分 圓 多 項 式

1、7.5.1 復(fù)數(shù)域上的分圓多項式復(fù)數(shù)域上的分圓多項式 7.5.2 任意域上的分圓多項式任意域上的分圓多項式 定義定義. 在復(fù)數(shù)域中在復(fù)數(shù)域中n-1=0的解稱為的解稱為n次單位根次單位根。結(jié)論結(jié)論：一個復(fù)數(shù)是：一個復(fù)數(shù)是n次單位根次單位根,當(dāng)且僅當(dāng)它具有下當(dāng)且僅當(dāng)它具有下列形式：列形式： 證明：因任意復(fù)數(shù)可以表為證明：因任意復(fù)數(shù)可以表為 r r（coscos +isin +isin）其中其中r r是它的模，是它的模，是它的幅角，我們有是它的幅角，我們有 r r（coscos+isin+isin） s s（coscos + isin + isin）= rs cos= rs cos cos cos

2、- sin - sin sin sin +i +i（coscos sinsin + sincos + sincos） = rscos= rscos（ + +） + isin+ isin（ + +） 。nkink2sin2cos據(jù)此，用數(shù)學(xué)歸納法易證：據(jù)此，用數(shù)學(xué)歸納法易證： r r(coscos+isin+isin) n n=r=rn n(coscos n n+isin+isin n n)此數(shù)的模是此數(shù)的模是r rn n，幅角是，幅角是n n。因為復(fù)數(shù)。因為復(fù)數(shù)1 1的模是的模是1 1，幅角是，幅角是2 2k k，k=0k=0，1 1，2 2，所以，所以， r r（coscos +isin +

3、isin）是）是n n次單位根次單位根 iffr rn n=1 =1 且且 n n=2k=2k iffr=1r=1，且且= iff它具有下列形式：它具有下列形式： n2nkink2sin2cos故若命故若命 =則一個復(fù)數(shù)是則一個復(fù)數(shù)是n次單位根次單位根，當(dāng)且僅當(dāng)它，當(dāng)且僅當(dāng)它是是的整數(shù)次的整數(shù)次方方。由此可見，所有。由此可見，所有n次單位根在乘法下作成一個循次單位根在乘法下作成一個循環(huán)群，環(huán)群，是它的一個生成元素。是它的一個生成元素。 1，2，n-1為為n個個n次單位根次單位根：這這n個單位根的幅角都是個單位根的幅角都是 的整倍數(shù)；用平面上的的整倍數(shù)；用平面上的點代表復(fù)數(shù)，把代表這點代表復(fù)數(shù)，

4、把代表這n個單位根的點用線段聯(lián)結(jié)起個單位根的點用線段聯(lián)結(jié)起來便成為單位圓的一個內(nèi)接正來便成為單位圓的一個內(nèi)接正n邊形。可見，邊形?？梢姡@這n個個n次單位根都不同次單位根都不同。是是n次單位根，當(dāng)然次單位根，當(dāng)然n=1。所以。所以的周期恰等于的周期恰等于n。 nin2sin2cosn2定理定理7.5.1. 復(fù)數(shù)域中恰有復(fù)數(shù)域中恰有n個個n次單位根。它次單位根。它們在乘法下作成一個們在乘法下作成一個n元循環(huán)群元循環(huán)群,= 是一個生成元素。是一個生成元素。這個這個n元循環(huán)群的生成元素稱為元循環(huán)群的生成元素稱為本原本原n次單位次單位根根，共有，共有 (n)個，假定它們是個，假定它們是1，2， (n)

5、命命n()=(-1)(-2)(-（n）)n（）稱為）稱為分圓多項式分圓多項式. .意思是說求出它的一個根就可以把單位圓分意思是說求出它的一個根就可以把單位圓分成成n等份了。等份了。 nin2sin2cosln=1時，生成元時，生成元= =1, (1)=1,故故 1()=(-1)。ln=2時，生成元時，生成元= = -1, (2)=1 ，故，故 2()=(+1)。ln=3時，生成元時，生成元= = ， (3)=2 ，另一個生成元為：，另一個生成元為： 2= ，故故3()=(-)(x-2)=2+ x + 1。l n=4時，生成元時，生成元= =i， (4)=2 ，另一個生成元為：另一個生成元為：3

6、=-i，故，故 4()=(-)(x-3)= (x-i)(x+i)= x2 + 112sin12cosi22sin22cosi32sin32cosi23123142sin42cosi 定理定理7.5.2 n-1 =證明：證明： 設(shè)設(shè)1， 2，n是所有是所有n次單位根，次單位根，于是于是n-1=(-1)(-2) (-n) .任取一個任取一個d n。(1)往證往證 | n-1。任取任取d()() 的根的根, ,則則是一個本原是一個本原d次單位次單位根。于是根。于是,d=1,因而因而n=1,可見可見(x-)必出現(xiàn)必出現(xiàn)在在(-1)(-2) (-n)中中.可見可見,所有所有(d)個個本原本原d次單位根都

7、出現(xiàn)在次單位根都出現(xiàn)在(-1)(-2) (-n)中。因之，中。因之，d()()n-1 。 nddx|)(nddx|)( 若若d和和d不同不同,則則d()和和d()沒有公共沒有公共一次式。一次式。 因為，前者的根是本原因為，前者的根是本原d次單位根，次單位根，后者的根是本原后者的根是本原d次單位根，由此可見，次單位根，由此可見， n-1。 (2)往證往證 n-1 | 。任取任取n-1的根的根, ,設(shè)設(shè)的周期為的周期為d,dn,d,dn,因而因而是是本原本原d d次單位根。這就是說次單位根。這就是說, ,(-1)(-2) (-n) 中的任意一次式必中的任意一次式必出現(xiàn)在某個出現(xiàn)在某個d d（）之內(nèi)

8、，其中）之內(nèi)，其中dndn，所以，所以n n-1| -1| 。 nddx|)(nddx|)(nddx|)(因為因為x-1= =1(),所以所以,1()= x-1。 因為因為x2-1 = =2()1()，所以，所以， 2()= x+1。因為因為x3-1 = =3()1()，所以，所以， 3()()=x2+x+1。 因為因為x4-1 = =4()2()1()，所以，所以， 4()()= x2 + 1。 1 |)(ddx2 |)(ddx3 |)(ddx4 |)(ddx定理定理7.5.3. n()是整系數(shù)多項式。證明：證明： 用數(shù)學(xué)歸納法。用數(shù)學(xué)歸納法。1()=-1是整系數(shù)多項式。是整系數(shù)多項式。假定

9、已知假定已知kn時，時，k()是整系數(shù)多項式，是整系數(shù)多項式，試證試證n()亦然。因亦然。因n-1=n() ，由歸納法假定，此式右邊每個由歸納法假定，此式右邊每個d()()都是整都是整系數(shù)多項式，故其積為整系數(shù)多項式，且首系系數(shù)多項式，故其積為整系數(shù)多項式，且首系數(shù)為數(shù)為1。所以是本原多項式，而。所以是本原多項式，而n-1是整系數(shù)是整系數(shù)多項式，故，多項式，故，n（）必為整系數(shù)多項式。）必為整系數(shù)多項式。 ndnddx|)(求12()。解：解：因為 12-1 = =1264321，6-1 = = 6321相除得6+1 = 124因之， 12()= = x4-x2+1。 12|)(ddx6 |)

10、(ddx11)(12646xxxxF為任意域，設(shè)n不是特征的倍數(shù)，方程n-1 = 0在F中的根稱為n次單位根 。若n不是特征的倍數(shù)，則n-1的微商nn-1不是多項式0，因而除0外沒有另外的根，但0顯然不是n-1的根，所以，n-1及其微商沒有公共根，因而方程n-1沒有重根。若n是特征p的倍數(shù)，設(shè)n = kpm，其中k不是p的倍數(shù)，則 n-1 = 。 這時n-1的根即是k次單位根，且n-1的每個根都是pm重根。 mmpkkpxx) 1(1x 0123456x2 0142241x3 0116166x4 0124421x5 0145236x6 0111111例例. R2=0，1上的4個矩陣： 0 =

11、，1 = , a = ， b = ，作成的集合F=0，1，a，b在矩陣加法、乘法下作成一個域。則在F上求4次單位根就是求方程x4-1 = 0，即 的根。由分圓多項式的性質(zhì)可求出 4()= x2+1= x2+ 。 0000100101111110010014x1001定理定理7.5.4 設(shè)n不是F的特征的倍數(shù),并設(shè)n()在F中有根。于是，F(xiàn)中恰有n個n次單位根，它們在乘法下作成一個n元循環(huán)群，其(n)個生成元素恰是n()的所有的根。證明：證明：設(shè)是n()在F中的任意根，往證的周期為n。設(shè)的周期k。由于n() n-1,是n-1的根,故n=1。因而的周期k n。反證。假定kn。因為k=1，所以應(yīng)是k

12、-1的根，但k-1 = ，乘積中沒有n()。既是n()的根又是k-1的根，因而是n-1的重根，此不可能。 kddx|)(因之，1，2，n-1是n個不同的n次單位根，但n-1最多只能有n個根，所以F中恰有n個n次單位根。所有n次單位根既然都是的若干方，所以在乘法下作成一個n元循環(huán)群，n()的任意根是此群的一個生成元素。今n元循環(huán)群只有(n)個生成元素，所以n()的根恰是所有的生成元素。 證畢。 此n元循環(huán)群的生成元素也叫本原n次單位根。 (1) 對x2-1 = 0，分圓多項式2（）= x+1。因為2（）在R5 中有根4，所以2個二次單位根全在R5 中，且4為其(2)=1個生成元，由它生成的1，4就是全部二次單位根。(2)對x3-1 = 0,分圓多項式3()= x2 + x +1。3（）在R5 中無根，3個三次單位根不全在R5 中，在R5 中只有一個根1 x 01234x2 01441x2 +x+1 13231x3 013243()在R7 中有根2，4，所以3個三次單位根全在R7中，且2，4為其(3)=2個生成