高等幾何 總復(fù)習(xí)

1、1第一章第一章 仿射幾何學(xué)的基本概念仿射幾何學(xué)的基本概念 第二章第二章 歐氏平面的拓廣歐氏平面的拓廣第三章第三章 一維射影幾何學(xué)一維射影幾何學(xué)第四章第四章 德薩格定理、四點形與四線形德薩格定理、四點形與四線形第五章第五章 射影坐標(biāo)系和射影變換射影坐標(biāo)系和射影變換 第六章第六章 二次曲線的射影性質(zhì)二次曲線的射影性質(zhì)第七章第七章 二次曲線的仿射性質(zhì)二次曲線的仿射性質(zhì)第八章第八章 二次曲線的度量性質(zhì)二次曲線的度量性質(zhì)2第一章第一章 仿射幾何學(xué)的基本概念仿射幾何學(xué)的基本概念 1.1 1.1 平行射影與仿射對應(yīng)平行射影與仿射對應(yīng) 1.2 1.2 仿射不變性與不變量仿射不變性與不變量 1.3 1.3 平面

2、到自身的透視仿射平面到自身的透視仿射 1.4 1.4 平面內(nèi)的一般仿射平面內(nèi)的一般仿射 1.5 1.5 仿射變換的代數(shù)表示仿射變換的代數(shù)表示 3第一章第一章 總結(jié)總結(jié)本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容透視仿射透視仿射（平行射影）（平行射影）仿射性、仿射量、仿射圖形仿射性、仿射量、仿射圖形仿射的確定仿射的確定代數(shù)表達(dá)式代數(shù)表達(dá)式4透視仿射透視仿射 （平行射影）（平行射影）透視仿射透視仿射仿射（透視仿射鏈）仿射（透視仿射鏈）（平行射影）（平行射影）直線到直線直線到直線平面到平面，平面到平面，平面到自身平面到自身5仿射性：同素性、結(jié)合性、平行性仿射性：同素性、結(jié)合性、平行性相切性相切性仿射性、仿射量、仿射圖形

3、仿射性、仿射量、仿射圖形仿射圖形：平行四邊形、梯形仿射圖形：平行四邊形、梯形仿射量仿射量簡比簡比平行線段的比平行線段的比同一直線上任兩線段之比。同一直線上任兩線段之比。面積比面積比關(guān)于點的對稱關(guān)于點的對稱三角形的中線和重心三角形的中線和重心線段的中點線段的中點6透視仿射由對應(yīng)透視仿射由對應(yīng)軸和其外一對對軸和其外一對對應(yīng)點完全確定。應(yīng)點完全確定。三對不共線的對三對不共線的對應(yīng)點確定唯一的應(yīng)點確定唯一的仿射變換。仿射變換。仿射的確定仿射的確定確定的確定的涵義：涵義：已知：已知：gAAB及可作任一點 的象。已知：已知：,(1,2,3)iiP P iP可作任一點 的象。7代數(shù)表達(dá)式代數(shù)表達(dá)式12012

4、12012:,0 xxyTDyxy 特例特例推導(dǎo)仿射性、仿射量推導(dǎo)仿射性、仿射量83P1P2P1P3P2P代數(shù)表達(dá)式代數(shù)表達(dá)式1201212012:,0 xxyTDyxy :SS面積 |SDS面積比：9 本章主要講授了如下的內(nèi)容：本章主要講授了如下的內(nèi)容：1.中心投影（透視）中心投影（透視） 為了保證直線到直線的中心投影、平面為了保證直線到直線的中心投影、平面到平面的中心投影是雙射，引入理想元素到平面的中心投影是雙射，引入理想元素（無窮遠(yuǎn)點和無窮遠(yuǎn)線）；對理想元素與（無窮遠(yuǎn)點和無窮遠(yuǎn)線）；對理想元素與普通元素同等對待，這樣的觀點是射影觀普通元素同等對待，這樣的觀點是射影觀點，否則，則為仿射觀點

5、。點，否則，則為仿射觀點。 中心投影保留同素性和結(jié)合性。中心投影保留同素性和結(jié)合性。102.齊次坐標(biāo)與對偶原理齊次坐標(biāo)與對偶原理 為了表示理想元素，教材引入了齊次坐為了表示理想元素，教材引入了齊次坐標(biāo)，這為用代數(shù)的方法研究幾何提供了方標(biāo)，這為用代數(shù)的方法研究幾何提供了方便。便。在射影平面上，只用點線結(jié)合表達(dá)的在射影平面上，只用點線結(jié)合表達(dá)的全部命題，構(gòu)成了平面射影幾何學(xué)全部命題，構(gòu)成了平面射影幾何學(xué)。由由ux=0，將，將u或或x分別看作常量，可得點的齊分別看作常量，可得點的齊次坐標(biāo)與線的齊次坐標(biāo)，由此，得到了次坐標(biāo)與線的齊次坐標(biāo)，由此，得到了點點幾何學(xué)幾何學(xué)與與線幾何學(xué)線幾何學(xué)。從代數(shù)的觀點有

6、了對。從代數(shù)的觀點有了對偶原理，這為研究射影幾何學(xué)起到了事半偶原理，這為研究射影幾何學(xué)起到了事半功倍的作用。功倍的作用。113.復(fù)元素復(fù)元素 坐標(biāo)為復(fù)數(shù)的點或線，稱為坐標(biāo)為復(fù)數(shù)的點或線，稱為復(fù)元素復(fù)元素；若；若兩個復(fù)元素的坐標(biāo)互為共軛復(fù)數(shù)，則它們稱兩個復(fù)元素的坐標(biāo)互為共軛復(fù)數(shù)，則它們稱為為共軛復(fù)元素共軛復(fù)元素。 特別要注意的是：特別要注意的是：一條虛直線上有且一條虛直線上有且只有一個實點只有一個實點 ；但是一條實直線上卻有無但是一條實直線上卻有無窮多個虛點（這里窮多個虛點（這里 是自對偶命題）是自對偶命題） ；坐標(biāo)為坐標(biāo)為I(1,i,0)、J(1,-i,0)的點稱為的點稱為（虛）圓（虛）圓點點

7、，一切圓都通過這兩點，反之通過這兩點，一切圓都通過這兩點，反之通過這兩點的實系數(shù)二次曲線一定是圓。因此，的實系數(shù)二次曲線一定是圓。因此，在復(fù)射在復(fù)射影平面上，兩個相交的圓有四個交點。影平面上，兩個相交的圓有四個交點。12x點點x在直線在直線u上，則上，則 在直線在直線 上上.ux虛點虛點x在實直線在實直線u上，則上，則 也在直線也在直線u上上.當(dāng)當(dāng)x為虛點，為虛點，u為實直線為實直線實直線實直線u上的虛點成對出現(xiàn)上的虛點成對出現(xiàn). 即有：實直線上的點或為實點或為即有：實直線上的點或為實點或為成對出現(xiàn)的共軛虛點成對出現(xiàn)的共軛虛點.對對偶偶命命題題134.關(guān)于圖形的射影性質(zhì)關(guān)于圖形的射影性質(zhì)(射影

8、不變性射影不變性)射影性質(zhì)射影性質(zhì)射影不變性射影不變性射影不變量射影不變量圖形在中心射影下保持不變的圖形在中心射影下保持不變的性質(zhì)和數(shù)量性質(zhì)和數(shù)量目前已知的射影性質(zhì)：目前已知的射影性質(zhì)：射影不變性：射影不變性：結(jié)合性：某點在某直線上；某直線通過某點的事實保持不變結(jié)合性：某點在某直線上；某直線通過某點的事實保持不變同素性：點同素性：點 點；直線點；直線 直線直線141.本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容(1)一維幾何基本圖形：點列或線束：一維幾何基本圖形：點列或線束： pq重疊的重疊的：共底的點列，共心的線束：共底的點列，共心的線束 特征：基底元素相同特征：基底元素相同非重疊的非重疊的：點列與線束，兩不共

9、底的點列，兩不同心的線束：點列與線束，兩不共底的點列，兩不同心的線束(2)交比交比 點列的交比點列的交比 線束的交比線束的交比 調(diào)和比調(diào)和比(交比值為交比值為-1)交比的定義交比的定義交比的計算交比的計算交比的性質(zhì)交比的性質(zhì) 151.本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容（3）一維射影對應(yīng)）一維射影對應(yīng) 定義：定義：pqpq 0,0,ababcdcd,0或射影對應(yīng)的代數(shù)表達(dá)式射影對應(yīng)的代數(shù)表達(dá)式 .射影變換的二重元素及分類射影變換的二重元素及分類.射影對應(yīng)的確定射影對應(yīng)的確定 .透視對應(yīng)透視對應(yīng)應(yīng)用應(yīng)用 對合對合 定義定義 性質(zhì)性質(zhì) 代數(shù)表達(dá)式代數(shù)表達(dá)式 16一維射影變換的分類：一維射影變換的分類：00(2

10、)(1)0 相異實根相異實二重元有兩個相同實根有兩個相同實二重元稱為共軛虛根共軛虛二雙曲型拋重元物型橢圓型001:,()( )abcdadbc令令= 得得不變元方程不變元方程2002(),()( )abcdadbc172.射影對應(yīng)間的關(guān)系：射影對應(yīng)間的關(guān)系：透視透視射影射影 對合重疊的一維幾何形式ISSSIS),(123.一維射影幾何研究的方法一維射影幾何研究的方法代數(shù)方法：工具是交比：兩個一維幾何圖形成射影對應(yīng)代數(shù)方法：工具是交比：兩個一維幾何圖形成射影對應(yīng) 的充要條件是：對應(yīng)四元素交比相等的充要條件是：對應(yīng)四元素交比相等.幾何方法：工具是射影：幾何方法：工具是射影： 將射影分解為有限個透視

11、之積（見將射影分解為有限個透視之積（見3.53.5）. .18111 11221112221 122221220,0 xa xa xaaxa xa xaa00:,(abcdadbc）b=c 對合對應(yīng)對合對應(yīng)200(). () abdadb0 ( ) ababcaca齊次坐標(biāo)齊次坐標(biāo)非齊次坐標(biāo)非齊次坐標(biāo)參數(shù)式參數(shù)式坐標(biāo)式坐標(biāo)式0 () xxx19第四章第四章 德薩格定理，四點形與四線形德薩格定理，四點形與四線形4.1 德薩格三角形定理德薩格三角形定理 一、本節(jié)主要內(nèi)容一、本節(jié)主要內(nèi)容二、德氏定理二、德氏定理三、三、 重要內(nèi)容例講重要內(nèi)容例講4.2完全四點（角）形與完全四線（邊）完全四點（角）形與

12、完全四線（邊）一、平面形一、平面形二、平面構(gòu)形二、平面構(gòu)形三、完全四點形與完全四線形三、完全四點形與完全四線形4.3 帕普斯定理帕普斯定理一、帕普斯定理一、帕普斯定理二、帕普斯定理的應(yīng)用二、帕普斯定理的應(yīng)用考試重點：作圖題考試重點：作圖題20射影坐標(biāo)系和射影變換射影坐標(biāo)系和射影變換 5.1 一維射影坐標(biāo)系一維射影坐標(biāo)系5.2 平面內(nèi)的射影坐標(biāo)系平面內(nèi)的射影坐標(biāo)系5.3 射影坐標(biāo)的特例射影坐標(biāo)的特例5.4 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)轉(zhuǎn)換5.5 射影變換射影變換5.6 二維射影幾何基本定理二維射影幾何基本定理5.7 射影變換的二重元素（或固定元素）射影變換的二重元素（或固定元素）5.8 射影變換的特例射影變換的

13、特例5.9 換群換群5.10 變換群的例證變換群的例證5.11 變換群與幾何學(xué)變換群與幾何學(xué) 210. 射影坐標(biāo)系射影坐標(biāo)系要求：要求：會求坐標(biāo)三角形的三邊的方程；會求坐標(biāo)三角形的三邊的方程；會求特殊點的坐標(biāo)（和方程）、特殊直線的方程會求特殊點的坐標(biāo)（和方程）、特殊直線的方程（和坐標(biāo)）；（和坐標(biāo)）；求過已知兩點的直線方程、及已知兩直線的交點；求過已知兩點的直線方程、及已知兩直線的交點；221.二維射影變換二維射影變換111 1122133212 1222233313 13223330.ijxa xa xa xxa xa xa xaxa xa xa x ， 射影變換的確定射影變換的確定（二維射影

14、幾何基本定理）：（二維射影幾何基本定理）：無三點共線的四對對應(yīng)點決定唯一的二維射影變換。無三點共線的四對對應(yīng)點決定唯一的二維射影變換。231112132122233132330aaaaaaaaa 2.二重元素的求法二重元素的求法步驟：步驟：由特征方程由特征方程|A-E E|=0,求出特征根求出特征根; 將每一個特征根將每一個特征根分別代入方程組分別代入方程組(A-E E )x=0，求，求出固定點的坐標(biāo)；出固定點的坐標(biāo)； 將每一個特征根將每一個特征根分別代入方程組分別代入方程組(A-E E)u=0，求，求出固定線的坐標(biāo)出固定線的坐標(biāo).11121231312122232313 1232333()0

15、()0,(4)()0aua ua ua uaua ua ua uau111122133211222233311322333()0()0()0aya ya ya yaya ya ya yay 243、三種幾何學(xué)的特點與比較、三種幾何學(xué)的特點與比較一般而言，變換群越大，則這些變換下的不變性、不變量就一般而言，變換群越大，則這些變換下的不變性、不變量就越少，它所對應(yīng)的幾何學(xué)的研究對象及研究內(nèi)容也就少。越少，它所對應(yīng)的幾何學(xué)的研究對象及研究內(nèi)容也就少。25相應(yīng)的變換群相應(yīng)的變換群射影群射影群仿射群仿射群運動群運動群變換式變換式相應(yīng)幾何學(xué)相應(yīng)幾何學(xué)射影幾何射影幾何仿射幾何仿射幾何歐氏幾何歐氏幾何基本不變

16、性質(zhì)基本不變性質(zhì)結(jié)合性結(jié)合性平行性平行性合同性合同性基本不變量基本不變量交比交比簡比簡比距離、角度距離、角度基本不變圖形基本不變圖形-無窮遠(yuǎn)直線無窮遠(yuǎn)直線無窮遠(yuǎn)直線無窮遠(yuǎn)直線,31jjijixax, 3 , 2 , 1i0ija111222xa xb ycya xb yc 02211babaxxyhyxyk 22()126 第六章第六章 二次曲線的射影性質(zhì)二次曲線的射影性質(zhì) 6.1 二階曲線與二級曲線二階曲線與二級曲線6.2 二次曲線的射影定義二次曲線的射影定義6.3 帕斯卡與布利安雙定理帕斯卡與布利安雙定理6.4 關(guān)于二次曲線的極與極線關(guān)于二次曲線的極與極線6.5 配極對應(yīng)配極對應(yīng)6.6 二

17、次曲線的射影分類二次曲線的射影分類6.7 二次曲線束及其在解聯(lián)立方程方面的應(yīng)用二次曲線束及其在解聯(lián)立方程方面的應(yīng)用 27 第七章第七章 二次曲線的仿射性質(zhì)二次曲線的仿射性質(zhì)7.1 二次曲線的中心和直徑二次曲線的中心和直徑7.2 二次曲線的漸近線二次曲線的漸近線7.3 二次曲線的仿射分類二次曲線的仿射分類7.4 例題例題第八章第八章 二次曲線的度量性質(zhì)二次曲線的度量性質(zhì)8.1 圓點圓點8.2 主軸與焦點主軸與焦點28二次曲線二次曲線掌握二次曲線的射影定義、性質(zhì)；掌握二次曲線的射影定義、性質(zhì)；二次曲線的仿射分類；二次曲線的仿射分類；能根據(jù)方程判斷曲線的類型；根據(jù)系數(shù)矩陣判斷曲線是常態(tài)還是變態(tài)的能根

18、據(jù)方程判斷曲線的類型；根據(jù)系數(shù)矩陣判斷曲線是常態(tài)還是變態(tài)的配極原則；配極原則；會求二次曲線的已知點的極線、已知直線的極；會求二次曲線的已知點的極線、已知直線的極；理解迷向直線、理解迷向直線、中心、直徑、共軛直徑、漸近線中心、直徑、共軛直徑、漸近線、主軸、焦點、準(zhǔn)線的、主軸、焦點、準(zhǔn)線的概念；概念；拉蓋爾定理及推論；拉蓋爾定理及推論；兩直線垂直的充要條件。兩直線垂直的充要條件。ln2iD29圓的主軸是圓的主軸是 任一直徑任一直徑 拋物線的主軸是拋物線的主軸是 其中心關(guān)于兩個圓點的調(diào)和共軛點的極線其中心關(guān)于兩個圓點的調(diào)和共軛點的極線 橢圓和雙曲線只有一對主軸，它們是橢圓和雙曲線只有一對主軸，它們是

19、 兩條漸近線所成角的平分線兩條漸近線所成角的平分線 二次曲線二次曲線的中心的中心直徑直徑共軛直徑共軛直徑漸近線漸近線主軸主軸無窮遠(yuǎn)直線關(guān)于無窮遠(yuǎn)直線關(guān)于的極。的極。一直徑通過另一直徑的極，此二直徑稱為共軛直徑。一直徑通過另一直徑的極，此二直徑稱為共軛直徑。無窮點關(guān)于無窮點關(guān)于的極線。的極線。二次曲線二次曲線與無窮遠(yuǎn)直線交于兩點與無窮遠(yuǎn)直線交于兩點T、T，以，以T、 T兩點為切兩點為切點的切線稱為點的切線稱為的的漸近線漸近線.換言之，漸近線就是換言之，漸近線就是上的無窮遠(yuǎn)點的極線。上的無窮遠(yuǎn)點的極線。漸近線也是直徑、是自共軛直徑漸近線也是直徑、是自共軛直徑圓的主軸是圓的主軸是 ，拋物線的主軸是拋

20、物線的主軸是 ，橢圓和雙曲線只有一對主軸，它們是橢圓和雙曲線只有一對主軸，它們是 。TTlO說說拋物線的中心、直徑，拋物線有沒有共軛直徑？說說拋物線的中心、直徑，拋物線有沒有共軛直徑？有沒有漸近線？有沒有漸近線？lCP.30作圖問題作圖問題1.過二次曲線上一點作曲線的切線；過二次曲線上一點作曲線的切線；2.過二次曲線外一點作曲線的切線；過二次曲線外一點作曲線的切線；3.作二次曲線的極線；作二次曲線的極線；4.作二次曲線上的點（已知作二次曲線上的點（已知5點）點）5.已知三點，求作第四點成調(diào)和點列已知三點，求作第四點成調(diào)和點列 已知三線，求作第四線成調(diào)和線束已知三線，求作第四線成調(diào)和線束31u

21、例例 作不在曲線作不在曲線 上的已知點上的已知點 v 關(guān)于關(guān)于 的極線的極線 I.作已知點的極線作已知點的極線四、應(yīng)用四、應(yīng)用abcdwv32 uxy 例例3. 過不在曲線過不在曲線 上的已知點上的已知點 u，作，作 的切線的切線 作法一：作法一： 1) 由極線作法，先作出由極線作法，先作出 u 的極線，與曲線交得二點的極線，與曲線交得二點x，y； 2) x，y分別與分別與 u 連線，則得切線連線，則得切線33 例例 過不在曲線過不在曲線 上的已知點上的已知點 u，作，作 的切線的切線 作法二：作法二： 如圖如圖. 過過P任作三割線任作三割線, 可得切線可得切線. 34ABCDRSQTcABC

22、DQSRTc()過點任作一直線過點任作一直線,于于其上任取兩點和；其上任取兩點和； ()作點作點=ASBQ， T=AQBS;()連交直線連交直線AB于，于，則為所求作。則為所求作。應(yīng)用應(yīng)用：調(diào)和比的作圖調(diào)和比的作圖設(shè)已知共線三點設(shè)已知共線三點A、B、C,求作點求作點D，使使(AB,CD)=-1證明：由所作，證明：由所作，QTSR為一完全為一完全四線形，由完全四線形的調(diào)和四線形，由完全四線形的調(diào)和性質(zhì)，即知（性質(zhì)，即知（AB,CD）=-1作法一作法一35應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例1P (56)432 例例5（習(xí)題（習(xí)題6.8） 已知一條二次曲線上五個點，求作曲線在已知一條二次曲線上五個點，求作曲線在其中一

23、點處的切線其中一點處的切線 作法見下圖：作法見下圖：應(yīng)用應(yīng)用Pascal定理和定理和Brianchon定理作圖定理作圖.ACB36計算問題計算問題1.求交比求交比2.求二重元素：點（不變點、二重點、固定點）求二重元素：點（不變點、二重點、固定點） 直線（不變直線、二重直線）；直線（不變直線、二重直線）；3.求一點（線）關(guān)于二次曲線的極線（極）、切線；求一點（線）關(guān)于二次曲線的極線（極）、切線；4.根據(jù)已知條件求變換式根據(jù)已知條件求變換式（仿射變換、一維射影變換）（仿射變換、一維射影變換）5.求二次曲線的中心、直徑、共軛直徑、漸近線求二次曲線的中心、直徑、共軛直徑、漸近線6.已知二次曲線的點坐標(biāo)

24、（線坐標(biāo)）方程求其線坐標(biāo)（點坐標(biāo)）方程已知二次曲線的點坐標(biāo)（線坐標(biāo)）方程求其線坐標(biāo)（點坐標(biāo)）方程3711 1122133121 1222233231 13223333()()()0.a ya ya y xa ya ya y xa ya ya y x0,ijija y x 111213112312222321323333(,)0aaaxy yyaaaxaaax求已知點求已知點y(y1,y2,y3)極線極線已知直線求極已知直線求極38求二次曲線的中心，直徑及其共軛直徑求二次曲線的中心，直徑及其共軛直徑. 一直徑上的無窮遠(yuǎn)點的極線稱為此直徑的一直徑上的無窮遠(yuǎn)點的極線稱為此直徑的共軛直徑共軛直徑.31

25、323333( , )(,)AAAA 112131122232132333 A AAAAAAAA11 1122133121 1222233231 13223333()()()0.a ya ya y xa ya ya y xa ya ya y x111213112312222321323333(,)0aaaxy yyaaaxaaax39 三、如何求漸近線的方程三、如何求漸近線的方程31323333( , )(,)AACAA XxYy寫出漸近線方程：寫出漸近線方程： 分解為兩個一次方程分解為兩個一次方程2211122220 a Xa XYa Y 方法方法3：求中心求中心 將將X、Y作代換作代換 就

26、得漸近線方程就得漸近線方程.40判斷證明問題判斷證明問題1.判斷證明二次曲線的類型、是否常態(tài)判斷證明二次曲線的類型、是否常態(tài)2.判斷一維射影對應(yīng)、對合對應(yīng)的類型判斷一維射影對應(yīng)、對合對應(yīng)的類型3.應(yīng)用高等幾何知識證明平面幾何問題應(yīng)用高等幾何知識證明平面幾何問題41二次曲線的射影分類二次曲線的射影分類一對重合直線：一對重合直線：x12 0一對實直線：一對實直線：x12 x22 0一對虛直線：一對虛直線：x12 x22 0 實二階曲線：實二階曲線：x12 x22 x32 0虛二階曲線：虛二階曲線：x12 x22 x32 0 二階曲線二階曲線常態(tài)：秩為常態(tài)：秩為3秩為秩為2秩為秩為1 變態(tài)變態(tài)奇異點情況奇異點情況無無一個一個無數(shù)多個、直線無數(shù)多個、直線421112331222000aaAaa為為雙曲線雙曲線拋物線拋物線.橢圓橢圓二次曲線的仿射分類二次曲線的仿射分類43一維射影變換的分類：一維射影變換的分類：00(2)(1)0 相異實根相異實二重元有兩個相同實根有兩個相同實二重元稱為共軛虛根共軛虛二雙曲型拋重元物型橢圓型0