分 圓 多 項(xiàng) 式

1、7.5.1 復(fù)數(shù)域上的分圓多項(xiàng)式復(fù)數(shù)域上的分圓多項(xiàng)式 7.5.2 任意域上的分圓多項(xiàng)式任意域上的分圓多項(xiàng)式 定義定義. 在復(fù)數(shù)域中在復(fù)數(shù)域中n-1=0的解稱為的解稱為n次單位根次單位根。結(jié)論結(jié)論：一個(gè)復(fù)數(shù)是：一個(gè)復(fù)數(shù)是n次單位根次單位根,當(dāng)且僅當(dāng)它具有下當(dāng)且僅當(dāng)它具有下列形式：列形式： 證明：因任意復(fù)數(shù)可以表為證明：因任意復(fù)數(shù)可以表為 r r（coscos +isin +isin）其中其中r r是它的模，是它的模，是它的幅角，我們有是它的幅角，我們有 r r（coscos+isin+isin） s s（coscos + isin + isin）= rs cos= rs cos cos cos

2、- sin - sin sin sin +i +i（coscos sinsin + sincos + sincos） = rscos= rscos（ + +） + isin+ isin（ + +） 。nkink2sin2cos據(jù)此，用數(shù)學(xué)歸納法易證：據(jù)此，用數(shù)學(xué)歸納法易證： r r(coscos+isin+isin) n n=r=rn n(coscos n n+isin+isin n n)此數(shù)的模是此數(shù)的模是r rn n，幅角是，幅角是n n。因?yàn)閺?fù)數(shù)。因?yàn)閺?fù)數(shù)1 1的模是的模是1 1，幅角是，幅角是2 2k k，k=0k=0，1 1，2 2，所以，所以， r r（coscos +isin +

3、isin）是）是n n次單位根次單位根 iffr rn n=1 =1 且且 n n=2k=2k iffr=1r=1，且且= iff它具有下列形式：它具有下列形式： n2nkink2sin2cos故若命故若命 =則一個(gè)復(fù)數(shù)是則一個(gè)復(fù)數(shù)是n次單位根次單位根，當(dāng)且僅當(dāng)它，當(dāng)且僅當(dāng)它是是的整數(shù)次的整數(shù)次方方。由此可見(jiàn)，所有。由此可見(jiàn)，所有n次單位根在乘法下作成一個(gè)循次單位根在乘法下作成一個(gè)循環(huán)群，環(huán)群，是它的一個(gè)生成元素。是它的一個(gè)生成元素。 1，2，n-1為為n個(gè)個(gè)n次單位根次單位根：這這n個(gè)單位根的幅角都是個(gè)單位根的幅角都是 的整倍數(shù)；用平面上的的整倍數(shù)；用平面上的點(diǎn)代表復(fù)數(shù)，把代表這點(diǎn)代表復(fù)數(shù)，

4、把代表這n個(gè)單位根的點(diǎn)用線段聯(lián)結(jié)起個(gè)單位根的點(diǎn)用線段聯(lián)結(jié)起來(lái)便成為單位圓的一個(gè)內(nèi)接正來(lái)便成為單位圓的一個(gè)內(nèi)接正n邊形?？梢?jiàn)，邊形?？梢?jiàn)，這這n個(gè)個(gè)n次單位根都不同次單位根都不同。是是n次單位根，當(dāng)然次單位根，當(dāng)然n=1。所以。所以的周期恰等于的周期恰等于n。 nin2sin2cosn2定理定理7.5.1. 復(fù)數(shù)域中恰有復(fù)數(shù)域中恰有n個(gè)個(gè)n次單位根。它次單位根。它們?cè)诔朔ㄏ伦鞒梢粋€(gè)們?cè)诔朔ㄏ伦鞒梢粋€(gè)n元循環(huán)群元循環(huán)群,= 是一個(gè)生成元素。是一個(gè)生成元素。這個(gè)這個(gè)n元循環(huán)群的生成元素稱為元循環(huán)群的生成元素稱為本原本原n次單位次單位根根，共有，共有 (n)個(gè)，假定它們是個(gè)，假定它們是1，2， (n)

5、命命n()=(-1)(-2)(-（n）)n（）稱為）稱為分圓多項(xiàng)式分圓多項(xiàng)式. .意思是說(shuō)求出它的一個(gè)根就可以把單位圓分意思是說(shuō)求出它的一個(gè)根就可以把單位圓分成成n等份了。等份了。 nin2sin2cosln=1時(shí)，生成元時(shí)，生成元= =1, (1)=1,故故 1()=(-1)。ln=2時(shí)，生成元時(shí)，生成元= = -1, (2)=1 ，故，故 2()=(+1)。ln=3時(shí)，生成元時(shí)，生成元= = ， (3)=2 ，另一個(gè)生成元為：，另一個(gè)生成元為： 2= ，故故3()=(-)(x-2)=2+ x + 1。l n=4時(shí)，生成元時(shí)，生成元= =i， (4)=2 ，另一個(gè)生成元為：另一個(gè)生成元為：3

6、=-i，故，故 4()=(-)(x-3)= (x-i)(x+i)= x2 + 112sin12cosi22sin22cosi32sin32cosi23123142sin42cosi 定理定理7.5.2 n-1 =證明：證明： 設(shè)設(shè)1， 2，n是所有是所有n次單位根，次單位根，于是于是n-1=(-1)(-2) (-n) .任取一個(gè)任取一個(gè)d n。(1)往證往證 | n-1。任取任取d()() 的根的根, ,則則是一個(gè)本原是一個(gè)本原d次單位次單位根。于是根。于是,d=1,因而因而n=1,可見(jiàn)可見(jiàn)(x-)必出現(xiàn)必出現(xiàn)在在(-1)(-2) (-n)中中.可見(jiàn)可見(jiàn),所有所有(d)個(gè)個(gè)本原本原d次單位根都

7、出現(xiàn)在次單位根都出現(xiàn)在(-1)(-2) (-n)中。因之，中。因之，d()()n-1 。 nddx|)(nddx|)( 若若d和和d不同不同,則則d()和和d()沒(méi)有公共沒(méi)有公共一次式。一次式。 因?yàn)?，前者的根是本原因?yàn)?，前者的根是本原d次單位根，次單位根，后者的根是本原后者的根是本原d次單位根，由此可見(jiàn)，次單位根，由此可見(jiàn)， n-1。 (2)往證往證 n-1 | 。任取任取n-1的根的根, ,設(shè)設(shè)的周期為的周期為d,dn,d,dn,因而因而是是本原本原d d次單位根。這就是說(shuō)次單位根。這就是說(shuō), ,(-1)(-2) (-n) 中的任意一次式必中的任意一次式必出現(xiàn)在某個(gè)出現(xiàn)在某個(gè)d d（）之內(nèi)

8、，其中）之內(nèi)，其中dndn，所以，所以n n-1| -1| 。 nddx|)(nddx|)(nddx|)(因?yàn)橐驗(yàn)閤-1= =1(),所以所以,1()= x-1。 因?yàn)橐驗(yàn)閤2-1 = =2()1()，所以，所以， 2()= x+1。因?yàn)橐驗(yàn)閤3-1 = =3()1()，所以，所以， 3()()=x2+x+1。 因?yàn)橐驗(yàn)閤4-1 = =4()2()1()，所以，所以， 4()()= x2 + 1。 1 |)(ddx2 |)(ddx3 |)(ddx4 |)(ddx定理定理7.5.3. n()是整系數(shù)多項(xiàng)式。證明：證明： 用數(shù)學(xué)歸納法。用數(shù)學(xué)歸納法。1()=-1是整系數(shù)多項(xiàng)式。是整系數(shù)多項(xiàng)式。假定

9、已知假定已知kn時(shí)，時(shí)，k()是整系數(shù)多項(xiàng)式，是整系數(shù)多項(xiàng)式，試證試證n()亦然。因亦然。因n-1=n() ，由歸納法假定，此式右邊每個(gè)由歸納法假定，此式右邊每個(gè)d()()都是整都是整系數(shù)多項(xiàng)式，故其積為整系數(shù)多項(xiàng)式，且首系系數(shù)多項(xiàng)式，故其積為整系數(shù)多項(xiàng)式，且首系數(shù)為數(shù)為1。所以是本原多項(xiàng)式，而。所以是本原多項(xiàng)式，而n-1是整系數(shù)是整系數(shù)多項(xiàng)式，故，多項(xiàng)式，故，n（）必為整系數(shù)多項(xiàng)式。）必為整系數(shù)多項(xiàng)式。 ndnddx|)(求12()。解：解：因?yàn)?12-1 = =1264321，6-1 = = 6321相除得6+1 = 124因之， 12()= = x4-x2+1。 12|)(ddx6 |)

10、(ddx11)(12646xxxxF為任意域，設(shè)n不是特征的倍數(shù)，方程n-1 = 0在F中的根稱為n次單位根 。若n不是特征的倍數(shù)，則n-1的微商nn-1不是多項(xiàng)式0，因而除0外沒(méi)有另外的根，但0顯然不是n-1的根，所以，n-1及其微商沒(méi)有公共根，因而方程n-1沒(méi)有重根。若n是特征p的倍數(shù)，設(shè)n = kpm，其中k不是p的倍數(shù)，則 n-1 = 。 這時(shí)n-1的根即是k次單位根，且n-1的每個(gè)根都是pm重根。 mmpkkpxx) 1(1x 0123456x2 0142241x3 0116166x4 0124421x5 0145236x6 0111111例例. R2=0，1上的4個(gè)矩陣： 0 =

11、，1 = , a = ， b = ，作成的集合F=0，1，a，b在矩陣加法、乘法下作成一個(gè)域。則在F上求4次單位根就是求方程x4-1 = 0，即 的根。由分圓多項(xiàng)式的性質(zhì)可求出 4()= x2+1= x2+ 。 0000100101111110010014x1001定理定理7.5.4 設(shè)n不是F的特征的倍數(shù),并設(shè)n()在F中有根。于是，F(xiàn)中恰有n個(gè)n次單位根，它們?cè)诔朔ㄏ伦鞒梢粋€(gè)n元循環(huán)群，其(n)個(gè)生成元素恰是n()的所有的根。證明：證明：設(shè)是n()在F中的任意根，往證的周期為n。設(shè)的周期k。由于n() n-1,是n-1的根,故n=1。因而的周期k n。反證。假定kn。因?yàn)閗=1，所以應(yīng)是k

12、-1的根，但k-1 = ，乘積中沒(méi)有n()。既是n()的根又是k-1的根，因而是n-1的重根，此不可能。 kddx|)(因之，1，2，n-1是n個(gè)不同的n次單位根，但n-1最多只能有n個(gè)根，所以F中恰有n個(gè)n次單位根。所有n次單位根既然都是的若干方，所以在乘法下作成一個(gè)n元循環(huán)群，n()的任意根是此群的一個(gè)生成元素。今n元循環(huán)群只有(n)個(gè)生成元素，所以n()的根恰是所有的生成元素。 證畢。 此n元循環(huán)群的生成元素也叫本原n次單位根。 (1) 對(duì)x2-1 = 0，分圓多項(xiàng)式2（）= x+1。因?yàn)?（）在R5 中有根4，所以2個(gè)二次單位根全在R5 中，且4為其(2)=1個(gè)生成元，由它生成的1，4就是全部二次單位根。(2)對(duì)x3-1 = 0,分圓多項(xiàng)式3()= x2 + x +1。3（）在R5 中無(wú)根，3個(gè)三次單位根不全在R5 中，在R5 中只有一個(gè)根1 x 01234x2 01441x2 +x+1 13231x3 013243()在R7 中有根2，4，所以3個(gè)三次單位根全在R7中，且2，4為其(3)=2個(gè)生成