖中的傳輸Jianping Ding13例4： 一塊平行平板，其厚度為 d，光線 從O點(diǎn)垂直入射，若平板折射率按 變化，q 為常數(shù)，并在 A 點(diǎn)以 a 角出射，求 光線軌跡、A 點(diǎn)的位置和平板厚度。qxn410AaOXYd解： 折射定律決定光線在每一點(diǎn)的方向，從而確定光線的軌跡； 介質(zhì)折射率連續(xù)變化，可將平板沿 X 方向切成一系列薄片，對(duì)每層薄片應(yīng)用折射定律。 折射定律的級(jí)聯(lián)形式：AAxxnnnnsinsinsin110qxnnx410 x(x,y)Jianping Ding14a220sinnnAAaOXYdAAx

8、xnnnnsinsinsin110 xqxnnx410P :(x, y) P點(diǎn)光線的方向由x 決定:qxnnxx411sin0 P點(diǎn)光線的切線斜率 kp :qxkxp41tan 曲線 y = f(x)與斜率 kp：dxdykp A點(diǎn)條件：asin90sinAoAn0sinnnAA和qxy 2 光線軌跡方程： 結(jié)論：qnxA2024sinaqnydA02sina和Jianping Ding15例5、光從空氣折射進(jìn)透明介質(zhì)，入射點(diǎn)折射率為n0，入射角近似 /2，介質(zhì)折射率與介質(zhì)高度 y 有關(guān)，當(dāng)折射光線的軌跡是拋物線 y=ax2 時(shí)，求折射率與高度 y 的關(guān)系。解：xyqaqsin0nn 折射定律

9、：qactgtgdxdy光線切向斜率：1sin122qax140aynnJianping Ding16題6、飛機(jī)場(chǎng)跑道上空空氣的折射率分布隨地面高度y的變化規(guī)律為: , 其中a a = 1.0 x10-6 m-1，某人站在跑道上觀看遠(yuǎn)處的跑道，他的眼睛離地面的高度為1.69m。求該人能看到的跑道長(zhǎng)度。ynna10m36103 . 121069. 12xyqa解：qsin0nn 折射定律：1sin1 2qqctgdxdyayx2yaJianping Ding17休息10分鐘！Jianping Ding183) 在入射角qi 0 和 = qiM條件下，確定光由 O點(diǎn)入射傳播到與Ox軸的第一個(gè)交點(diǎn)的

10、時(shí)間。 例7、圓柱型光纖的纖芯半徑為a，折射率介于n1和n2之間（1n2n1）并按照 漸變，n2為距軸線a處的折射率， 為常數(shù)，包裹層折射率也為n2 。光纖置于折射率為n0的空氣中，取Ox軸沿光纖軸線方向，O為光纖端點(diǎn)的中心。假設(shè) 一束單色光從O點(diǎn)以入射角i 進(jìn)入光纖，入射面為xOy : 2211ynynn1）求出光線在光纖里的軌跡方程 y=f(x)；2）求出光可以在光纖纖芯中傳播的最大入射角iM；Oxqia0yn2n2n0 2211ynynna4) qi qiM時(shí)光信號(hào)沿光纖的傳輸速度（定義為第一個(gè)交點(diǎn)x坐標(biāo)與時(shí)間的比值）（亞洲奧賽04年題）Jianping Ding19Oxqiaa0yn2

11、n2n0解：01cossinaqni入射點(diǎn)：x=0, y=0, qaacos1sin1sin22122101ynynnqP(x, y)aasinsin01xnn折射級(jí)聯(lián)性質(zhì)：1sin11cos1tan02222aqqydxdyy 切線斜率 1sin102222ayy2211ynn aJianping Ding20Oxa0yn2n2n0P(x, y) 1sin102222ayy一階微分方程022sin22ayyyy 兩邊對(duì)x再求導(dǎo)一次 00actgyx入射點(diǎn)初始條件：x=0, y=0y=a時(shí) n=n2另一個(gè)邊界條件12221nannaqi0sin022yya00sinsinaxAy 2211yn

12、ynnJianping Ding21axnnnnnayiiqq22122212221sinsinsinOxqia0yn2n2n0P(x, y)1）光線在光纖里的軌跡方程a2) 光可以在光纖纖芯中傳播的最大入射角iM；annai2221sinqay 2221sinnniMqJianping Ding223) 在入射角qi 0 和 = qiM條件下，確定光由 O點(diǎn)入射傳播到與Ox軸的第一個(gè)交點(diǎn)的時(shí)間Oxyn2n2n0aaxnnnnnayiiqq22122212221sinsinsin Oz 軸的第一個(gè)交點(diǎn)處：qaxnnni12212221sinx122212211sinnnnaxq 第一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)

13、n1Jianping Ding23Oxyax1dsdxdy22212211sinnnnaxqdscnvdsdt通過(guò)一線段元 ds 時(shí)間為dxydydxds2221線段元dxycndscnxxxx200111 2211ynynnaxnnnnnayiiqq22122212221sinsinsinJianping Ding24abxbxbadxarcsin1222Oxyax1dsdxdy22212211sinnnnaxq 2211ynynnaxnnnnnayiiqq22122212221sinsinsindxycndscnxxxx2001112122221212sin1nnncaniq3222222

14、2222arcsin2babxabxbaxxbadxx利用積分公式Jianping Ding254) qi qiM時(shí)光信號(hào)沿光纖的傳輸速度（= x1/）Oxyax1222122nncnvM2122221212sin1nnncaniq22212211sinnnnaxq2221sinnniMqqin2n1Jianping Ding26-ssrnnPPOC三、幾何光學(xué)成像單球面折射成像公式阿貝不變式：nnnnsrsrrnnsnsn或nnss平面面折射成像：Jianping Ding27rnnOC-fFfF 焦距公式 物方焦距rnnnf像方焦距: rnnnf 高斯成像公式: 1sfsfnnffrnns

15、nsnJianping Ding28rnnsnsn反射成像公式：rss211r平面鏡：s=-s 單個(gè)球面的反射成像O-ssnnJianping Ding29P例8、一個(gè)折射率為1.5的玻璃球，半徑 R，置于空氣中。在近軸成像時(shí)，問(wèn)：（1）無(wú)窮遠(yuǎn)處的物成像在何處？（2）物在球前2R處，成像在何處？ RO1O2P-s1P1s1s2s2n=1.5Jianping Ding30RO1-s1P1s1rnnsnsn解：O1面：s1 = 3R(1).n=1.5O2面：s2 = R/2O2s1=-, r1=+R, n1=1, n1=1.5Ps2s2s2=R, r2= -R, n2=1.5, n2=1Jianp

16、ing Ding31PRO1-s1s1n=1.5(2).O1面：s1=-2R, r1=+R, n1=1, n1=1.5s1 = rnnsnsns2O2s2PO2面：s2= , r2= -R, n2=1.5, n2=1s2 = 2RJianping Ding32例9. 推導(dǎo)薄透鏡(的焦距公式-透鏡制造者公式 2111) 1(1rrnfnOC2C1I1I2-r2r1證明：11111rnssnI 面：22211rnsnsII 面：I1面: s1, s1, r1I2面: s2, s2, r2s = s1, s = s2, s2 = s1薄透鏡透鏡制造者公式成像公式2111111rrnssJianpin

17、g Ding33例10、有一半徑R=0.128m的玻璃半球，過(guò)球心O并與其平面部分相垂直的軸線上沿軸線方向放置一細(xì)條形發(fā)光體A1A2，長(zhǎng)度為l=0.020m。若人眼在軸附近對(duì)著平面部分向半球望去，可看到發(fā)光體的兩個(gè)不很亮的像（更暗的像不必考慮），當(dāng)發(fā)光體在軸上前后移動(dòng)時(shí)，這兩個(gè)像也在軸上移動(dòng)。如調(diào)整發(fā)光體的位置，使得兩個(gè)像恰好頭尾相接連在一起，則發(fā)光體的近端A2距球心O的距離為a2=0.020m，求此玻璃球的折射率 n（計(jì)算時(shí)只考慮近軸光線）。(全國(guó)競(jìng)賽題）OA1A2a2解： 分析 兩個(gè)像，一為平面反射的像； 另一個(gè)：經(jīng)過(guò)平面折射 球面反射 平面折射nRJianping Ding34OA1A2

18、a2 求光軸上一點(diǎn)A（在O左方a處）經(jīng)過(guò)三次（折射、反射、折射）所成的像Ru 注意：半球的 r = -Rnrnnsnsn計(jì)算可得最后的像A在O右邊sA處：12/Aasna R顯然 sA sA2 A1A2A”2A”1 A 經(jīng)平面反射的像 A” 在O右邊 a 處，兩條形像頭尾相接， A1 與A2” 重合l221.62lRnaalJianping Ding35例11、一個(gè)放在空氣中的玻璃棒，折射率n0=1.5，中心軸長(zhǎng) L=45cm，一端是半徑為R1=10cm的凸球面。問(wèn)：（1）要使玻璃棒的作用相當(dāng)于一架理想的天文望遠(yuǎn)鏡（使主光軸上無(wú)限遠(yuǎn)的物成像于主光軸上無(wú)限遠(yuǎn)處的望遠(yuǎn)系統(tǒng)），取中心軸線為主光軸，玻璃棒的另一端應(yīng)磨成什么樣的球面？（2）